Wykad 1

MECHANIKA 2

PLAN WYKŁADÓW

1. Podstawy kinematyki

2. Ruch postępowy i obrotowy bryły

3. Ruch płaski bryły

4. Ruch złożony i ruch względny

5. Ruch kulisty i ruch ogólny bryły

6. Podstawy dynamiki

7. Dynamiczne równania ruchu

8. Drgania punktu materialnego

9. Dynamika układu punktów materialnych

10.Momenty bezwładności

11.Praca, moc, sprawność, zasady zachowania

12. Zasady pracy i energii

13.Dynamika ruchu płaskiego ciała sztywnego

14.Teoria uderzenia

LITERATURA

1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1985.

2. ZAWADZKI JERZY, SIUTA WŁADYSŁAW,

Mechanika Ogólna, PWN 1970, Warszawa 1985 . 3. MISIAK JAN, Mechanika Ogólna, WNT, Warszawa

1998 .

4. HUBER M. T. Mechanika Ogólna i Techniczna. PAN Warszawa 1956.

Wykład 1

WPROWADZENIE

KINEMATYKA – (kineo z greckiego poruszam)

jest to dział mechaniki opisujący ruch punktu

lub bryły, bez uwzględniania masy i przyczyn

wywołujących zmianę ruchu (geometria ruchu).

RUCH – określamy jako zmianę położenia ciała

materialnego względem układu odniesienia (tj.

względem

innego

ciała

lub

zbioru

ciał

uważanych za pozostające w spoczynku) w

jednostce czasu.

WPROWADZENIE

W związku z tym że ciała rzeczywiste zastępujemy

pojęciem punkt materialny lub ciało doskonale

sztywne, kinematykę możemy podzielić na:

•

Kinematykę punktu materialnego

Jest to linia ciągła l utworzona przez kolejne

położenia poruszającego się punktu.

Tor punktu może być linią prostą lub dowolną krzywą.

Rys. 1

Tor punktu

Droga, odległo

ść

W mechanice przez drogę

rozumiemy odcinek toru.

Odległość – długość odcinka

łączącego dwa punkty

.

Podział ruchu

Ruch prostoliniowy jednostajny

Ruch prostoliniowy zmienny

Ruch krzywoliniowy jednostajny

Ruch krzywoliniowy zmienny

x = f

(t), y = f

(t), z = f

(t).

Rys. 2

Położenie poruszającego się punktu P w przyjętym

układzie współrzędnych można określić przez x, y, z.

Ponieważ współrzędne te są funkcjami zmiennej t

(czasu), to otrzymujemy:

Kinematyczne równania

ruchu punktu

Jeżeli początek promienia r

pokrywa się z początkiem

układu

współrzędnych

to

składowe wektora są równe

współrzędnym punktu P

Równania ruchu w postaci wektorowej

Rys. 3

r

= x(t), r

= y(t), r

= z(t)

(t)

r

r

ρ =

ρ

Po uwzględnieniu powyższej zależności promień wektora

r możemy zapisać w postaci sumy geometrycznej:

Rozpatrzmy ruch punktu P w przedziale czasu

∆

t = t

- t

, w

którym punkt przebył drogę

∆

s = P

P

.

Pr

ę

dko

ść

punktu materialnego

Przyrost wektora promienia wynosi

∆

r

zatem”

Pr

ę

dko

ść

ś

rednia

Prędkość średnia punktu jest ilorazem

przyrostu wektora

∆

r do czasu

∆

t w

którym ten przyrost nastąpił.

=

Prędkość chwilową określa

granica przy

∆

t dążącym do zera

=

v

ρ

Przyrost

∆

r ma składowe

∆

x,

∆

y,

∆

z stąd

Wektor prędkości można zapisać w postaci:

k

j

i

v

ρ

=

x

&

ρ

+

y

&

ρ

+

z

&

ρ

2

2

2

z

y

x

&

+

&

+

&

=

v

którego moduł wynosi:

W czasie

∆

t = t

- t

, wektor prędkości zmienia się z v

na v

.

Przyspieszenie punktu materialnego

Przyrost wektora prędkości

wynosi

∆

v, zatem

Przyspieszenie

ś

rednie punktu

Przyspieszenie średnie punktu wyraża się jako iloraz

przyrostu prędkości

∆

v przez przyrost czasu

∆

t.

