6 Ukªady równa« ró»niczkowych. Równania
wy»-szych rz¦dów.
6.1 Podstawowe poj¦cia dla ukªadów równa«
ró»niczko-wych zwyczajnych
De nicja. Ukªadem n równa« ró»niczkowych zwyczajnych rz¦du pierwszego nazywamy ukªad (URn) x01 = f1(t, x1, . . . , xn) x02 = f2(t, x1, . . . , xn) ... x0n= fn(t, x1, . . . , xn)
Ukªad (URn) b¦dziemy zwykle zapisywa¢ w postaci wektorowej: oznaczaj¡c
x := col (x1, . . . , xn), x0 := col (x01, . . . , x 0
n), f := col (f1, . . . , fn)otrzymujemy
(URn) x0 = f (t, x).
Ukªad (URn) (szczególnie gdy jest zapisany w postaci wektorowej) nazywa-my te» (n-wymiarowym) wektorowym równaniem ró»niczkowym zwyczajnym. Pojedyncze równania ró»niczkowe nazywamy wtedy skalarnymi równania-mi ró»niczkowyrównania-mi.
De nicja. Rozwi¡zanie ukªadu (URn) to funkcja wektorowa ϕ: I → Rn
taka, »e ϕ0(t) = f (t, ϕ(t)) dla ka»dego t ∈ I.
De nicja. Warunki pocz¡tkowe dla ukªadu (URn) to
(WPn) x1(t0) = x1,0 x2(t0) = x2,0 ... xn(t0) = xn,0
czyli w zapisie wektorowym
(WPn) x(t0) = x0, gdzie x0 := col (x1,0, . . . , xn,0)
Ukªad (URn) wraz z warunkami pocz¡tkowymi (WPn) b¦dziemy nazywali zagadnieniem pocz¡tkowym.
De nicja. Rozwi¡zanie zagadnienia pocz¡tkowego (URn)+(WPn) jest to rozwi¡zanie ϕ: I → Rn ukªadu (URn) takie, »e t
6.2 Twierdzenia o istnieniu, jednoznaczno±ci i
przedªu-»aniu rozwi¡za« dla ukªadów równa« ró»niczkowych
zwyczajnych
Przez P b¦dziemy (w tym podrozdziale) oznacza¢ prostopadªo±cian [x1,0 −
ε1, x1,0 + ε1] × · · · × [xn,0− εn, xn,0 + εn], gdzie ε1, . . . , εn > 0. k·k oznacza
standardow¡ norm¦ euklidesow¡ w Rn.
De nicja. Funkcja wektorowa f : [t0− δ, t0 + δ] × P → Rn, gdzie δ > 0, speªnia na [t0 − δ, t0 + δ] × P warunek Lipschitza wzgl¦dem x (jednostajnie po t), je»eli istnieje L > 0 takie, »e
kf (t, x1) − f (t, x2)k ¬ Lkx1− x2k dla wszystkich t ∈ [t0− δ, t0+ δ] i wszystkich x1, x2 ∈ P.
Fakt 6.1. Zaªó»my, »e pochodne cz¡stkowe ∂fi/∂xj istniej¡ i s¡ ci¡gªe na
[t0−δ, t0+ δ] × P. Wówczas f speªnia na [t0−δ, t0+ δ] × P warunek Lipschitza wzgl¦dem x, ze staª¡
L = n sup{ |∂fi
∂xj(t, x)| : i, j = 1, . . . , n, t ∈ [t0 − δ, t0+ δ], x ∈ P }. Twierdzenie 6.2 (Twierdzenie Picarda(Lindelöfa)). Niech f : [t0 − δ, t0 +
δ] × P → Rn b¦dzie ci¡gª¡ funkcj¡ wektorow¡ speªniaj¡c¡ na [t
0− δ, t0+ δ] × P warunek Lipschitza wzgl¦dem x ze staª¡ L jednostajnie po t. Wówczas istnieje dokªadnie jedno rozwi¡zanie ϕ: [t0−η, t0+η] → Rnzagadnienia pocz¡tkowego
(URn-ZP) x0 = f (t, x) x(t0) = x0, gdzie η = min{δ, ε1 M1, . . . , εn Mn}, Mi = sup{ |fi(t, x)| : t ∈ [t0−δ, t0+δ], x ∈ P }. Dowód twierdzenia Picarda dla ukªadów równa« ró»niczkowych jest nie-mal wiern¡ kopi¡ dowodu tego twierdzenia dla równa« (Tw. 3.2; nale»y tylko w odpowiednich miejscach zast¡pi¢ warto±ci bezwzgl¦dne normami).
