Wyrażenia pierwotne (stałe zdaniowe). Każde z trzech następujących wyrażeń jest zdaniem należącym do języka budowanego:

0, ½, 1³¹

2.4.2.01. Wyrażenia pierwotne (zmienne zdaniowe) ³². Każda zmienna zdaniowa:

𝑝, 𝑞, 𝑟, ...

należy do języka budowanego.

2.4.2.02. Wyrażenia pierwotne (funkcje zdaniowe). Każde z wyrażeń poniższych jest funkcją zdaniową zmiennej zdaniowej lub zmiennych zdaniowych, należącą do języka budowanego:

(¬𝑝), 𝑝^-, 𝑝*, 𝑝^x, 𝑝⁺,

(𝑝 ∨ 𝑞), (𝑝 → 𝑞), (𝑝 ↔ 𝑞), (𝑝 ∧ 𝑞).

Lista wyrażeń pierwotnych zostaje zamknięta. Przejdziemy teraz do dyrektyw budowania języka.

31 Jak pokażemy dalej (rozdział 2.3), używany jest również zestaw trzech innych symboli, na oznaczenie stałych zdaniowych trójwartościowego rachunku zdań. Są to np. zbiór symboli: {F, -, T}.

32 Dla uproszczenia będziemy pisali „stała zdaniowa'', „zdanie", „funkcja zdaniowa'', zamiast pisać ściśle, lecz rozwlekle „jakoby-stała zdaniowa'', „jakoby-zdanie'', „jakoby-funkcja zdaniowa".

Tablica 2.4.2.20

Wyrażenie interpretowane Nazwa wyrażenia interpretowanego Wyrażenie interpretujące

I. II. III.

2.4.2.10. Dyrektywy językowe dwuwartościowego rachunku zdań (tj. dyrektywy: 2.4.2.10, 2.4.2.11, 2.4.2.12, 2.4.2.13 oraz 2.4.2.14), obowiązują bez wyjątku dla języka budowanego.

Przyjmujemy wprawdzie te same dyrektywy budowy języka, co dla dwuwartościowego rachunku zdań, ale w wyniku stosowania tych dyrektyw otrzymamy inny język sformalizowany niż język dwuwartościowego rachunku zdań. Nie ma zresztą w tej okoliczności nic tajemniczego;

stosując ten sam zespół dyrektyw do innego zespołu wyrażeń pierwotnych budujemy inny niż poprzednio język sformalizowany.

Zajmiemy się teraz interpretacją merytoryczną naszego systemu (będzie to zresztą nieco

„kulawa" interpretacja, gdyż nie sposób dziś dać, jak wiemy, dobrego przykładu na zdanie ani prawdzie, ani fałszywe. Interpretację tę podajemy w tablicy 2.4.2.20.

Piśmiennictwo: Greniewski H. G.2.1. , Łukasiewicz J., Ł.3.4., Słupecki J. S.8.2., S.8.3.

2.4.3.PODSTAWY TEORII SFORMALIZOWANEJ WG ŁUKASIEWICZA

Budowana przez nas teoria sformalizowana nie zawiera ani jednej tezy pierwotnej. Podamy tu dwie dyrektywy budowania twierdzeń, poprzedzając je wyjaśnieniami i tabliczkami pomocniczymi.

2.4.3.00. Wyjaśnienie. Przez „zdanie molekularne" rozumiemy każde takie i tylko takie wyrażenie, które powstaje przez podstawienie

- do funkcji zdaniowej, dowolnej byle wymienionej ,w tablicy 2.6.3.20 - za wszystkie zmienne zdaniowe

- jednej, dwu czy też trzech stałych zdaniowych.

Przykłady. Zdania molekularne: ¬0, ¬½, 0^-, ½^-

,

1^-, 0*, ½*, 1*, 0⁺, ½⁺, (0 ∨ 0), (0 ∨ ½), (0 ∨ 1) 2.4.3.01 Wyjaśnienie. Przez „tabliczkę zero – połówkowo - jedynkową” rozumiemy każdą z niżej podanych tabliczek (od 2.4.3.10 do 2.4.3.18 - włącznie). Żadnych innych tabliczek tak nie nazywamy.

Tabliczka 2.4.3.10 Tabliczka 2.4.3.11 Tabliczka 2.4.3.12 Tabliczka 2.4.3.13 Tabliczka 2.6.4.14 (Negacja zdaniowa) (Możliwość) (Czysta możliwość) (Niemożliwość) (Konieczność)

p ¬p p p* p P^x p p^- p p⁺

Tabliczka 2.4.3.15 Tabliczka 2.4.3.16 Tabliczka 2.4.3.17 Tabliczka 2.4.3.18

(Alternatywa) (Implikacja) (Równoważność) (Koniunkcja)

p q (p∨q) p q (p → q) p q (p ↔ q) p q (p∧q)

2.4.3.20. Wyjaśnienie. Przez „wartość zdania molekularnego" rozumiemy 𝐹𝑎ł𝑠𝑧 (0), 𝑁𝑒𝑢𝑡𝑟𝑢𝑚 (½) lub 𝑃𝑟𝑎𝑤𝑑ę (1) w zależności od tego, która z tych stałych jest wyznaczona przez odpowiednią tabliczkę zero - połówkowo - jedynkową i odpowiedni wiersz tej tabliczki.

Przykłady. Wartością zdania molekularnego „0^-” jest „1” (tabliczka 2.4.3.13, wiersz pierwszy od góry). Wartością zdania molekularnego „ ½⁺” jest „0” (tabliczka 2.4.3.14, wiersz drugi od góry).

