2 Posta¢ kanoniczna liniowych równa« rz¦du II

SPIS TRE‘CI 1

III. Równania ró»niczkowe cz¡stkowe rz¦du II

Spis tre±ci

1 Klasykacja równa« liniowych rz¦du drugiego 2

2 Posta¢ kanoniczna liniowych równa« rz¦du II 5

2.1 Charakterystyki . . . 6 2.2 Posta¢ kanoniczna równa« rz¦du II na pªaszczy¹nie . . . 9

3 Metoda rozdzielania zmiennych 12

3.1 Przepªyw ciepªa w jednorodnym pr¦cie . . . 13 3.2 Struna drgaj¡ca . . . 15 3.3 Kilka sªów o szeregach Fouriera i wzory na wspóªczynniki . . . 16

1 Klasykacja równa« liniowych rz¦du drugiego 2

Przypomnijmy na pocz¡tku, »e zgodnie z ogóln¡ postaci¡ równania cz¡stkowego, równaniem drugiego rz¦du nazwiemy równanie postaci:

F (D²u(x ), Du(x ), u(x ), x ) = 0,

gdzie F : Rⁿ² Rⁿ R  U ! R jest dana, natomiast funkcja u : U ! R jest niewiadom¡.

Poniewa» teoria równa« cz¡stkowych rz¦du drugiego jest znacznie trudniejsza od teorii dotycz¡cej równa« rz¦du pierwszego, nawet je±li miaªaby dotyczy¢ tylko rozwi¡za« klasycznych, zajmiemy si¦

tylko równaniami liniowymi i tylko niektórymi z ogólnej klasy równa« liniowych drugiego rz¦du.

Zauwa»my najpierw, »e równanie liniowe drugiego rz¦du mo»na zapisa¢ w postaci

Xn i ,j =1

a_ij(x )u_xixj(x ) +

Xn i =1

b_i(x )u_xi(x ) + c(x )u(x ) = f (x ), (1) gdzie aij, b_i, c, f : Rⁿ U ! R s¡ funkcjami ci¡gªymi, a u jest niewiadom¡ funkcj¡ klasy C²(U).

Wida¢ od razu, »e je±li lew¡ stron¦ tego równania oznaczymy przez Lu, to mamy

L(u1+u2) =Lu1+Lu2, dla dowolnych u1, u2 2 C²(U), wi¦c jest ono w istocie liniowe.

Równanie falowe, równanie przewodnictwa cieplnego (dyfuzji) i równanie Laplace'a s¡ przykªadami liniowych równa« ró»niczkowych rz¦du drugiego. Jak si¦ pó¹niej oka»e, jako±ciowe wªasno±ci rozwi¡- za« ka»dego z tych równa« b¦d¡ nieco inne, np.: rozwi¡zania równania Laplace'a i równania dyfuzji b¦d¡ gªadsze ni»by to wynikaªo z samych równa«, a rozwi¡zania równania falowego b¦d¡ na ogóª klasy C²; dla rozwi¡za« równania falowego pr¦dko±¢ rozchodzenia zaburze« b¦dzie sko«czona, a dla rozwi¡za« równania przewodnictwa cieplnego - niesko«czona, itp.

Okazuje si¦, »e równania liniowe rz¦du II mo»na podzieli¢ na pewne klasy, a badanie ka»dej z tych klas stanowi przedmiot odr¦bnej i rozlegªej teorii matematycznej.

1 Klasykacja równa« liniowych rz¦du drugiego

Spo±ród równa« liniowych wyodr¦bnia si¦ trzy podstawowe typy: równania hiperboliczne, równania

1 Klasykacja równa« liniowych rz¦du drugiego 3

paraboliczne i równania eliptyczne. Jak si¦ pó¹niej przekonamy, ju» dla n = 3 nie jest to peªna kla- sykacja, ale innymi typami nie b¦dziemy si¦ zajmowa¢.

Rowa»amy teraz tylko równanie w postaci (1). Bez zmniejszania ogólno±ci mo»emy zaªo»y¢, »e ma- cierz A = [aij]ⁿ_{ij =1} jest macierz¡ symetryczn¡, czyli »e aij = aji. Istotnie, je±li przyjmiemy

a⁰_ij = 1

2(a_ij + a_ji), a⁰⁰_ij = 1

2(aij aji), to wtedy

a⁰_ij = a_ji⁰, a⁰⁰_ij = a⁰⁰_ji, a_ij = a⁰_ij + a_ij⁰⁰,

a z symetrii macierzy drugich pochodnych cz¡stkowych funkcji u mo»emy napisa¢:

Xn i ,j =1

aijux_ix_j =

Xn i ,j =1

a⁰ijux_ix_j+

Xn i ,j =1

a⁰⁰ijux_ix_j

| {z }

=0

=

Xn i ,j =1

a⁰ijux_ix_j.

Ustalmy punkt x 2 U i niech 1,2, ... ,n b¦d¡ warto±ciami wªasnymi macierzy A(x) = [aij(x )]ⁿ_{ij =1}. Poniewa» zaªo»yli±my, »e macierz ta jest symetryczna, wi¦c wszystkie warto±ci wªasne s¡ rzeczywiste.

Oznaczmy teraz

n⁺(x ) = #fi : i > 0g , n (x ) = #fi : i < 0g , n⁰(x ) = #fi : i = 0g .

Denicja 1.1.

Mówimy, »e równanie (1) jest w punkcie x 1. eliptyczne, je±li n⁺(x ) = n lub n (x) = n,

2. hiperboliczne, je±li n⁺(x ) + n (x ) = n i n (x) 2 f1, n 1g, 3. paraboliczne, je±li n⁰(x ) = 1 i n⁺(x ) = n 1 lub n (x) = n 1.

Na podstawie tej denicji, jak wida¢, mo»emy w peªni sklasykowa¢ jedynie równania dla n = 2.