Ci¡g kolejnych przybli»e« to ci¡g (ϕk)∞k=0 ci¡gªych funkcji wektorowych z
[t0− η, t0 + η]w Rn zde niowanych rekurencyjnie: ϕ0(t) = x0 ∀t ∈ [t0− η, t0+ η] ϕk+1(t) = x0+ t Z t0 f (s, ϕk(s)) ds ∀t ∈ [t0− η, t0+ η]
Twierdzenie 6.3 (Twierdzenie Peano). Niech f : [t0− δ, t0 + δ] × P → Rn b¦dzie ci¡gª¡ funkcj¡ wektorow¡. Wówczas istnieje rozwi¡zanie ϕ: [t0−η, t0+
η] → Rn zagadnienia pocz¡tkowego (URn-ZP) x0 = f (t, x) x(t0) = x0, gdzie η = min{δ, ε1 M1, . . . , εn Mn}, Mi = sup{ |fi(t, x)| : t ∈ [t0−δ, t0+δ], x ∈ P }. Odt¡d a» do ko«ca bie»¡cego podrozdziaªu zakªadamy, »e −∞ ¬ a < b ¬
∞, −∞ ¬ ci < di ¬ ∞, oraz f : (a, b) × (c1, d1) × · · · × (cn, dn) → Rn jest
ci¡gª¡ funkcj¡ wektorow¡.
De nicja. Rozwi¡zanie ϕ: (α, β) → Rn ukªadu równa« ró»niczkowych x0 =
f (t, x) nazywamy nieprzedªu»alnym w prawo, gdy nie istnieje rozwi¡zanie
e
ϕ : (α, ˜β) → Rn ukªadu, takie, »e ˜β > β oraz ϕ ≡
e
ϕ na (α, β).
Analogicznie, rozwi¡zanie ϕ: (α, β) → Rn ukªadu x0 = f (t, x)
nazywa-my nieprzedªu»alnym w lewo, gdy nie istnieje rozwi¡zanie ϕ : ( ˜e α, β) → R
n
ukªadu, takie, »e ˜α > α oraz ϕ ≡ϕe na (α, β).
Rozwi¡zanie nieprzedªu»alne to rozwi¡zanie równocze±nie nieprzedªu»alne w prawo i nieprzedªu»alne w lewo.
Twierdzenie 6.4 (Twierdzenie o przedªu»aniu rozwi¡za«). Niech ϕ: (α, β) → Rn b¦dzie nieprzedªu»alnym w prawo rozwi¡zaniem ukªadu równa« ró»niczko-wych x0 = f (t, x). Wówczas
a) β = b, lub
b) Dla ka»dego zbioru zwartego K zawartego w (c1, d1) × · · · × (cn, dn)
istnieje τ ∈ (α, β) takie, »e ϕ(t) /∈ K dla ka»dego t ∈ [τ, β).
Niech ϕ: (α, β) → Rnb¦dzie nieprzedªu»alnym w lewo rozwi¡zaniem
ukªa-du równa« ró»niczkowych x0 = f (t, x). Wówczas
a) α = a, lub
b) Dla ka»dego zbioru zwartego K zawartego w (c1, d1) × · · · × (cn, dn)
istnieje τ ∈ (α, β) takie, »e ϕ(t) /∈ K dla ka»dego t ∈ (α, τ].
Cz¦±¢ b) niekiedy formuªuje si¦ w nast¦puj¡cy sposób: (t, ϕ(t)) d¡»y, gdy
t → β−, do brzegu zbioru (a, b)×(c1, d1)×· · ·×(cn, dn)(odpowiednio: (t, ϕ(t))
d¡»y, gdy t → α+, do brzegu zbioru (a, b) × (c
1, d1) × · · · × (cn, dn)).
