Kryteria Dirichleta i Abela zbieżności szeregów

(1)

Szeregi liczbowe

Autorzy:

Katarzyna Czyżewska

(2)

Spis treści

Definicja szeregu liczbowego Własności szeregów zbieżnych

Zbieżność szeregów harmonicznego i geometrycznego Kryterium porównawcze zbieżności i rozbieżności szeregów Kryterium ilorazowe zbieżności i rozbieżności szeregów Kryterium całkowe zbieżności i rozbieżności szeregów Kryterium Cauchy’ego zbieżności i rozbieżności szeregów Kryterium d’Alemberta zbieżności i rozbieżności szeregów Bezwzględna zbieżność szeregów

Kryterium Leibniza zbieżności szeregów naprzemiennych Kryteria Dirichleta i Abela zbieżności szeregów

(3)

Definicja szeregu liczbowego

DEFINICJA

Definicja 1: Szereg liczbowy

Niech , dla będzie nieskończonym ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym o wyrazach nazywamy uporządkowaną parę ciągów , gdzie wyrazy ciągu określone są jako i nazywane

-tymi sumami częściowymi szeregu.

Komentarz Komentarz

Zauważamy, że w szeregu wyrazy ciągu sum częściowych są wyznaczone jednoznacznie przez wyrazy ciągu . Również wyrazy ciągu są wyznaczone jednoznacznie przez wyrazy ciągu wzorem rekurencyjnym

Możemy zatem podawać postać tylko jednego z tych ciągów, aby jednoznacznie określić postać szeregu .

UWAGA

Uwaga 1: Oznaczenie szergu

Szereg oznaczamy symbolicznie używając symbolu sumy, jako .

DEFINICJA

Definicja 2: Szereg zbieżny

Mówimy, że szereg jest zbieżny do sumy , jeżeli istnieje właściwa granica ciągu sum częściowych szeregu równa tzn. . Mówimy wtedy, że liczba jest sumą szeregu .

UWAGA

Uwaga 2: Oznaczenie sumy szeregu zbieżnego

Sumę szeregu zbieżnego oznaczamy jako lub .

( )

a

n

n ∈ N

+

a

n

(( ), ( ))

a

n

S

n

S

n

S

n

= + + ⋯ +

a

1

a

2

a

n

(( ), ( ))

a

n

S

n

( )

S

n

( )

a

n

( )

a

n

( )

S

n

{ =

a

1

S

1

=

−

a

n+1

S

n+1

S

n

(( ), ( ))

a

n

S

n

(( ), ( ))

a

n

S

n

∑

∞n=1

a

n

∑

∞ n=1

a

n

S

( )

S

n

S

_n→∞

lim

S

n

= S

S

∑

∞n=1

a

n

S =

a

1

+ + ⋯ + + ⋯

a

2

a

n

S = ∑

∞n=1

a

n

(4)

DEFINICJA

Definicja 3: Szereg rozbieżny do

albo do

Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu ma granicę niewłaściwą , albo to mówimy, że szereg jest rozbieżny do , albo do .

DEFINICJA

Definicja 4: Szereg rozbieżny

Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu nie ma granicy, to mówimy, że szereg jest rozbieżny.

DEFINICJA

Definicja 5: Reszta szeregu

Jeżeli przez , dla oznaczymy różnicę -tej i -szej sumy częściowej szeregu , tzn. , to -tą reszta szeregu nazywamy liczbę .

Komentarz Komentarz

Zauważmy, że i jeżeli szereg jest zbieżny do sumy , to -tą resztę szeregu możemy

wyrazić wzorem .

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1: WKW zbieżności szeregu

Szereg jest zbieżny do sumy wtedy i tylko wtedy gdy ciąg reszt szeregu jest zbieżny do liczby , tzn. .

WNIOSEK

Wniosek 1:

Na zbieżność szeregu nie ma wpływu pierwsze skończenie wiele wyrazów tego szeregu, tzn. jeżeli szereg jest zbieżny dla pewnego , to szereg jest zbieżny, jednakże usunięcie skończonej liczby wyrazów szeregu może mieć wpływ na wartość jego sumy.

+∞

−∞

( )

S

n

∑

∞n=1

a

n

+∞

−∞

∑

∞ n=1

a

n

+∞

−∞

( )

S

n

∑

∞n=1

a

n

∑

∞n=1

a

n

R

mn

m < n

n

(m − 1)

∑

∞n=1

a

n

=

−

R

mn

S

n

S

m−1

m

∑

n=1∞

a

n

R

m

=

_n→∞

lim

R

mn

=

+

+ ⋯ +

R

mn

a

m

a

m+1

a

n

∑

∞n=1

a

n

S

m

= S −

R

m

S

m−1

∑

∞ n=1

a

n

S

0 = 0

lim

m→∞

R

m

∑

∞ n=1

a

n

∑

∞ n=m

a

n

m ∈ N

∑

∞n=1

a

n

(5)

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Zbadaj zbieżność szeregu . Rozwiązanie:

Rozwiązanie:

Obliczamy ciąg sum częściowych

Obliczamy granicę ciągu sum częściowych

Czyli szereg jest rozbieżny do .

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Rozwiązanie:

Obliczamy sumy częściowe

Obliczamy granicę ciągu sum częściowych

Czyli szereg jest zbieżny do sumy .

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Rozwiązanie:

Do obliczania sum częściowych szeregu korzystamy ze wzoru , dla czyli Obliczamy granicę ciągu sum częściowych

Zatem szereg jest zbieżnydo sumy .

ln (1 + )

∑

∞ n=1 1n

S

n

=

ln (1 + ) + ln(1 + ) + ⋯ + ln (1 +

1

) + ln (1 + ) = ln 2 + ln + ⋯ + ln

+ ln

1 12 n−11 1n 32 n−1n n+1n

ln 2 + ln 3 − ln 2 + ⋯ + ln n − ln (n − 1) + ln (n + 1) − ln n = ln (n + 1).

=

ln (n + 1) = ∞.

lim

n→∞

S

n n→∞

lim

ln (1 + )

∑

∞ n=1 n1

∞

(

−

)

∑

∞ n=1 2n+1

√

2

2n−1

√

2 =

− 2 +

−

+ ⋯ +

−

=

− 2.