Dla wy»szych wymiarów mo»emy okre±li¢ jeszcze tzw. równanie ultrahiperboliczne w punkcie x, je±li

1 Klasykacja równa« liniowych rz¦du drugiego 4 n⁺(x ) + n (x ) = n i 1 < n (x) < n 1.

Uwaga 1.1. Jako przypomnienie podamy teraz, »e warto±ci wªasne macierzy A uzyskujemy z roz- wi¡zania równania

det(A I ) = 0.

Šatwo mo»emy sprawdzi¢ teraz, »e równanie falowe jest hiperboliczne, równanie dyfuzji - paraboliczne, a równanie Laplace'a eliptyczne. Istniej¡ równania, które nie s¡ »adnego z wymienionych typów, np.:

u_xx u_y u_z = 3,

dla którego n⁺ = 1, n⁰ = 2. Ponadto istniej¡ równania, które zmieniaj¡ typ w obszarze, w którym sa okre±lone. Przykªadem jest tzw. równanie Tricconiego, które opisuje w przybli»eniu ruch ciaªa w gazie z pr¦dko±ci¡ blisk¡ pr¦dko±ci d¹wi¦ku:

yu_xx + u_yy = 0.

Dla y > 0 jest ono eliptyczne i odpowiada ruchowi z pr¦dko±ci¡ podd¹wi¦kow¡, dla y < 0 jest hiperboliczne i odpowiada ruchowi z pr¦dko±ci¡ ponadd¹wi¦kow¡, a dla y = 0 jest to równanie para- boliczne (które si¦ tu trywializuje).

Równania o zmieniaj¡cym sie typie s¡ sªabiej zbadane ni» te, które maja ten sam typ w caªym ob- szarze okre±lono±ci. Na szcz¦±cie wi¦kszo±¢ równa« liniowych zyki matematycznej ma ustalony typ w caªym obszarze okre±lono±ci.

Mamy ponadto wa»n¡ przydatn¡ wªasno±¢ zwi¡zan¡ z typem równania.

Lemat 1.1. Typ równania nie ulega zmianie przy dyfeomorcznej (klasy C²) zamianie zmiennych.

Dowód.

Niech Φ b¦dzie dyfeomorzmem klasy C² mi¦dzy dwoma obszarami w Rⁿ, Rⁿ  U 3 x ! y = Φ(x) 2 V  Rⁿ.

Zaªó»my, »e u 2 C²(U) i niech v = u  Φ ¹ 2 C²(V ). Ró»niczkuj¡c obie strony równo±ci u(x) = v (Φ(x )),otrzymujemy:

u_xi(x ) =

Xn k=1

v_yk(Φ(x ))@yk

@xi

,

2 Posta¢ kanoniczna liniowych równa« rz¦du II 5

uxixj(x ) =

Xn k,l =1

vy_ky_l(Φ(x ))@yk

@xi

@yl

@xj

+

Xn k=1

vy_k(Φ(x )) @²y_k

@xi@xj

. St¡d za±

Xn i ,j =1

a_ij(x )u_xixj(x ) =

Xn k,l =1

v_ykyl(Φ(x ))

Xn i ,j =1

a_ij(x )@yk

@xi

@yl

@xj

+ + wyrazy z pochodnymi niszego rzdu.

Zatem dla y = Φ(x) cz¦±¢ gªówna równania ma posta¢

Xn i ,j =1

a_ij(x )u_xixj(x ) =

Xn k,l =1

˜

a_kl(y )v_ykyl(y ), + wyrazy z pochodnymi niszego rzdu, gdzie

˜

a_kl(y ) =

Xn i ,j =1

a_ij@yk

@xi

(x )@yl

@xj

(x ) dla x = Φ ¹(y ).

Innymi sªowy, je±li ˜A = [˜akl]ⁿ_{k,l =1} oraz A = [aij]ⁿ_{i ,j =1}, a J jest macierz¡ Jacobiego dyfeomorzmu Φ, czyli J =^h@y_@x^k_jⁱⁿ

k,j =1, to

A = J˜
A
J^T

(przy czym nale»y pami¦ta¢, by warto±ci wspóªczynników i pochodnych bra¢ w odpowiednich punk- tach). Macierz wspóªczynników przy pochodnych drugiego rz¦du transformuje si¦ wi¦c tak samo, jak macierz formy kwadratowej - maj¡ taki sam wielomian charakterystyczny (zobacz [15]: Dodatek E o formach kwadratowych) - i dlatego

n⁰(˜A) = n⁰(A), n⁺(˜A) = n⁺(A), n (˜A) = n (A), co oznacza, »e po zamianie zmiennych typ równania si¦ nie zmieni.

2 Posta¢ kanoniczna liniowych równa« rz¦du II

Skoro przy dyfeomorcznej zamianie zmiennych nie zmienia si¦ typ równania, to czy mo»na tak dobra¢

nowe zmienne, by równanie miaªo prostsz¡ posta¢ (z której by¢ mo»e uda si¦ uzyska¢ rozwi¡zania)?

Odpowied¹ jest \ostro»nie" pozytywna. Zanim jednak przeprowadzimy taka zamian¦, potrzebne nam b¦d¡ informacje o charakterystykach dla równa« liniowych II rz¦du.

2.1 Charakterystyki 6

2.1 Charakterystyki

Niech hiperpowierzchnia Γ b¦dzie n 1 -wymiarowa klasy C¹ w U i zadana jako przeciwobraz 0

Γ =fx 2 U : F (x) = 0g , gdzie F : U ! R jest klasy C¹ i rz[F⁰(x )] = 1 dla x 2 Γ.

Denicja 2.1.

Charakterystyk¡ równania

Xn i ,j =1

a_ij(x )u_xixj(x ) +

Xn i =1

b_i(x )u_xi(x ) + c(x )u(x ) = f (x ), (2) nazywamy hiperpowierzchni¦ Γ tak¡, »e w ka»dym punkcie x 2 Γ speªnione jest równanie

Xn i ,j =1

a_ij(x )F_xi(x )F_xj(x ) = 0. (3) Równanie to nazywa si¦ równaniem charakterystyk.

