Co wynika ze współczesnej logiki formalnej?
2.1. S YSTEMY ZAKSJOMATYZOWANE I SFORMALIZOWANE
2.1.1.01. Wyjaśnienie. W logice formalnej teorią nazywamy niesprzeczny zbiór zdań
Dokładniej, niech 𝛱 będzie zbiorem zdań zapisanych w pewnym języku Λ. Wtedy 𝛱 jest teorią, jeśli nie istnieje zdanie napisane w języku Λ takie że 𝛱 dowodzi zarówno tego zdania, jak i jego zaprzeczenia. Zbiór zdań 𝛱 dowodzi zdania Φ, jeśli można przeprowadzić formalny dowód
zdania Φ przy użyciu zdań ze zbioru 𝛱 oraz aksjomatów i reguł dowodzenia klasycznego rachunku logicznego.
2.1.1.10. Wyjaśnienie. Teoria zamknięta. Czasami w definicji teorii dodatkowo zakłada się, że jest ona zamknięta ze względu na operację wnioskowania logicznego. Oznacza to, że jeśli teoria 𝛱 dowodzi jakiegoś zdania Φ, to zdanie Φ musi należeć do 𝛱.
2.1.1.20. Twierdzenie o zwartości mówi, że zbiór zdań jest niesprzeczny, jeśli każdy jego skończony fragment jest niesprzeczny. W świetle powyższej definicji niesprzeczności wydaje się to oczywiste, bo jeśli z danego zbioru zdań możemy udowodnić zarówno jakieś zdanie, jak i jego zaprzeczenie, to możemy też przeprowadzić ten sam dowód korzystając tylko za skończenie wielu zdań z tego zbioru. Jeśli jednak badamy to zagadnienie z punktu widzenia semantyki, a nie syntaktyki, to potrzebujemy twierdzenia o istnieniu modelu, które w 1931 roku udowodnił austriacki logik i matematyk Kurt Gödel. Mówi ono, że każda spójna teoria (tzn. taka dla której nie istnieje dowód sprzeczności) ma model i umożliwia badanie własności dowolnej teorii przy użyciu metod teorii modeli.
2.1.1.30. Wyjaśnienie. Teoria 𝛱 w języku Λ jest zupełna, jeśli dla każdego zdania Φ napisanego w języku Λ w teorii 𝛱 można dowieść zdania Φ lub jego zaprzeczenia (tj.: suma domknięcia 𝛱 ze wzgl. na wyprowadzanie oraz jego negacji jest równa zbiorowi wszystkich zdań w Λ). Przy użyciu zakładanego zwykle przez matematyków aksjomatu wyboru można wykazać, że każdą teorię w jakimś języku Λ można rozszerzyć do teorii zupełnej w tym języku.
2.1.1.40. Wyjaśnienie. Teoria 𝛱 w języku Λ jest rozstrzygalna, jeśli istnieje algorytm, który dla każdego zdania Φ napisanego w języku Λ rozstrzyga, czy 𝛱 dowodzi Φ.
2.1.1.50. Wyjaśnienie. Teoria 𝛱 jest kategoryczna, jeśli 𝛱 ma dokładnie jeden model z dokładnością do izomorfizmu. Jest to raczej rzadkie zjawisko, bo kategoryczne są tylko te teorie, które są zupełne i mają model skończony.
Piśmiennictwo: Greniewski H. G.2.1.
2.1.2.SYSTEMY ZAKSJOMATYZOWANE
2.1.2.00. Wyjaśnienie. Przez „system zaksjomatyzowany" rozumiemy każdą taką i tylko taką parę (uporządkowaną24) zespołów wyrażeń, która spełnia wszystkie warunki następujące:
1) Zespół pierwszy składa się wyłącznie z wyrażeń następujących rodzajów:
a) Wyrażeń języka naturalnego, uznanych za powszechnie zrozumiałe;
b) Wyrażeń niezdefiniowanych, umieszczonych na osobnej liście;
c) Wyrażeń, które można zbudować za pomocą wyrażeń wymienionych w punkcie a) lub b), stosując powszechnie przyjęte sposoby budowania wyrażeń;
d) Wyrażeń, które zostają poprawnie zdefiniowane za pomocą wyrażeń wymienionych w punkcie a) lub b), lub c);
2) Zespół drugi składa się wyłącznie z tez (sformułowanych jedynie za pomocą wyrażeń należących do zespołu pierwszego), mianowicie z tez dwu tylko rodzajów:
a) Tez przyjętych bez dowodu;
24Przez „parę uporządkowaną” rozumiemy każdą i tylko taką parę przedmiotów, dla której podany jest sposób odróżniania przedmiotu pierwszego od drugiego (np. tym sposobem może być numeracja obu przedmiotów).
b) Tez dowiedzionych w oparciu o tezy wymienione w punkcie a) przy zastosowaniu powszechnie przyjętych sposobów dedukowania;
3) Tezy przyjęte bez dowodu wyjaśniają rozumienie wyrażeń niezdefiniowanych, umieszczonych na osobnej liście25.