S

n

√

3

2 √

5

2 √

3

2

2n+1

√

2

2n−1

√

2

2n+1

√

2 =

− 2 = −1.

lim

n→∞

S

n n→∞

lim

√

2

2n+1

(

−

)

∑

∞ n=1 2n+1

√

2

2n−1

√

2 −1

∑

∞ n=0 (n+1)(n+2)1

=

−

1 (n+1)(n+2) n+11 n+21

n = 0, 1, 2, …

=

+

+ ⋯ +

+

= 1 − + − + ⋯ + −

+

−

= 1 −

.

S

n _1⋅21 _2⋅31 _n(n+1)1 _(n+1)(n+2)1 1₂ ₂1 1₃ _n1 _n+11 _n+11 _n+21 _n+21

=

(1 −

) = 1.

lim

n→∞

S

n n→∞

lim

1 n+2

∑

∞ n=0 (n+1)(n+2)1

S = 1

(6)

PRZYKŁAD

Przykład 4:

Rozwiązanie:

Ciąg sum częściowych ma postać .

Do obliczenia granicy ciągu sum częściowych skorzystamy z twierdzenia o dwóch ciągach

Ponieważ granica ciągu o wyrazach mniejszych jest niewłaściwa , to granica ciągu sum częściowych też jest niewłaściwa .

Czyli szereg jest rozbieżny do .

PRZYKŁAD

Przykład 5:

Wykaż, że szereg , gdzie jest zbieżny do pewnej liczby . Rozwiązanie:

Rozwiązanie:

Obliczamy ciąg sum częściowych .

Ponieważ każda liczba , to dla każdego mamy ograniczenia

Zauważamy, że ciąg jest niemalejący, czyli korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym wiemy, że jest on ciągiem zbieżnym i jego granica mieści się w przedziale .

Własności szeregów zbieżnych

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2: WK zbieżności szeregu

Jeżeli jest zbieżny, to .

Komentarz Komentarz

∑

∞ n=1 √1n

= +

+ ⋯ +

+

S

n 1₁ _√1₂ _√_n−11 _√1_n

+

+ ⋯ +

+

≥ n ⋅

=

1 1 √12 √n−11 √1n √1n

√

n

= ∞

lim

n→∞

√

n

= ∞

lim

n→∞

S

n

∑

∞ n=1 √1n

∞

⋅

∑

∞ n=1

c

n

10

−n

c

n

∈ [0, 1]

S ∈ [0, 1]

= ⋅ 0, 1 + ⋅ 0, 01 + ⋯ + ⋅

S

n

c

1

c

2

c

n

10

−n

0 ≤

c

n

≤ 1

n

0 ≤

S

n

≤ 0, 1 + 0, 01 + ⋯ +

10

−n

= 0, 1 ⋅

1−(0,1)

< 1.

n 0,9

( )

S

n

[0, 1]

∑

∞ n=1

a

n _n→∞

lim

a

n

= 0

(7)

Zbadanie warunku koniecznego zbieżności szeregu nic nie mówi o zbieżności wtedy, gdy jest spełniony, ale gdy nie jest spełniony, to wiemy, że szereg jest rozbieżny (na podstawie prawa kontrapozycji: , gdzie i są zdaniami

logicznymi).

PRZYKŁAD

Przykład 6:

Rozwiązanie:

Badamy warunek konieczny zbieżności

Ponieważ warunek konieczny zbieżności szeregu nie jest spełniony, bo , to szereg jest rozbieżny.

PRZYKŁAD

Przykład 7:

Zbadaj zbieżność szeregu , dla . Rozwiązanie:

Rozwiązanie:

Badamy warunek konieczny zbieżności .

Ponieważ warunek konieczny zbieżności szeregu nie jest spełniony, bo , to szereg , dla jest rozbieżny.

PRZYKŁAD

Przykład 8:

Rozwiązanie:

Badamy warunek konieczny zbieżności .

Ponieważ warunek konieczny zbieżności szeregu nie jest spełniony, bo , to szereg jest rozbieżny.

(p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p)

p q

(1 +

∑

∞ n=1 n1

)

n

=

(1 +

= e.

lim

n→∞

a

n n→∞

lim

n1

)

n

≠ 0

lim

n→∞

a

n

∑

(1 +

∞ n=1 1n

)

n

∑

∞ n=1

n

a

a > 0

= ∞

lim

n→∞

n

a

≠ 0

lim

n→∞

a

n

∑

∞ n=1

n

a

a > 0

∑

∞ n=1 1n

−

√

n

=

= 1

lim

n→∞ 1 n

−

√

n

lim

n→∞ 1 n √n

≠ 0

lim

n→∞

a

n

∑

∞ n=1 n1

−

√

n

(8)

DEFINICJA

Definicja 6: szeregu o wyrazach nieujemnych

Mówimy, że szereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych, jeżeli wszystkie wyrazy szeregu są nieujemne.

DEFINICJA

Definicja 7: szeregu o wyrazach dodatnich

Mówimy, że szereg jest szeregiem o wyrazach dodatnich, jeżeli wszystkie wyrazy szeregu są dodatnie.

UWAGA

Uwaga 3:

Jeżeli szereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych (dodatnich), to ciąg sum częściowych ma wyrazy nieujemne (dodatnie) i jest niemalejący (rosnący).

WNIOSEK

Wniosek 2:

Jeżeli szereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych (dodatnich), to jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg sum częściowych jest ograniczony.

DEFINICJA

Definicja 8: szeregu naprzemiennego

Mówimy, że szereg jest szeregiem naprzemiennym, jeżeli dla każdej liczby naturalnej , zachodzi warunek .

∑

∞ n=1

a

n

a

n

∑

∞ n=1

a

n

a

n

∑

∞ n=1

a

n

( )

S

n

∑

∞ n=1

a

n

( )

S

n

∑

∞ n=1

a

n

⋅

< 0

a

n+1

a

n

(9)

PRZYKŁAD

Przykład 9:

Rozwiązanie:

Badany szereg jest szeregiem naprzemiennym o wyrazie , czyli wszystkie wyrazy o indeksach parzystych równe są , a wyrazy o indeksach nieparzystych równe są , zatem ciąg nie ma granicy i nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu.