Jak wida¢ z tej denicji, rozwi¡zania równania charakterystyk (3) opisuj¡ charkterystyki równania (2), czyli charakterystyki s¡ poziomicami tych rozwi¡za«

Γc =fx : F (x) = Cg , C = const.

Zaªó»my teraz, »e Γ jest charakterystyk¡ i ustalmy punkt x 2 Γ. Wtedy cho¢ jedna z pochodnych cz¡stkowych Fxi(x ) 6= 0, niech to b¦dzie Fxn(x )6= 0. Okre±lmy odwzorowanie Φ : Rⁿ Γ ! V  Rⁿ wzorem:

Φ(x₁, x₂, ... , x_n) = (y₁, y₂, ... , y_{n 1}, F (x₁, x₂, ... , x_n)),

czyli yn = F (x₁, x₂, ... , x_n). Wtedy det Φ⁰(x ) = F_xn(x ) 6= 0, wi¦c na podstawie twierdzenia o lokalnej odwracalno±ci Φ jest dyfeomorzmem otoczenia punktu x na otoczenie punktu Φ(x) = y.

Posªu»ymy si¦ rachunkami z dowodu lematu 1.1 i przypomnimy, jak wygl¡da równanie (2) w nowych zmiennych dla v = u  Φ ¹. Mamy

Xn i ,j =1

a_ij(x )u_xixj(x ) =

Xn k,l =1

˜

a_kl(y )v_ykyl(y ),

2.1 Charakterystyki 7

gdzie

˜

a_kl(y ) =

Xn i ,j =1

a_ij@yk

@xi

(x )@yl

@xj

(x ) + wyrazy z pochodnymi niszego rzdu

dla x = Φ ¹(y ). Ale dla k ¬ n 1, y_k,xi = ki, natomiast dla k = n mamy yn,xi = F_xi. St¡d dostajemy kolejno:

Xn k,l =1

˜

a_kl(y )v_ykyl(y ) =

=

n 1X

k,l =1

˜

a_kl(y )v_ykyl(y ) +

n 1X

k=1

˜

a_kn(y )v_ykyn(y ) +

n 1X

l =1

˜

a_nl(y )v_ynyl(y ) + ˜a_nn(y )v_ynyn(y ) =

=

n 1X

k,l =1

˜

a_kl(y )v_ykyl(y ) + 2

n 1X

k=1

˜a_kn(y )v_ykyn(y ) + ˜a_nn(y )v_ynyn(y ) =

=

n 1X

k,l =1

˜

akl(y )vy_ky_l(y ) + 2

n 1X

k=1

0

@Xⁿ

i ,j =1

aij@yk

@xi

(x )@yn

@xj

(x )

1

Avy_kyn(y ) +

Xn i ,j =1

aij@yn

@xi

(x )@yn

@xj

(x )vynyn(y ) =

|{z}=

y_n,xi=F_xi n 1X

k,l =1

˜

a_kl(y )v_ykyl(y ) + 2

n 1X

k=1

0

@Xⁿ

i ,j =1

a_ij@yk

@xi

(x )F_xj(x )

1

Av_ykyn(y ) +

Xn i ,j =1

a_ijF_xi(x )F_xj(x )v_ynyn(y ) =

|{z}=

y_k,xi=ki

n 1X

k,l =1

˜

a_kl(y )v_ykyl(y ) + 2

n 1X

k=1

0

@Xⁿ

j =1

a_kjF_xj(x )

1

Av_ykyn(y ) +

Xn i ,j =1

a_ijF_xi(x )F_xj(x )v_ynyn(y ).

Ale ostatni skªadnik tej sumy znika na mocy denicji charakterystyki i wyboru punktu x.

Powiedzmy, »e znamy dwie charakterystyki takie, »e rz^hF_{i ,xj}(x )^ij¬n

i =1,2 = 2 dla x 2 Γ1\ Γ2, gdzie Γ1 = fx 2 U : F1(x ) = 0g i Γ2 =fx 2 U : F2(x ) = 0g . Powy»sze rachunki prowadz¡ nas do wniosku,

»e mo»emy wyeliminowa¢ (lokalnie) skªadniki zawieraj¡ce vy_iy_i dla i = 1, 2. Zakªadaj¡c podobnie,

»e znamy n takich charakterystyk, »e det^hF_{i ,xj}(x )ⁱ

i ,j¬n 6= 0 i podstawiaj¡c w dyfeomorzmie Φ, y_i = F_i(x ) mo»emy caªkowicie wyeliminowa¢ wyrazy zawieraj¡ce pochodne vyiyi dla i = 1, 2, ... , n i pozostan¡ tylko pochodne mieszane. W szczególno±ci równanie

X

i6=j

a_ijv_yiyj = 0

mo»na ªatwo rozwi¡za¢, bo jego rozwi¡zaniami s¡ wszystkie funkcje postaci v (y ) =

Xn i =1

gi(yi), gdzie gi jest funkcj¡ zmiennej rzeczywistej klasy C¹.

Przypomnijmy teraz, »e z poprzednich (dªugich) rachunków, mamy

Xn k,l =1

˜

a_kl(y )v_ykyl(y ) =

n 1X

k,l =1

˜

a_kl(y )v_ykyl(y ) + 2

n 1X

k=1

0

@Xⁿ

j =1

a_kjF_xj(x )

1

Av_ykyn(y ),

2.1 Charakterystyki 8

wi¦c dla funkcji G(y) = yn mamy Gyl = 0 dla l ¬ n 1, czyli

Xn k,l =1

˜

a_klG_yk(y )G_yl(y ) =

n 1X

k,l =1

˜

a_klG_yk(y )G_yl(y ) + 2

n 1X

k=1

0

@Xⁿ

j =1

a_kjF_xj(x )

1

AG_yk(y )G_yn(y ) = 0.