2.1.2.10. Wyjaśnienie. Przez „wyrażenie pierwotne” systemu zaksjomatyzowanego rozumiemy każde i tylko takie wyrażenie, które jest niezdefiniowane i umieszczone na osobnej liście wyrażeń niezdefiniowanych tego systemu.
2.1.2.11. Wyjaśnienie. Przez „wyrażenie wtórne” systemu zaksjomatyzowanego rozumiemy każde i tylko takie wyrażenie, które jest zdefiniowane za pomocą wyrażeń uznanych za ogólnie zrozumiałe lub wyrażeń pierwotnych.
2.1.2.12. Wyjaśnienie. Przez „język” danego systemu zaksjomatyzowanego rozumiemy pierwszy zespół wyrażeń tego systemu.
Jak widać z wyjaśnień: 2.1.2.00, 2.1.2.10, 2.1.2.11 oraz 2.1.2.12, wyrażenia złożone języka systemu zaksjomatyzowanego są zbudowane ostatecznie z dwu rodzaju wyrażeń:
1) Wyrażeń uznanych za powszechnie zrozumiałe;
2) Wyrażeń pierwotnych.
Doświadczenie uczy, że zwykle język systemu zaksjomatyzowanego jest językiem mieszanym.
2.1.2.20. Wyjaśnienie. Przez „tezę pierwotną”, czyli „postulat”, ewentualnie „aksjomat” systemu zaksjomatyzowanego rozumiemy taką i tylko taką tezę należącą do drugiego zespołu tego systemu, która została przyjęta bez dowodu.
2.1.2.21. Wyjaśnienie. Przez „tezę wtórną”, czyli „twierdzenie” systemu zaksjomatyzowanego rozumiemy taką i tylko taką tezę należącą do drugiego zespołu tego systemu, która nie jest tezą pierwotną.
2.1.2.22. Wyjaśnienie. Tezy wtórne, spełniające raczej pomocniczą rolę w dowodach, noszą nazwę „lematów”.
Jak widać z wyjaśnień 2.3.2.00, 2.3.2.20 oraz 2.3.2.21, każda teza - należąca do drugiego zespołu danego systemu zaksjomatyzowanego jest albo tezą pierwotną, albo tezą wtórną.
2.1.2.23. Wyjaśnienie. Przez „teorię" zawartą w systemie zaksjomatyzowanym rozumiemy drugi zespół jego wyrażeń.
Jak widać z wyjaśnień: 2.1.2.00, 2.1.2.12 oraz 2.1.2.23, każdy system zaksjomatyzowany jest parą uporządkowaną, złożoną z języka tego systemu oraz teorii w nim zawartej. Doświadczenie wykazuje, że teoria dowolnego systemu zaksjomatyzowanego jest teorią w rozumieniu ustalonym w paragrafie poprzednim.
Jako przykład systemu zaksjomatyzowanego (i to przykład klasyczny) podać można dobry szkolny wykład geometrii elementarnej. Na liście wyrażeń pierwotnych znajdujemy tu na przykład wyrażenia: punkt, prosta, płaszczyzna. Wśród postulatów znajdujemy zwykle, między
25 W związku z punktem 3) wyjaśnienia 2.6.2.00, dobrze jest przypomnieć uwagi o metodzie postulatowej (paragraf 2.4.8).
innymi, tego rodzaju zdanie: Dwa (różne) punkty wyznaczają dokładnie jedną prostą, na której oba leżą.
Piśmiennictwo: Euclides E.1.1., Jordan Z. J.4.1., Greniewski H. G.2.1. , Kotarbiński T. K.5.1., Mostowski A. M.5.1
2.1.3.SŁABE STRONY AKSJOMATYZACJI
Język dowolnego systemu zaksjomatyzowanego jest konglomeratem, w którym dość istotne znaczenie mają tak zwane wyrażenia ogólnie zrozumiałe. Budowanie wyrażeń złożonych odbywa się według reguł tak zwanych „ogólnie przyjętych”, nawet niezebranych na jakiejś wyodrębnionej liście. Nie sposób - zatem twierdzić, że budowanie wyrażeń i definiowanie w języku jakiegokolwiek systemu zaksjomatyzowanego jest obiektywnie unormowane i bezsporne.
