ALGORYTM EM W ESTYMACJI PARAMETRÓW PRZEŁĄCZNIKOWEGO MODELU MARKOWA
4. Przełącznikowy model Markowa kursu USD/PLN
Badania empiryczne zostały przeprowadzone w oparciu o średnie dzienne notowania NBP kursu USD/PLN w okresie 02.01.1998 - 28.02.2005. Na podstawie pierwotnych szeregów czasowych wyznaczono logarytmiczne dzienne stopy zwrotu:
r, = (ln Pt - ln P,_,) • 100% = 100% • l n ( - ^ ~ ) (23) P t - \
gdzie:
r, - stopa zwrotu w okresie t Pt - kurs waluty w okresie t Pt.i - kurs waluty w okresie t - 1.
W celu zbadania własności szeregów kursu USD/PLN i jego logarytmicznych stóp zwrotu sporządzono następujące wykresy i wyznaczono podstawowe statystyki opisowe ich rozkładów:
0 150 300 450 600 750 900 1050 1200 1350 1500 1650 180C
Rys. 2 Kurs USD/PLN oraz logarytmiczne stopy zwrotu dla tego kursu w okresie 02.01.1998-28.02.2005
Źródło: Opracowanie własne wykonane w pakiecie PcGive
| l U S D l
T ablica 1. Statystyki opisow e dla logarytmicznych stóp zwrotu kursu U SD /PLN
Średnia : -0.0098203 1
Odchylenie standardowe 0.70869
Skośność ; 0.22995
Kurtoza
v w v w v w w v 7.0867
Minimum -4.7740
Maksimum 4.8066
Liczba obserwacji i 1813
Test normalności Jargue-BeraV W v W W W / v ^ W W \ W W W W V W W V W V ' 537.29 i
Test ADF -43.03
Źródło: Obliczenia własne wykonane w pakiecie PcGive
Na poziomie istotności 0,01 należy odrzucić hipotezę o normalności rozkładu logarytmicznych stóp zwrotu kursu USD/PLN. Potwierdzają to również wykresy: gęstości rozkładu empirycznego logarytmicznych stóp zwrotu oraz QQ normalności przedstawione na rysunku 3. Wartość statystyki testowej ADF świadczy o stacjonamości badanego szeregu na poziomie istotności 0,01.
W celu zbadania autokorelacji szeregu logarytmicznych stóp zwrotu kursu USD/PLN wyznaczono funkcje autokorelacji i autokorelacji cząstkowej:
0.75
0.50
0.25
1.0
0.5
0.0
-0.5 Den sity
| stopaUSP 1
-4 -2 0
I— mcr-.faglliSDl
10
1.0
0.5
0.0
-0.5
i ACF-stopJJSD)
Rys. 3 Funkcje gęstości, autokorelacji, autokorelacji cząstkowej oraz wykres QQ normalności rozkładu dla logarytmicznych stóp zwrotu kursu USD/PLN
Źródło: Opracowanie własne wykonane w pakiecie PcGive
98
Podsumowując przeprowadzone badania należy stwierdzić, iż szereg stóp zwrotu kursu USD/PLN charakteryzują następujące własności:10
❖ leptokurtoza i „grube ogony” rozkładu
❖ skośność rozkładu
❖ grupowanie wariancji
❖ brak autokorelacji
❖ stacjonarność.