Czyli szereg jest rozbieżny.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 3: o działaniach arytmetycznych dla szeregów zbieżnych

Jeżeli szereg jest zbieżny do sumy oraz szereg jest zbieżny do sumy , to szereg jest zbieżny do sumy i szereg jest zbieżny do sumy , dla dowolnego .

UWAGA

Uwaga 4:

Jeżeli szereg jest zbieżny oraz szereg jest rozbieżny, to jest rozbieżny i szereg jest rozbieżny dla dowolnego .

PRZYKŁAD

Przykład 10:

Rozwiązanie:

Rozważamy szeregi i , które są szeregami geometrycznymi o ilorazach i odpowiednio. Zatem szereg jest zbieżny do sumy , a szereg jest zbieżny do sumy . A zatem

szereg jest zbieżny do sumy .

(−1

∑

∞ n=1

)

n

= (−1

a

n

)

n

1 −1

( )

a

n

(−1

∑

∞ n=1

)

n

∑

∞ n=1

a

n

A

∑

∞n=1

b

n

B

∑

∞n=1

( + )

a

n

b

n

A + B

∑

∞

c

n=1

a

n

cA

c ∈ R

∑

∞ n=1

a

n

∑

∞n=1

b

n

∑

∞n=1

( + )

a

n

b

n

c

∑

∞ n=1

b

n

c ≠ 0

∑

∞ n=1 2− n ₃n 5n

∑

∞ n=1 2 n 5n

∑

∞_n=1 3 n 5n 2₅ 3₅

∑

∞ n=1 2 n 5n

S

1

= ⋅

2₅ ₁₋12

=

5 2 3

∑

∞n=1 3 n 5n

S

2

= ⋅

3₅ ₁₋13

=

5 3 2

∑

∞ n=1 2 − n ₃n 5n

S = + (−1) ⋅ = −

2₃ 3₂ 5₆

(10)

PRZYKŁAD

Przykład 11:

Rozwiązanie:

Rozważamy szeregi i , które są szeregami harmonicznymi rzędów i odpowiednio, czyli szereg jest zbieżny, a szereg rozbieżny, a zatem szereg jest rozbieżny.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 4: o działaniach arytmetycznych na szeregach o wyrazach

nieujemnych

Jeżeli szeregi i mają wyrazy nieujemne, to ze zbieżności szeregu wynika zbieżność obydwu szeregów i . Z rozbieżności przynajmniej jednego z szeregów lub wynika rozbieżność szeregu , przez kontrapozycję.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 5:

Jeżeli szereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych, to zmiana kolejności sumowania wyrazów tego szeregu nie ma wpływu na jego zbieżność, a w przypadku szeregu zbieżnego, na wartość jego sumy.

∑

∞ n=1 √n+n 3 n2

∑

∞ n=1 √n 3 n2

∑

∞_n=1 _nn2 5₃

1 ∑

∞ n=1 √n 3 n2

∑

∞_n=1 _nn2

∑

∞_n=1 √n+n 3 n2

∑

∞ n=1

a

n

∑

∞n=1

b

n

∑

∞n=1

( + )

a

n

b

n

∑

∞ n=1

a

n

∑

∞n=1

b

n

∑

∞n=1

a

n

∑

∞n=1

b

n

( + )

∑

∞ n=1

a

n

b

n

∑

∞ n=1

a

n

(11)

PRZYKŁAD

Przykład 12:

Wylicz sumę szeregu . Rozwiązanie:

Rozwiązanie:

Ponieważ szereg ma wyrazy dodatnie, to pogrupujemy wyrazy szeregu dodając do siebie osobno wyrazy o indeksach parzystych i osobno wyrazy o indeksach nieparzystych. Dla sumy wyrazów o indeksach parzystych korzystamy z równości

otrzymując

Dla sumy wyrazów o indeksach nieparzystych skorzystamy z równości otrzymując

Obliczamy granice obydwu sum

oraz , zatem szereg jest zbieżny do sumy .

Zbieżność szeregów harmonicznego i

geometrycznego

DEFINICJA

Definicja 9: Szereg harmoniczny rzędu

Szeregiem harmonicznym rzędu nazywamy szereg postaci , gdzie .

TWIERDZENIE

Twierdzenie 6:

Twierdzenie 6: O zbieżności szeregu harmonicznego

O zbieżności szeregu harmonicznego

Szereg harmoniczny rzędu jest zbieżny dla i rozbieżny dla .

∑

∞ n=1 n(n+2)1

= −

1 k⋅(k+1) 1k k+11

+ + ⋯ +

=

+

+ ⋯ +

a

2

a

4

a

2k _2⋅41 _4⋅61 _2k⋅(2k+2)1

=

( +

+ ⋯ +

)

1 4 1⋅21 2⋅31 k⋅(k+1)1

(1 − + − + ⋯ + −

)

1 4 12 12 13 1k k+11

(1 −

)

1 4 k+11

= (

−

)

1 (2k−1)⋅(2k+1) 12 2k−11 2k+11

+ + ⋯ +

=

+

+ ⋯ +

= (1 − + − + ⋯ +

−

) = (1 −

)

a

1

a

3

a

2k−1 _1⋅31 _3⋅51 _{(2k−1)⋅(2k+1)}1 1₂ 1₃ 1₃ 1₅ _2k−11 _2k+11 1₂ _2k+11

( + + ⋯ +

) =

(1 −

) =

lim

k→∞

a

2

a

4

a

2k k→∞

lim

1 4 k+11 14

( + + ⋯ +

) =

(1 −

) =

lim

k→∞

a

1

a

3

a

2k−1 k→∞

lim

1 2 2k+11 12

∑

∞ n=1 n(n+2)1 14

+ =

12 34

α > 1

α

∑

∞ n=1 n1α

α ∈ R

α

α > 1

α ⩽ 1

(12)

DEFINICJA

Definicja 10: Szereg geometryczny

Szeregiem geometrycznym o ilorazie nazywamy szereg postaci , gdzie .

UWAGA

Uwaga 5:

Zauważamy, że szereg geometryczny można zapisać w sposób równoważny jako .

