O WYRAŻENIACH

3.1.1.RÓWNOKSZTAŁTNOŚĆ WYRAŻEŃ

W każdym języku mamy do czynienia z jakąś równokształtnością. Równokształtność występująca w jednym języku może się różnić od równokształtności występującej w innym języku. Łatwiej jest wyjaśnić, na czym polega równokształtność w językach pozbawionych wszelkich odmian gramatycznych (deklinacji, koniugacji, stopniowania) niż w językach mających jakąś przynajmniej jedną odmianę gramatyczną. Najeży tu jeszcze dodać, że język sztuczny jest z reguły pozbawiony wszelkich odmian gramatycznych.

3.1.1.01.Wyjaśnienie częściowe. Jeżeli w danym języku brak wszelkiej odmiany gramatycznej, to dwa wyrażenia tego języka są równokształtne wtedy i tylko wtedy, jeżeli każde z nich może być uważane za wierną kopię pozostałego.

Zgodne z powyższym wyjaśnieniem należy uznać, że w każdym akustycznym języku pozbawionym wszelkiej odmiany gramatycznej każde wyrażenia tak samo brzmiące dla ucha ludzkiego są równokształtne. Zgodnie z powyższym wyjaśnieniem należy również uznać, ze w każdym graficznym języku pozbawionym, wszelkiej odmiany gramatycznej każde dwa wyrażenia będące odbitkami tego samego składu czcionek drukarskich są równokształtne.

3.1.1.10.Wyjaśnienie częściowe. Jeżeli w danym języku występuje odmiana gramatyczna, to dwa wyrażenia tego języka są równe wtedy i tylko wtedy, jeżeli spełniony jest - chociaż jeden z warunków następujących:

1) Każde z tych wyrażeń może być uważane za wierną kopię (np. przepisanie czy przedruk - niewprowadzający innych zmian niż kaligraficzne czy typograficzne) drugiego

lub

2) Jedno z tych wyrażeń jest odmianą gramatyczną pozostałego z tych wyrażeń.

Na to, czy dane dwa wyrażenia są równokształtne, czy też nie są równokształtne, wywierają wpływ strony materialne tych wyrażeń, ich odmiany gramatyczne - natomiast wpływu raczej nie wywierają.

Przykłady. Weźmy pod uwagę następujące dwa wyrazy języka polskiego

Adam Adam

Jest to przykład dwóch wyrazów języka polskiego, które są równokształtne między sobą, lecz nie są identyczne, (czyli tożsame), to znaczy nie są jednym i tym samym przedmiotem.

Podamy jeszcze dwa przykłady wyrażeń równokształtnych:

Adam ADAM

Adam Adamowi

Wielokrotne i powszechne doświadczenie skłania nas do przyjęcia następujących reguł równokształtności:

3.1.1.11. Reguła. Każde wyrażenie jest równokształtne z sobą.

3.1.1.12. Reguła. Jeżeli jakieś wyrażenie (powiedzmy „wyrażenie pierwsze”) jest równokształtne z jakimś wyrażeniem (powiedzmy z „wyrażeniem drugim”), to wyrażenie drugie jest równokształtne z wyrażeniem pierwszym.

3.1.1.13. Reguła. Jeżeli wyrażenie pierwsze jest równokształtne z wyrażeniem drugim i wyrażenie drugie jest równokształtne wyrażeniem trzecim, to wyrażenie pierwsze jest równokształtne z wyrażenie trzecim.

Pojęcie równokształtności ma dużą doniosłość praktyczną, o czym świadczą uwagi poniższe:

Wraz z postępem technicznym zmieniają się metody produkowania napisów. Po piśmie ręcznym zjawia się pismo drukowane, a następnie maszynowe, a wreszcie komputerowe. Wiadomo powszechnie, że wynalazek druku, a następnie wynalazek maszyny do pisania zwiększył szybkość fabrykowania napisów i umożliwił masowe ich wytwarzanie. Mniej natomiast zwraca się uwagi na to, że wynalazek druku i wynalazek maszyny do pisania zwiększyły prędkość czytania. Dlaczego fakt ten jest dla nas interesujący? Aby czytać, trzeba rozpoznawać napisy równokształtne. Rozpoznawanie równokształtności jest znacznie trudniejsze przy odczytywaniu napisów sporządzanych ręcznie (zwłaszcza w wypadku „niewyraźnego charakteru pisma”), niż w wypadku odczytywania napisów drukowanych czy też pisanych na maszynie lub tworzonych przez komputer.

Piśmiennictwo: Greniewski H. G.2.1.