Przyspieszenie chwilowe punktu

=

a

ρ

Wiedząc, że przyrost prędkości

∆

v ma składowe

∆

v

,

∆

v

,

∆

v

stąd składowe wektora przyśpieszenia mają postać

Wektor przyśpieszenia można zapisać w postaci :

a jego moduł

Ruchem prostoliniowym jednostajnym

jest ruch punktu po torze prostoliniowym, który

odbywa

się

w

taki

sposób,

że

w

jednakowych

przedziałach czasu t punkt przebywa takie same

odcinki drogi.

D

roga s jest liniową funkcją czasu, zatem

czyli

Stąd po scałkowaniu otrzymujemy

Rys. 6

czyli

Jeżeli prędkość jest liniową funkcją czasu, to ruch punktu jest jednostajnie zmienny.

Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny

Ruch prostoliniowy zmienny

Jest to ruch punktu po torze prostoliniowym, który odbywa się w taki sposób, że w jednakowych przedziałach czasu t punkt przebywa różne odcinki drogi.

Równania

ruchu

prostoliniowego

jednostajnie

zmiennego

a > 0 ruch jednostajnie przyspieszony

a < 0 ruch jednostajnie opóźniony

Przyśpieszenie

Prędkość

Ruch krzywoliniowy jednostajny

Jest ruch punktu po torze krzywoliniowym l, w którym

wektor prędkości w każdej chwili jest styczny do toru, a

jego wartość nie zmienia się z czasem (zmienia się tylko jego

kierunek).

W ruchu krzywoliniowym zmiennym wektor przyspieszenia punktu

tworzy z wektorem prędkości tego punktu pewien kąt α (ostry lub

rozwarty).

Jest to ruch punktu po torze krzywoliniowym, w którym wektor

prędkości ruchomego punktu zmienia wartość i kierunek.

Z rysunku wynika, że wartość przyspieszenia składowego a

prostopadłego do prędkości ma postać:

Składowa ta nosi nazwę przyspieszenia normalnego, a

związana jest ze zmianą kierunku wektora prędkości.

Składowa

przyspieszenia

w

kierunku

wektora

prędkości nazywana jest przyspieszeniem stycznym i

związana jest ze zmianą wartości wektora prędkości.

Wartość a

jest określona w postaci:

jest sumą przyspieszenia normalnego i stycznego

a wartość tego wektora obliczamy z zależności

Na podstawie tych wiadomości można ustalić z jakim ruchem

punktu materialnego mamy do czynienia:

a

≠

0, a

≠

0 -

prędkości. Rozważany ruch jest ruchem

krzywoliniowym zmiennym, zmienia się wartość i kierunek prędkości.

a

=0, a

≠

0 -

wartość ale jej kierunek pozostaje bez zmian. Jest to ruch prostoliniowy zmienny.

a

≠

0, a

=0 -

prostopadły do toru. Prędkość w tym ruchu może zmieniać jedynie swój kierunek, a wartość pozostaje stała. Rozważany ruch będzie ruchem jednostajnym krzywoliniowym.

a

=0, a

=0 -

swojego kierunku ani wartości. Jest to więc ruch jednostajnie prostoliniowy.

Ruch jednostajny po okr

ę

gu

W ruchu jednostajnym punkt materialny porusza się ruchem

jednostajnym po okręgu o promieniu r, przebywając w równych

odstępach czasu t równe odcinki drogi (łuki P

P

, P

P

, P

P

,).

v v v P₃ P₄ α r r v P₁ P₂ a_n Rys. 13

Prędkość średnia punktu wyraża się jako

Jednak w tym przypadku droga jest łukiem, więc jak wiadomo z geometrii czyli P₁ P₂ P₃ P₄

Stosunek kąta

α

wyrażonego w radianach do

czasu t, w którym ten kąt został zatoczony,

nazywamy prędkością kątową.

Tak więc wartość prędkości liniowej otrzymamy z wyrażenia

Prędkością obrotową punktu po okręgu nazywamy

liczbę pełnych obiegów w ciągu jednej minuty

Pr

ę

dko

ść

obrotowa

Pomiędzy prędkością kątową [rad/s] i prędkością

obrotową [obr/min] zachodzi zależność

Przyśpieszenie kątowe (składowa styczna a

oznaczana przez

ε

) określa zmianę wektora

prędkości kątowej.

W przypadku ruchu jednostajnego po okręgu składowa styczna przyśpieszenia kątowego jest równa zeru. Występuje tylko

składowa normalna, której wartość określona jest wzorem:

Przykład 1.

ε=5 rad/s2_{. Obliczyć przyspieszenie styczne i normalne punktów}

leżących na obwodzie tarczy w dziesiątej sekundzie ruchu.