TWIERDZENIE

Twierdzenie 7:

Twierdzenie 7: O zbieżności szeregu geometrycznego

O zbieżności szeregu geometrycznego

Jeżeli iloraz szeregu geometrycznego spełnia warunek , to szereg geometryczny jest zbieżny do sumy , a dla szereg geometryczny jest rozbieżny.

PRZYKŁAD

Przykład 13:

Zauważamy, że badany szereg ma postać . Szereg jest szeregiem harmonicznym rzędu , czyli jest szeregiem zbieżnym. Zatem szereg jest szeregiem zbieżnym.

q ∈ R

∑

∞

a

n=1

q

n−1

a ∈ R

a

∑

∞ n=1

q

n−1

∑

∞n=0

a

q

n

q

|q| < 1

∑

∞

a

n=1

q

n−1

S =

a 1−q

|q| ⩾ 1 (a = 0)

/

∑

∞ n=1 n n√ 3 2 n_√ 5

=

∑

∞ n=1 1 2n52−43

∑

∞ n=1 1 2n76

∑

∞ n=1 1 n76 7 6

∑

∞n=1 n n√ 3 2 n_√ 5

(13)

PRZYKŁAD

Przykład 14:

Badany szereg jest naprzemienny o wyrazie .

Zauważamy, że szereg jest szeregiem geometrycznym o ilorazie , czyli jest szeregiem zbieżnym do

sumy równej , zatem szereg jest zbieżny do sumy równej .

Kryterium porównawcze zbieżności i rozbieżności

szeregów

TWIERDZENIE

Twierdzenie 8:

Twierdzenie 8: Kryterium porównawcze

Kryterium porównawcze

Jeżeli istnieje liczba naturalna taka, że dla wszystkich wyrazów ciągów i o indeksach większych od zachodzą nierówności , to ze zbieżności szeregu wynika zbieżność szeregu , a z rozbieżności szeregu

wynika rozbieżność szeregu .

Komentarz Komentarz

Zauważamy, że kryterium porównawcze można zastosować zarówno wtedy, gdy chcemy pokazać, że badany szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżny, jak i w przypadku gdy pokazujemy, że jest on rozbieżny. Istota kryterium porównawczego kryje się w tym, czy wyrazy badanego szeregu o wyrazach nieujemnych ograniczamy od góry, czy od dołu. Oczywiście ograniczenie od góry przez wyrazy nowego szeregu, który jest zbieżny, stosujemy, gdy podejrzewamy, że badany szereg jest zbieżny, natomiast w przeciwnym przypadku szukamy szeregu o wyrazach mniejszych, o którym wiemy, że jest rozbieżny. Cała trudność kryterium porównawczego leży w znalezieniu odpowiedniego szeregu, który ma wyrazy większe, albo mniejsze od badanego i którego zbieżność potrafimy określić. W tym celu często stosuje się standardowe zasady mówiące jak ograniczać ułamki, a także znane nierówności dla funkcji elementarnych lub też wykorzystuje się monotoniczność tych funkcji.

∑

∞ n=1 (−1) n+1 4n

=

= −(

a

n (−1) n+1 4n −1₄

)

n

(

∑

∞ n=1 −14

)

n

q = −

14

− ⋅

1

= −

4 _{1−(− )}11 4 1 5

∑

∞n=1 (−1)

=

(−1) ⋅ (

n+1 4n

∑

∞_n=1 −1₄

)

n 1₅

n

0

( )

a

n

( )

b

n

0

0 ⩽

a

n

⩽

b

n

∑

∞n=1

b

n

∑

∞n=1

a

n

∑

∞ n=1

a

n

∑

∞n=1

b

n

(14)

PRZYKŁAD

Przykład 15:

Zauważamy, że szereg ma wyrazy nieujemne, gdyż , dla .

Skorzystamy z nierówności , dla , czyli , dla .

Szereg jest szeregiem harmonicznym rzędu , zatem jest szeregiem zbieżnym. Korzystając z kryterium porównawczego, ponieważ szereg o wyrazach większych jest zbieżny, to szereg o wyrazach mniejszych

też jest zbieżny.

PRZYKŁAD

Przykład 16:

Zbadaj zbieżność szeregu .

Rozwiązanie:

Badany szereg ma wyrazy nieujemne, gdyż , a wiemy, że funkcja ma w przedziale wartości nieujemne, jak również wyrażenie jest nieujemne dla .

Skorzystamy z nierówności , dla . Ponieważ otrzymujemy

.

Szereg jest szeregiem harmonicznym rozbieżnym, czyli szereg też jest rozbieżny.

Ponieważ szereg o wyrazach mniejszych jest rozbieżny, to z kryterium porównawczego szereg o wyrazach większych też jest rozbieżny.

Kryterium ilorazowe zbieżności i rozbieżności

szeregów

∑

∞ n=1 ln nn3

ln x ⩾ 0

x ⩾ 1

ln x ⩽ x

x > 0

ln n

⩽

=

n3 _nn3 _n12

n ⩾ 1

∑

∞ n=1 n12

2 ∑

∞ n=1 n12

∑

∞ n=1 ln nn3

sin(

) ⋅ (n +

)

∑

∞ n=1 n n√1

√

n

0 <

1

⩽ 1 <

n n√ π2

sin x

[0, ]

π2

(n +

√

n

)

n ⩾ 1

⩽ sin x

2x π

x ∈ [0, ]

π2

∈ (0, )

1 n n√ π2

= ⋅

⋅

(n +

) ⩽ sin (

) ⋅ (n +

)

4 πn π2 n n2 n√√

⩽

(bo ≤n)√n 2π n n√1

√

n

n n√1

√

n

∑

∞ n=1 n1

∑

∞n=1 πn4

sin(

) ⋅ (n +

)

∑

∞ n=1 _{(n n}_√1

√

n

(15)

TWIERDZENIE

Twierdzenie 9:

Twierdzenie 9: Kryterium ilorazowe

Kryterium ilorazowe

Jeżeli dla wszystkich wskaźników większych od pewnego wyrazy szeregów i są dodatnie oraz istnieje dodatnia właściwa granica , to szeregi i są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne.