3.1.2.RÓWNOZNACZNOŚĆ WYRAŻEŃ

3.1.2.00. Wyjaśnienie. Wyrażenie 𝐀 jest równoznaczne z wyrażenie 𝐁 wtedy i tylko wtedy, jeżeli rozumienie wyrażenia 𝐀 jest identyczne z rozumieniem wyrażenia 𝑩. Innymi słowy - dwa wyrażenia są wtedy i tylko wtedy równoznaczne, gdy mają to samo rozumienie.

Na to, czy dane dwa wyrażenia są równoznaczne, czy też nie są równoznaczne, wywierają wpływ tylko strony znaczeniowe, (czyli rozumienia) tych wyrażeń, natomiast ich strony materialne żadnego wpływu nie wywierają. Praktyka językowa upoważnia nas do przyjęcia następujących reguł równoznaczności:

3.1.2.01. Reguła. Każde wyrażenie jest równoznaczne z sobą.

3.1.2.02. Reguła. Jeżeli jakieś wyrażenie pierwsze jest równoznaczne z wyrażeniem drugim, to wyrażenie drugie jest równoznaczne z wyrażeniem pierwszym.

3.1.2.03. Reguła. Jeżeli wyrażenie pierwsze jest równoznaczne z wyrażeniem drugim i wrażenie drugie jest równoznaczne z wyrażeniem trzecim, to wyrażenie pierwsze jest równoznaczne z wyrażeniem trzecim.

Równoważność wyrażeń, jest bardzo istotnym czynnikiem upraszczania algorytmów i programów komputerowych. W części czwartej, zajmiemy się Notacją Z, w której między innymi, oferowana jest metoda przekształcania modułów algorytmów do równoważnej im postaci programów komputerowych.

Piśmiennictwo: Greniewski H. G.2.1.

3.1.3.RÓWNOKSZTAŁTNOŚĆ A RÓWNOZNACZNOŚĆ

Nie należy, oczywiście, równokształtności utożsamiać z równoznacznością. Często mamy do czynienia z takimi językami, w których:

1) Istnieją pary wyrażeń takich, które między sobą nie są równokształtne ani równoznaczne;

2) Istnieją pary wyrażeń takich, które między sobą nie są równokształtne są równoznaczne;

3) Istnieją pary wyrażeń takich, które między sobą są równokształtne - lecz nie są równoznaczne;

4) Istnieją pary wyrażeń takich, które między sobą są równokształtne i zarazem równoznaczne.

Powyższe uwagi zilustruje my za pomocą przykładów zaczerpniętych z graficznego języka polskiego, podanych w tablicy 3.1.3.10.

Tablica 3.1.3.10

Wyrażenie, w którym zawarte jest wyrażenie 𝑨 Wyrażenie, w którym zawarte jest wyrażenie 𝑩 Uwagi

I. II. III. mianowicie kolejność w czasie, inaczej natomiast przedstawia się sprawa w językach graficznych. Nie ma w tym nic dziwnego, gdyż wyrażenia języka akustycznego muszą być układane kolejno (wtedy, gdy się za pomocą takiego języka wypowiadamy) w obrębie jednowymiarowego czasu. Wyrażenia języka graficznego układamy natomiast na dwuwymiarowej powierzchni (zwykle na płaszczyźnie), gdzie mamy do czynienia z dużym wyborem różnych kolejności liniowych. Znane są między innymi następujące rodzaje kolejności stosowanych w różnych językach graficznych:

1) „od lewej do prawej”, 2) „od prawej do lewej”, 3) „z góry na dół”, 4) „z dołu do góry”.

W europejskich językach naturalnych graficznych stosuje się, jak wiadomo, kolejność „od lewej do prawej” (i „z góry na dół”, gdy kończy się wiersz), jednak nie konsekwentnie, gdyż przy zapisywaniu liczb stosujemy kolejność „od prawej do lewej” przyjętą od Arabów wraz z powszechnie i na co dzień u nas używanym pozycyjnym systemem dziesiętnym zapisywania liczb. O tym, że zapisując liczby w dziesiętnym systemie pozycyjnym stosujemy kolejność „od prawej do lewej” zamiast zwykłej europejskiej kolejności „od lewej do prawej”, najłatwiej było się przekonać obserwując pracę maszynistki (w czasie - gdy maszynopisanie nie zostało jeszcze zastąpione programami edycji tekstu działającym na komputerze), która w tekście maszynopisu ma umieścić kolumnę liczb zapisanych „równo pod sobą” (np. kolumnę liczb do zsumowania). W takim stadium pisania tempo pracy bardzo dobrej nawet maszynistki malało gwałtownie, wypisywała ona - bowiem najpierw jednostki, potem - po lewej stronie jednostek! - dziesiątki, następnie setki itd., każda zaś używana dawniej u nas maszyna do pisania była dostosowana do europejskiej kolejności pisania „od lewej do prawej”. Oczywiście, zarówno dziesiętność jak i

pozycyjność arabskiego systemu zapisywania liczb jest zupełnie niezależna od kolejności zapisu.