W związku z powyższym zasadne jest modelowanie logarytmicznych stóp zwrotu kursu USD/PLN za pom ocą przełącznikowego modelu Markowa postaci (3). Przyjęto następującą specyfikację tego modelu: zmienną sterującą zmianami reżimu jest dwustanowy łańcuch Markowa(s, = 1 oznacza stan (reżim) wysokiej zmienności kursu USD/PLN; s, = 2 oznacza stan niskiej zmienności kursu USD/PLN). Zatem przełącznikowy model Markowa dostarcza informacji o średnich poziomach logarytmicznych stóp zwrotu kursu USD/PLN w zależności od obowiązującego reżimu (parametry (.i, i p2), wariancjach składnika losowego charakteryzujących poszczególne stany (parametry er,2 i cr2 ) oraz prawdopodobieństwach przejścia ze stanu do stanu (parametry pn i P22
)-Estymację parametrów tego modelu przeprowadzono w pakiecie Ox wykorzystując kody programowe napisane przez Hamiltona. W ykorzystano do tego celu opisany wcześniej algorytm EM w połączeniu z wnioskowaniem bayesowskim dotyczącym relacji (18). Po wielokrotnym powtórzeniu procedur szacowania wektora parametrów 0 przy różnych wartościach startowych, ostatecznie przyjęto następujące wartości początkowe dla algorytmu EM:
❖ parametry wykorzystywane przy wnioskowaniu bayesowskim: a = 0,2 b = 0,1 c = 0,1
❖ parametry wchodzące w skład wektora 0: gi = 0,5 p2 = - 0,5 pn = 0,5 p22
= 0,5 cr,2 = 0,9 cr2 = 0,3
Wyniki estymacji parametrów przełącznikowego modelu Markowa dla różnej długości szeregów czasowych dotyczących logarytmicznych stóp zwrotu kursu USD/PLN zamieszczono w tablicy 2.
Biorąc pod uwagę strukturę dynamiczną wyjściowego szeregu czasowego najbardziej interesujące okazały się wyniki estymacji przeprowadzonej w oparciu o najdłuższą próbę. N a podstawie wyników zamieszczonych w tablicy 2 można wnioskować, iż wartości oczekiwane i wariancje przypisane odpowiednim stanom różnią się od siebie. W reżimie wysokiej zmienności kursu walutowego średnia dzienna stopa zwrotu z inwestycji w USD wynosi około 0,11%, co odpowiada deprecjacji złotego, natomiast w reżimie niskiej zmienności złoty wzmacniał się średnio o 0,06% dziennie. W ariancja odpowiadająca pierwszemu reżimowi jest
więcej informacji na ten temat można znaleźć w pracy W łodarczyk A., Empiryczne własności szeregów stóp zwrotu kursów wymiany na polskim rynku walutowym, w Mitas A.
ponad czterokrotnie wyższa od wariancji charakteryzującej drugi reżim, co potwierdza występowanie zmian strukturalnych w szeregu czasowym stóp zwrotu oraz tym samym uzasadnia wybór modelu przełącznikowego do opisu zachowania kursu USD/PLN. Należy zwrócić ponadto uwagę, iż prawdopodobieństwa utrzymania się stanów wysokiej i niskiej zmienności są wysokie, co odzwierciedla efekt grupowania wariancji w szeregach stóp zwrotu.
Tablica 2. Parametry przełącznikowego modelu Markowa dla USD/PLN11
\ próba n = n = n = n = n =
Źródło: Obliczenia własne wykonane w pakiecie Ox
Podsum owanie
Podsumowując przedstawioną powyżej metodę estymacji parametrów przełącznikowego modelu Markowa należy zaznaczyć, iż postać funkcji wiarygodności zależy od przyjętej specyfikacji modelu przełącznikowego. Oprócz opisanego algorytmu EM można zastosować inne metody maksymalizujące zadaną tunkcję wiarygodności. Goldfeld i Quandt (1972) proponują: a — metodę i x —
w nawiasach podano błędy ocen parametrów modelu
100
metodę do estymacji parametrów modelu przełącznikowego, w którym prawdopodobieństwo znalezienia się procesu w określonym reżimie jest stałe bądź zależy od poprzedniego stanu systemu, a także D-metodę dla przypadku, w którym stan procesu zależy od dodatkowej zmiennej egzogenicznej.12 Główny problem estymacji parametrów przełącznikowego modelu Markowa związany jest z licznymi osobliwościami funkcji wiarygodności, które uniemożliwiają osiągnięcie kryterium zbieżności w przeprowadzanym algorytmie EM. Z tego powodu proponuje się dołączenie do standardowej proceduiy iteracyjnej algorytmu EM metod wnioskowania bayesowskiego, co pozwala ominąć obszary, na których funkcja wiarygodności jest nieograniczona.