Wnioskowanie w obrębie teorii systemu zaksjomatyzowanego odbywa się także wedle reguł tak zwanych „ogólnie przyjętych”, nawet niezebranych na jakiejś wyodrębnionej liście. W dodatku dedukcje (dowody twierdzeń) w obrębie teorii bywają nieraz obciążone wadami języka systemu, o których mówiliśmy wyżej. Trudno - więc twierdzić, że rozumowanie w jakimkolwiek systemie zaksjomatyzowanym jest obiektywnie unormowane i bezsporne.
Nic - więc dziwnego, że w niejednym systemie zaksjomatyzowanym zdołano zbudować antynomie. Zbudowanie zaś antynomii w obrębie danego systemu zaksjomatyzowanego świadczy o braku wartości tego systemu, o jego niezgodności z rzeczywistością.
Dla usunięcia wzmiankowanych powyżej wad systemów zaksjomatyzowanych, dla nadania cech bezsporności w obrębie teorii systemu (1) procesowi budowania wyrażeń języka oraz (2) procesowi dedukcji (dowodzenia), dla uniknięcia antynomii zbudowano pojęcie doskonalsze od pojęcia systemu zaksjomatyzowanego, mianowicie pojęcie systemu sformalizowanego. W rozdziale następnym będziemy mogli pozwać również pojęcie systemu sformalizowanego, poznać płynące zeń korzyści, poznać jego zakres zastosowań i wreszcie przeprowadzić jego krytykę. Ponieważ pojęcie systemu sformalizowanego jest dość skomplikowane, wypadnie poznać najpierw pewne pojęcia pomocnicze, mianowicie pojęcie wyrażenia formalnego, pojęcie jednorodnego systemu wyrażeń formalnych oraz pojęcie niejednorodnego systemu wyrażeń formalnych.
Gdy jakiś język (mieszany albo sztuczny) i wypowiedzianą w tym języku teorię przedstawiamy w formie systemu zaksjomatyzowanego, wówczas otrzymujemy tylko pewien „obraz statyczny”
naszej wiedzy, przedstawiamy pewien etap rozwojowy danego języka i danej teorii, nie otrzymujemy natomiast obrazu „dynamiki rozwojowej” ani języka, ani teorii.
Piśmiennictwo: Euclides E.1.1., Greniewski H. G.2.1.
2.1.4.CZYNNOŚCI FORMALNE, WYRAŻENIA FORMALNE I MERYTORYCZNE
Wśród czynności wykonywanych na wyrażeniach wyróżnimy teraz czynności formalne. To wyróżnienie ułatwi nam zredagowanie ogólnego wyjaśnienia - czym są wyrażenia formalne.
2.1.4.00. Wyjaśnienie. Mówimy, że dana czynność jest formalna, zamiast mówić, ze spełnione są wszystkie warunki następujące:
1) Czynność ta jest wykonywana wyłącznie na wyrażeniach;
2) Wykonanie czynności tej zawsze wymagają znajomości strony materialnej wyrażenia, na którym czynność tę wykonujemy;
3) Wykonanie tej czynności nigdy nie wymaga znajomości strony znaczeniowej (rozumienia) wyrażenia, na którym czynność tę wykonujemy;
4) Wykonanie tej czynności zawsze wymaga znajomości przynajmniej reguł poprawności językowej (np. kaligraficznych czy gramatycznych) mających zastosowanie do wyrażenia, na których tę czynność wykonujemy;
5) Wynikiem wykonania tej czynności jest przynajmniej w niektórych wypadkach - wyrażenie.
Powszechna praktyka językowa łącznie z powyższym wyjaśnieniem skłaniają nas do przyjęcia następującej reguły:
2.1.1.01. Reguła. Prawidłowa odmiana gramatyczna, kopiowanie, zastępowanie, podstawianie, dołączanie, skreślanie i odrywanie są czynnościami formalnymi.
Przykład. Pewien niedbały uczeń nie wie, kogo w języku łacińskim oznacza nazwa jednostkowa
„C. Julius Caesar”, niemniej potrafi nazwę tę prawidłowo deklinować.
