Zadanie 1. Dane są implikacje
i) jeśli V ⊂ Rn jest podprzestrzenią, to (0, . . . , 0) ∈ V,
ii) dlam ∈ Z, jeśli 4|m, to 2|m,
iii) jeśli funkcja f: R → Rjest ciągła, to jest różniczkowalna, iv) jeśli ciąg {an} jest zbieżny, to jest ograniczony,
v) ustalmyA, B ∈ P (Z)takie, żeA −˙ B jest skończony, dlaC ∈ P (Z)jeśli A−˙ C jest skończony, toB −˙ C jest skończony.
Które z tych implikacji są prawdziwe? Sformułuj twierdzenia odwrotne, prze-ciwstawne i przeciwne. Które z nich są prawdziwe?
Zadanie 2. Niech An = (2 − n+11 ,4 − 2n] dlan ∈ N>0. Oblicz
i) T4 n=2An, ii) Tn∈N>0An, iii) S8 n=3An, iv) Sn∈N>0An.
Zadanie 3. Udowodnij tożsamość zbiorów
(A × B) \ (C × D) = (A × (B \ D)) ∪ ((A \ C) × B) .
Zadanie 4. Dla a, b∈ N niech aRb↔ a = b2. Sprawdź czy relacja
R jest i) antysymetryczna,
ii) przeciwzwrotna, iii) przechodnia, iv) symetryczna.
Odp. tak, nie, nie, nie
Zadanie 5. Dla poniższych relacji R i) R= {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}, ii) R= {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}. 1
oblicz R−1, R2, R3, R ◦ R−1. Odp. i) R−1 = R, R2 = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ [−1, 1] ∧ (x = y ∨ x = −y)}, R3 = R, R· R−1 = R2 , ii) R−1 = R, R2 = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ [−1, 1] ∧ y ∈ [−1, 1]}, R3 = R2 , R· R−1 = R2.
Zadanie 6. Która z poniższych relacji jest zwrotna, przeciwzwrotna,
syme-tryczna, asymesyme-tryczna, antysymesyme-tryczna, przechodnia, spójna? i) A=mieszkańcy Polski,xRy ↔ y jest bratem x,
ii) (x, y), (z, w) ∈ R2 , (x, y)R(z, w) ↔ x ≤ z ∧ y ≤ w, iii) (x, y), (z, w) ∈ R2, (x, y)R(z, w) ↔ x ≤ z ∨ y ≤ w, iv) A, B ∈ P (Z), ARB ↔ A ⊂ B, v) x, y ∈ Z, xRy ↔ max(x, y) = 1.
Które z powyższych relacji są relacjami porządku częściowego?
Odp.
zwr pzwr sym asym antysym prz sp
i) - + - - - (!)
-ii) + - - - + +
-iii) + - - - +
iv) + - - - + +
-v) - - + - - -
-Relacjami porządku częściowego jest relacja ii) oraz iv).
Zadanie 7. Narysuj diagramy Hassego dla relacji podzielności na zbiorach
i) X = {1, 2, 3, 6, 12}, ii) X = {1, 2, 3, 5, 7, 11}, iii) X = {1, 3, 9, 27, 729},
iv) X = {2, 3, 5, 6, 10, 15, 20, 30, 60}. 2
Zadanie 8. Na zbiorze X = N × N zadajemy relację ≤lex
(x, y) ≤lex (z, w) ↔ (x < z) ∨ [(x = z) ∧ (y ≤ w)].
i) wykaż, że jest to relacja porządku liniowego, ii) narysuj diagram Hassego dla relacji≤lex,
iii) uogólnij relację naX = N3
.
Zadanie 9. Uporządkuj zbiór
X = {(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (0, 0, 4), (4, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 3, 3)}, odpowiednio, względem porządków
i) ≤lex,
ii) ≤grlex.
Sprawdź, że relacja R
(α1, α2, α3)R(β1, β2, β3) ↔ 2α1+ 5α2− α3 ≤ 2β1+ 5β2− β3,
jest quasi–porządkiem na zbiorze X i nie jest porządkiem częściowym naX.
Odp.
i) (0, 0, 4), (0, 1, 0), (0, 3, 3), (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (4, 0, 0), ii) (0, 1, 0), (1, 1, 1), (0, 0, 4), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (4, 0, 0), (0, 3, 3).
Zadanie 10. Czy klasyczne algorytmy sortowania (przez wstawianie,
bą-belkowe, przez łączenie, szybkie itp.) będą porządkowały zbiory n-tek liczb rzeczywistych według porządków ≤lex,≤grlex, po zastąpieniu porównywania
liczb porównywaniem n-tek względem tych porządków? Napisz własną funk-cję w Pythonie 3 porównującą n-tki i użyj jej w jednym z klasycznych algo-rytmów.
Zadanie 11. Niech f: R → R będzie dowolną funkcją. Sprawdź, że relacja R ⊂ R × Rzadana warunkiem
xRy ↔ f (x) ≤ f (y),
jest quasi-porządkiem na zbiorze R. Podaj przykład funkcji f takiej, że R jest quasi-porządkiem, ale nie jest porządkiem częściowym. Podaj przykład funkcji f takiej, że R jest porządkiem częściowym. Podaj charakteryzację funkcji f jak wyżej.