Oznacza to, »e hiperpªaszczyzna (n 1)-wymiarowa fy : yn= 0g jest charakterystyk¡ przeksztaª- conego równania. Wniosek mamy nast¦pujacy: zamiana zmiennych zgodnie z funkcja opisuj¡c¡ cha- raterystyk¦ \prostuje" t¦ charakterystyk¦ (analogia do równa« I rz¦du). Przy badaniu wi¦c równa- nia na brzegu Γ mo»emy, jak przy równaniach I rz¦du, zakªada¢, »e brzeg jest wyprostowany, czyli Γ =fx 2 U : xn= 0g.

Tak, jak w równaniach I rz¦du, tutaj równie» nie mo»na na charakterystykach zadawa¢ zupeªnie dowolnych warunków pocz¡tkowych. Istotnie, je±li do równania (2)

Xn i ,j =1

a_ij(x )u_xixj(x ) +

Xn i =1

b_i(x )u_xi(x ) + c(x )u(x ) = f (x ) doªo»ymy warunki

u j Γ = , @u

@ j Γ = ,

to mo»emy przyj¡¢, »e i  nie zale»¡ od zmiennej xn(brzeg jest wyprostowany) i ^@u_@ = u_xn. Ponadto, na Γ mamy, »e uxn = , uxnx_i = x_i dla i ¬ n 1 i ux_i =x_i, ux_ix_j =x_ix_j dla i, j ¬ n 1. Wstawiaj¡c to wszystko do równania, otrzymamy na brzegu

n 1X

i ,j =1

a_ijxixj +

n 1X

i =1

(a_in+ a_ni) _xi +

n 1X

i =1

b_ixi + b_n + c = f .

Zatem speªnianie tej równo±ci jest warunkiem koniecznym istnienia rozwi¡zania zagadnienia pocz¡t- kowego.

Przykªad 2.1.

Rozwa»my równanie dyfuzji

u_t =²∆u.

Równaniem charakterystyk jest tu

Xn i =1

F_xi(x , t)F_xi(x , t) = 0.

Speªniaj¡ je takie funkcje F , »e Fxi(x , t) = 0 dla i = 1, 2, ... , n. Zatem F nie zale»y od zmien- nych przestrzennych x, czyli F (x, t) = F (t) = C. Charakterystykami s¡ wi¦c hiperpowierzchnie Γ_c =f(x, t) 2 Rⁿ⁺¹ : F (t) = Cg .

2.2 Posta¢ kanoniczna równa« rz¦du II na pªaszczy¹nie 9

Przykªad 2.2.

Rozwa»my n-wymiarowe równanie falowe

utt = c²∆u.

Równaniem charakterystyk jest tu

F_t(x , t)F_t(x , t) = c²

Xn i =1

F_xi(x , t)F_xi(x , t).

Dostali±my równanie ró»niczkowe cz¡stkowe rz¦du I, które w przypadku n = 1 potramy rozwi¡za¢.

Jako charakterystyki otrzymujemy wtedy proste x + ct = a, x ct = a, bo musimy rozwi¡za¢ dwa równania Ft =cFx.

Natomiast równanie Laplace'a nie posiada charakterystyk!

2.2 Posta¢ kanoniczna równa« rz¦du II na pªaszczy¹nie

Przypomnijmy, »e na pªaszczy¹nie ka»de równanie liniowe II rz¦du jest jednego z trzech poznanych typów: hiperboliczne, paraboliczne lub eliptyczne. Zatem dla ka»dego z nich b¦dzie mo»na znale¹¢

posta¢ kanoniczn¡, wykorzystuj¡c równanie charakterystyk (oprócz równania eliptycznego, gdzie za- stosujemy pewien pomysª).

Zauwa»my najpierw, »e równanie to dla funkcji u dwóch zmiennych mo»na zapisa¢ w postaci

a(x , y )u_xx+ 2b(x , y )u_xy+ c(x , y )u_yy + R(x , y , u, Du) = 0, (4) gdzie a, d, c : U ! R s¡ klasy C¹, U  R². Zajmujemy sie tylko cz¦±ci¡ gªówn¡. Wtedy

A(x , y ) =

2

64 a(x , y ) b(x , y ) b(x , y ) c(x , y )

3 75

i dla ustalonego punktu (x, y) - b¦dziemy go dalej pomija¢ w zapisie - mamy 0 = det(A I ) = (a )(c ) b². Zatem nale»y rozwi¡za¢ równanie kwadratowe

² (a + c) + (ac b²) = 0 z niewiadom¡ .

2.2 Posta¢ kanoniczna równa« rz¦du II na pªaszczy¹nie 10

Wyró»nikiem tego trójmianu jest (a c)²+ 4b² ­ 0, zatem znaki 1 i 2 zale»¡ od (wzory Viete'a) znaku iloczynu 1
2 = ^ac₁^b2 = b²+ ac =: ∆. Symbol ∆ nazywamy tutaj wyró»nikiem cz¦±ci gªównej. Wida¢ wi¦c, »e warto±ci wªasne 1 i 2 s¡:

- tych samych znaków (równanie eliptyczne), je±li ∆ < 0;

- przeciwnych znaków (równanie hiperboliczne), je±li ∆ > 0;

- jedna z nich jest 0 (równanie paraboliczne), je±li ∆ = 0.

Rozwa»my równanie hiperboliczne w ustalonym punkcie (x, y), czyli ∆(x, y) > 0. Wtedy w pewnym otoczeniu tego punktu znak ∆ si¦ nie zmienia i mo»emy przeanalizow¢ równanie charakterystyk w tym otoczeniu:

aF_xF_x + 2bF_xF_y + cF_yF_y = 0. (5)

Rozkªadamy je na iloczyn



aF_x+^b +p

∆^F_y^{ }aF_x+^b p

∆^F_y^= 0.

Zatem wystarczy rozwi¡za¢

aF_x+^b +p

∆^F_y = 0 lub aF_x +^b p

∆^F_y = 0.