2.1.1.10. Wyjaśnienie. Mówimy, że dane wyrażenie jest formalne, zamiast mówić, ze spełnione są oba warunki następujące:
1) Istnieją reguły poprawności językowej (np. kaligraficzne czy gramatyczne) umożliwiające wykonywanie przynajmniej jednej czynności formalnej:
a) Na tym wyrażeniu lub
b) Na tym wyrażeniu łącznie z innymi wyrażeniami;
2) Strona znaczeniowa tego wyrażenia jest pusta (nieokreślona).
Zajmijmy się teraz bliżej wyjaśnieniem 2.1.1.10. Wyjaśnienie to stawia dwa warunki, które dane wyrażenie ma spełniać, aby było uznane za wyrażenie formalne; zauważmy, że pierwszy z tych warunków odnosi się do strony materialnej tego wyrażenia, drugi – do jego strony znaczeniowej. Zauważmy jeszcze, że poznaliśmy, i to już dość dawno, pewne rodzaje wyrażeń formalnych.
2.1.1.11. Reguła. Każda zmienna jest wyrażeniem formalnym (wyjaśnienie 2.3.1.10, 2.3.1.21).
2.1.1.12. Reguła. Każde wyrażenie okazjonalne wypowiedziane (czy napisane) bez gestu czy też bez sąsiadującego tekstu, nadających wyrażeniu temu stronę znaczeniową, jest wyrażeniem formalnym (wyjaśnienie 2.1.1.10, 2.1.1.00).
Trzeba się, chociaż chwilę zastanowić, nad celowością używania wyrażeń formalnych. Przecież każde wyrażenie formalne - to, że tak powiemy, „wyrażenie-makieta” czy też „wyrażenie-widmo”, języka zaś (obojętnie w danym wypadku, którego) używamy po to, żeby utrzymać łączność w społeczeństwie z innymi ludźmi, żeby opisywać rzeczywistość materialną. Po cóż, więc wprowadzać do języka jakieś „wyrażenia-makiety”, jakieś wyrażenia, które nic nie wyrażają?
Otóż w niełatwej tej sprawie można na razie poczynić następujące uwagi:
1) Z zakresu naszych wątpliwości należy wyłączyć te wszystkie wyrażenia formalne, które noszą nazwę „zmienna”. Wszelkiego rodzaju zmienne zdały egzamin przydatności w różnych naukach, zwłaszcza w logice, matematyce, fizyce, technice i informatyce. Był to egzamin w skali historycznej, zmienne bowiem - są stosowane w logice około 2500 lat. Trzeba - więc tylko rozpatrzyć nasze wątpliwości odnośnie do tych wrażeń formalnych, które nie są zmiennymi.
2) Przykład podany w poprzednim paragrafie (patrz 2.1.1.010) wskazuje jasno, ze pewne wyrażenia formalne będące jakoby - zdaniami, jakoby - nazwami, czy wreszcie jakoby - funktorami okazują się przydatne do celów ćwiczebnych; stanowią one dobry materiał do ćwiczeń, z zakresu składni. Skromna to wprawdzie przydatność, ale jednak niewątpliwa.
Okazuje się - więc, że wyrażenia formalne (przynajmniej niektóre) są praktycznie przydatne.
Przekonamy się wkrótce, że są one bardziej przydatne, niż to dotychczas stwierdziliśmy.
2.1.1.20. Wyjaśnienie. Mówimy, że dane wyrażenie jest merytoryczne, zamiast mówić, że strona znaczeniowa tego wyrażenia nie jest pusta.
2.1.1.21. Reguła. Żadne wyrażenie merytoryczne nie jest wyrażeniem formalnym (wyjaśnienia 2.1.3.1.10 oraz 2.1.1.20).
Piśmiennictwo: Greniewski H. G.2.1.
2.1.5.PROBLEMATYKA WYRAŻEŃ FORMALNYCH
Stwierdzenie istnienia wyrażeń formalnych niebędących zmiennymi nastręcza kłopot, a raczej sporo kłopotów. Aby zorientować się, jako tako w wyrażeniach formalnych, trzeba sobie odpowiedzieć, choćby pokrótce, na następujące pytania:
1) Czy i jakie interesujące rodzaje wyrażeń formalnych można wyróżnić?
2) Czy jest możliwe i celowe używanie łączne wyrażeń merytorycznych i formalnych w jednym tekście?
3) Jaki jest stosunek wyrażeń formalnych niebędących zmiennymi do języków; czy przynajmniej niektóre z nich wchodzą w skład jakiegoś języka?
4) Czy możliwe jest definiowanie wyrażeń formalnych?
