Co wynika ze współczesnej logiki formalnej?
3.3. R ODZAJE WYRAŻEŃ WYSTĘPUJĄCYCH W JĘZYKACH SZTUCZNYCH I MIESZANYCH
3.3.3.21. Reguła podstawiania. Podstawiając
- do funkcji zdaniowej 𝑘 zmiennych zdaniowych, należącej do 𝐽𝑃𝑀 - za niektóre przynajmniej zmienne zdaniowe
- zmienne zdaniowe
otrzymamy, jako wynik funkcję zdaniową nie więcej niż 𝑘 zmiennych zdaniowych, należącą do 𝐽𝑃𝑀.
3.3.3.22. Reguła podstawiania. Podstawiając
- do funkcji zdaniowej 𝑘 zmiennych zdaniowych, należących do 𝐽𝑃𝑀 - za zmienną zdaniową
- funkcję zdaniową 𝑚 zmiennych zdaniowych, należącą do 𝐽𝑃𝑀
otrzymamy, jako wynik funkcję zdaniową nie więcej niż (𝑘 − 1 + 𝑚) zmiennych zdaniowych, należącą do JPM.
Przejdziemy teraz do pojęcia funkcji zdaniowej zmiennych nazwowych.
3.3.3.30. Wyjaśnienie. „Funkcja zdaniowa jednej zmiennej jednostkowo-nazwowej”, to taka i tylko taka funkcja, która zawiera jedną wolną zmienną jednostkowo nazwową i staje się zdaniem, gdy za tę zmienną jednostkowo nazwową podstawimy nazwę jednostkową lub pustą. Dołączając do funktora zdaniotwórczego od jednego argumentu jednostkowo nazwowego zmienną jednostkowo nazwową, otrzymamy funkcję zdaniową jednej zmiennej jednostkowo nazwowej.
40 Odtąd, jeżeli w regule czy dyrektywie będziemy mówili o zmiennych, będziemy zawsze mieli na myśli zmienne wolne, chyba że wyrażenie napiszemy, że w danym wypadku wchodzą w grę zmienne związane.
Przykład. Funkcją zdaniową jednej zmiennej jednostkowo nazwowej wyrażenia „x jest człowiekiem”.
Istnieją tez inne sposoby budowania funkcji zdaniowej jednej zmiennej jednostkowo nazwowej.
Dołączmy do funktora zdaniotwórczego od dwóch argumentów jednostkowo nazwowych „jest równe” dwie równokształtne zmienne jednostkowo nazwowe, otrzymamy w wyniku funkcję zdaniową jednej zmiennej jednostkowo nazwowej.
Przykład. Funkcją zdaniową jednej zmiennej jednostkowo nazwowej jest wyrażenie: „x jest równe x”.
3.3.3.31. Wyjaśnienie. „Funkcja zdaniowa dwu zmiennych jednostkowo nazwowych”, to taka i tylko taka funkcja, która zawiera dwie zmienne jednostkowo nazwowe i staje się zdaniem, gdy za obie tę zmienne podstawimy nazwy jednostkowe lub puste. Dołączając do funktora zdaniotwórczego od dwóch argumentów jednostkowo nazwowych dwie (nie równokształtne) zmienne jednostkowo nazwowe, otrzymamy w wyniku funkcję zdaniową dwóch zmiennych jednostkowo nazwowych. Innych sposobów budowania funkcji zdaniowych dwóch zmiennych jednostkowo nazwowych nie będziemy tu omawiać.
Przykład. Funkcją zdaniową dwóch zmiennych jednostkowo nazwowych jest wyrażenie „𝑥 jest młodszym bratem (dla) 𝑦”.
Uogólnimy teraz wyjaśnienia 3.3.3.30 oraz 3.3.3.31.
3.3.3.32. Wyjaśnienie. „Funkcja zdaniowa 𝑛 zmiennych jednostkowo nazwowych”, to taka i tylko taka funkcja, która zawiera 𝑛 wolnych zmiennych jednostkowo nazwowych i staje się zdaniem, gdy za wszystkie te zmienne podstawimy nazwy jednostkowe lub puste.