PRZYKŁAD

Przykład 17:

Zauważamy, że szereg ma wyrazy dodatnie dla . Zastosujemy kryterium ilorazowe i skorzystamy z szeregu , dla badanego w module 1, który również ma wyrazy dodatnie dla . Obliczamy granicę ilorazu

W module 1 pokazaliśmy, że szereg jest rozbieżny, czyli na podstawie kryterium ilorazowego szereg też jest rozbieżny.

PRZYKŁAD

Przykład 18:

Zauważamy, że szereg ma wyrazy dodatnie dla . Do kryterium ilorazowego zastosujemy szereg o wyrazach , który również ma wyrazy dodatnie dla . Obliczamy granicę ilorazu

Szereg jest szeregiem harmonicznym rzędu , czyli jest szeregiem zbieżnym, bo , a zatem szereg też jest zbieżny.

n

0

∑

∞n=1

a

n

∑

∞n=1

b

n

∈ (0, ∞)

lim

n→∞ a_bn_n

∑

∞n=1

a

n

∑

∞n=1

b

n

∑

∞ n=1 n1

∑

∞ n=1 n1

n ⩾ 1

∑

∞ n=1

b

n

b

n

= ln(1 + )

_n1

n ⩾ 1

ln

=

ln (1 +

= ln e = 1 > 0

lim

n→∞ 1+ 1 n 1 n

lim

n→∞ 1 n

)

n

ln(1 + )

∑

∞ n=1 n1

∑

∞ n=1 n1

∑

∞ n=1 _n3√_+n+n+1_√3_n

∑

∞ n=1 _n3√_+n+n+1_√3_n

n ⩾ 1

=

b

n _n21_√_n

n ⩾ 1

=

= 1 > 0.

lim

n→∞ +1 n √ +n+ n3 √3n 1 n2 n√

lim

n→∞ n+ 3 _n2_√_n +n+ n3 _√3_n

lim

n→∞ 1+ 1 n √ 1+ +1 n2 1 n83

∑

∞ n=1 n21_√_n 5₂ 5₂

> 1

∑

∞ n=1 _n3√_+n+n+1_√3_n

(16)

PRZYKŁAD

Przykład 19:

Zauważamy, że szereg ma wyrazy dodatnie, bo , dla , a funkcja ma w przedziale wartości dodatnie. W kryterium ilorazowym dobieramy szereg o wyrazach , które też są dodatnie dla . Obliczamy granicę ilorazu, korzystając ze znanej granicy funkcji

.

Wiemy, że szereg jest rozbieżny, więc szereg też jest rozbieżny.

Kryterium całkowe zbieżności i rozbieżności

szeregów

TWIERDZENIE

Twierdzenie 10:

Twierdzenie 10: Kryterium całkowe

Kryterium całkowe

Jeżeli funkcja jest ciągła, dodatnia i malejąca w przedziale , gdzie , to całka niewłaściwa i szereg są jednocześnie zbieżne albo jednocześnie rozbieżne.

sin

∑

∞ n=1 n1

sin

∑

∞ n=1 n1 1n

∈ (0, )

π2

n ⩾ 1

sin x

(0, )

π2

=

b

n n1

n ⩾ 1

= 1

lim

x→0 sin x_x

= 1 > 0

lim

n→∞ sin 1 n 1 n

∑

∞ n=1 n1

∑

∞n=1

sin

n1

f

[ , +∞)

n

0

n

0

∈

N

+

∫

n∞0

f(x)dx

f(n)

∑

∞ n=n0

(17)

PRZYKŁAD

Przykład 20:

Rozważymy funkcję , która jest ciągła, malejąca i dodatnia w przedziale . Badamy zbieżność całki niewłaściwej .

Zatem całka jest rozbieżna i na podstawie kryterium całkowego szereg jest też rozbieżny.

PRZYKŁAD

Przykład 21:

Rozważymy funkcję , która jest ciągła, malejąca i dodatnia w przedziale . Badamy zbieżność całki .

Zatem całka jest rozbieżna, tak więc szereg też jest rozbieżny.

∑

∞ n=2 n ln n1

f(x) =

1 x ln x

[2, ∞)

dx

∫

₂∞ 1 x ln x

dx =

=

dt =

(ln t ) =

(ln (ln b) − ln (ln 2)) = ∞

lim

b→∞

∫

₂b _{x ln x}1

∣

t = ln x

dt = dx

1 x

x = 2 → t = ln 2

x = b → t = ln b

∣

lim

b→∞

∫

ln b ln 2 1t

lim

b→∞

|

ln bln 2

lim

b→∞

dx

∫

₂∞ 1 x ln x

∑

∞n=2 n ln n1

∑

∞ n=1 n2n+1

f(x) =

x +1 x2

[1, ∞)

dx

∫

₁∞ x +1 x2

dx =

( ln ( + 1) ) =

( ln ( + 1) − ln 2) = ∞

lim

b→∞

∫

1b x2x+1

lim

b→∞ 1₂

x

2

|

b₁

lim

b→∞ 1₂

b

2 1₂

dx

∫

₁∞ x

+1

(18)

PRZYKŁAD

Przykład 22:

Wykaż, że szereg harmoniczny rzędu , jest rozbieżny dla i zbieżny dla . Rozwiązanie:

Rozważamy szereg harmoniczny rzędu , czyli szereg postaci ,dla .

Badamy zbieżność szeregu z kryterium całkowego, rozważając funkcję , która jest ciągła, dodatnia i malejąca dla i .

Badamy zbieżność całki .

Całka jest zatem zbieżna dla , a rozbieżna dla , czyli dla szereg jest zbieżny, a dla szereg jest rozbieżny.

Kryterium Cauchy’ego zbieżności i rozbieżności

szeregów

TWIERDZENIE

Twierdzenie 11:

Twierdzenie 11: Kryterium Cauchy'ego

Kryterium Cauchy'ego

Jeżeli dla indeksów większych od pewnej liczby wyrazy szeregu są nieujemne oraz istnieje granica , to dla szereg jest zbieżny, a dla szereg jest rozbieżny.

UWAGA

Uwaga 6:

Kryterium Cauchy‘ego nie rozstrzyga zbieżności szeregu w przypadku .