5) Czy w dziedzinie wyrażeń formalnych występuje wynikanie, ewentualnie jakiś związek zbliżony do wynikania, czy występuje wnioskowanie, ewentualnie jakiś związek zbliżony do wnioskowania?
Postaramy się na te pytania dać odpowiedź, odpowiedź raczej niewyczerpującą, lecz jak się wydaje - wystarczającą do elementarnego wykładu logiki formalnej.
1) Nie ma żadnych trudności w wynajdywaniu czy tworzeniu wyrażeń formalnych mających gramatyczne właściwości zdań, nazw, funktorów, funkcji i operatorów.
2) Nie ma żadnych trudności gramatycznych w budowaniu wyrażeń kombinowanych, złożonych z wyrażeń merytorycznych i wyrażeń formalnych (nie będących zmiennymi).
Inaczej natomiast przedstawia się sprawa celowości używania takich wyrażeń kombinowanych. W naszym wykładzie takie wyrażenia kombinowane (poza funkcjami i operatorami) są zbędne, wystarczy nam - bowiem rozważanie pewnych systemów złożonych z samych wyrażeń formalnych.
3) Nie omawiając całości trudnego zagadnienia stosunku wyrażeń formalnych do języków, powtarzamy, że będziemy mieli wkrótce do czynienia z pewnymi systemami złożonymi z samych wyrażeń formalnych; zgodnie z ustaloną już w logice formalnej terminologią, niektóre z tych systemów nazywać będziemy „językami sformalizowanymi”. Już teraz jednak uprzedzamy czytelnika, że żaden język sformalizowany nie jest, ściśle mówiąc, językiem (podobnie jak żadna spłaszczona kula nie jest kulą, podobnie jak czyjaś rozwiedziona żona nie jest żoną swego byłego męża).
4) Definiowanie wyrażeń formalnych za pomocą wyrażeń formalnych nie napotyka w zasadzie większych trudności, chociaż właściwie nie zawsze wiadomo, co rozumieć przez definicję
poprawną, której definiendum jest wyrażeniem formalnym. Nie dotyczy to jednak informatyki, gdzie gdy np. korzystamy z tzw. makr, czy podprogramów.
5) Możliwe jest niekiedy naśladowanie wynikania i wnioskowania w dziedzinie wyrażeń formalnych. Zdarzają się wynikania sprowadzające się do zastępowania, podstawiania czy odrywania, a więc do czynności formalnych; w tych właśnie wypadkach łatwo naśladować wynikanie i dedukcję w dziedzinie wyrażeń formalnych.
2.1.5.00. Wyjaśnienie. Mówimy krótko (1) „jakoby-zdanie”, ewentualnie (2) „jakoby-nazwa”, ewentualnie (3) „jakoby-funktor”, zamiast mówić:
1) Wyrażenie formalne, mające pewne własności gramatyczne zdania;
ewentualnie
2) Wyrażenie formalne, mające pewne własności gramatyczne nazwy;
ewentualnie
3) Wyrażenie formalne, mające pewne własności gramatyczne funktora.
2.1.5.01.Wyjaśnienie. Mówimy krótko (1) „jakoby-funkcja”, ewentualnie (2) „jakoby-operator”, zamiast mówić:
1) Wyrażenie formalne zawierające chociaż jedną zmienną wolną;
ewentualnie
2) Wyrażenie formalne zawierające - chociaż jedną zmienną związaną i mające pewne własności operatora.
2.1.5.02. Wyjaśnienie. Mówimy, że dane wyrażenie formalne jest jakoby-tezą, zamiast mówić, że jest ono jakoby-zdaniem lub jakoby-funkcją zdaniową.
Trzeba przyznać, że żadne z powyższych trzech wyjaśnień nie grzeszy nadmiarem ścisłości, jednak dalsze uściślenie wymagałoby zbyt szerokiej rozbudowy naszych rozważań.
Piśmiennictwo: Greniewski H. G.2.1. ,
2.1.6.FORMALIZACJA I INTERPRETACJE WYRAŻEŃ
Zajmiemy się teraz pewnymi czynnościami wykonywanymi na wyrażeniach. Każda z tych czynności jest wykonywana albo zawszę na wyrażeniu merytorycznym, albo zawszę na wyrażeniu formalnym. Wynik każdej z tych czynności jest albo zawszę wyrażeniem merytorycznym, albo zawszę wyrażeniem formalnym.
2.1.6.00. Wyjaśnienie. Przez tłumaczenie danego wyrażenia merytorycznego rozumiemy