Przykłady. Funkcją zdaniową trzech zmiennych jednostkowo nazwowych jest wyrażenie: „𝑥 oraz 𝑦 są rodzicami osoby 𝑧”. Funkcją zdaniową pięciu zmiennych jednostkowo nazwowych jest wyrażenie: „𝑥, 𝑦, 𝑧 są dziećmi rodziców 𝑎, 𝑏”.
3.3.3.33. Wyjaśnienie. „Funkcja zdaniowa 𝑛 zmiennych ogólno nazwowych”, to taka i tylko taka funkcja, która zawiera 𝑛 wolnych zmiennych ogólnonazwowych i staje się zdaniem, gdy za wszystkie te zmienne podstawimy dowolne nazwy.
Przykłady. Funkcje zdaniowe dwu zmiennych ogólno-nazwowych:
(1) każde 𝑥 jest 𝑦,
(2) przynajmniej pewne 𝑥 są 𝑦, (3) tylko pewne 𝑥 są 𝑦,
(4) żadne 𝑥 nie jest 𝑦,
(5) przynajmniej pewne 𝑥 nie są 𝑦, (6) tylko pewne 𝑥 nie są 𝑦.
W oparciu o wyjaśnienia 3.3.3.30, 3.3.3.31, 3.3.3.32 oraz 3.3.3.33 - łatwymi do wykonania próbami (doświadczeniami językowymi), można zbudować wiele reguł opisujących budowanie funkcji zdaniowych zmiennych jednostkowo - czy ogólno-nazwowych.
3.3.3.40. Reguła dołączania. Dołączając
- do funktora zdaniotwórczego od 𝑘 argumentów jednostkowo nazwowych, należącego do 𝐽𝑃𝑀 - 𝑘 zmiennych jednostkowo nazwowych, między sobą równo kształtnych,
otrzymamy jako wynik funkcję zdaniową jednej zmiennej jednostkowo nazwowej.
Przykład. Dołączamy
- do funktora zdaniotwórczego od dwu argumentów jednostkowo nazwowych: „jest
rówieśnikiem”,
- dwie zmienne jednostkowo nazwowe: 𝑥, 𝑥 równokształtne,
otrzymamy jako wynik następującą funkcję zdaniową jednej zmiennej jednostkowo nazwowej:
„𝑥 jest rówieśnikiem 𝑥”.
3.3.3.41. Reguła dołączania. Dołączając
- do funktora zdaniotwórczego od 𝑘 argumentów, jednostkowych, należącego do 𝐽𝑃𝑀,
- 𝑘 zmiennych jednostkowo nazwowych, wśród których mamy 𝑚 zmiennych takich, że żadne dwie spośród nich nie są wzajemnie równokształtne, otrzymamy jako wynik funkcję zdaniową co najmniej 𝑚zmiennych jednostkowo nazwowych.
Przykład. Dołączamy
- do funktora zdaniotwórczego od trzech argumentów jednostkowo nazwowych: „ojcem osoby ...
oraz osoby ... jest osoba”, trzy zmienne jednostkowo nazwowe: 𝑥, 𝑥, 𝑦, z których dwie nie są równokształtne, otrzymamy jako wynik funkcję zdaniową dwu zmiennych jednostkowo nazwowych: „ojcem osoby 𝑥 oraz osoby 𝑥 jest osoba 𝑦”.
3.3.3.50. Reguła podstawiania. Podstawiając
- do funkcji zdaniowej 𝑘 zmiennych jednostkowo nazwowych, należącej do 𝐽𝑃𝑀 - za niektóre przynajmniej zmienne jednostkowo nazwowe
- zmienne jednostkowo-nazwowe,
otrzymamy jako wynik funkcję zdaniową najwyżej 𝑘 zmiennych jednostkowo-nazwowych, należącą do 𝐽𝑃𝑀.
Przykład. Bierzemy pod uwagę następującą funkcję zdaniową trzech zmiennych jednostkowo- nazwowych:
(1) „𝑥 jest krewnym osoby 𝑦 oraz osoby 𝑧”.
