Modelowanie matematyczne

Modelowanie matematyczne jest szerokim pojęciem, w skład którego wchodzi wiele różnych technik i metod. Celem modelowania matematycznego jest opisanie rzeczywistych zjawisk za pomocą struktur matematycznych. Pozwala to na dokonywanie obliczeń, których konfrontacja z wynikami po-miarów pozwala na weryfikowanie i doskonalenie modeli. Za ich pomocą możliwe jest poznanie cha-rakterystyk opisywanych zjawisk, a w konsekwencji przewidywanie przyszłych lub potencjalnych za-chowań.

Istnieje spore zróżnicowanie wśród klas modeli matematycznych, ze względu na szerokie zasto-sowania związane z modelowaniem jak i możliwości mechanizmów matematycznych, które są stoso-wane podczas modelowania. Wyróżnić można również różne typy modeli matematycznych, które są wykorzystywane w praktyce. Kolejne podsekcje opisują klasyfikację modeli, metody oceny wartości modeli, jak i dostępne dla nich zastosowania.

3.1.1 Klasyfikacja modeli

Klasyfikacja modeli matematycznych pozwala na ujęcie w sposób całościowy dostępnych tech-nik, które mogą być potencjalnie stosowane w ramach prac związanych z modelowaniem. Klasy modeli, które są dostępne i podziały z nimi związane dotykają zarówno mechanizmów matematycznych, jak i sposobu budowania modeli. W poniższych podsekcjach przedstawiono najbardziej popularne klasyfi-kacje tych modeli.

3.1.1.1 Modele liniowe i nieliniowe

Liniowość lub nieliniowość modelu jest określona w zależności od złożoności wstępujących w nim operatorów. W najprostszym ujęciu model jest liniowy wówczas, kiedy wszystkie operatory opi-sują zależności liniowe. W przeciwnej sytuacji model jest określany jako nieliniowy. Istnieje jednak kilka sytuacji szczególnych. W modelach statystycznych, model można określić jako liniowy, kiedy ma li-niowe parametry, jednocześnie mogąc mieć nielili-niowe zmienne predykcyjne. Z kolei równanie różnicz-kowe jest określane jako liniowe, jeżeli można je zapisać za pomocą liniowych operatorów różniczko-wych.

3.1.1.2 Modele statyczne i dynamiczne

Modele nazywamy dynamicznymi, kiedy występują zmiany stanu systemu na przestrzeni czasu. Modele statyczne to takie, których stan jest niezależny od upływającego czasu. Do opisu modeli dynamicznych najczęściej wykorzystywane są układy równań różniczkowych.

3.1.1.3 Modele jawne i ukryte

Model nazywamy jawnym wówczas, gdy znając jego parametry wejściowe jesteśmy w stanie obliczyć wartości wyjściowe poprzez skończoną liczbę operacji. W sytuacji, kiedy znamy wartości wyj-ściowe modelu, a celem jest odnalezienie parametrów wejściowych, które doprowadziły do danych wyników, model nazywamy ukrytym. Odnajdywanie parametrów wejściowych odbywa się poprzez

do-3.1.1.4 Modele dyskretne i ciągłe

Nazwy modele dyskretne i modele ciągłe odnoszą się do tego, w jaki sposób obiekt jest opisy-wany przez model. Jeżeli model opisuje obiekt w postaci dyskretnej, jak na przykład stany w modelu statystycznym, wówczas mówimy o modelu dyskretnym. W sytuacji, w której model reprezentuje obiekty w przestrzeni ciągłej, na przykład określając ich prędkość, mówimy wówczas o modelu ciągłym.

3.1.1.5 Modele deterministyczne i probabilistyczne

Modele deterministyczne to modele, które dla takich samych warunków wejściowych osiągają takie same rezultaty, niezależnie od liczby prób. Do warunków wejściowych, które mogą wpłynąć na rezultaty należą parametry wejściowe i wartości zmiennych, a także zestaw poprzednich stanów zmiennych. W przypadku modeli probabilistycznych, zwanych również modelami stochastycznymi, ist-nieje losowość. Stany zmiennych w takich modelach nie są opisane za pomocą unikalnych wartości, lecz w oparciu o rozkład prawdopodobieństwa.

3.1.1.6 Modele dedukcyjne i indukcyjne

Nazwy modeli dedukcyjnych i indukcyjnych nie dotyczą struktur zapisu, czy właściwości mate-matycznych modeli. Jest to klasyfikacja, która ma na celu określenie, w jaki sposób model powstał i co jest podstawą jego definicji. Model dedukcyjny, to model, który powstał w oparciu o znaną teorię do-tyczącą opisywanego zagadnienia. Zatem na podstawie znanej teorii powstała struktura logiczna mo-delu. Model indukcyjny z kolei zbudowany jest na bazie badań empirycznych, na podstawie których wyciągane są wnioski ogólne, pozwalające na podjęcie próby sformalizowania obserwacji w postaci modelu matematycznego.

3.1.2 Ocena wartości modelu

Bardzo istotnym aspektem procesu modelowania jest ocena dokładności i poprawności mo-deli. W przypadku modeli matematycznych jest to kwestia szczególnie trudna, ze względu na dużą grupę czynników, które mogąc być zmiennymi wpływającymi na wyniki symulacji modelu. W tej sekcji opisane zostały trzy najważniejsze sposoby oceny wartości modelu.

