Sprężanie termiczne na przykładzie zagadnienia kołowo-symetrycznego

M E C H AN I KA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4. 18 (1980) SPRĘ Ż ANIE TERMICZNE NA PRZYKŁADZIE ZAGADNIENIA KOŁOWO- SYMETRYCZNEGO1 , JAN   H O L N I C K I - - S Z U L C (WARSZAWA) 1. Wstę p

Celem pracy jest sformuł owanie i analiza zagadnienia sprę ż ani a termicznego na przy-kł adzie koł owosymetrycznej tarczy wirują cej.

Przez sprę ż anie rozumiemy sterowanie wymuszanym polem dystorsji pierwotnych s, w celu uzyskania (samozrównoważ onych) stanów naprę ż eń wstę pnych a oraz (nieroz-dzielnych) stanów odkształ ceń wstę pnych e takich, które korzystnie regulują  stany koń-cowe a — a + ce, E =  8 + B gdzie pola a i g są  znane i zwią zane z danym obcią ż eniem zewnę trznym (por. [1, 4, 6]).

Prezentowane w pracy „sprę ż anie termiczne" stanowi szczególny przypadek opisanej wyż ej idei „sprę ż ania wewnę trznego". Wprowadzanie do ustroju dystorsji za poś rednic-twem wymuszania pola temperatury ogranicza moż liwoś ci regulacji stanów. Ograniczenia te wpływają  na fakt, że pewne rozwią zania wyznaczane dla sprę ż ania termicznego' mają bardziej złoż oną postać niż rozwią zania uzyskiwane w przypadku ogólnym [6].

Przykł adem innej technicznej realizacji sprę ż ania wewnę trznego może być wymusza- nie pól dystorsji w ustrojach kratowych poprzez generowanie odpowiednich stanów dys-lokacji (wydłuż eń i skróceń prę tów). [7].

Zajmijmy się  przypadkiem ciał a izotropowego i ustalonego procesu przepł ywu tem-peratury. Dystorsje termiczne działają ce na ciał o przyjmują  postać:

(1) a =  u.95,

gdzie 0 — pole temperatury w stosunku do stał ej temperatury otoczenia, a — współ -czynnik rozszerzalnoś ci termicznej materiał u, 6 — tensor jednostkowy.

Pole temperatury musi przy tym speł niać równanie przewodnictwa cieplnego. (2)  V ć > = - ^ - ,

gdzie A — współ czynnik przewodnictwa cieplnego w materiale zaś W  — pole skalarne ź ródeł ciepł a.

Cechą  charakterystyczną  sprę ż ania termicznego jest fakt, że nie istnieje moż liwość wymuszania beznaprę ż eniowo odkształ ceń wstę pnych (poza przypadkiem liniowo zmien-nych pól s) oraz bezodkształ ceniowo naprę ż eń wstę pnych [6].

*' Praca wykonana został a w ramach współ pracy polsko- amerykań skiej (fundusz M arii Skł odowskiej-Curie N O IN T 75- 08722) na temat „Optymalizacja elementów i systemów konstrukcyjnych".

650 J. HOLNICKI — SZULC

Zatem, poza przypadkiem liniowo zmiennego pola 0, każ dy inny rozkł ad temperatury wywoł uje jednocześ nie stany naprę ż eń i odkształ ceń wstę pnych.

2. Sformuł owanie zagadnienia sprę ż ania termicznego tarczy wirują cej

Omówimy przykł ad tarczy z otworem wirują cej ze stał ą  prę dkoś cią ką tową  w (rys. 1). Obcią ż enie zewnę trzne opisane jest w tym przypadku (pomijają c cię ż ar własny) przez pole masowych sił  odś rodkowych

gdzie Q — masa wł aś ciwa materiał u.

(3) R.m

 Q°>2r

>

Rys. l

U wzglę dniają c wpł yw pola dystorsji na stany naprę ż eń i odkształ ceń koń cowych przez przyję cie zmodyfikowanych zwią zków konstytutywnych [2, 6], otrzymujemy układ zwią zków zapisanych dla naszego koł owosymetrycznego przypadku w ukł adzie współ-rzę dnych biegunowych: — równania równowagi (4) ov = 0 dla dla warunki nierozdzielnoś ci (5) s0 — r = b, r = a,

SPRĘ Ż ANIE TERMICZNE 651 — zwią zki konstytutywne 1 . s, =  —- (or a.  = T gdzie

(8) e =  &0, a =  — a.0.

Wprowadź my ograniczenia nierównoś ciowe narzucone na koń cowy stan naprę ż eń w postaci:

O — ^ 0*-  ^ 0*.

a— < <r& < ff, gdzie a > 0.