α

α ∈ (0, 1]

α > 1

α

∑

∞ n=1 n1α

α > 0

f(x) =

1 xα

α > 0 x ⩾ 1

dx

∫

∞ 1 x1α

dx =

{

=

{

=

lim

b→∞

∫

₁b _x1α

lim

b→∞ x−α+1 −α+1

|

b1

ln x|

b 1

dla α = 1

/

dla α = 1

lim

b→∞

−

1 (1−α)bα−1 _1−α1

ln b

dla α = 1

/

dla α = 1

⎧

⎩

⎨

−1 1−α

∞

dla α > 1

dla α ∈ (0,

dla α = 1

dx

∫

∞ 1 x1α

α > 1

α ∈ (0, 1]

α > 1

∑

∞_n=1 _n1α

α ∈ (0, 1]

∑

∞ n=1 n1α

n

0

∈

N

+

∑

∞n=1

a

n

= g

lim

n→∞

√

n

a

n

g ∈ [0, 1)

∑

n=1∞

a

n

g ∈ (1, +∞)

∑

∞n=1

a

n

g = 1

(19)

PRZYKŁAD

Przykład 23:

Szereg ma wyrazy dodatnie dla , więc można zastosować kryterium Cauchy’ego. W tym celu liczymy granicę

. Zatem szereg jest zbieżny.

PRZYKŁAD

Przykład 24:

Szereg ma wyrazy dodatnie dla , więc stosujemy kryterium Cauchy’ego. W tym celu obliczamy granicę .

Zatem szereg jest zbieżny.

PRZYKŁAD

Przykład 25:

Szereg ma wyrazy dodatnie dla , więc stosujemy kryterium Cauchy’ego. Obliczamy granicę .

Zatem szereg jest rozbieżny.

∑

∞ n=1 n2 n 5n

∑

∞ n=1 n2 n 5n

n ⩾ 1

=

= < 1

lim

n→∞ n2₅nn

−−

−

√

n

lim

n→∞ 2 n√ n 5 25

∑

∞ n=1 n2 n 5n

(

∑

∞ n=1 n+2n+3

)

n 2

(

∑

∞ n=1 n+2n+3

)

n 2

n ⩾ 1

=

(

=

(

=

[(1 +

=

< 1

lim

n→∞

√

n

(

−

−−−−

n+2_n+3

)

n

−

2

lim

n→∞ n+2_n+3

)

n

lim

n→∞ n+3−1_n+3

)

n

lim

n→∞ _n+3−1

)

n+3 −1

]

n+3−n

e

−1

(

∑

∞ n=1 n+2n+3

)

n 2

∑

∞ n=1 2 n n3

∑

∞ n=1 2 n n3

n ⩾ 1

=

= 2 > 1

lim

n→∞ 2_nn3

−−

√

n

lim

n→∞ _{( n}_√n2₎3

∑

∞ n=1 2 n n3

(20)

Kryterium d’Alemberta zbieżności i rozbieżności

szeregów

TWIERDZENIE

Twierdzenie 12: Kryterium d'Alemberta

Jeżeli dla indeksów większych od pewnej liczby wyrazy szeregu są dodatnie oraz istnieje granica , to dla szereg jest zbieżny, a dla szereg jest rozbieżny.

UWAGA

Uwaga 7:

Kryterium d‘Alemberta nie rozstrzyga zbieżności szeregu w przypadku .

PRZYKŁAD

Przykład 26:

Zbadaj zbieżność szeregu ,dla . Rozwiązanie:

Rozwiązanie:

Szereg ,dla ma wyrazy dodatnie, więc możemy zastosować kryterium d’Alemberta. Obliczamy granicę .

Zatem szereg jest zbieżny dla i rozbieżny dla .

Zauważamy również, że dla nie jest spełniony WK zbieżności szeregu, gdyż .

n

0

∈

N

+

∑

∞n=1

a

n

= g

lim

n→∞ an+1 an

g ∈ [0, 1)

∑

∞ n=1

a

n

g ∈ (1, ∞)

∑

∞n=1

a

n

g = 1

n

∑

∞ n=1

a

n

a > 0

n

∑

∞ n=1

a

n

a > 0

lim

n→∞ an+1 an

= a

= a.

lim

n→∞ (n+1)an+1 nan _n→∞

lim

n+1_n

a ∈ (0, 1)

a > 1

a = 1

_n→∞

lim

n ⋅

1

n

= ∞

(21)

PRZYKŁAD

Przykład 27:

Rozwiązanie:

Szereg dla ma wyrazy dodatnie, więc stosujemy kryterium d’Alemberta. Obliczamy odpowiednią granicę

Zatem szereg jest zbieżny.

PRZYKŁAD

Przykład 28:

Rozwiązanie:

Szereg dla ma wyrazy dodatnie, więc stosujemy kryterium d’Alemberta. Obliczamy granicę

PRZYKŁAD

Przykład 29:

Rozwiązanie:

Szereg dla ma wyrazy dodatnie, więc stosujemy kryterium d’Alemberta. Obliczamy granicę

∑

∞ n=1 nn!n

∑

∞ n=1 nn!n

n ≥ 1

⋅

=

= < 1.

lim

n→∞ (n+1)! (n+1)n+1 n n n! _n→∞

lim

n n (n+1)n

lim

n→∞ 1 (n+1 n )n n→∞

lim

1 (1+1 n)n 1 e

∑

∞ n=1 nn!n

∑

∞ n=1 (2n)!_(n!)2

∑

∞ n=1 (2n)!_(n!)2

n ≥ 1

⋅

=

⋅

=

= 4 > 1.

lim

n→∞ (2(n+1))! ((n+1)!)2 (n!) 2 (2n)! _n→∞

lim

(2n+2)(2n+1)(2n)!(n+1 (n!)2 ₎2 (n!) 2 (2n)! _n→∞

lim

2(2n+1)n+1

∑

∞ n=1 (2n)!_(n!)2

∑

∞ n=1 n!n n 2n+1

∑

∞ n=1 n!n n 2n+1

n ≥ 1

=

⋅

=

⋅ (

lim

n→∞ an+1 an _n→∞

lim

(n+1)!(n+1)n+1 2n+2 2 n+1 n!nn _n→∞

lim

(n+1)(n+1) n+1 2nn

lim

n→∞ (n+1)2 2 n+1n

)

n

=

⋅ (1 +

lim

n→∞ (n+1)2 2 n1

)

n

[∞ ⋅ e] = ∞.