Dowód twierdzenia o przedªu»aniu dla równa« wektorowych jest do±¢ »mudny, cho¢ wykorzystywane s¡ w nim tylko standardowe fakty z rachunku
ró»niczkowego funkcji wielu zmiennych. Mo»na go znale¹¢ np. w ksi¡»ce: A. Palczewski, Równania ró»niczkowe zwyczajne. Teoria i metody metodyczne z wykorzystaniem komputerowego systemu oblicze« symbolicznych, WNT, War-szawa, 1999, str. 7880, lub: Ph. Hartman, Ordinary Dierential Equations, Birkhäuser, Boston, 1982, str. 1214.
Fakt 6.5. Niech t0 ∈ (a, b) i x0 ∈ (c1, d1) × · · · × (cn, dn). Wówczas istnieje
nieprzedªu»alne rozwi¡zanie zagadnienia pocz¡tkowego
x0 = f (t, x)
x(t0) = x0.
Fakt 6.6. Zaªó»my ponadto, »e na ka»dym prostopadªo±cianie P ⊂ (a, b) × (c1, d1)×· · ·×(cn, dn)funkcja f speªnia warunek Lipschitza wzgl¦dem x
jedno-stajnie po t. Niech t0 ∈ (a, b) i x0 ∈ (c1, d1) × · · · × (cn, dn). Wówczas istnieje
dokªadnie jedno nieprzedªu»alne rozwi¡zanie zagadnienia pocz¡tkowego
(URn-ZP) x0 = f (t, x) x(t0) = x0.
Wykres rozwi¡zania ukªadu x0 = f (t, x) nazywamy krzyw¡ caªkow¡ tego
ukªadu. Wykres rozwi¡zania nieprzedªu»alnego b¦dziemy nazywali nieprze-dªu»aln¡ krzyw¡ caªkow¡.
6.3 Autonomiczne ukªady równa« ró»niczkowych
zwy-czajnych
Autonomicznym ukªadem n równa« ró»niczkowych zwyczajnych pierwszego rz¦du nazywamy ukªad
(UAn) x0 = f (x).
Odt¡d do ko«ca podrozdziaªu zakªadamy, »e f : D → Rn jest ci¡gª¡ funkcj¡
wektorow¡ okre±lon¡ na obszarze D ⊂ Rn.
Mamy nast¦puj¡ce wnioski z twierdze« Peano i Picarda:
Twierdzenie 6.7. Dla ka»dego t0 ∈ R i ka»dego x0 ∈ D istnieje nieprzedªu-»alne rozwi¡zanie zagadnienia pocz¡tkowego
x0 = f (x)
Twierdzenie 6.8. Zaªó»my, »e f speªnia na ka»dym prostopadªo±cianie P ⊂
D warunek Lipschitza wzgl¦dem x. Wówczas dla ka»dego t0 ∈ R i ka»de-go x0 ∈ D istnieje dokªadnie jedno nieprzedªu»alne rozwi¡zanie zagadnienia pocz¡tkowego x0 = f (x) x(t0) = x0.
Niech ϕ: I → Rn b¦dzie rozwi¡zaniem autonomicznego ukªadu równa«
ró»niczkowych (UAn). Obraz { ϕ(t) : t ∈ I } nazywamy krzyw¡ fazow¡ ukªa-du (UAn).
Rozwa»my autonomiczny ukªad dwóch równa« ró»niczkowych
(UA2) x0 = f (x, y) y0 = g(x, y),
gdzie f, g : D → R s¡ funkcjami ci¡gªymi okre±lonymi na obszarze D ⊂ R2. Wykonuj¡c par¦ (formalnych) operacji mo»emy przeksztaªci¢ ukªad (UA2) do postaci
(6.1) g(x, y) dx − f (x, y) dy = 0.
Zaªó»my, »e dla ka»dego (x, y) ∈ D zachodzi |f(x, y)|+|g(x, y)| > 0. Wówczas ka»dy punkt obszaru D jest punktem regularnym dla równania (6.1).
