Zasada dwuwartościowości:

⊢ {(𝑃𝑟𝑝̅̅̅̅̅𝑥) → [(𝐹𝑙𝑠𝑥̅̅̅̅̅̅ ) ∸ (𝑉𝑒𝑟̅̅̅̅̅𝑥)]}.

Przed każdą z trzech powyższych zasad (tj. 2.4.0.10, 2.4.0.11 i 2.4.0.12), postawiliśmy znak asercji, co było zresztą pewnego rodzaju lekkomyślnością, gdyż wprawdzie zasada 2.4.0.10, jak wspomagaliśmy wyżej, jest uznana przez ogół logików, jednak zasada 2.4.010, a co za tym idzie i zasada dwuwartościowości jest uznana jedynie przez większość logików przy istnieniu opozycji sięgającej wstecz aż po Arystotelesa.

Dwuwartościowy rachunek zdań jest zbudowany na zasadzie dwuwartościowości, czyli - na zasadzie co najmniej i co najwyżej dwuwartościowości. Ponieważ zaś, jak już wspominaliśmy, zasada co najwyżej dwuwartościowości ma swoich przeciwników, wysunięto postulat zbudowania innego rachunku zdań niż dwuwartościowy. Zadanie to postawił sobie i samodzielnie rozwiązał polski logik Jan. Łukasiewicz około roku 1920²⁷. U podstaw stworzonego wówczas przez Łukasiewicza trójwartościowego rachunku zdań leży zasada trójwartościowości, wedle której każde zdanie jest albo fałszywe, albo prawdziwe, albo jakoś obojętne. W następnych swych pracach Łukasiewicz wykazał możliwość zbudowania 𝑛 - wartościowego rachunku zdań (dla każdej dowolnej liczby naturalnej 𝑛, większej od liczby 1), jak również nieskończenie wielowartościowego rachunku zdań.

Przejdźmy teraz do następnej z interesujących nas spraw – wyjaśnijmy motywy, dla których pewni logicy odstąpili od zasady - co najwyżej dwuwartościowości i wypowiedzieli się przeciwko dwuwartościowemu rachunkowi zdań. Motywy te podamy w porządku chronologicznym. Rozpatrzmy wobec tego kolejno:

1) Zagadnienie niektórych zdań odnoszących się do przyszłości;

2) Zagadnienie wyrażeń modalnych;

3) Zagadnienie wzajemnie niszczących badań.

27 Podobny wynik osiągnął niemal równocześnie logik amerykański E. Post; jednakże Post (w przeciwieństwie do Łukasiewicza) potraktował całe zagadnie w sposób formalistyczny, oderwany od rzeczywistości.

2.4.0.31. Wyjaśnienie. Niektórzy filozofowie i niektórzy logicy twierdzili, że istnieją takie zdania odnoszące się do przyszłości, które nie są ani prawdziwe, ani fałszywe. Inicjatorem tego stanowiska był zresztą Arystoteles. Ażeby obalić ten pogląd wystarczy jednak chyba zauważyć, że co innego wartość logiczna zdania, a co innego znajomość tej wartości. Zdanie odnoszące się do przyszłości, na przykład zdanie „za rok będę w Warszawie”, ma swoją wartość logiczną i to tylko jedną z dwu, mianowicie 𝑃𝑟𝑎𝑤𝑑𝑦 i 𝐹𝑎ł𝑠𝑧𝑢. Dziś wprawdzie nie wiem jeszcze, jaką wartość ma to zdanie, niemniej jednak jest ono fałszywe albo prawdziwe. Przy najlepszej woli trudno więc przyznać, aby istnienie zdań (czy odpowiadających im sądów), odnoszących się do przyszłości i takich zarazem, że aktualnie nie sposób odpowiedzieć na pytanie, czy dane zdanie jest fałszywe, czy prawdziwe - druzgotało zasadę dwuwartościowości!

2.4.0.32. Wyjaśnienie. Istnieją (np. w graficznym języku polskim) funktory zdaniotwórcze od jednego argumentu zdaniowego, zwane „wyrażeniami modalnymi”. Są to funktory następujące:

(1) możliwe jest, że;

(2) niemożliwe jest, że;

(3) konieczne jest, że;

(4) niekonieczne jest, że.

Nie trudno, oczywiście, zbudować w języku polskim odpowiadające tym funktorom funkcje zdaniowe:

1) możliwe jest, że 𝑝;

2) niemożliwe jest, ze 𝑝;

3) konieczne jest, że 𝑝;

4) niekonieczne jest, że 𝑝.