S¡ to równania liniowe I rz¦du, wi¦c odpowiadajace im równania charakterystyk (dla równa« cz¡st- kowych I rz¦du) s¡ nast¦puj¡ce:

8>

<

>:

x⁰ = a(x , y ), y⁰ = b(x , y ) +

q

∆(x , y ),

8>

<

>:

x⁰ = a(x , y ), y⁰ = b(x , y )

q

∆(x , y ).

Rozwi¡zania tych równa« s¡ rozwi¡zaniami równania charakterystyk (5) (w sensie równa« II rz¦du).

Mo»emy zatem okre±li¢

v (, ) = u  Φ ¹(, ),

gdzie (x, y) ! (, ) = Φ(x, y) = (Φ⁺(x , y ), Φ (x , y )), a Φ⁺(x , y ) i Φ (x, y) s¡ rozwi¡zaniami powy»szych równa«. Oczywi±cie takie okre±lenie funkcji v (jest tylko tam, gdzie istnieje Φ ¹) redukuje wspóªczynniki przy vi v do zera, przy czym przeksztaªcenie (x, y) ! Φ(x, y) jest dyfeomorczne.

Istotnie, gdyby jakobian tego odwzorowania byª równy 0, to wektory^hΦ⁺_x, Φ⁺_yⁱ i ^hΦ_x, Φ_yⁱ byªyby w pewnym punkcie równolegªe, wi¦c wektory do nich prostopadªe^ha, b +p

∆ⁱi^ha, b p

∆ⁱte» byªyby równolegªe, czyli musiaªoby by¢

b +p

∆ = b p

∆.

Jest to sprzeczne z zaªo»eniem, »e ∆ > 0. Zatem, ostatecznie, równanie hiperboliczne mo»na lokalnie sprowadzi¢ do postaci

v_ + ˆR(, , v, v, v_) = 0,

2.2 Posta¢ kanoniczna równa« rz¦du II na pªaszczy¹nie 11

(zwykle ªatwo ju» to równanie rozwi¡za¢), a po dodatkowym podstawieniu s = + , t =  ,

które te» jest przeksztaªceniem dyfeomorcznym, dostajemy posta¢ kanoniczn¡

w_ss w_tt + ¯R(s, t, w , w_s, w_t) = 0.

Przejd¹my teraz do równania parabolicznego, czyli mamy ∆ = 0 w pewnym zbiorze otwartym. Wtedy równanie charakterystyk (5) redukuje si¦ do postaci

aF_x + bF_y = 0.

Dostajemy wi¦c odpowiadaj¡cy mu ukªad równa« zwyczajnych

8>

<

>:

x⁰ = a(x , y ), y⁰ = b(x , y )

i jedno rozwi¡zanie Φ¹. Aby wi¦c uzyska¢ dyfeomorczn¡ zamian¦ zmiennych, jak poprzednio, musimy znale¹¢ takie Φ²klasy C², by jakobian przeksztaªcenia (x, y) ! (, ) = Φ(x, y) = (Φ¹(x , y ), Φ²(x , y )) byª niezerowy. Wtedy dla v(, ) = uΦ ¹(, ) zniknie wspóªczynnik przy v. Ponadto wspóªczynnik przy v_ te» zniknie, bo jest nim

2(aΦ¹_xΦ²_x + b(Φ¹_xΦ²_y + Φ¹_yΦ²_x) + cΦ¹_yΦ²_y)

aΦ¹_x+bΦ¹_y=0

z}|{= 2(bΦ¹_xΦ²_y + cΦ¹_yΦ²_y) =

∆=0,b²=ac

z}|{= 2c

b Φ²_y(aΦ¹_x+ bΦ¹_y) = 0.

Zostanie wi¦c tylko skªadnik z v i równanie (4) b¦dzie miaªo posta¢ kanoniczn¡

v_+ ˆR(, , v, v_, v_) = 0, dla której mo»na ªatwo znale¹¢ rozwi¡zanie.

Na koniec rozwa»my równanie eliptyczne, o którym ju» wiemy, »e jego równanie charakterystyk nie posiada rozwi¡za«. Mamy tu ∆(x, y) < 0 w pewnym punkcie i jego otoczeniu. Jednak równanie (5) mo»emy rozªo»y¢ na iloczyn, tyle tylko, »e w dziedzinie zespolonej. Ma on posta¢:



aF_x+^b + ip

∆^F_y^{ }aF_x+^b ip

∆^F_y^= 0.

Zatem wystarczy rozwi¡za¢

aFx +^b + ip

∆^Fy = 0 lub aFx +^b ip

∆^Fy = 0.

3 Metoda rozdzielania zmiennych 12

Zauwa»my najpierw, »e je±li F speªnia pierwsze z tych równa«, to jest funkcj¡ zespolon¡ F = Φ¹+i Φ², gdzie Φ¹, Φ²s¡ funkcjami rzeczywistymi, i równanie to mo»na zapisa¢ jako ukªad (z wydzielon¡ cz¦±ci¡

rzeczywist¡ i urojon¡): ₈

><

>:

aΦ¹_x+ bΦ¹_y p

∆Φ²_y = 0, aΦ²_x+ bΦ²_y +p

∆Φ¹_y = 0.

Natomiast z drugiego równania otrzymaliby±my taki sam ukªad z zamian¡ Φ¹ i Φ². Tutaj równie»

jakobian przeksztaªcenia (x, y) ! (, ) = Φ(x, y) = (Φ¹(x , y ), Φ²(x , y )) jest niezerowy. Istotnie, gdyby cho¢ w jednym punkcie byªo inaczej, to wektory^hΦ¹_x, Φ¹_yⁱi^hΦ²_x, Φ²_yⁱbyªyby w pewnym punkcie równolegªe, wi¦c ^hΦ²_x, Φ²_yⁱ = ^hΦ¹_x, Φ¹_yⁱ dla pewnego  6= 0. Po podstawieniu do naszegu ukªadu

otrzymaliby±my ₈

><

>:

aΦ¹_x + bΦ¹_y p

∆Φ¹_y = 0,

aΦ¹_x+bΦ¹_y+p

∆Φ¹_y = 0.