Podstawiamy teraz
- do funkcji zdaniowej (1), należącej do 𝐽𝑃𝑀 - za zmienne jednostkowo nazwowe: 𝑥, 𝑦, 𝑧 - zmienne jednostkowo nazwowe : 𝑎, 𝑏, 𝑐,
otrzymujemy jako wynik następującą funkcję zdaniową trzech zmiennych jednostkowo nazwowych, należącą do 𝐽𝑃𝑀:
(2) „𝑎 jest krewnym osoby 𝑏 oraz osoby 𝑐”.
Podstawmy teraz
- do funkcji zdaniowej (1), należącej do 𝐽𝑃𝑀 - za zmienne jednostkowo nazwowe: 𝑥, 𝑦, 𝑧
- zmienne jednostkowo nazwowe: 𝑎, 𝑏, 𝑏,otrzymujemy jako wynik następującą funkcje zdaniową dwu zmiennych jednostkowo nazwowych, należącą do JPM:
(3) „𝑎 jest krewnym osoby 𝑏 oraz osoby 𝑏”.
Jasne jest przy tym, że wyrażenie (3) jest równoznaczne z następującym wyrażeniem, również należącym do JPM:
(4) „𝑎 jest krewnym osoby 𝑏”.
3.3.3.51. Reguła podstawiania. Podstawiając
- do funkcji zdaniowej 𝑘 zmiennych zdaniowych, należącej do 𝐽𝑃𝑀 - za każdą zmienną zdaniową
- funkcję zdaniową 𝑚 zmiennych jednostkowo nazwowych,
otrzymujemy jako wynik funkcję zdaniową o co najwyżej (𝑘 × 𝑚) zmiennych jednostkowo nazwowych, należącą do 𝐽𝑃𝑀.
Przykład. Bierzemy pod uwagę następującą funkcję zdaniową dwu zmiennych zdaniowych, należącą do 𝐽𝑃𝑀:
(1) „ Jeżeli 𝑝 to 𝑞”.
Podstawmy teraz
- do funkcji zdaniowej (1) - za zmienne zdaniowe: 𝑝, 𝑞
odpowiednio - funkcje zdaniowe (każda jednej zmiennej jednostkowo nazwowej), należące do 𝐽𝑃𝑀:
𝑥 jest człowiekiem, 𝑦 jest ssakiem,
otrzymujemy jako wynik podstawienia funkcję zdaniową dwu zmiennych jednostkowo nazwowych, należącą do 𝐽𝑃𝑀:
„jeżeli (𝑥 jest człowiekiem), to (𝑦 jest ssakiem)”.
Funkcja powyższa jest funkcją dwu zmiennych. Podstawmy natomiast - do funkcji zdaniowej (1)
- za zmienne zdaniowe: 𝑝, 𝑞
- odpowiednio funkcje zdaniowe (każda jednej zmiennej - jednostkowo nazwowej), należące do 𝐽𝑃𝑀:
𝑥 jest człowiekiem, 𝑦 jest ssakiem,
otrzymujemy jako wynik podstawienia funkcję zdaniową jednej zmiennej jednostkowo nazwowej, należącą do 𝐽𝑃𝑀:
(3) „jeżeli (𝑥 jest człowiekiem), to (𝑥 jest ssakiem)”.
Wyjaśniliśmy już, czym są funkcje zdaniowe zmiennych zdaniowych, funkcje zdaniowe zmiennych jednostkowo nazwowych i wreszcie funkcje zdaniowe zmiennych ogólno nazwowych; nie wyjaśniliśmy natomiast ogólnie rozumienia wyrażenia „funkcja zdaniowa”.
Uzupełnimy teraz tę lukę.
3.3.3.60. Wyjaśnienie. Mówimy, że dana funkcja jest funkcją zdaniową zamiast mówić, że po dozwolonym podstawieniu stałych za wszystkie zmienne wolne zawarte w tej funkcji, funkcja ta staje się zdaniem.
Zajmiemy się jeszcze pewnym innym podziałem funkcji zdaniowych.
3.3.3.70. Wyjaśnienie. Mówimy, ze funkcja zdaniowa jest funkcją pustą, zamiast mówić, że po dozwolonym podstawieniu stałych za wszystkie występujące w tej funkcji zmienne wolne otrzymamy zawsze zdanie fałszywe.