Powyższe cztery funkcje zdaniowe również nazywa się „wyrażeniami modalnymi”. Łukasiewicz starał się scharakteryzować wyrażenia modalne za pomocą tabliczek analogicznych do tabliczek zero-jedynkowej dla negacji, w sposób zgodny z potocznym rozumieniem wyrażeń modalny i z tymi tezami zawierającymi wyrażenia modalne, które pozostawili nam w spadku logicy starożytni i średniowieczni od Arystotelesa począwszy.

Wyniki badań Łukasiewicza wykazały, że na gruncie dwuwartościowego rachunku zdań tabliczek takich zbudować nie można, można, natomiast przyjmując istnienie trzech wartości logicznych zamiast dwu, tabliczki takie zbudować bez trudu. Wybierzmy sobie jakieś zdanie fałszywe i nazwijmy je „𝐹𝑎ł𝑠𝑧𝑒𝑚”, jakieś zdanie obojętne czy też „nijakie” (zakładając na chwilę, że choć jedno takie istnieje) i nazwijmy je „𝑁𝑒𝑢𝑡𝑟𝑢𝑚”, wreszcie wybieramy sobie jakieś zdanie prawdziwe i nazwijmy je „𝑃𝑟𝑎𝑤𝑑ą” (oczywiście wszystkie trzy zdania mają być wybrane z tego samego języka, na przykład z polskiego języka graficznego). Po dokonaniu tego wyboru możemy scharakteryzować wyrażenia modalne za pomocą następujących tabel:

Tabela 2.4.0.20

prawda i tu można mieć pewne zastrzeżenia. Tadeusz Kotarbiński wykazał, że można zdefiniować wszystkie wyrażenia modalne nadając im rozumienie zgodne z tradycyjnym i nie odstępując od zasady dwuwartościowości, można to uczynić jednak nie w logice zdań, ale dopiero w obrębie logiki nazw. I tym razem trudno - więc orzec, że uzasadniono potrzebę odrzucenia zasady dwuwartościowości.

2.4.0.33. Wyjaśnienie. Omówmy wreszcie sprawę badań wzajemnie niszczących, pozornie nader odległą od naszej problematyki a zaczerpniętą z dziedziny praktyki codziennej, mianowicie obrotu towarowego. Gdy kupujący odbiera towar od sprzedawcy (np. gdy przedsiębiorstwo budowlane odbiera partię cegieł od przedsiębiorstwa wytwarzającego cegłę), wówczas sprawdza, czy towar spełnia przepisowe warunki, krótko mówiąc - czy jest „dobry”.

Ażeby sprawdzić, czy partia towaru spełnia żądane warunki, kupujący posługuje się metodą próbkowania, to znaczy:

1) wylosowuje z partii pewną stosunkowo nieliczną zbiorowość sztuk, 2) poddaje każdą sztukę należącą do próbki badaniu (próbie).

Taki sposób postępowania uzasadnia się następująco: Badanie całej partii jest zbyt kosztowne (ewentualnie zbyt długotrwałe). Badanie próbki racjonalnie wylosowanej zapewnia praktyczną pewność oceny całej partii.

Dokonanie próby badania - niszczy nieraz badaną sztukę. W dalszym ciągu naszych rozważań, chcąc osiągnąć zwięzłość i jasność, ograniczymy się do sprawy próbkowej oceny partii cegieł oraz zainteresujemy się nieco bliżej tylko, dwojakim badaniem niszczącym, mianowicie:

1) badaniem na zgniecenie,

2) badaniem na wielokrotne zamrażanie.

W wyniku badania na zgniecenie badana sztuka cegły jest zawsze rozkruszona, a więc nie nadaje się - do badania na wielokrotne zamrażanie, którego trzeba dokonać na sztuce nieuszkodzonej.

W wyniku badania na wielokrotne zamrażanie - zamarzająca woda zawszę uszkadza wewnętrzną strukturę badanej sztuki, a zatem sztuka cegły, która zastała zbadana na wielokrotne zamrażanie, nie nadaje się już do badania jej na zgniecenie.

Wyobraźmy sobie teraz, że mamy do czynienia z pewną niewielką zbiorowością (np. próbką) cegieł do zbadania. Z tej zbiorowości wyodrębnimy dwie sztuki, każdej z nich nadając nazwę jednostkową; nazwy te będą brzmiały następująco:

𝑠𝑧𝑡𝑢𝑘𝑎 𝑁𝑟 1, 𝑠𝑧𝑡𝑢𝑘𝑎 𝑁𝑟 2.