Można by z powodzeniem zapisywać liczby w systemie pozycyjnym i dziesiętnym stosując zarazem kolejność „od lewej do prawej”, ale tego nie rozumiano w Europie w wieku X naszej ery, gdy nauczono się arabskiego systemu zapisywania liczb. W językach sztucznych (na przykład algebry i informatyki), z którymi mieliśmy do czynienia w szkole średniej, stosuje się również kolejność „od lewej do prawej", jednak z powyższym wyjątkiem przy zapisywaniu liczb.

Natomiast w języku map geograficznych, który również poznaliśmy w szkole, mamy do czynienia z dwiema kolejnościami na raz (południe-północ, zachód-wschód). Podobnie - w języku wykresów statystycznych występują dwie kolejności. W językach graficznych sztucznych, graficznych mieszanych i językach formalnych, z którymi będziemy mieli do czynienia, stosować będziemy także kolejność „od lewej do prawej”. Bez względu jednak na to, jaka kolejność obowiązuje w danym języku, zawsze mają zastosowanie następujące reguły kolejności:

3.1.4.01. Reguła. Żadne wyrażenie nie poprzedza siebie.

3.1.4.02. Reguła. Jeżeli wyrażenie pierwsze poprzedza wyrażenie drugie, to nieprawdą jest, że wyrażenie drugie poprzedza wyrażenie pierwsze.

3.1.4.03. Reguła. Jeżeli wyrażenie pierwsze poprzedza wyrażenie drugie, zaś wyrażenie drugie poprzedza wyrażenie trzecie, to wyrażenie pierwsze poprzedza wyrażenie trzecie.

Łatwo zauważyć, że reguła 3.1.4.01 - oraz reguła 3.1.4.02, wydadzą się, fałszywe temu, kto nie odróżnia równokształtności wyrażeń od identyczności wyrażeń (podrozdział 3.1.1).

Piśmiennictwo: Greniewski H. G.2.1. , Wilkosz W. W.3.1, W.3.2.

3.1.5.ZASTĘPOWANIE I PODSTAWIANIE

Zajmiemy się teraz czynnościami, z którymi mamy często do czynienia przy budowaniu wyrażeń należących do danego języka. Są to czynności wyliczone w tytule niniejszego i następnego paragrafu.

3.1.5.00. Wyjaśnienie. Mówimy, że w wyrażeniu - 𝑨 zastępujemy wyrażenie 𝑩 wyrażeniem 𝑪, zamiast mówić, że:

1) Wyrażenie 𝑩 jest częścią wyrażenia 𝑨;

2) Sporządzamy nowe wyrażenie (nazwijmy je „𝑫”)w ten sposób, ze w zasadzie kopiujemy wyrażenie 𝑨 bez żadnych zmian, oprócz jednej polegającej na tym, że zamiast kopiować wyrażenie 𝑩 kopiujemy wyrażenie 𝑪.

3.1.5.10. Wyjaśnienie. Mówimy, że do wyrażenia 𝑨 podstawiamy za wyrażenie 𝑩 wyrażenie 𝑪, zamiast mówić, że w wyrażeniu 𝑨 zastępujemy każde wyrażenie będące częścią wyrażenia 𝑩 i zarazem równokształtne z wyrażeniem 𝑩 - wyrażeniem równokształtnym z wyrażeniem 𝑪.

Przykład. Weźmy pod uwagę poniższe wyrażenie ( jakiegoś języka) oznaczone literą „𝑨”, a w nim część oznaczoną literą „𝑩”:

𝐴

0 1 𝑥 𝑦 𝑧 0 0 𝑥 𝑦 𝑧 0 1 𝐵

oraz weźmy również pod uwagę poniższe wyrażenie (tegoż języka) literą „𝑪”:

𝐶 𝛼 𝛽 𝛾

W wyrażeniu 𝑨 zastępujemy wyrażenie 𝑩 - wyrażeniem 𝑪 i otrzymujemy wynik następujący:

Do wyrażenia 𝑨 podstawiamy za wyrażenie 𝑩- wyrażenie 𝑪 i otrzymujemy wynik następujący:

0 1 𝛼 𝛽 𝛾 0 0 𝑥 𝑦 𝑧 1 0 0 1 𝛼 𝛽 𝛾 0 0 𝛼 𝛽 𝛾 1 0

W dalszych rozdziałach, gdy będziemy formułowali reguły czy dyrektywy podstawiania, będziemy w dyrektywach tych wyraźnie odróżniali od siebie:

 Wyrażenie, do którego podstawiamy,

 Wyrażenie, za które podstawiamy,

 Wyrażenie, które podstawiamy.