3.1.2.1 Ocena poprzez porównanie z danymi empirycznymi

Najbardziej podstawowym sposobem oceny modelu jest porównanie jego wyników z danymi empirycznymi. Zatem jeżeli model dotyczy wzrostu populacji z wykorzystaniem określonych czynni-ków, można skonfrontować jego wyniki z zebranymi danymi rzeczywistymi wzrostu populacji. Zadanie to jest szczególnie trudne w przypadku modeli z parametrami. Najczęstszym i zarazem najbardziej po-pularnym sposobem rozwiązania tej kwestii jest podzielenie danych na dwa podzbiory. Pierwszy pod-zbiór, zwany podzbiorem danych uczących, ma za zadanie oszacowanie wartości parametrów. W dru-gim podzbiorze, zwanym podzbiorem danych weryfikacyjnych, dokonuje się weryfikacji obliczeń, które są realizowane przez model z wykorzystaniem parametrów określonych za pomocą danych uczących.

Jeżeli weryfikacja na danych weryfikacyjnych przyniesie wyniki zgodne z oczekiwanymi, model jest określany jako poprawny. Takie podejście ma swoje korzenie w metodzie weryfikacyjnej, która wywo-dzi się ze statystyki, a mianowicie w walidacji krzyżowej.

Definicja poprawnej struktury matematycznej modelu jest o wiele bardziej złożonym proce-sem od weryfikacji samych parametrów. Istotne jest zweryfikowanie, jak model zachowa się zarówno w najczęściej występujących i najbardziej regularnych sytuacjach, jak i w przypadkach ekstremalnych.

Ostatnią kwestią, która jest istotna na poziomie analizy porównawczej z danymi empirycznymi jest kwestia rozbieżności, które mają miejsce pomiędzy wartościami osiąganymi przez model, a warto-ściami, które pochodzą z badań empirycznych. Nie jest praktycznie możliwe zbudowanie modelu, który na dowolnym poziomie dokładności odda wyniki zebrane podczas pomiarów empirycznych. Nie jest to jedynie spowodowane niedokładnością modelu. Istotnym czynnikiem, który należy uwzględnić jest nie-dokładność pomiarów, która może wpływać na odchylenia od oczekiwanych wartości oraz występo-wanie szumu. Istnieje wiele mechanizmów matematycznych, które pozwalają na filtrowystępo-wanie danych empirycznych pod kątem ekstremalnych odchyleń. Istotne jest jednak również zdefiniowanie poziomu błędu, który należy przyjąć jako akceptowalny i stosowanie takiej miary rozbieżności przy ocenie po-równawczej wyników modelu i danych empirycznych.

3.1.2.2 Ocena możliwości uogólniania modelu

Istotnym elementem oceny modelu jest kwestia w jakim stopniu poprawność modelu, która zostaje potwierdzona na bazie danych empirycznych, może zostać uogólniona na szerszy kontekst za-równo jeżeli chodzi o zakres danych, jak i tematykę badawczą. Istnieje wiele modeli, których pierwotne zastosowanie zostało rozwinięte na zupełnie nowe obszary, które wykorzystane zostały w całkowicie innych kontekstach. Dobrym przykładem zastosowania modelu w całkowicie innym kontekście jest mo-del Lotka-Volterra (Rudnicki 2014). Jego pierwotne zastosowanie, które odnosiło się do ekologii, z któ-rego pochodzi nazwa modelu drapieżnik-ofiara (ang. predator-prey), zostało przeniesione na obszary ekonomii (Solomon 2000). Jest to przykład przeniesienia zastosowań modelu na całkowicie nowe ob-szary tematyczne. Istnieje jednak również możliwość rozszerzenia tego samego kontekstu, na przykład wykorzystania modelu infekcji wirusem HIV, do prowadzenia badań związanych generalnie z infekcjami wirusowymi, niezależnie od typu wirusa. Możliwość zastosowania modelu w szerszym kontekście jest potwierdzeniem jego wartości o charakterze uniwersalnym.

3.1.2.3 Ocena przydatności modelu

Trzecim elementem oceny wartości modelu jest kwestia jego przydatności. Każdy model, który pomyślnie zostanie potwierdzony poprzez analizę porównawczą z danymi empirycznymi, może zostać zastosowany w praktyce do odnajdywania nowych faktów związanych z potencjalnymi zachowaniami modelowanych bytów, jak i przewidywania potencjalnych zachowań. Jest to jednakże bardzo trudne ze względu na to, że ilość informacji, które są niezbędne do zbudowania poprawnego modelu, często wymaga zaawansowanych badań. W takiej sytuacji nie jest łatwym wykorzystanie modelu na takim poziomie, aby być w stanie odnaleźć nowe fakty i uzyskać przełomowe wyniki. Ocena przydatności modelu pozwala na stwierdzenie, czy poza poprawnością matematyczną model jest użytecznym na-rzędziem podczas prowadzonych badań. Istotne jest stwierdzenie, czy model może być przydatny w przyszłości, ze względu na to, że praca, która jest niezbędna do doskonalenia modelu może zostać wy-korzystana w innych obszarach związanych z prowadzonymi badaniami, które mogą doprowadzić do ważnych wniosków.

3.1.3 Zastosowanie modelowania matematycznego

Modelowanie matematyczne posiada całe spektrum zastosowań w różnych obszarach badaw-czych. Przydatne jest w przypadku nauk społecznych, ekonomicznych i przyrodnibadaw-czych. W podrozdziale 6.2 opisane zostały przykładowe modele z zakresu bioinformatyki, które wykorzystane zostały podczas badań związanych z tą pracą.

Bardzo istotnym typem modeli, które zostały wykorzystane w pracy badawczej były modele