I MiBM wykład 2 - granice

Definicja ciągu

Ciąg, jest to funkcja przyporządkowująca liczbie naturalnej n element an

pewnego zbioru A. Elementy an zbioru A nazywamy wyrazami ciągu.

Granice ciągów

Liczbę g nazywamy granicą ciągu

 

liczba m 0 _{taka, że dla wszystkich} n m _{zachodzi nierówność} an  g 

             an g







Granice niewłaściwe ciągów

A

a

m

n

a



















lim

A

a

m

n

a





















lim

Twierdzenia o granicach ciągów zbieżnych

Jeżeli lim

i lim

n

a



a

b



b

, to

















Twierdzenie o trzech ciągach

lim lim lim

n n n n n n n n n a b c a c g b g           Np.

Znaleźć granice ciągu b_n  n 3n 5n

Wtedy ciągiem ograniczającym ten ciąg od dołu jest a_n  n 5n ,

a ciągiem ograniczającym od góry jest c_n  n 5n 5n , czyli

5n 3n 5n 5n 5n

n  n   n  .

lim

lim 5

5

n

a





lim

lim 5

5

lim 2 5

lim 2 lim 5

1 5

5

n

c













  

Stąd:

lim

lim 3

5

5

Wybrane granice ciągów (przykłady)

1

lim

0

n























1

,

1

,

1

1

,

0

lim

a

a

a

a

 

 

 

Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny to ciąg liczbowy {an}, w którym różnica dwóch kolejnych

wyrazów: r = ak - ak-1 (gdzie k - jest liczbą naturalną) jest stała. r nazywamy

różnicą ciągu arytmetycznego. Wyraz n-ty obliczamy ze wzoru:



n



r

a

a







1



Sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego można obliczyć według wzoru:

n

a

a

S







2

Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny (postęp geometryczny) to ciąg liczbowy (an), w którym każdy

następny wyraz (począwszy od drugiego) powstaje z pomnożenia wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę q ≠ 0, zwaną ilorazem ciągu geometrycznego.

n-ty wyraz ciągu geometrycznego o ilorazie q jest równy:

1 1 





a

q

a

a sumę n początkowych wyrazów obliczamy wg wzoru:

q q a S n n    1 1 1

przy założeniu, że q ≠ 1 (dla q = 1, Sn = a1 · n).

Jeżeli (an) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym, w którym q 1, to istnieje suma

szeregu geometrycznego: q a a a a S       1 ... 1 3 2 1

Granicą funkcji f : R



dowolnej liczby  > 0 istnieje taka liczba  > 0, że dla każdego x



0 < x – x0 <    f(x) – a < 

Granicą funkcji f : R



Granice szczególne funkcji 0

1

0, dla

0

lim

sin

1

lim

1

1

lim

x

x

x

e

x











_



_













1

ln

lim

1

1

lim

1

1

lim

a

a

x

e

x

x

x

















, gdy

1

lim

0, gdy 0

1

0, gdy

1

lim

, gdy 0

1

a

a

a

a

a

a







 

_{ }







 

_

_{ }











log 1

log

lim

ln 1

1

lim

x

e

x

x

x









Własności granic

 

 





 

 

 

 





 

 

   





 

 

 

 

 

 

 

 





 

lim lim lim

lim lim lim

lim lim lim

lim lim , lim 0 lim lim lim x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x g x g x c f x c f x                                      Granicę funkcji

 

 

 

stosując powyższe własności, po uprzednim podzieleniu licznika i

mianownika przez największą potęgę x, która występuje w mianowniku.

Ciągłość funkcji

Funkcja f jest ciągła w punkcie x0, jeżeli:

1) jest określona w punkcie x0

2) ma granicę w punkcie x0 3) ( ) ( 0) 0 x f x f x x   lim

Własności funkcji ciągłych

Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są ciągłe w punkcie x0, to funkcje:

f(x) + g(x), f(x) – g(x), f(x)  g(x), są również ciągłe w punkcie x0,

(dla ilorazu musi być spełnione założenie, że ).

) ( ) ( x g x f

 