∑

∞ n=1 n!n n 2n+1

(22)

Bezwzględna zbieżność szeregów

DEFINICJA

Definicja 11: Bezwzględna zbieżność szeregu

Mówimy, że szereg jest bezwzględnie zbieżny, jeżeli szereg jest zbieżny.

DEFINICJA

Definicja 12: Warukowa zbieżność szeregu

Mówimy, że szereg jest warunkowo zbieżny, jeżeli szereg jest zbieżny, ale nie jest bezwzględnie zbieżny.

PRZYKŁAD

Przykład 30:

Zbadaj bezwzględną zbieżność szeregu . Rozwiązanie:

Zauważmy, że , zatem jest szeregiem rozbieżnym, czyli nie jest bezwzględnie zbieżny.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 13: Warunek Konieczny (WK) bezwzględnej zbieżności szeregu

Jeżeli szereg jest szeregiem bezwzględnie zbieżnym, to jest szeregiem zbieżnym.

∑

∞ n=1

a

n

∑

∞n=1

| |

a

n

∑

∞ n=1

a

n

∑

∞n=1

a

n

∑

∞ n=1 cos nπn

cos nπ = (−1)

n

_∑

∞

₌

n=1

∣∣

cos nπn

∣∣ ∑

∞n=1 n1

∑

∞n=1 cos nπn

∑

∞ n=1

a

n

(23)

PRZYKŁAD

Przykład 31:

Zbadaj zbieżnośc szeregu . Rozwiązanie:

Ponieważ szereg ma wyrazy ujemne, gdyż funkcja przyjmuje wartości ujemne, więc badamy zbieżność bezwzględną, czyli zbieżność szeregu .

Wiemy, że szereg ma wyrazy nieujemne bo , a zatem korzystamy z kryterium porównawczego

Szereg jest szeregiem harmonicznym zbieżnym, a zatem szereg jest zbieżny bezwzględnie, czyli jest szeregiem zbieżnym.

PRZYKŁAD

Przykład 32:

Dla jakiej wartości parametru szereg jest zbieżny? Rozwiązanie:

Ponieważ nie znamy wartości parametru szereg może mieć wyrazy ujemne, więc badamy zbieżność bezwzględną, czyli zbieżność szeregu .

Ponieważ , możemy skorzystać z kryterium Cauchy'ego. Liczymy odpowiednią granicę .

Zatem dla szereg będzie zbieżny bezwzględnie, czyli dla szereg jest szeregiem zbieżnym.

Zbadajmy, czy szereg jest zbieżny dla , czyli dla lub .

Dla badany szereg ma postać i jest rozbieżny, bo i nie spełnia WK zbieżności szeregów.

Dla badany szereg ma postać i jest rozbieżny, bo

nie istnieje i też nie spelnia WK zbieżności szeregów.

Zauważmy jeszcze, że dla badany szereg jest rozbieżny, bo również nie spełnia WK zbieżności szeregów.

∑

∞ n=1 sin (n!)n2+1

∑

∞ n=1 sin (n!)_n2₊₁

sin x

∑

∞ n=1

∣∣

sin (n!)n2+1

∣∣

∑

∞ n=1

∣∣

sin (n!)n2₊₁

∣∣

sin (n!)_n2₊₁

∣∣

≥ 0

≤

∣∣

sin (n!) +1 n2

∣∣

_n12

∑

∞ n=1 n12

∑

∞n=1 sin (n!)n2₊₁

a

∑

∞

(2a − 1

n=1 n+1₃n

)

3n

a

∑

∞

(2a − 1

n=1 n+1₃n

)

3n

(2a − 1

∑

∞ n=1

∣∣

n+13n

)

3n

∣∣

(2a − 1

≥ 0

∣∣

n+1 3n

)

3n

∣∣

=

⋅ |2a − 1 =

lim

n→∞ n+1₃n

|(2a − 1)|

3n

−

−−−−−−−−−−

−

√

n

lim

n→∞ √n+1 n 3

|

3 |2a−1| 3 3

|2a − 1 < 3

|

3

_{a ∈ ( (1 −}

1

_{) , (}

_{+ 1))}

2

√

3

12

√

3

3 (2a − 1

∑

∞ n=1 n+13n

)

3n

|2a − 1| = 3

√

3

_{a = (1 −}

₁

₎

2

√

3

3 a = (

12

√

3

3 + 1)

a = (

1

+ 1)

2

√

3

3 ∑

∞n=1 n+1₃n

⋅

3

n

lim

n→∞

(n + 1) = ∞

a = (1 −

1

)

2

√

3

3 ∑

n=1∞ n+13n

⋅

(−3)

n

=

∑

∞_n=1

(n + 1)(−1

)

n

(n + 1) ⋅ (−1

lim

n→∞

)

n

a ∈ (−∞, (1 −

1

)) ∪ ( (

+ 1) , +∞)

2

√

3

12

√

3

(24)

PRZYKŁAD

Przykład 33:

Zbadaj zbieżność szeregu . Rozwiąznie:

Szereg jest szeregiem naprzemiennym, bo przyjmuje wartości dodatnie. Zbadamy najpierw zbieżność bezwzględną szeregu, czyli zbieżność szeregu .

Ponieważ , a funkcja ma w przedziale wartości dodatnie, więc szereg ma wyrazy nieujemne. Możemy zatem skorzystać z kryterium porównawczego oraz nierówności , dla . Wiemy, że dla , zatem dla .

Szereg jest szeregiem harmonicznym rzędu , czyli szeregiem zbieżnym, a zatem też jest szeregiem zbieżnym.

Czyli szereg jest bezwzględnie zbieżny, zatem jest szeregiem zbieżnym.

Kryterium Leibniza zbieżności szeregów

naprzemiennych

TWIERDZENIE

Twierdzenie 14:

Twierdzenie 14: Kryterium Leibniza

Kryterium Leibniza

Jeżeli ciąg jest malejący, nieujemny i , to szereg naprzemienny jest zbieżny.