Poddajemy teraz:

1) 𝑠𝑧𝑡𝑢𝑘ę 𝑁𝑟 1 badaniu na zgniecenie,

2) 𝑠𝑧𝑡𝑢𝑘ę 𝑁𝑟 2 badaniu na wielokrotne zamrażanie.

Załóżmy dalej, że oba te badania przeprowadzono. Jest to może interesujące, że w naszych rozważaniach nie ma żadnego znaczenia, jaki był wynik któregokolwiek z obu badań: negatywny czy pozytywny. Istotne natomiast jest dla nas, że wyżej wspomniane badania zostały przeprowadzone. W konsekwencji tego założenia musimy przyjąć, że:

1) 𝑠𝑧𝑡𝑢𝑘𝑎 𝑁𝑟 1 nie nadaje się już do badania na wielokrotne zamrażanie;

2) 𝑠𝑧𝑡𝑢𝑘𝑎 𝑁𝑟 2 nie nadaje się już do badania na zgniecenie.

A oto dalsze konstatacje:

1) Nie istnieje żaden sposób stwierdzenia, czy 𝑠𝑧𝑡𝑢𝑘𝑎 𝑁𝑟 1 przed poddaniem jej badaniu na zgniecenie miała przepisową odporność na wielokrotne zamrażanie.

2) Nie istnieje żaden sposób stwierdzenia, czy 𝑠𝑧𝑡𝑢𝑘𝑎 𝑁𝑟 2 przed podaniem jej badaniu na wielokrotne zamrażanie miała przepisową odporność na zgniecenie.

Weźmy teraz pod uwagę dwa zdania następujące:

(1) 𝑆𝑧𝑡𝑢𝑘𝑎 𝑁𝑟 1 miała (przed poddaniem jej badaniu) przepisową odporność na wielokrotne zamrażanie.

(2) 𝑆𝑧𝑡𝑢𝑘𝑎 𝑁𝑟 2 miała (przed poddaniem jej badaniu) przepisową odporność na zgniecenie.

Postawmy sobie teraz dwa pytania:

Jaka jest wartość logiczna zdania (1)? Innymi słowy, czy (1) jest fałszywe, czy prawdziwe?

Jaka jest wartość logiczna zdania (2)? Innymi słowy, czy (2) jest fałszywe, czy prawdziwe?

Można by usłyszeć odpowiedź następującą: „Oprócz zdań fałszywych i prawdziwych istnieją jeszcze inne zdania, powiedzmy - obojętne czy też neutralne. Zdanie (1) oraz zdanie (2) to właśnie zdania neutralne. A więc oprócz dwu wartości logicznych, 𝐹𝑎ł𝑠𝑧𝑢 i 𝑃𝑟𝑎𝑤𝑑𝑦, istnieje jeszcze trzecia wartość logiczna, nazwijmy ją <<𝑁𝑒𝑢𝑡𝑟𝑢𝑚>>. Zasada dwuwartościowości jest pochodzenia w gruncie rzeczy doświadczalnego. Sformułowano ją i przyjęto w czasach, gdy nie znano pojęcia pary badań wzajemnie niszczących i przyjmowano ją nadal w czasach, gdy pojęcie to wprawdzie już znano, ale nie zwrócono uwagi na związane z tym pojęciem trudności natury logicznej. Obecnie należy odrzucić zasadę dwuwartościowości”.

Czy zasada dwuwartościowości została już na tej podstawie definitywnie odrzucona? Raczej nie, ale wstrzymajmy się jeszcze z wyrokiem i udzielimy głosu zwolennikowi dwuwartościowości:

„Nie wiemy, jaka jest wartość logiczna zdania (1), nie znamy i nie wyobrażamy sobie żadnej metody, w szczególności metody doświadczalnej, za której pomocą można by dowiedzieć się, jaka jest wartość logiczna zdania (1). Mimo to twierdzę, że albo zdanie (1) jest fałszywe, albo zdanie (1) jest prawdziwe, gdyż zasada dwuwartościowości jest powszechnie obowiązująca. To samo dotyczy zdania (2). Ponadto niemożność sprawdzenia danego zdania nie świadczy o jego wartości logicznej!”²⁸.