Jeś li naprę ż enia ar i a@, wywołane przez obcią ż enie zewnę trzne polem sił  masowych ii ograniczeń tych nie speł niają , interesują cy z inż ynierskiego punktu widzenia staje się problem poszukiwania pól dystorsji e, które minimalizują c koszt sprę ż enia mierzony cał -ką  (globalna energia stanu dystorsji):

(10) min f eadv

wywołują  stany wstę pne aria0 dostosowują ce naprę ż enia koń cowe ar =  ar + a,,oe = =  (T0 +  aQ do ograniczeń (9).

Dysponują c techniczną  moż liwoś cią  wprowadzania dowolnie rozł oż onych ź ródeł ciepła w, zwią zki (3) + (10) formuł ują  zagadnienie optymalnego sprę ż ania termicznego. Otrzymane zadanie minimalizacji funkcjonał u (10) przy ograniczeniach nierównoś cio-wych (9), wię zach w postaci czterech równań: (4)1

, (5) i (6) lub (7) oraz dwóch warunków brzegowych (4)2

 i (4)3

 opisuje pię ć poszukiwanych funkcji 0, a_r, a_B, s_r, e_&.

Zwią zek (2) opisuje rozkł ad ź ródeł ciepł a w, jaki należy • wymusi ć w celu wygenero-wania pola temperatur 0.

3. Przypadek ź ródeł ciepł a rozł oż onych na brzegu tarczy

Stan naprę ż eń uż ytkowych rozpatrywanej (niesprę ż onej) tarczy wirują cej opisany jest zwią zkami [5]:

L . 3+ v  a.

652  J . HOLKICKI — SZULC

(11) t

gdzie:  | » ^

Omówmy przypadek ł agodzenia koncentracji naprę ż eń w ś rodkowym obszarze tarczy (por. rys. 1) przez zastosowanie sprę ż ania termicznego.

Wartość ć r wystę pują cą  w ograniczeniach (9) — mniejszą  od maksymalnych wartoś ci <rr, a®, przyjmiemy póź niej.

Wprowadź my dodatkowo ograniczenie dowolnoś ci pól temperatur 0 do takich, któ-re mogą  być wywoł ane przez ź ródła ciepł a przył oż one jedynie do brzegu wewnę trznego otworu tarczy (rys. 1). Ograniczenie to uwarunkowane jest wzglę dami technologicznymi, uł atwiają c realizację  wyznaczonego rozkł adu temperatur.

Kryterium optymalizacji (10) zbież ne jest w tym przypadku z minimalizacją  inten-sywnoś ci ź ródeł ciepł a na obwodzie r = a.

Poszukiwane pole temperatury 0 musi speł niać w stanie ustalonym równanie prze-wodnictwa cieplnego (2) (bez ź ródeł wewną trz tarczy: V© — 0), które w omawianym za-daniu koł owosymetrycznym przyjmuje postać:

(12)  6 > „ + ~ 0f =  O,

z warunkiem na brzegu r =  b;

(13) 0 =  0,

Z powyż szych zwią zków wynika postać rozkł adu temperatur:

(14) 0

- Mi

z dokł adnoś cią do parametru C, zależ nego od intensywnoś ci ź ródła ciepł a rozł oż onego n a obwodzie r =  a.

Znają c pole dystorsji termicznych (14) moż na okreś lić pole naprę ż eń wstę pnych przez nie wywoł ywanych (z dokł adnoś cią do stał ej C).

Podstawiają c w tym celu (14) do (6) a nastę pnie wyraż ając warunek nterozdzielnoś ci (5) przez naprę ż enia otrzymujemy wraz z równaniem równowagi (pomijają c obcią ż enia zewnę trzne ii) ukł ad dwu równań róż niczkowych zwyczajnych ze wzglę du n a dwie nie-wiadome funkcje opisują ce naprę ż enia wstę pne: Sr(r), <te(r) o warunkach brzegowych

(4)2, i3 n a okrę gach r =  a oraz r = b. Rugują c z tego ukł adu funkcję  naprę ż eń obwodo-wych dochodzimy do opisu wstę pnych, naprę ż eń promieniowych a,\

rz

5rrr+(2v+ l)rar_r+rEa0r =  0,

ar\r=a = ar\r=b o. 0, gdzie:

SPRĘ Ż ANIE TERMICZNE 653

(16)

M oż na sprawdzić, że cał ka ogólna równania róż niczkowego (15)1 m a p o st a ć :

EaG

R

a = _2v lnr+ -okreś loną z dokł adnoś cią do stał ych alt a2

-Wyznaczając je z warun ków brzegowych (15)2

 otrzymujemy ostatecznie

(17) a =  —zR _a2v

 — b

I zie: z = EaC _{•  «- T- <T.}

>>-Znając rozkł ad naprę ż eń promieniowych, m oż na wyznaczyć z ( 4)1

 n aprę ż en i a obwo-dowe:

(18) cr₀ =  —z

_L

Znając naprę ż enia wstę pne wywoł ywane przez pole tem peratur (14), zadan ie term o-sprę ż ania ze wzglę du n a speł nienie ograniczeń (9) m in im aln ym kosztem wprowadzan ych dystorsji sprowadza się do minimalizacji param et ru : (19) it iin z2 , przy ograniczeniach (20) a, Cs(i)+zt(C) > - a, £ ff, Cu(i)+zw(£) ź - ff.

