Modele epidemiologiczne

Kolejną grupą modeli, która została wykorzystana podczas eksperymentów nad językiem Mo-deLang były modele epidemiologiczne. Ze względu na bezpośrednie odniesienia do rzeczywistych zja-wisk takich modeli, a w szczególności do funkcjonowania organizmów, które ulegają infekcji, wymagają one stosowania bardzo precyzyjnych współczynników tempa zachodzenia reakcji, a także bardzo czę-sto czę-stopień złożoności takich modeli jest większy niż w przypadku modeli bardziej ogólnych. Cecha ta pozwala na weryfikację procesu modelowania języka ModeLang dla złożonych modeli. Tematycznie jest to również bardzo odmienna grupa modeli niż modele typu drapieżnik-ofiara. Istnieją jednak wspólne cechy związane z typami reakcji, które mogą się pojawiać zarówno dla modeli epidemiologicz-nych jak i inepidemiologicz-nych.

Pierwszym modelem, który został wykorzystany podczas prac eksperymentalnych jest model Kermacka-McKendricka. Jest to model epidemiologiczny typu SIR (ang. Suspected, infected, Recove-red), czyli opisujący zjawisko epidemii na obszarze wskazanej populacji. Różni się zatem znacząco te-matycznie od dwóch pozostałych modeli. Modele HCV i HIV opisują rozprzestrzenianie się infekcji w organizmie.

Drugi model, który jest opisywany to model infekcji wirusem HCV. Jest to zarazem pierwszy model, który udało się zdefiniować z wykorzystaniem języka ModeLang podczas prac związanych z bu-dowaniem prototypu tego języka.

Trzecim modelem jest model opisujący infekcję wirusem HIV. Jest to model bardzo podobny do modelu HCV. Z jednej strony również opisuje infekcję choroby zakaźnej w organizmie, jest zatem podobny z punktu widzenia tematyki. Z drugiej strony poziom złożoności i niektóre elementy matema-tyczne, które są wykorzystane do jego zamodelowania są bardzo zbliżone.

6.2.2.1 Model Kermacka-McKendricka

Model Kermacka-McKendricka (Jones and Sleeman 2003) jest klasycznym modelem SIR (ang.

Suspected, Infected, Recovered) – narażony, zainfekowany, wyleczony. Opisuje rozprzestrzenianie się infekcji we wskazanej, zamkniętej populacji. Sama populacja dzielona jest na trzy grupy jednostek.

Pierwsza grupa opisuje zdrowe, podejrzane o bycie zakażonymi, ale jeszcze bez potwierdzenia zakaże-nia. Druga to agenty, które zostały zidentyfikowane jako zakażone. Trzecia opisuje agenty, które wy-zdrowiały.

Przebieg przemian pomiędzy grupami jest intuicyjny. Agenty narażone na infekcję są zarażane w tempie zależnym od rozmiaru populacji jednostek narażonych i zainfekowanych. Populacja zainfe-kowana rozwija się w dokładnie tym samym tempie, w którym dochodzi do zakażeń, a zmniejsza się pod wpływem zdrowienia, które jest zależne od rozmiarów populacji zakażonej. Populacja, która wy-zdrowiała jest zwiększana poprzez zdrowienie jednostek zakażonych i jej rozwój jest tym samym pro-porcjonalny do rozmiarów populacji zakażonej.

𝑑𝑆 które modelują trzy populacje podczas rozwoju epidemii. Pierwsze opisuje populację jednostek podej-rzanych o możliwość zainfekowania oznaczoną jako S. Populacja ta w przebiegu infekcji wyłącznie się kurczy. Model nie przewiduje rozwoju tej populacji, ponieważ nie opisuje zmian w strukturze całości społeczności, a jedynie przebieg samej infekcji. Tempo zarażania się jest zależne od rozmiaru populacji S i I, a także stałej 𝛽. Populacja jednostek zainfekowanych jest modelowana przez drugie równanie i jest oznaczona symbolem I. Tempo jej rozwoju jest dokładnie takie samo jak tempo zmniejszania się populacji S w pierwszym równaniu. Ponadto zmniejszanie się populacji zainfekowanej jest zależne od rozmiaru tej populacji i stałej zdrowienia ϒ. Trzecie równanie przdstawia dynamikę zmian populacji jednostek, które wyzdrowiały. Jest to populacja, która jedynie się rozwija podczas epidemii. Model zakłada zatem, że nie można powtórnie zachorować. Tempo rozwoju populacji jednostek, które zdro-wieją jest dokładnie takie samo dla rozwoju populacji jednostek wyleczonych, jak w przypadku zmniej-szania się populacji zainfekowanych. Model zatem nie uwzględnia możliwości śmierci i wszystkie agenty zgodnie z jego postacią będą wyleczone.

6.2.2.2 Model infekcji wirusa HCV

Model HCV (Wasik et al. 2014) jest przykładem modelu epidemiologicznego, który opisuje przebieg infekcji w pojedynczym organizmie, w przeciwieństwie do modeli takich jak Kermacka-McKendricka, które opisują przebieg epidemii w danej populacji. Opisane zjawisko dotyczy ludzkiej wątroby. Hepatocyty, to komórki wątrobowe, których rozwój jest ograniczony poprzez maksymalną pojemność wątroby. Infekcja HCV dotyczy bezpośrednio hepatocytów.