Wartością zdania molekularnego „(½ ↔ 1)” jest „½” (tabliczka 2.4.3.17, wiersz szósty od góry).

2.4.3.21 Wyjaśnienie. Przez „uproszczenie jednorazowe” wyrażenia należącego do języka budowanego systemu rozumiemy postępowanie niżej opisane:

1) bierzemy pod uwagę wyrażenie należące do języka budowanego systemu;

2) znajdujemy wszystkie zdania molekularne zawarte w wyrażeniu podanym w punkcie 1);

3) każde z tych zdań molekularnych zastępujemy w wyrażeniu wymienionym w punkcie 1) wartością odnośnego zdania.

Przykład. Upraszczamy jednorazowo wyrażenie następujące:

{[(0 → ½) ↔ (½ ∨ 1)] ↔ (½ ∧ ½)}.

[(1 ↔ 1) ↔ (½ ∧ 1)].

2.4.3.22. Wyjaśnienie. Przez „uproszczenie ostateczne" wyrażenia należącego do języka budowanego systemu rozumiemy postępowanie niżej opisane:

1) bierzemy pod uwagę wyrażenie należące do języka budowanego systemu;

2) stosujemy do tego wyrażenia czynność uproszczenia jednorazowego tyle razy, ile to jest możliwe.

1) Bierzemy pod uwagę funkcję zdaniową należącą do języka budowanego systemu;

2) dokonujemy kolejno wszystkich możliwych podstawień mających postać:

• do funkcji zdaniowej wymienionej w punkcie 1)

• za wszystkie zmienne zdaniowe

• podstawiamy stałą zdaniową ,czy też stałe zdaniowe;

3) wynik każdego z podstawień opisanych w punkcie 2) upraszczamy ostatecznie;

4) uznajemy wyrażenie wymienione w punkcie 1) za twierdzenie budowanej teorii, gdy każde z ostatecznych uproszczeń, o których mowa w punkcie 3), jest równokształtne z „0” lub z „½”, wyrażenie wymienione w punkcie 1) nie jest twierdzeniem budowanej teorii.

2.4.3.3.1. Dyrektywa.

1) Bierzemy pod uwagę funkcję zdaniową należącą do języka budowanego systemu;

2) w wyrażeniu wymienionym w punkcie 1) zastępujemy każde definiendum definiensem;

3) gdy wyrażenie otrzymane wedle punktu 2) jest twierdzeniem budowanej teorii, wówczas wyrażenie wymienione w punkcie 1) jest twierdzeniem budowanej teorii.

Piśmiennictwo: Greniewski H. G.2.1.

2.4.4.PRZYCZYNEK DO META TEORII TRÓJWARTOŚCIOWEGO RACHUNKU ZDAŃ

O ile w dwuwartościowym rachunku zdań mieliśmy łącznie cztery różne funkcje jednej zmiennej (patrz podrozdział 2.2.3), to liczba funkcji jednej zmiennej zdaniowej w przypadku rachunku trójwartościowego jest znacznie większa. Dla rozwiązania tego zagadnienia (z resztą łatwego) zbudowaliśmy pewną tablice, które żartobliwie nazywamy „tablicą Mendelejewa". Na początku ograniczymy się do funkcji jednej zmiennej. Pytamy, ile można zbudować (za pomocą metody zero - połówkowo - jedynkowej) nie równoważnych między sobą funkcji zdaniowych jednej zmiennej zdaniowej. Aby na to pytanie dać odpowiedź, budujemy specjalną tablicę 2.4.3.00. Jak wynika z tej tablicy, liczba funkcji zdaniowych jednej zmiennej zdaniowej dających się określić metodą zero - połówkowo - jedynkową wynosi tym razem aż dwadzieścia siedem.

Nasza nowa „tablica Mendelejewa” ujawnia tym razem dwadzieścia dwa wolne miejsca przy pięciu już obsadzonych przez wprowadzone uprzednio funkcje.

Tablica 2.4.4.00

Cztery z tych funkcji są dla nas interesujące, i nimi się będziemy dalej interesować.

Piśmiennictwo: Greniewski H. G.2.1. , Łukasiewicz J. Ł.3.4.

2.4.5.TAUTOLOGIE JEDNEJ ZMIENNEJ TRÓJWARTOŚCIOWEGO RACHUNKU ZDAŃ

Podobnie jak wówczas, gdy mieliśmy do czynienia z dwuwartościowym rachunkiem zdań, rozpoczniemy od twierdzeń zawierających jedną zmienną.

2.4.5.01. Bezwzględna zwrotność implikacji (w terminologii klasycznej „zasada tożsamości”):

⊢ (𝑝 → 𝑝).

2.4.5.02 Bezwzględna zwrotność równoważności:

⊢ (𝑝 → 𝑝).

Stwierdziliśmy wyżej, że zasada tożsamości jest twierdzeniem nie tylko dwuwartościowego, ale i trójwartościowego rachunku zdań. To samo dotyczy bezwzględnej zwrotności równoważności.

Przekonamy się teraz, że istnieją jednak takie (i to bardzo proste) twierdzenia dwuwartościowego rachunku zdań, które nie są twierdzeniami trójwartościowego rachunku zdań. 'Mamy tu na myśli funkcje zdaniowe (1) i (2) (zasada włączonego środka i zasada sprzeczności).

2.4.5.11. Iteracja negacji (czyli prawo podwójnej negacji): ⊢ {𝑝 ↔ [¬(¬𝑝)]}.

W dokumencie Informatyka a logika formalna– wraz z podstawami walidacji programów komputerowych (Stron 147-151)