Jeś li wartość a ograniczają ca naprę ż enia dopuszczalne jest okreś lona, t o przy funkcjach i ( |) , i(f), t(g), W (C) zdefiniowanych wyraż eniami (11), (17), (18), zwią zki (20) opisują zespół  warun ków okreś lają cych obszar dopuszczalny na osi liczbowej z, który jest zgodn y dla każ dego f z warun kam i (20).

P o znalezieniu tego obszaru, oraz okreś leniu m in im aln ej wartoś ci z, m o ż na wyznaczyć poszukiwany param etr C (17) okreś lają cy (por. 14) intensywność ź ródła ciepł a

(21)

_e,

= T

\ T

jakie należy wprowadzić n a obwodzie otworu wewnę trznego tarczy wirują cej w celu opty-malnego term osprę ż ania.

Omawiane zadanie rozwią zano numerycznie przyjmując d a n e:

« = - ! , * > =  !,  , - J L . , 5 =  0,3941^.

Wartość a ograniczają cą n aprę ż en ia dobran o tak, aby efekt sprę ż enia był  najwię kszy. Omawiany przykł ad reprezentuje zatem zadanie m aksym aln ego ł agodzen ia kon cen tracji naprę ż eń. M oż na go wykorzystać do maksymalnego zwię kszania n oś n oś ci ustroju p o -przez sprę ż anie.

654 J. HOLNICKI — SZULC

Parametr z przybiera w omawianym przykł adzie optymalną  wartość (22) •  z =  - 1,4151 f,

ską d wynika, obliczają

c parametr C, że poszukiwane pole temperatury (14) ma rozkład-i może być wywoł ane przez ogrzewanie brzegu otworu wewnę trznego tarczy ź ródłami ciepł a (21) o intensywnoś ci (podstawiają c dane przykł adu)

(24) 6> o  = 0 , 3 9 8 5 ^ - .

Rozkł ady naprę ż eń radialnych i obwodowych w stanach uż ytkowym, wstę pnym i koń-cowym pokazano n a rys. (1). Widać, że w wyniku termosprę ż ania uzyskano ponad pię -ciokrotne zmniejszenie ekstremalnych wartoś ci naprę ż eń.

Literatura cytowana w tekś cie

1. Z . M R ÓZ , J. E. TAYLOR Prestress for maximum strength, Int. J. Solid. Struct. 9, (1973) 1535- 1541. 2. W. NowACKt, T eoria sprę ż ystoś ci, §§ 4, 8 PWN  Warszawa 1970.

3. A. STODOŁA, Dampf— und Gas Turbinen, wyd. G  str. 312 i 889- 1924.

4. J. E. TAYLOR Optimal prestress against buckling. An energy approach, Int. J. Solid. S.truct. 2,7 (1971). 5. S. TIMOSHENKO, J. N . GOODIER, T eoria sprę ż ystoś ci. § 14. Arkady Warszawa 1962.

6. J. HOLN ICKI- SZULC, Theory ofprestressingl, II, Bull Acad. Pol. Sci. Techn. 1, 24 (1976).

7. J. H OLMCKI- SZU LC, Prestress of truss and frame structures, J. Struct. D iv. ASCE vol. 105 N o ST 3. March 1979.

P e 3 K> M e

OBP A3OBAH H E ITPEflBAPH TEJIBH &IX TEPM KtffiCKH X H AITPiD KEH H ft H A U P H M E P E OCECH M ETPH - qECKOfi 3A,nA*ffl

B paSoTe paccM aipH BaeicH  n po6n em a npeflBapHTejiBHtix TepM iraeciaix HanpHweHHH. 3apsma 3aKjno*iaeTCH  B ynpaBJiemiH  TepMEraecKHM nojiew c u/ zm>io rnxnyreH H H  Tpe6yeMoro nepepacnpeflejieH na HanpHH<eHirii H  fled^opiwaqH ii B HarpyHffiHHOM ynpyroiw coopy>KeHHH.

IIofl;po6HO o6cy>K,naiOTCH  pe3yjibTaTW n ojiy^em ibie B ciry^ae spam aiom erocH  flnci<a. I I on yieH o oni«M ajibiioe pacnpeflejieH H e TeivinepaTypbi u yKajjaH  cn oco6 r e o peajin3aitH H .

S u m m a r y

TH E R M AL PRESTRESSIN G  — AN  EXAMPLE OF  ROTATIN G  D ISK

A thermal pretressing problem is formulated in the paper. The pretressing is understood as a control of temperature field in order to produce a convenient redistribution of stress and strain states in a loaded structure. An example of rotating disk is examined in details. In the result, the optimal distribution of temperature is determined. A technical way producing of such a distribution is also, discussed., i PAN  :