Przykłady. Funkcje puste:
(1) Fałszem jest, że (jeżeli 𝑝, to 𝑝).
(2) Fałszem jest, że [jeżeli (𝑝 oraz 𝑞), to (𝑝 oraz 𝑞)].
(3) 𝑥 nie jest identyczne z 𝑥.
Jak widać, funkcja (1) jest funkcją zdaniową jednej zmiennej zdaniowej, (2) jest funkcją zdaniową dwu zmiennych zdaniowych, (3) jest funkcją zdaniową jednej zmiennej jednostkowo nazwowej, a przy tym każda z tych trzech funkcji jest funkcją pustą.
3.3.3.71. Wyjaśnienie. Mówimy, ze funkcja zdaniowa jest funkcją pustą, zamiast mówić, że dla chociaż jednego dozwolonego podstawienia stałych za wszystkie występujące w tej funkcji zmienne wolne otrzymamy z niej zdanie prawdziwe.
3.3.3.72. Wyjaśnienie. Mówimy, że funkcja zdaniowa jest funkcją powszechnie prawdziwą, zamiast mówić, że po dozwolonym podstawieniu stałych za wszystkie występujące w tej funkcji zmienne wolne otrzymamy zawsze zdanie prawdziwe.
Przykłady. Funkcje zdaniowe, które są zarazem niepuste i nie są powszechnie prawdziwe:
(1) Jeżeli 𝑝, to 𝑞,
(2) 𝑥 jest mniejsze od 𝑦.
Podstawmy do funkcji zdaniowej (1) za zmienną zdaniową „𝑝” zdanie „Sokrates jest człowiekiem”
zaś za zmienną zdaniową „𝑞” zdanie „Sokrates jest śmiertelny”; otrzymamy jako wynik tego podstawienia zdanie (złożone):
(3) Jeżeli (Sokrates jest człowiekiem), to (Sokrates jest śmiertelny).
Zdanie (3) jest prawdziwe, a więc funkcja zdaniowa (1) jest niepusta. Podstawmy teraz do funkcji (1) za zmienną zdaniową „𝑝” zdanie „Sokrates jest człowiekiem”, zaś za zmienną zdaniową
„𝑞” podstawmy zdanie „Sokrates jest niemową”; otrzymamy jako wynik tego nowego podstawienia zdanie (złożone):
(4) Jeżeli (Sokrates jest człowiekiem), to (Sokrates jest niemową).
Zdanie (4) jest fałszywe, a więc funkcja zdaniowa (1) nie jest powszechnie prawdziwa. Zatem funkcja zdaniowa (1) jest niepusta i zarazem nie jest powszechnie prawdziwa. Podstawmy teraz do funkcji (2) za zmienną jednostkowo nazwową „𝑥” nazwę jednostkową „𝑗𝑒𝑑𝑒𝑛”, a za zmienną jednostkowo nazwową „𝑦” - nazwę jednostkową ,,𝑑𝑤𝑎"; otrzymamy jako wynik tego podstawienia zdanie:
(5) 𝐽𝑒𝑑𝑒𝑛 - jest mniejsze od 𝑑𝑤𝑢.
(Sprawę deklinacji pomijamy, jako dla nas nieistotną). Zdanie (5) jest prawdziwe, a więc funkcja zdaniowa (2) jest niepusta. Podstawmy teraz do funkcji (2) za zmienną jednostkowo nazwową
„𝑥” nazwę jednostkową „𝑑𝑤𝑎”, zaś za zmienną jednostkowo nazwową „𝑦” nazwę jednostkową
„𝑗𝑒𝑑𝑒𝑛”, otrzymamy jako wynik tego podstawienia zdanie:
(6) 𝐷𝑤𝑎 - jest mniejsze od 𝑗𝑒𝑑𝑛𝑒𝑔𝑜.
(Sprawę deklinacji znowu pomijamy). Zdanie (6) jest fałszywe, a więc funkcja zdaniowa (2) nie jest powszechnie prawdziwa.
Podamy teraz przykłady funkcji powszechnie prawdziwych:
(1) jeżeli 𝑝, to 𝑝,
(2) jeżeli (𝑥 jest identyczne z 𝑦), to (𝑦 jest identyczne z 𝑥).