Wyrażenia te będą wymieniane albo wskazywane zwykle w wyżej ustalonej kolejności.

Piśmiennictwo: Greniewski H. G.2.1.

3.1.6.DOŁĄCZANIE, SKREŚLANIE I ODRYWANIE

3.1.6.00. Wyjaśnienie. Mówimy, że wyrażenie 𝑪 powstaje przez dołączenie wyrażenie 𝑨 do wyrażenia 𝑩, zamiast mówić, że wyrażenie 𝑪 daje się rozbić na dwie części 𝑨1, 𝑩2 spełniające wszystkie warunki następujące:

1) Wyrażenie 𝑨1 nie ma żadnej wspólnej części z wyrażeniem 𝑩1;

2) Między wyrażeniem 𝑨 a wyrażeniem 𝑩, nie tkwi żadne wyrażeni domyślne;

3) Jeżeli w języku, do którego należą wyrażenie 𝑨1, 𝑩2 występuje odmiana gramatyczna, to formy gramatyczne wyrażenia 𝑨1 i wyrażenia 𝑩1 są wzajemnie do siebie dopasowane;

4) Wyrażenie 𝑨1 jest równokształtne z wyrażeniem 𝑨;

5) Wyrażenie 𝑩1 jest równokształtne z wyrażeniem 𝑩.

Przykłady. Wyrażenie „ojciec Piotra” powstaje przez dołączenie wyrażenia „ojciec” do wyrażenia

„Piotr”. Wyrażenie „Jan jest studentem” powstaje przez dołączenie wyrażenia „Jan” do wyrażenia

„jest studentem”. Wyrażenie „prawdą jest, że dwa razy dwa równa się cztery” powstaje przez dołączenie wyrażenia „prawdą jest, że” do wyrażenia „dwa razy dwa jest cztery”. W algebrze szkolnej pisze się często zamiast iloczynu „𝑎 ∙ 𝑏”, krócej „𝑎𝑏”. Wobec tego wyrażenie „𝑎𝑏” nie powstaje przez dołączenie wyrażenia „𝑎” do wyrażenia „𝑏”, gdyż między odnośnymi literami tkwi domyślna kropka. Zauważmy jeszcze, że dołączane wyrażenia do wyrażenia - nie zawsze daje, jako wynik wyrażenie. Niekiedy wynikiem dołączenia jest twór do danego języka nienależący. Ściśle biorąc, należałoby odróżniać dołączanie lewostronne od dołączania prawostronnego. Nie będziemy jednak tego czynić, aby nie komplikować naszych rozważań.

3.1.6.01. Wyjaśnienie. Mówimy, że wyrażenie 𝑪 powstaje z wyrażenia 𝑨 przez skreślenie wyrażenia 𝑩, zamiast mówić, że wyrażenie 𝑨 powstaje przez dołączenie wyrażenia 𝑩 do wyrażenia 𝑪.

Przykład. Modne w czasach PRL wyrażenie „przodownik pracy” powstaje przez dołączenie wyrażenia „przodownik” do wyrażenia „praca”, natomiast wyrażenie „przodownik” powstaje z wyrażenia „przodownik pracy” przez skreślenie wyrażenia „praca”.

3.1.6.10. Wyjaśnienie. Mówimy, że wyrażenie 𝑪 powstaje przez oderwanie wyrażenia 𝑨 od wyrażenia 𝑩 przy pominięciu wyrażenia 𝑿, zamiast mówić, że:

1) Wyrażenie 𝑪 powstaje z wyrażenia 𝑩 przez, skreślenie wyrażenia 𝑨 i skreślenie wyrażenia 𝑿 i ponadto

2) Część wyrażenia 𝐵 równokształtna z wyrażeniem 𝑨 poprzedza według obowiązującej kolejności w danym języku, odnośną część wyrażenia 𝑩, która jest równokształtna z wyrażeniem 𝑪.

Przykład. Weźmy pod uwagę wyrażenia następujące:

(1) Jan ma gorączkę,

(2) Jeżeli Jan ma gorączkę, to Jan jest chory.

(3) Jan jest chory, (4) Jeżeli..., to …

Jak łatwo zauważyć, w tym przykładzie wyrażenia (3) powstaje przez odjęcie wyrażenia (1) od wyrażenia (2) przy pominięciu wyrażenia (4).

Piśmiennictwo: Greniewski H. G.2.1.