Literatura
1. Dempster A.P., Laird N.M., Rubin D.B., Maximum Likelihood fro m Incomplete Data via the E M Algorithm, “Journal o f the Royal Statistical Society” nr 39/1977
2. Diebold F. X., Lee J-H., Weinbach G. C., Regime switching with time-varying transition probabilities, w Hargreaves C. P. (ed.), Nonstationary Time Series Analysis and Cointegration, Oxford University Press, New York 1994
3. Domański Cz., Pruska K., Nieklasyczne metody statystyczne, PWE, Warszawa 2000
4. Goldfeld S. M., Quandt R. E., Nonlinear Methods in Econometrics, North- Hoiland Publishing Co., Amsterdam 1972
5. Hamilton J. D., A Quasi-Bayesian Approach to Estimating Parameters fo r Mixtures o f Norm al Distributions, „Journal o f Business & Economic Statistics”
nr 1/1991
6. Hamilton J. D., Analysis o f Time Series Subject to Changes in Regime,
“Journal o f Econometrics” nr 45/1990
7. Hamilton J. D., Time Series Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1994
8. Iosifescu M., Skończone procesy Markowa i ich zastosowania, PWN, Warszawa 1988
9. W łodarczyk A., Empiryczne własności szeregów stóp zwrotu kursów wymiany na polskim rynku walutowym, w Mitas A. (red.), Statystyka i informatyka w nauce o zarządzaniu, W ydawnictwo WSZiM w Sosnowcu, Sosnowiec 2004
szczegółowy opis wymienionych procedur estymacyjnych można znaleźć w pracy
‘Z' J \ ■* * 5ÎtT 'S“,'4 ^ fïSî^tî i "" - ■ ■ J f ‘ - ■■
-;nÁ , * *«£■>* *' -'ifc'fÍ3^* -4-’i ' ;; í t* / ' V'A/ * ■ ^ ^ ' J ; ; ■ -^;■-:
*, " >t,f ^ r î * V i? v j. ;, dfc'.Ä>* ^ \ s \ \ 1 0 , - : , Ás - '‘ ' • - ;ł4v- '.
í f >*4 \ «1® ^ ^ f e ï, 'Oïllfr í ’ •‘Ji5l'S?-îW ^Ç
iibr„ *' ' r ■-* $ * Ę 0 , Ä - ' | ‘- I "
f",r '* ¡s, 's ■ " .
■%'.' %.£p¿Vji ;fü#S! • M • : '
i’l l l l j w f i “ ^ " ' ' ' ^ k ' ‘-> ~ ' i 1*r - ‘ - - - - '* '^ S P ’ -; ' , ^ Á
- í v ' t v t. ! É ^ i î ^ ' - f i f V ’ .
iW ,j||g
;|?í;:: § -f
P ; s iW # í W ' ■ " í ;
_
p é w ' ^ , | |.
»X i^«^fílSíf|Í* “ tJ’ 1 j '.,wvi Jí"‘ -«,, ' '$£,* K l - - * .<■ ^ aíA ..
r . - f ’ i ^ ^ t* J L " f , £ .■ <* ^ ' ■ ■■ ’ S K i á ' ■
Ssss^&í lü,r:AA*öDiV3^ ■’W. isÿàïiiï ) Ailfsï ; ik®í'í -ĄA '; n , ■ . Cí ; aoSiasaï ■ a- y
° ÿ ^ , 1 ^ ? *’ ;
- f f - Ä , '/«.' Á í . ¡$ és V f t * C > á
I W l .‘ > i . , í h A ' ^ r . ' , . , - f . ' ', (, ' rf i> '■ , .. ... ;
1
4 | í ~ ' i ' r'í,J * 'r * « ;. Ł.-# 0* «V Û H i . fíí* r l ^ ® ~ K y i ’'
R O Z D Z IA Ł IX
AUTOMATY KOMÓRKOWE JAKO NARZĘDZIE DO