Mno»¡c pierwsze równanie przez  i dodaj¡c oba stronami, otrzymaliby±my

(²+ 1)p

∆Φ¹_y = 0.

St¡d Φ¹y = 0, wi¦c i Φ¹x = 0, co nie jest mo»liwe. Mo»emy wi¦c zastosowa¢ zamian¦ zmiennych (, ) = Φ(x, y) = (Φ¹(x , y ), Φ²(x , y )). Po wyliczeniu odpowiednich pochodnych, dostajemy, »e wspóªczynniki przy v_ i v_ s¡ takie same, a wspóªczynnik przy v_ jest zerowy. Zatem równanie przyjmie nast¦puj¡c¡ posta¢ kanoniczn¡

v_+ v_ = ˆa ˆR(, , v, v, v_).

Szczegóªy rachunkowe prowadz¡ce do wyliczenia wspóªczynników znale¹¢ mo»na np. w [15], str.

120-121.

3 Metoda rozdzielania zmiennych

W paragrae tym omówimy metod¦, zwan¡ metod¡ rozdzielania zmiennych, pozwalaj¡c¡ w niektórych przypadkach znale¹¢ analityczn¡ posta¢ rozwi¡za«. Czasami nazywa si¦ j¡ te» metod¡ Fouriera roz- dzielania zmiennych. Zobaczymy t¦ metod¦ w dwóch przypadkach, a szczegóªowo omówiona b¦dzie na ¢wiczeniach.

3.1 Przepªyw ciepªa w jednorodnym pr¦cie 13

3.1 Przepªyw ciepªa w jednorodnym pr¦cie

Jednorodny pr¦t, to odcinek I = [0, ], a u(x, t) oznacza tempertaur¦ w punkcie x 2 I w chwili t ­ 0. Przy odpowiednim doborze jednostek zmiany temperatury mo»na zapisa¢ jako:

ut = uxx, x 2 (0, ), t > 0. (6)

Ponadto zakªadamy, »e znany jest pocz¡tkowy rozkªad temperatury, a ko«ce pr¦ta caªy czas maja temperatur¦ 0:

u(x , 0) = f (x ), u(0, t) = u(, t) = 0. (7) Wypada jeszcze zaªo»y¢, »e f (0) = f () = 0 (tzw. warunek zgodno±ci). Szukamy najpierw rozwi¡- zania w postaci iloczynu dwóch funkcji, z których ka»da zale»y tylko od jednej zmiennej, co powinno upro±ci¢ nasze równanie, tzn. zakªadamy, »e

u(x , t) = v (x )w (t).

Dla takich u równanie (6) przybiera posta¢:

v⁰⁰(x )w (t) = v (x )w⁰(t), czyli

v⁰⁰(x )

v (x ) = w⁰(t) w (t),

przy zaªo»eniu, »e v, w 6= 0. Poniewa» prawa strona zale»y tylko od x, a lewa od t, wi¦c speªnienie tej równo±ci jest zagwarantowane, je±li istnieje staªa  2 R taka, »e

v⁰⁰(x )

v (x ) =, w⁰(t) w (t) =.

Zajmijmy si¦ pierwszym równaniem

v⁰⁰(x ) v(x) = 0

i zauwa»my, »e z (7) wynika nast¦puj¡cy warunek brzegowy: v(0) = v() = 0. Dla  > 0 równanie to ma rozwi¡zanie w postaci

v (x ) = C₁exp(xp

) + C2exp( xp

)

i warunek brzegowy jest speªniony tylko dla C1 = C₂ = 0, czyli v  0. W przypadku  = 0 dostajemy v (x ) = C1+ C2x

3.1 Przepªyw ciepªa w jednorodnym pr¦cie 14

i znowu v musi znika¢ to»samo±ciowo. Jednak dla  < 0 rozwi¡zanie ma posta¢

v (x ) = C₁cos(p

x) + C2sin(p

x).

Poniewa» v(0) = 0, wi¦c C1 = 0. Warunek v() = 0 prowadzi teraz do wniosku (o ile nie chcemy znikania v), »e

 = n², n = 1, 2, 3, ...

Zatem rozwi¡zania s¡ dane jako

v (x ) = C sin nx , gdzie C 2 R.

Zajmijmy sie teraz drugim równaniem w⁰(t) w(t) = 0. Ma ono rozwi¡zania w(t) = D exp(t), czyli uwzgl¦dniaj¡c posta¢ , mamy

w (t) = D exp( n²t),

gdzie D 2 R. Poniewa» równanie (6) jest liniowe, wi¦c speªnia je równie» dowolna kombinacja liniowa znalezionych rozwi¡za«:

u(x , t) = ^X

n

b_nexp( n²t) sin nx . (8)

Dla t = 0 otrzymujemy u(x, 0) = f (x) =^Pnb_nsin nx .

Jaki st¡d wniosek?

Je±li umiemy przedstawi¢ pocz¡tkowy rozkªad temperatury w postaci sumy (by¢ mo»e niesko«czo- nej) sinusów, to rozwi¡zanie w jawnej postaci (z dokªadno±ci¡ do sprawdzenia, czy otrzymany sze- reg mo»na ró»niczkowa¢ wyraz po wyrazie) otrzymujemy mechanicznie: wystarczy dopisa¢ czynniki exp( n²t).

Otrzymany wzór (8) pozwala równie» na jako±ciow¡ analiz¦ rozwi¡zania.

• Je±li ci¡g bⁿjest ograniczony (jest ju» tak przy bardzo sªabym zaªo»eniu o caªkowalno±ci funkcji f), to z uwagi na obecno±¢ szybko gasn¡cych czynników exp( n²t) suma szeregu (8) jest funkcj¡ klasy C¹.

• Rozwi¡zanie u(x, t) ! 0 dla t ! +1. Zgadza si¦ to z intuicj¡: je±li ko«ce ogrzanego pr¦ta s¡ wbite w lód, to pr¦t w ko«cu wystygnie - niezale»nie od tego, jaki byª poczatkowy rozkªad temperatury.