Niech γ = (ϕ, ψ): I → D b¦dzie rozwi¡zaniem ukªadu (UA2). Wówczas krzywa regularna γ klasy C1 jest rozwi¡zaniem równania (6.1) w postaci parametrycznej.
Niech Φ: D → R b¦dzie caªk¡ równania (6.1). Wówczas ka»da krzywa fazowa ukªadu (UA2) jest zawarta w poziomicy caªki Φ.
Je±li dla ka»dej warto±ci C nale»¡cej do obrazu caªki Φ równanie Φ(x, y) = C
ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie y = η(x; C), podstawiaj¡c otrzymany wzór do pierwszego równania ukªadu (UA2) otrzymujemy rodzin¦ równa« ró»nicz-kowych (sparametryzowanych staª¡ C)
x0 = f (x, η(x; C)).
Niekiedy mo»na otrzyma¢ rozwi¡zanie ogólne powy»szej rodziny równa«:
Wówczas rozwi¡zaniem ogólnym wyj±ciowego ukªadu mo»emy nazwa¢ wy-ra»enie x(t) = χ(t; C, D) y(t) = η(χ(t; C, D); C).
Przykªad. Rozwa»my autonomiczny ukªad dwóch równa« ró»niczkowych zwyczajnych x0 = y y0 = −y 2 x.
Otrzymujemy ze« równanie ró»niczkowe w postaci Leibniza
y dx + x dy = 0.
Funkcja Φ(x, y) = xy jest caªk¡ powy»szego równania na zbiorze punktów regularnych R2\ {(0, 0)}.
Zatem η(x; C) = C/x. Podstawiaj¡c to do pierwszego równania ukªadu otrzymujemy
x0 = C
x,
co mo»na rozwi¡za¢ przy pomocy rozdzielenia zmiennych, dostaj¡c
x = ±√2Ct + D,
gdzie C 6= 0 i D jest dowolne, lub C = 0 i D > 0. Ostatecznie otrzymujemy rozwi¡zanie ogólne wyj±ciowego ukªadu w postaci
x(t) = ±√2Ct + D y(t) = √ ±C 2Ct + D.
6.4 Równania ró»niczkowe zwyczajne n-tego rz¦du
De nicja. Równaniem ró»niczkowym zwyczajnym n-tego rz¦du nazywamy równanie
(RRZn) x(n)= f (t, x, x0, . . . , x(n−1)).
De nicja. Rozwi¡zanie równania (RRZn) to funkcja ϕ: I → R taka, »e
ϕ(n)(t) = f (t, ϕ(t), ϕ0
De nicja. Warunki pocz¡tkowe dla równania (RRZn) to (WPn) x(t0) = x0, x0(t0) = x1, . . . , x(n−1)(t0) = xn−1.
De nicja. Rozwi¡zanie zagadnienia pocz¡tkowego (RRZn)+(WPn) jest to rozwi¡zanie ϕ: I → R równania (RRZn) takie, »e t0 ∈ I oraz ϕ(t0) = x0,
ϕ0(t0) = x1, . . . , ϕ(n−1)(t0) = xn−1.
Równanie ró»niczkowe zwyczajne n-tego rz¦du (RRZn) sprowadza si¦ do ukªadu n równa« ró»niczkowych zwyczajnych pierwszego rz¦du
(6.2) x01 = x2 x02 = x3 ... x0n= f (t, x1, . . . , xn),
gdzie x1 := x, x2 := x0, . . . , xn:= x(n−1). Istotnie, je±li ϕ: I → R jest
rozwi¡-zaniem równania (RRZn), to funkcja wektorowa (ϕ, ϕ0, . . . , ϕ(n−1)) : I → R
jest rozwi¡zaniem ukªadu (6.2). Na odwrót, je±li funkcja wektorowa (ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn) : I →
Rn jest rozwi¡zaniem ukªadu (6.2), to jej pierwsza wspóªrz¦dna ϕ1: I → R jest rozwi¡zaniem równania (RRZn)
Odt¡d, przez P b¦dziemy (w tym podrozdziale) oznacza¢ prostopadªo-±cian [x0− ε0, x0+ ε0] × [x1− ε1, x1+ ε1] · · · × [xn−1− εn−1, xn−1+ εn−1], gdzie
ε0, . . . , εn−1> 0.