Piśmiennictwo: Greniewski H. G.2.1.
3.3.4.FUNKCJE NAZWOWE
3.3.4.00. Wyjaśnienie. „Funkcja jednostkowo nazwowa 𝑘 zmiennych jednostkowo nazwowych”, to taka i tylko taka funkcja, która zawiera 𝑘 wolnych zmiennych jednostkowo nazwowych i staje się nazwą jednostkową lub pustą zawsze, gdy za każdą z tych zmiennych podstawimy nazwę jednostkową lub pustą. Przykłady na funkcje jednostkowo nazwowe zmiennych jednostkowo nazwowych najłatwiej czerpać z języka algebry szkolnej.
Przykłady. Funkcje jednostkowo nazwowe jednej zmiennej jednostkowo nazwowej:
𝑥, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥 + 𝑥, 𝑥x, 2x, log 𝑥, sin 𝑥, cos 𝑥.
Funkcje jednostkowo nazwowe dwu zmiennych jednostkowo nazwowych:
𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦, 𝑥y, 𝑥2+𝑦2, 𝑥2+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2.
Funkcje jednostkowo nazwowe trzech zmiennych jednostkowo nazwowych:
𝑥 + 𝑦 + 𝑧, 𝑥 – 𝑦 + 𝑧, 𝑥 + 𝑦 − 𝑧, 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2.
Również w innych językach sztucznych czy mieszanych, znaleźć można przykłady na funkcje jednostkowo nazwowe zmiennych jednostkowo nazwowych.
Przykład. Funkcja jednostkowo nazwowa trzech zmiennych jednostkowo nazwowych: trójkąt o wierzchołkach 𝑎, 𝑏, 𝑐.
Nie trudno w drodze prostych doświadczeń językowych przekonać się o trafności następujących reguł:
3.3.4.00. Reguła dołączania. Dołączając
- do funktora jednostkowo nazwotwórczego od 𝑘 argumentów jednostkowo nazwowych - 𝑘 zmiennych jednostkowo nazwowych, wśród których mamy m takich, że żadne dwie z nich nie są równokształtne,
otrzymujemy jako wynik funkcję jednostkowo nazwową co najmniej 𝑚 zmiennych jednostkowo nazwowych.
Przykład (zaczerpnięty z języka algebry szkolnej). Dołączając do funktora jednostkowo nazwotwórczego: + … − … + … −; pięć zmiennych jednostkowo nazwowych: 𝑥, 𝑦, 𝑥, 𝑧, 𝑥; z których trzy mają tę własność, że nie są między sobą równokształtne, otrzymujemy jako wynik następującą funkcję jednostkowo nazwową trzech zmiennych jednostkowo-nazwowych, należącą do języka algebry szkolnej:
𝑥 + 𝑦 – 𝑥 + 𝑧 − 𝑥 3.3.4.11. Reguła podstawiania. Podstawiając
- do funkcji jednostkowo nazwowej 𝑘 zmiennych jednostkowo-nazwowych - za jedną ze zmiennych
- funkcję jednostkowo nazwową 𝑚 zmiennych jednostkowo-nazwowych, otrzymujemy, jako wynik funkcję jednostkową najwyżej (𝑘 − 1 + 𝑚) zmiennych jednostkowo-nazwowych.
Przykład (zaczerpnięty z języka algebry szkolnej). Podstawiamy:
- do funkcji jednostkowo nazwowej trzech zmiennych jednostkowo nazwowych:
𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2 - za zmienną: 𝑥
- funkcję jednostkowo nazwową dwu zmiennych jednostkowo nazwowych (𝑎2+ 𝑏2),
otrzymujemy jako wynik funkcję jednostkowo nazwową czterech zmiennych jednostkowo nazwowych: (𝑎2+ 𝑏2)2+ 𝑦2+ 𝑧2
3.3.4.20. Wyjaśnienie. „Funkcja jednostkowo nazwowa 𝑘 zmiennych ogólno nazwowych”, to taka i tylko taka funkcja, która zawiera 𝑘 wolnych zmiennych ogólno nazwowych i staje się nazwą jednostkową lub pustą zawsze, gdy za każdą z tych zmiennych podstawimy nazwę.