3.2 Struna drgaj¡ca 15

• Je±li b¹ 6= 0, to

tlim!1

u(x , t)

b1e ^tsin x = 1.

Zatem dla du»ych czasów t0 wykres temperatury u(
, t0) przypomina wykres funkcji sinus po- mno»onej przez pewn¡ staª¡: stygn¡cy pr¦t jest najcieplejszy w okolicy ±rodka, z dala od zimnych ko«ców.

3.2 Struna drgaj¡ca

Tym razem u(x, t) oznacza wychylenie struny z poªo»enia równowagi. Wspóªrz¦dna x to odlegªo±¢

punktu spoczywaj¡cej struny od jednego z ko«ców, x 2 [0, ] , a t oznacza czas. Je±li struna jest jednorodna, a drgania niewielkie, to jak ju» widzieli±my wcze±niej, prawo Hooke'a i druga zasada dynamiki prowadz¡ do równania

u_tt = c²u_xx, x 2 (0, ), t > 0, (9) gdzie c jest pewn¡ staª¡, zale»n¡ od przyj¦tego ukªadu jednostek. Aby zagwarantowa¢ sobie jedno- znaczno±¢ rozwi¡zania, dokªadamy warunki pocz¡tkowe i brzegowe, tzn. znamy pocz¡tkowe wychyle- nie struny, »e puszczono j¡ swobodnie i »e ko«ce struny s¡ zamocowane (s¡ to warunki przykªadowe), co daje odpowiednio

u(x , 0) = f (x ), u_t(x , 0) = 0, u(0, t) = u(, t) = 0, dla x 2 [0, ] , t ­ 0. (10)

Post¦puj¡c podobnie, jak poprzednio, czyli poszukuj¡c rozwi¡zania w postaci u(x, t) = v(x)w(t), dostajemy

u(x , t) = ^X

n

b_nsin nx cos cnt. (11)

Tym razem nale»y rozwi¡za¢ równania v⁰⁰(x ) v(x) = 0, w⁰⁰(t) c²w(t) = 0. Jak poprzednio, wspóªczynniki bn w równaniu (11) nale»y dobra¢ tak, by mie¢ f (x) = ^Pnb_nsin nx . Ze szkolnego wzoru

sin( + ) + sin( ) = 2 sin  cos  mo»emy otrzyma¢

u(x , t) = 1 2

˜f (x + ct) + ˜f (x ct)^,

3.3 Kilka sªów o szeregach Fouriera i wzory na wspóªczynniki 16

gdzie ˜f jest nieparzyst¡ funkcj¡ 2-okresow¡, pokrywaj¡c¡ si¦ z f na przedziale [0, ].

Fala wzdªu» struny rozchodzi si¦ wi¦c ze sko«czona pr¦dko±ci¡ c, a po doj±ciu do ko«ca struny zmienia kierunek i wychylenie na przeciwne. W przeciwie«stwie do poprzedniego przykªadu, tutaj rozwi¡zania nie musz¡ by¢ wcale funkcjami gªadkimi (s¡ gªadkie na tyle, na ile pozwala funkcja f ).

3.3 Kilka sªów o szeregach Fouriera i wzory na wspóªczynniki

Aby rozwa»ania z poprzednich dwóch podrozdziaªów miaªy sens, nale»y odpowiedzie¢ sobie na kilka pyta«.

• Czy dla danej funkcji f : [0, ] ! R mo»na znale¹¢ rozkªad postaci f (x) = ^Pnb_nsin nx?

• Jak to zrobi¢?

• Jak nale»y rozumie¢ równo±¢ (tzn. jaki jest charakter zbie»no±ci szeregu)?

Teoria szeregów Fouriera odpowiada na te pytania, chocia» oczywi±cie nie omówimy tutaj caªej tej teroii.

Zacznijmy od okre±lenia wzorów na wspóªczynniki szeregu. Je±li funkcja 2-okresowa f jest sum¡

jednostajnie zbie»nego szeregu

f (x ) = a₀ 2 +

X1 n=1

(a_ncos nx + b_nsin nx ), (12)

to mno»¡c obie strony przez sin mx i caªkuj¡c wyraz po wyrazie, dostaniemy

Z _

f (x ) sin mx dx = a₀ 2

Z _

sin mx dx +

X1 n=1

Z _

(a_ncos nx sin mx + b_nsin nx sin mx ) dx =

= b_m

Z _

sin²mx dx =bm.

Wspóªczynnik am znajdziemy, bior¡c cos mx zamiast sin mx i powtarzaj¡c caªy zabieg. Ostatecznie wi¦c

am = 1



Z _

f (x ) cos mx dx , bm = 1



Z _

f (x ) sin mx dx .

Zauwa»my jeszcze, »e gdy funkcj¦ okre±lon¡ na przedziale [0, ] przedªu»ymy do 2-okresowej funkcji nieparzystej, to dostaniemy am  0 i po prawej stronie równo±ci (12) pojawi¡ sie same sinusy.

Wyprowadzone przed chwil¡ wzory na wspóªczynnki am i bm maj¡ sens, gdy f jest po prostu funkcj¡

3.3 Kilka sªów o szeregach Fouriera i wzory na wspóªczynniki 17

caªkowaln¡. Rozwa»my wi¦c przestrze« L¹ funkcji caªkowalnych na odcinku [ , ] wzgl¦dem miary Lebesque'a. Jest to przestrze« Banacha z norm¡

jjf jjL¹ = 1 2

Z _

jf (x)j dx (funkcje równe poza zbiorem miary zero uto»samiamy).

Denicja 3.1.

Szeregiem Fouriera funkcji f 2 L¹ nazywamy szereg postaci

X

n2Z

ˆf (n) exp(inx ), gdzie

ˆf (n) cn:= 1 2

Z _

f (x ) exp( inx ) dx jest n-tym wspóªczynnikiem Fouriera.