De nicja. Funkcja f = f(t, p1, . . . , pn) : [t0−δ, t0+δ]×P → R, gdzie δ > 0, speªnia na [t0− δ, t0+ δ] × P warunek Lipschitza wzgl¦dem (p1, . . . , pn), je»eli
istnieje L > 0 takie, »e
|f (t, ˜p1, . . . , ˜pn) − f (t, ¯p1, . . . , ¯pn)| ¬ Lk(˜p1, . . . , ˜pn) − (¯p1, . . . , ¯pn)k
dla wszystkich t ∈ [t0− δ, t0+ δ] i wszystkich (˜p1, . . . , ˜pn), (¯p1, . . . , ¯pn) ∈ P.
Twierdzenie 6.9 (Twierdzenie Picarda(Lindelöfa)). Niech f : [t0 − δ, t0+
δ] × P → R b¦dzie funkcj¡ ci¡gª¡ speªniaj¡c¡ na [t0− δ, t0+ δ] × P warunek Lipschitza wzgl¦dem (p1, . . . , pn) ze staª¡ L. Wówczas istnieje jednoznaczne
rozwi¡zanie ϕ: [t0− η, t0+ η] → R zagadnienia pocz¡tkowego
(RRZn-ZP) x(n)= f (t, x, x0, . . . , x(n−1)), x(t0) = x0, ... x(n−1)(t0) = xn−1
gdzie η ∈ (0, δ].
Twierdzenie 6.10 (Twierdzenie Peano). Niech f : [t0 − δ, t0 + δ] × P → R b¦dzie funkcj¡ ci¡gª¡. Wówczas istnieje rozwi¡zanie ϕ: [t0− η, t0 + η] → R zagadnienia pocz¡tkowego (RRZn-ZP) x(n) = f (t, x, x0, . . . , x(n−1)), x(t0) = x0, ... x(n−1)(t 0) = xn−1, gdzie η ∈ (0, δ].
6.5 Praktyczne metody rozwi¡zywania równa«
drugie-go rz¦du i ukªadów równa«
1) Równanie postaci
x00 = f (t, x0)
sprowadzamy do równania rz¦du pierwszego przy pomocy podstawienia
u = x0
2) Rozwi¡zywanie równania postaci
x00 = f (x, x0)
mo»na sprowadzi¢ do rozwi¡zywania dwóch równa« rz¦du pierwszego w na-st¦puj¡cy sposób: traktujemy x jako now¡ zmienn¡ niezale»n¡, i podstawiamy
u(x) = x0(x). Mamy x00 = du dt = du dx dx dt = du dxu.
Podstawiamy powy»sz¡ równo±¢ do wyj±ciowego równania, otrzymuj¡c
du dx =
f (x, u) u
Rozwi¡zuj¡c powy»sze równanie pierwszego rz¦du, otrzymujemy rozwi¡za-nie ogólne u = g(x; C) (rozwi¡za-nie zawsze mo»na poda¢ takie rozwi¡zarozwi¡za-nie w postaci
gotowego wzoru). Lecz u = x0, zatem mamy teraz rodzin¦ równa«
ró»nicz-kowych pierwszego rz¦du (zale»n¡ od parametru C):
x0 = g(x; C),
któr¡ rozwi¡zujemy (to znów nie zawsze musi si¦ uda¢). Przykªad. Rozwa»my równanie ró»niczkowe
(6.3) x00 = (x
0)2
x , x > 0.