Przykład. Funkcją jednostkowo nazwową dwu zmiennych ogólno-nazwowych jest wyrażenie:
najlżejszy spośród 𝑥 oraz 𝑦. Po podstawieniu stałych za zmienne (na przykład): najlżejszy spośród pierwiastków chemicznych i związków chemicznych.
3.3.4.30. Wyjaśnienie. „Funkcja ogólno nazwowa 𝑘 zmiennych jednostkowo nazwowych”, to taka i tylko taka funkcja, która zawiera 𝑘 wolnych zmiennych jednostkowo nazwowych i staje się nazwą zawszę, gdy za każdą z, tych zmiennych podstawimy nazwę jednostkową lub pustą.
Przykłady: Przodek osoby 𝑥. Dziecko obywatela 𝑥 i obywatelki 𝑦.
3.3.4.40. Wyjaśnienie. „Funkcja ogólno-nazwowa 𝑘 zmiennych ogólno nazwowych” to taka i tylko taka funkcja, która zawiera 𝑘 wolnych zmiennych ogólno-nazwowych i staje się nazwą, gdy za każdą z tych zmiennych podstawimy nazwę.
Przykład. Funkcją ogólno-nazwową dwu zmiennych ogólno-nazwowych jest każde z obu następujących wyrażeń należących do 𝐽𝑃𝑀: 𝑎 lub 𝑏, 𝑎 i zarazem 𝑏.
Piśmiennictwo: Greniewski H. G.2.1.
3.3.5.INNE FUNKCJE
Poznaliśmy wiele rodzajów funkcji, przy czym chcemy tu jeszcze podkreślić, że dalecy jesteśmy od wyczerpania tematu. Istnieją jeszcze oprócz funkcji zdaniowych i nazwowych różne rodzaje funkcji funktorowych (funkcje funktorowe zmiennych zdaniowych, funkcje funktorowe zmiennych nazwowych, funkcje funktorowe zmiennych funktorowych itp.). Istnieją też funkcje operatorowe.
Piśmiennictwo: Greniewski H. G.2.1.
3.3.6.POJĘCIE TEZY
3.3.6.00. Wyjaśnienie. Mówimy krótko „teza”, zamiast mówić „zdanie lub funkcja zdaniowa, lecz nie definicja” (wyjaśnienie 3.4.0.00).
Przykłady. Weźmy pod uwagę następujące wyrażenia:
(1) Sokrates jest człowiekiem.
(2) 𝑥 jest człowiekiem.
Wyrażenie (1) jest zdaniem, a więc jest tezą; wyrażenie (2) jest funkcją zdaniową, a więc również jest tezą. W dalszym ciągu zastosujemy konwencję zaczerpniętą z języka XML i będziemy zapisywać tezy w sposób następując: <teza> Sokrates jest człowiekiem </teza>
3.3.6.01. Wyjaśnienie. Mówimy krótko „teza prawdziwa”, zamiast mówić „zdanie prawdziwe lub funkcja zdaniowa powszechnie prawdziwa”.
Istnieje dość rozpowszechnione a błędne mniemanie, że każde twierdzenie matematyczne jest zdaniem. Rzeczywiście, wyrażenie:
2 + 2 = 4 jest zdaniem. Natomiast znany wzór na kwadrat sumy liczb:
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
nie jest zdaniem (a więc nie jest zdaniem prawdziwym), lecz jest funkcją zdaniową, mianowicie funkcją powszechnie prawdziwą, jeżeli tylko przyjąć, że za występujące zmienne wolne można podstawić jedynie jednostkowe nazwy liczb. Można natomiast powiedzieć, że każde twierdzenie matematyczne jest tezą.
Piśmiennictwo: Greniewski H. G.2.1.
3.3.7.OPERATORY
Wiemy już, co to są zmienne i funkcje. Pozostały nam jeszcze do omówienia operatory. W wielu językach sztucznych i mieszanych występują wyrażenia takiego rodzaju, jak:
(1) dla każdego 𝑥,
(2) istnieje chociaż jedno 𝑥 takie, że, (3) istnieje najwyżej jedno 𝑥 takie, że, (4) istnieje dokładnie jedno 𝑥 takie, że, (5) dla żadnego 𝑥,
(6) jedyne 𝑥 takie, że.