Model składa się z trzech typów agentów. Pierwszy typ, to zdrowe hepatocyty. Powstają one kiedy wątroba jest odbudowywana. W modelu również opisane jest zjawisko zdrowienia zainfekowa-nych hepatocytów, które stają się zdrowymi hepatocytami. Podstawowym zagrożeniem dla zdrowych hepatocytów jest zainfekowanie pod wpływem wirionów, czyli komórek wirusa. Jeżeli dojdzie do in-fekcji, zdrowe hepatocyty stają się zainfekowanymi hepatocytami. Ponadto jak wszystkie komórki mogą umierać.

Równanie 7 przedstawia model infekcji wirusa HCV. Komórki zdrowych hepatocytów są ozna-czone znacznikiem T, a ich zachowania są zamodelowane w pierwszym równaniu. Pierwszy element równania to stała 𝑠, która określa powstawanie nowych zdrowych hepatocytów. Jest to proces powsta-wania pod wpływem działania komórek blastycznych. Kolejny element równania definiuje powstawa-nie nowych hepatocytów pod wpływem reprodukcji. Element ten zawiera ograniczepowstawa-nie reprodukcji pod wpływem ograniczenia pojemności wątroby. Dotyczy ona zarówno komórek zdrowych jak i zain-fekowanych, co oznacza, że łączna suma tych komórek nie może przekraczać maksymalnego rozmiaru wątroby. Kolejnym elementem definiującym zdrowe hepatocyty jest ich umieranie, którego tempo określa parametr dT. Kolejnym elementem modelu jest proces infekowania, którego prędkość okre-ślona jest w oparciu o liczbę zdrowych hepatocytów i liczbę wirionów. Proces ten jest spowolniony przez terapię, którą oznacza parametr 𝜂. Ostatnim elementem modelu jest zdrowienie komórek, któ-rego tempo określa parametr 𝑞. Drugie równanie modeluje liczbę zainfekowanych komórek hepatocy-tów. Zainfekowane komórki rozmnażają się podobnie jak zdrowe. Pierwszy element równania opisuje ten proces i zgodnie z pierwszym równaniem proces ten ograniczony jest również poprzez maksymalną pojemność wątroby. Kolejny element równania to proces infekcji, którego podstawy są dokładnie takie same jak w pierwszym równaniu, wpływa on jednak na wzrost liczby zainfekowanych hepatocytów.

Zamodelowane są również zjawiska umierania zainfekowanych hepatocytów i zdrowienia. Jeden i drugi element modelu zmniejsza populację zainfekowanych hepatocytów. Ostatnim elementem mo-delu są wiriony. Przedstawia je trzecie równanie. Pierwszy element równania definiuje produkcję wi-rionów przez zainfekowane hepatocyty. Liczba zainfekowanych hepatocytów wpływa na tempo pro-dukcji wirionów. Drugi element równania przedstawia umieranie wirionów pod wpływem terapii.

6.2.2.3 Model infekcji wirusa HIV

Podobnie jak w przypadku modelu HCV, model HIV (Perelson 1989) jest modelem, który opi-suje przebieg infekcji w danym organizmie. Nie skupia się zatem na aspekcie rozprzestrzeniania się wirusa w społeczności. Pod kątem matematycznym, a zatem również z punktu widzenia przebiegu mo-delowania infekcji, jest również bardzo podobny. Celem dobrania drugiego modelu, który ma dużo podobieństw było sprawdzenie jak modelowanie powiedzie się na innym, równie skomplikowanym przypadku.

Model uwzględnia również trzy typy agentów. Są to zdrowe komórki, zainfekowane komórki oraz wiriony. Logika zachowań i reakcji jest podobna do logiki znanej z infekcji wirusa HCV.

𝑑𝑇

Równanie 8 przedstawia równanie charakteryzujące model HIV. W układzie równań różniczko-wych znajdują się trzy równania opisujące trzy typy agentów. Pierwsze równanie opisuje zjawiska

do-na zanikanie zdrowych komórek. Pierwsze to umieranie komórek. Jest ono zależne od rozmiaru popu-lacji zdrowych komórek. Drugie, to przeobrażanie się ich w komórki zainfekowane pod wpływem dzia-łania komórek wirusa. Tempo infekcji zależny od rozmiaru populacji zdrowych komórek i rozmiaru po-pulacji komórek wirusa w zainfekowanym organizmie. Odbudowywanie się komórek zdrowych jest za-leżne od tempa ich reprodukcji. Drugim elementem, który wpływa na powstawanie zdrowych komórek to działanie komórek blastycznych (podobnie jak w przypadku modelu HCV). Drugie równanie opisuje zainfekowane komórki. W związku z tym, że model nie przewiduje zdrowienia komórek, możliwe jest jedynie ich infekowanie, które powoduje zmniejszanie się populacji zdrowych komórek oraz rozrost populacji zainfekowanej. Kolejnym elementem, który wpływa na rozmiar populacji zainfekowanych komórek jest ich umieranie. Trzecie równanie w modelu HIV opisuje wiriony, czyli cząsteczki wirusa HIV. Powstają one pod wpływem produkcji przez komórki zainfekowane. Zmniejszanie się ich populacji ma miejsce gdy umierają lub gdy dochodzi do infekcji komórek zdrowych. Zarażenie się komórki zdro-wej powoduje wchłonięcie komórki wirusa do komórki zdrozdro-wej, w efekcie powstaje komórka zainfe-kowana. Efektem jest jednak zmniejszenie się populacji komórek wirusa. Tempo tej reakcji jest zależne od rozmiaru populacji wirionów i zdrowych komórek.