Podstawienie u(x) = x0
(x)daje po przeksztaªceniach równanie
du dx =
u x
Rozdzielaj¡c zmienne dostajemy
du
u =
dx x
(Na marginesie nale»y zauwa»y¢, »e podczas tych przeksztaªce« podzielili±my obie strony równania przez u; trzeba b¦dzie pó¹niej sprawdzi¢, czy równo±¢
u ≡ 0 nie odpowiada czasem jakiemu± rozwi¡zaniu.) Nakªadaj¡c na obie
strony caªk¦ nieoznaczon¡ otrzymujemy
ln |u| = ln x + ˜C,
gdzie ˜C jest staª¡ dowoln¡. Dalej dostajemy u = Cx,
czyli
x0 = Cx,
gdzie C = ±eC˜ jest dowoln¡ staª¡ niezerow¡. Powy»sze równanie liniowe mo»na ªatwo rozwi¡za¢, otrzymuj¡c
x = DeCt,
gdzie D jest dowoln¡ staª¡ dodatni¡. Przypominamy sobie teraz, »e dzielili-±my obie strony przez u. Lecz u ≡ 0 oznacza x0 ≡ 0, czyli x = const. atwo
zauwa»y¢, »e funkcje staªe (oczywi±cie przyjmuj¡ce warto±ci dodatnie) s¡ rozwi¡zaniami równania (6.3). Reasumuj¡c, mo»emy zapisa¢
gdzie C jest staª¡ dowoln¡, za± D jest dowoln¡ staª¡ dodatni¡.
Wzór (6.4) nazywa si¦ w klasycznych podr¦cznikach równa« ró»niczko-wych zwyczajnych rozwi¡zaniem ogólnym równania (6.3). Istotnie, wyczer-puje on wszystkie mo»liwe rozwi¡zania równania (6.3). Aby to udowodni¢, we¹my dowolne rozwi¡zanie ϕ naszego równania. Ustalmy t0z dziedziny funk-cji ϕ, i oznaczmy x0 := ϕ(t0), x1 := ϕ0(t0). Funkcja ϕ jest rozwi¡zaniem zagadnienia pocz¡tkowego x00= (xx0)2 x(t0) = x0 x0(t0) = x1.
Z drugiej strony, ªatwo sprawdzi¢, »e funkcja ψ(t) = DeCt, gdzie
C = x1 x0
, D = x0e −t0x1
x0
te» jest rozwi¡zaniem (nieprzedªu»alnym) tego zagadnienia pocz¡tkowego. Z twierdzenia Picarda dla równa« wy»szych rz¦dów (Twierdzenie 6.9) wynika, »e ϕ jest obci¦ciem funkcji ψ.
3) Ukªad dwóch równa« ró»niczkowych pierwszego rz¦du mo»na spróbo-wa¢ sprowadzi¢ do jednego równania ró»niczkowego drugiego rz¦du ró»nicz-kuj¡c jedno z równa« wzgl¦dem t i eliminuj¡c jedn¡ ze zmiennych. Jest to tak zwana metoda eliminacji.
6.6 Przykªad: równanie ró»niczkowe x
00+ x
3= 0
Sprowad¹my równanie ró»niczkowe drugiego rz¦du
(6.5) x00+ x3 = 0
do ukªadu dwóch równa« ró»niczkowych pierwszego rz¦du
(6.6) x0 = y y0 = −x3.
Dalej, otrzymujemy równanie w postaci Leibniza
x3dx + y dy = 0,
którego caªk¡ jest funkcja Φ(x, y) = 1 4x
4+ 1 2y
Jak wiadomo z podrozdziaªu 6.3 ka»da krzywa caªkowa ukªadu (6.6) jest zawarta w poziomicy funkcji Φ. (Formalnie rzecz bior¡c, w podrozdziale 6.3 caªka jest okre±lona na zbiorze punktów regularnych, podczas gdy w naszym przypadku (0, 0) to punkt osobliwy. Rozumowanie tamto zachowuje jednak wa»no±¢ i tutaj.)
Poziomica funkcji Φ odpowiadaj¡ca warto±ci zero to zbiór jednopunkto-wy {(0, 0)}. Oczywi±cie, jedynym rozwi¡zaniem ukªadu (6.6), którego obraz jest zawarty w {(0, 0)}, jest (ϕ, ψ) ≡ (0, 0), co odpowiada rozwi¡zaniu stale równemu zeru wyj±ciowego równania (6.5).
Niech teraz C > 0, i rozwa»my poziomic¦ HC := { (x, y) : Φ(x, y) = C }.