Żadne z powyższych wyrażeń nie jest zmienną (choć każde zawiera w sobie jakąś zmienną), żadne z tych wyrażeń nie jest funkcją (gdyż w żadnym z nich, jak łatwo się przekonać, nie występuje ani jedna zmienna wolna). Każde z tych wyrażeń jest operatorem.
Wyjaśnimy teraz ogólnie, co to są operatory.
3.3.7.00. Wyjaśnienie. Mówimy, że dane wyrażenie jest operatorem, zamiast mówić, że spełnione są wszystkie warunki następujące:
1) Wyrażenie dane zawiera, chociaż jedną zmienną związaną i nie zawiera żadnej zmiennej wolnej;
2) Istnieje - chociaż jedna funkcja taka, że dla każdej zmiennej związanej występującej w danym wyrażeniu istnieje - chociaż jedna zmienna zawarta w tej funkcji i równokształtna ze zmienną związaną, występującą w danym wyrażeniu;
3) Dołączając do danego wyrażenia funkcję, o której mowa w warunku 2), otrzymujemy wyrażenie.
3.3.7.01. Wyjaśnienie. Mówimy, ze funkcja jest argumentem operatora, zamiast mówić, ze jest to taka funkcja, która dołączona do tego operatora daje łącznie z nim wyrażenie.
Zajmiemy się teraz wyróżnieniem różnego rodzaju operatorów. Jak widać z wyjaśnienia 3.3.7.00, można rozróżniać rozmaite rodzaje operatorów w zależności od następujących danych:
1) Rodzaju wyrażenia, jakie otrzymamy - jako wynik dołączenia operatora do funkcji (argumentu);
2) Rodzaju i ilości zmiennych związanych występujących w operatorze;
3) Rodzaju funkcji, które można dołączyć do operatora, czyli rodzaju argumentu.
Ad 1). Będziemy odróżniali operatory zdaniotwórcze, nazwotwórcze oraz funktorotwórcze.
Ad 2). Będziemy odróżniali operatory wiążące zmienne zdaniowe, zmienne nazwowe i zmienne funktorowe.
Ad 3). Będziemy odróżniali operatory stosowalne do funkcji zdaniowych, funkcji nazwowych i funkcji funktorowych.
3.3.7.10. Wyjaśnienie. Mówimy, że operator (1) jest zdaniotwórczy, (2) wiąże jedną zmienną zdaniową i (3) jest stosowalny do funkcji zdaniowej zmiennych zdaniowych, zamiast mówić, ze spełnione są wszystkie warunki następujące:
1) Operator dołączony do argumentu będącego funkcją zdaniową jednej zmiennej zdaniowej zawsze daje łącznie zdanie;
2) Operator zawiera dokładnie jedną zmienną zdaniową;
3) Argumentem operatora jest stale funkcja zdaniowa zmiennych zdaniowych.
Przykłady. Operatory zdaniotwórcze wiążące jedną zmienną zdaniową stosowalne do funkcji zdaniowej zmiennych zdaniowych:
(1) przy wszelkim 𝑝, (2) przy pewnym 𝑝.
Przekonamy się przede wszystkim, ze wyrażenie (1) i wyrażenie (2) zawierają zmienne związane. W tym celu przypomnijmy sobie wyjaśnienie 3.3.1.60 i podstawmy do wyrażenia (1) i do wyrażenia (2) za zmienną zdaniową „𝑝” zmienną zdaniową „𝑞”; otrzymujemy jako wynik podstawienia wyrażenia należące nadal do JPM:
(3) przy wszelkim 𝑞, (4) przy pewnym 𝑞.
Podstawmy teraz do wyrażenia (1) i do wyrażenia (2) za zmienną zdaniową „𝑝” zdanie „Sokrates jest człowiekiem”; otrzymamy jako wynik podstawienia napisy nie należące do naszego języka (bezsensy):
(5) przy wszelkim Sokrates jest człowiekiem,