ω a a_t r v a_n Rozwiązanie: Dane: ε=5 rad/s2_{; r=0,1m}

Obliczyć : a_t i a_n po 10 sek. ruchu

Prędkość kątowa po 10 s ruchu wynosi:

Przykład 2. Ruch punktu po płaszczyźnie określony jest równaniami: x=40t, y=5t2. Obliczyć wartości przyspieszenia stycznego i normalnego w chwili t=3s.

Rozwiązanie:

dla t=3s

Składowe prędkości:

Składowe przyśpieszenia

Moduł wektora prędkości wynosi:

dla t=3s

Przyspieszenie normalne obliczamy z zależności dla t=3s

Przykład 3

Narysować wykres s(t), v(t) oraz a(t) ilustrujący ruch ciała

rzuconego pionowo w górę z prędkością początkową v

.

v

Dane: v

, h

.

Rozwi

ą

zanie

Wychodzimy z podstawowego równania:

v₀

– przez cały czas trwania ruchu.

x

y

Rozwi

ą

zanie

Rozwi

ą

zanie

t

2t

t

s(t)

h

h

Rozwi

ą

zanie

Obliczymy ponadto czas wznoszenia:

v₀

Wyjdziemy z równania:

x

y

Rozwi

ą

zanie

Wysokość rzutu obliczymy z zależności:

v₀

h

Zatem:

x

y

Przykład 4

Ruch ciała po gładkiej równi pochyłej, a następnie po

gładkim torze poziomym.

a(t) = g

a(t) = 0

parabola

prosta

gładkie przejście

(funkcja

różniczkowalna)!!!

t

s(t)

Jak odczytywa

ć

z wykresu?

1. Ruch jednostajny prostoliniowy:

v(t) t v₀ > 0 0 t₀ v(t) t v₀ < 0 0 _t0

prędkość dodatnia – punkt oddala się od obserwatora.

prędkość ujemna – punkt zbliża się do obserwatora.

Jak odczytywa

ć

z wykresu?

1. Ruch jednostajny prostoliniowy:

funkcja drogi rosnąca – punkt oddala się od obserwatora.

s(t) t 0 t₀

α

tgα > 0

α

tgα < 0

funkcja drogi malejąca – punkt zbliża się do obserwatora.

Jak odczytywa

ć

z wykresu?

1. Ruch jednostajny prostoliniowy:

wartości funkcji drogi dodatnie – punkt porusza się po jednej stronie obserwatora. s(t) t 0 t₀

α

s(t) > 0

wartości funkcji drogi ujemne – punkt porusza się po przeciwnej stronie obserwatora. s(t) t 0 _t 0

s(t) < 0

Jak odczytywa

ć

z wykresu?

2. Ruch jednostajnie przyspieszony (opó

ź

niony):

funkcja prędkości rosnąca – punkt przyspiesza. v(t) t

tg α

α

tg α

α

funkcja prędkości malejąca – punkt zwalnia.

Jak odczytywa

ć

z wykresu?

2. Ruch jednostajnie przyspieszony (opó

ź

niony):

wartość prędkości dodatnia – punkt oddala się od

obserwatora. v(t) t

v(t)

v(t)

wartość prędkości ujemna – punkt zbliża się od

Jak odczytywa

ć

z wykresu?

Reguły są analogiczne jak dla ruchu jednostajnego

prostoliniowego. Dodatkowo:

2. Ruch jednostajnie przyspieszony (opó

ź

niony):

parabola wypukła – punkt przyspiesza.

α₁

α₂

α₂

α₁

parabola wklęsła – punkt zwalnia.

Przykład 5

Mając dany wykres prędkości od czasu, narysować wykres

a(t) oraz s(t). Wyznaczyć:

wartość przyspieszenia w każdym z przedziałów;

przebytą drogę na końcu każdego przedziału.

Rozwi

ą

zanie

Obliczymy najpierw wartość przyspieszenia i przebytej

drogi w każdym z przedziałów:

0 < t < t

α

Prędkość ujemna, zatem punkt

Rozwi

ą

zanie

t

< t < 2t

α

Obliczymy najpierw wartość przyspieszenia i przebytej

drogi w każdym z przedziałów:

Rozwi

ą

zanie

Dla

2t

:

α

Wartość położenia na końcu każdego z przedziałów:

α

Dla t

:

Rozwi

ą

zanie

Wykres drogi od czasu:

t₁ 2t₁ t s(t) 0 2 v₁t₁ 2 v₁t₁ − s₁(t) s₂(t)

Rozwi

ą

zanie

Wykres przyspieszenia od czasu:

t₁ 2t₁ t a(t) 0 1 1 v t − 1 1 v t