Czy sprawa sądowa, że tak żartobliwie powiemy, przeciwko zasadzie dwuwartościowości została przeprowadzona w sposób wyczerpujący? Stanowczo nie! Świadomie opuściliśmy (a to z braku należytej kompetencji) zreferowanie tych zarzutów przeciwko zasadzie dwu-wartościowości, które dotąd bez większego zresztą powodzenia) formułowano w oparciu o wyniki mikrofizyki.

Po tej dyskusji zajmijmy wreszcie jakieś własne stanowisko. Dałoby ono wyrazić mniej więcej w ten sposób: Istnieje dwuwartościowy rachunek zdań. Wieloletnie doświadczenie wykazuje, że rachunek ten jest wysoce przydatny, że jest dobrym narzędziem uściślania dowodów, jak również redagowania i upraszczania wielu tez. Nic nas nie zmusza do odrzucenia dwuwartościowego rachunku zdań; nauka stoi dziś, praktycznie sprawę ujmując, na gruncie dwuwartościowego rachunku zdań.

28Hugon Steinhaus zakomunikował, że zagadnienie prób wzajemnie niszczących ma, jego zdaniem, doniosłość aż filozoficzną. Ta uwaga Steinhausa skłoniła nas do zainteresowania się sprawą od strony logicznej. Wskazanie konkretnej pary prób wzajemnie niszczących (badanie cegły na zgniecenie i badanie na wielokrotne zamrażanie) zawdzięczamy Janowi Oderfeldowi oraz Klemensowi Wiśniewskiemu z Instytutu Matematycznego PAN.

No, dobrze, odpowie czytelnik, ale jeżeli tak sprawa się przedstawia, to po co - było w elementarnym wykładzie logiki dyskutować zasadę dwuwartościowości i jeszcze zapowiadać wykład rachunku trójwartościowego? Nasza odpowiedź będzie krótka i chyba jasna. Nie jest naszą intencją nawracać kogokolwiek na trójwartościową czy wielowartościową „wiarę”.

Natomiast było i jest naszą intencją „od-dogmatyzowanie” czytelnika, pod ważenie w nim przekonania, że logika to kodeks prawd a priori! Gdy jakaś teoria przez nader długi okres czasu okazuje się przydatnym narzędziem badania rzeczywistości materialnej, gdy przez długie lata teoria ta nie ulega ani razu zbawczym wstrząsom, wówczas przekonanie o prawdziwości każdej z jej tez zaczyna nabierać cech wiary w nienaruszalność, w poza doświadczalne - lub jeszcze gorzej – ponad doświadczalne pochodzenie tej teorii. Tak właśnie przedstawia się sprawa z logiką. I dlatego dobrze jest upowszechniać znajomość trójwartościowego rachunku zdań, chociaż sam przez się jest on narzędziem raczej mało dotychczas przydatnym!

Piśmiennictwo: Greniewski H. G.2.1. , Kotarbiński T. K.5.1., K.5.2., Łoś J. Ł.2.1., Łukasiewicz J. Ł.3.2., Ł.3.4., Ł.3.5., Ł.4.1., Mostowski A. M.5.1., Słupecki J. S.8.2., S.8.3.

2.4.1.ZDANIOWE LOGIKI TRÓJWARTOŚCIOWE

W pracy umieszczonej w Internecie zatytułowanej „Logika dla informatyków” - Jerzy Tiuryn, Jerzy Tyszkiewicz i Paweł Urzyczyn w poniższy sposób scharakteryzowali trójwartościowe logiki zdaniowe²⁹:

„Pierwsze logiki trójwartościowe skonstruowali niezależnie od siebie polski logik Jan Łukasiewicz i amerykański (ale urodzony w Augustowie) logik i matematyk Emil Post.

Motywacje Posta były raczej kombinatoryczne, natomiast Łukasiewicz swoja konstrukcję poparł głębokim wywodem filozoficznym. Argumentował miedzy innymi, że zdania o przyszłości typu „jutro pójdę do kina” nie są dzisiaj jeszcze ani prawdziwe ani fałszywe bo przypisanie im którejś z tychwartości zaprzeczałoby istnieniu wolnej woli. Aby logika mogła jakoś zdać sprawę ze statusu, zdań o przyszłości, musi im przypisać inną trzecią wartość logiczną.

Zanim przejdziemy do części trochę bardziej formalnej, rozważmy jeszcze dwa przykłady,

wzięte z żywej informatyki, gdzie także naturalnie pojawia się trzecia wartość logiczna.