Poziomica ta jest zbiorem zwartym homeomor cznym z okr¦giem.
Na powy»szym rysunku naszkicowano poziomice caªki Φ odpowiadaj¡ce C =
1/4(zielona), C = 4 (czerwona), i C = 16 (niebieska).
Wybierzmy teraz chwil¦ pocz¡tkow¡ t0 i warto±ci pocz¡tkowe (x0, y0) poªo»one na tej poziomicy. Niech (ϕ, ψ): (α, β) → R2 b¦dzie nieprzedªu-»alnym rozwi¡zaniem ukªadu (6.6) odpowiadaj¡cym powy»szym warunkom pocz¡tkowym. Dla ka»dego t ∈ (α, β) punkt (ϕ(t), ψ(t)) nale»y do zbioru zwartego HC. Z twierdzenia o przedªu»aniu rozwi¡za« (Tw. 6.4) wynika, »e
(α, β) = (−∞, ∞).
Spójrzmy na nasze rozwi¡zanie jak na parametryczny opis ruchu punktu na pªaszczy¹nie: czas t to parametr, (ϕ(t), ψ(t)) to poªo»enie punktu w chwili
t. Tor ruchu zawarty jest w zbiorze HC. Dalej, w ka»dym momencie t pr¦dko±¢
(ϕ0(t), ψ0(t)) (6= 0) jest styczna do owalu HC. Co wi¦cej, ruch odbywa si¦
Owal HC ma sko«czon¡ dªugo±¢, za± szybko±¢ (tzn. dªugo±¢ wektora
pr¦d-ko±ci) ruchu punktu jest zawsze niezerowa. Skoro HC jest zbiorem zwartym,
i szybko±¢ zale»y w sposób ci¡gªy od poªo»enia, minimalna szybko±¢ jest do-datnia. Zatem istnieje takie T > 0, »e (ϕ(t0+T ), ψ(t0+T )) = (ϕ(t0), ψ(t0)) = (x0, y0). Prostym wnioskiem z jednoznaczno±ci rozwi¡zania zagadnienia po-cz¡tkowego jest to, »e rozwi¡zanie jest funkcj¡ okresow¡, o okresie T .
W konsekwencji, ka»de niezerowe rozwi¡zanie wyj±ciowego równania (6.5) jest (nietrywialn¡) funkcj¡ okresow¡ o okresie T .
Interpretacja zyczna równania x00+ x3 = 0 to ruch cz¡stki w polu po-tencjalnym. W de nicji caªki Φ, czªon 1
2y
2 to energia kinetyczna, za± czªon 1
4x
4 to energia potencjalna. Fakt, »e caªka Φ zachowuje staª¡ warto±¢ wzdªu» rozwi¡za« ukªadu, to zasada zachowania energii.
Ukªad równa« ró»niczkowych (6.6) jest przykªadem obiektu zwanego ukªa-dem Hamiltona1.
Ukªad równa« ró»niczkowych zwyczajnych pierwszego rz¦du okre±lony na otwartym podzbiorze U przestrzeni R2n = {(p
1, . . . , pn, q1, . . . , qn)}
nazywa-my ukªadem Hamiltona, je»eli istnieje funkcja H : U → R klasy C2 taka, »e ukªad mo»na zapisa¢ w postaci
(6.7) dp dt = − ∂H ∂q, dq dt = ∂H ∂p,
gdzie p = (p1, . . . , pn), q = (q1, . . . , qn). Funkcj¦ H nazywamy funkcj¡
Ha-miltona (odpowiada energii caªkowitej), pi to p¦dy (lub impulsy) uogólnione,
qi to wspóªrz¦dne uogólnione. Liczba n to liczba stopni swobody. Ukªady
ta-kie maj¡ du»e znaczenie w mechanice klasycznej, sa te» interesuj¡ce z czysto matematycznego punktu widzenia.
W ukªadzie (6.6) liczba stopni swobody to 1, wspóªrz¦dna uogólniona q to x, p¦d uogólniony q to y, za± funkcja Hamiltona to H(p, q) = 1
2p 2+1
4q 2.