Šatwo sprawdzi¢, »e dla dodatnich n mamy c_n = 1

2(a_n ib_n), c _n = 1

2(a_n+ ib_n), c₀ = a₀ 2.

Niestety, w przestrzeni L¹ równo±¢ (12) na ogóª nie zachodzi, tzn. szereg Fouriera funkcji f nie musi zbiega¢ do tej funkcji. Sytuacja wygl¡da nieco lepiej, gdy f 2 L², tzn. f jest funkcj¡ caªkowaln¡

z kwadratem na odcinku [ , ]. Przestrze« takich funkcji jest przestrzeni¡ Hilberta z iloczynem skalarnym

hf , gi := 1 2

Z _

f (x )g (x ) dx

i wyznaczon¡ przeze« norm¡ jjf jj  jjf jjL² = hf , f i¹² . Wtedy funkcje en(x ) = exp(inx ) dla n = 0,1, 2, ... tworz¡ w L² ukªad ortonormalny, tzn. hen, e_mi = nm dla n, m 2 Z. Jest to ponadto ukªad zupeªny, tzn. dla dowolnej fukcji f 2 L² mamy

f = ^X

n2Z

hf , eni en.

Wyra»enie po prawej stronie to szreg Fouriera funkcji f , zapisany w nowych oznaczeniach. Równo±¢

oznacza, »e szereg jest zbie»ny do f w topologii przestrzeni L². Zatem nie ma »adnej gwarancji, »e suma takiego szeregu jest funkcj¡ ci¡gª¡. Wiemy nawet (s¡ przykªady), »e szereg Fouriera funkcji

BIBLIOGRAFIA 18

ci¡gªej mo»e by¢ rozbie»ny w nieprzeliczalnie wielu punktach, tworz¡cych g¦sty podzbiór odcinka [ , ]. W dodatku jest tak dla wi¦kszo±ci funkcji ci¡gªych. Zatem zbie»no±¢ w sensie L² to za maªo.

Ale zbie»no±¢ jednostajna ju» wystarcza.

Twierdzenie 3.1. (Kryterium Weierstrassa zbie»no±ci jednostajnej)

Je»eli dla dowolnego n 2 N mamy suptjxn(t)j = Mn i szereg liczbowy ^PnM_n jest zbie»ny, to szereg

P

nxn(t) jest jednostajnie zbie»ny.

A poniewa» suma jednostajnie zbie»nego szeregu funkcji ci¡gªych jest funkcj¡ ci¡gª¡, to nasza funkcja f mo»e by¢ ci¡gªa. Je±li teraz zgawarantujemy sobie jednostajn¡ zbie»no±¢ szeregu pochodnych, to f b¦dzie ró»niczkowalna i jej pochodna b¦dzie równa sumie szeregu pochodnych. Ale nasze wspóª- czynnki am i bm mo»na odpowiednio oszacowa¢, co wynika z nast¦puj¡cego twierdzenia:

Twierdzenie 3.2.

Je±li funkcja f jest 2-okresowa i klasy C^p, to wspóªczynniki szregu Fouriera wzgl¦dem ukªadu trygonometrycznego sin nt, cos nt, 1 mo»na oszacowa¢ przez ^const_np .

Wi¦cej wiadomo±ci na temat metody Fouriera rozdzielania zmiennych i informacji dotycz¡cych sze- regów Fouriera mo»na znale¹¢ w [15], [14] (i oczywi±cie w podr¦cznikach z analizy funkcjonalnej - szeregi Fouriera).

Bibliograa

[1] W. I. Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, PWN, Warszawa 1981.

[2] W. I. Arnold, Równania ró»niczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa 1975.

[3] W. I. Arnold, Teoria równa« ró»niczkowych, PWN, Warszawa 1983.

[4] A. W. Bicadze, Równania zyki matematycznej, PWN, Warszawa 1984.

[5] A. W. Bicadze, D. F. Kaliniczenko, Zbiór zada« z równa« zyki matematycznej, PWN, War- szawa 1984.

BIBLIOGRAFIA 19

[6] Birkholc A. Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.

[7] D. Bleecker, G. Csordas, Basic Partial Dierential Equations, Chapman & Hall, Oxford 1995.

[8] L. Ewans, Równania ró»niczkowe cza_,stkowe, PWN, Warszawa 2002.

[9] Fichtenholz G.M. Rachunek ró»niczkowy i caªkowy, PWN, Warszawa 1980.

[10] J. D. Logan, Applied Partial Dierential Equations, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1998.

[11] H. Marcinkowska, Wste_,p do teorii równa« ró»niczkowych cza_,stkowych, PWN, Warszawa 1972.

[12] J. Musielak, Wste_,p do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976.

[13] Ockendon J., Howison S., Lacey A., Movxhan A., Applied Partial Dierential Equations, Oxford University Press, 2003.

[14] J. Ombach, Wykªady z równa« ró»niczkowych wspomagane komputerowo -Maple, Wydawnic- two Uniwersytetu Jagiello«skiego, Kraków 1999.

[15] B. Przeradzki, Równania ró»niczkowe cza_,stkowe. Wybrane zagadnienia, Wydawnictwo Uniwer- sytetu Šódzkiego, Šód¹ 2000.

[16] B. Przeradzki, Teoria i praktyka równa« ró»niczkowych zwyczajnych, Wydawnictwo Uniwersy- tetu Šódzkiego, Šód¹ 2003.

[17] M. M. Smirnow, Zadania z równa« ró»niczkowych cza_,stkowych, PWN, Warszawa 1970.

[18] P. Strzelecki, Krótkie wprowadzenie do równa« ró»niczkowych cza_,stkowych, Wydawnictwo Uni- wersytetu Warszawskiego, Warszawa 2007.

[19] B. W. Szabat, Wst¦p do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 1974.

[20] Zauderer, Partial Dierential Equations of Applied Mathslathics, John Wiley & Sons, Singapore-New York-Chichester-Brisbane-Toronto 1989.