Komentarz Komentarz

Kryterium Leibniza stosujemy dla szeregów naprzemiennych wtedy, gdy nie działa WK bezwzględnej zbieżności, czyli w przypadku, gdy szereg naprzemienny nie jest bezwzględnie zbieżny. Jeżeli okazuje się, że szereg, który nie jest bezwzględnie zbieżny, jest zbieżny, to mamy zbieżność warunkową tego szeregu.

(−1 tg

∑

∞ n=1

)

n n n√1

(−1 tg

∑

∞ n=1

)

n n n√1

tg

n n√1

tg

∑

∞ n=1 n n√1

∈ (0, )

1 n n√ π2

tgx

(0, )

π2

∑

∞n=1

tg

n n√1

tgx ≤ 2x

x ∈ (0, )

π 4

≤

1 n n√ π4

n ≥ 2

tg

n n√1

≤

n n√2

n ≥ 2

∑

∞ n=1 n n√1 32

∑

∞n=1

tg

n n√1

(−1 tg

∑

∞ n=1

)

n n n√1

( )

a

n

lim

n→∞

a

n

= 0

∑

∞n=1

(−1

)

n

a

n

(25)

PRZYKŁAD

Przykład 34:

Ponieważ szereg jest szeregiem naprzemiennym, badamy bezwzględną zbieżność szeregu, czyli zbieżność

szeregu .

Ponieważ szereg dla ma wyrazy nieujemne, korzystamy z kryterium porównawczego .

Szereg jest szeregiem harmonicznym rozbieżnym, zatem szereg jest rozbieżny, czyli szereg nie jest zbieżny bezwzględnie.

Będziemy teraz korzystać z Kryterium Leibniza, niech .

Ciąg jest dodatni, malejący i , czyli z kryterium Leibniza szereg jest zbieżny, a zatem jest zbieżny warunkowo.

PRZYKŁAD

Przykład 35:

Rozwiązanie: Ponieważ szereg jest szeregiem naprzemiennym, badamy bezwzględną zbieżność szeregu, czyli zbieżność szeregu .Wiemy, że z kryterium całkowego szereg jest rozbieżny, co pokazaliśmy w module kryterium całkowe zbieżności i rozbieżności szeregów przykład 1, a zatem szereg nie jest bezwzględnie zbieżny. Dla potrzeb Kryterium Leibniza, niech .Dla , ciąg jest dodatni, malejący i

, czyli z kryterium Leibniza szereg jest zbieżny, zatem jest zbieżny warunkowo.

PRZYKŁAD

Przykład 36:

Rozwiązanie: Szereg jest szeregiem naprzemiennym, więc najpierw badamy zbieżność bezwzględną, czyli zbieżność szeregu . Ponieważ , możemy skorzystać z kryterium ilorazowego wybierając ciąg . Liczymy granicę ilorazu, korzystając ze znanej granicy .

. Szereg jest szeregiem harmonicznym rozbieżnym, czyli szereg jest rozbieżny, a zatem szereg nie jest zbieżny bezwzględnie. Niech

i będziemy korzystać z Kryterium Leibniza. Ciąg jest dodatni, malejący i , czyli z kryterium Leibniza szereg jest zbieżny, a zatem jest zbieżny warunkowo.

∑

∞ n=1 (−1) n n+ n√

∑

∞ n=1 (−1) n n+ n√

=

∑

∞ n=1

∣

(−1) n n+ n√

∣

∣ ∑

∞n=1 n+ n1√

∑

∞ n=1 n+ n1√

n ≥ 1

=

≤

1 2n n+n1 n+ n1√

∑

∞ n=1 n1

∑

∞n=1 n+ n1√

∑

∞ n=1 (−1) n n+ n√

=

a

n _{n+ n}1_√

( )

a

n

lim

n→∞ _{n+ n}1_√

= 0

∑

∞n=1 (−1) n n+ n√

∑

∞ n=2 (−1) n n ln n

∑

∞ n=2 (−1) n n ln n

∑

∞ n=2 n ln n1

∑

∞n=2 n ln n1

∑

∞ n=2 (−1) n n ln n

=

a

n _{n ln n}1

n ≥ 2

( )

a

n

= 0

lim

n→∞ _{n ln n}1

∑

∞n=2 (−1) n n ln n

(−1 (

− 1)

∑

∞ n=1

)

n

√

n

3 (−1 (

− 1)

∑

∞ n=1

)

n

√

n

3 (

− 1)

∑

∞ n=1

√

n

3 √

n

3 − 1 > 0

=

b

n _n1

lim

x→03x_x−1

= ln 3

=

= ln 3

lim

n→∞ √3−1 n 1 n

lim

n→∞ −1 3n1 1 n

∑

∞ n=1 1n

(

− 1)

∑

∞ n=1

√

n

3 ∑

∞n=1

(−1 (

)

n

√

n

3 − 1)

=

− 1

a

n

√

n

3 ( )

a

n

lim

n→∞

(

√

n

3 − 1) = 0

(−1 (

− 1)

∑

∞ n=1

)

n

√

n

3

(26)

UWAGA

Uwaga 8:

Przy badaniu tylko zbieżności nie musimy badać bezwzględnej zbieżności szeregu.

Kryteria Dirichleta i Abela zbieżności szeregów

TWIERDZENIE

Twierdzenie 15:

Twierdzenie 15: Kryterium Dirichleta

Kryterium Dirichleta

Jeżeli ciąg jest malejący i zbieżny do zera oraz ciąg sum cześciowych szeregu jest ograniczony, to szereg jest zbieżny.

PRZYKŁAD

Przykład 37:

Skorzystamy z Kryterium Dirichleta, w którym i .

Ciąg jest malejący i oraz , czyli ciąg jest

ograniczony.

Zatem z kryterium Dirichleta szereg jest zbieżny.

( )

a

n

S

n

= + + ⋯ +

b

1

b

2

b

n

∑

∞n=1

b

n

∑

∞ n=1

a

n

b

n

∑

∞ n=1 e −n n

=

a

n _n1

b

n

=

e

−n

( )

a

n

lim

n→∞

a

n

= 0

| | = + + ⋯ +

S

n

∣∣

1_e _e12 _e1n

∣∣ ∣∣∣

= ⋅

1_e

<

1−1 en 1−1 e

∣

∣∣

e−11

( )

S

n

∑

∞ n=1 e −n n

(27)

PRZYKŁAD

Przykład 38:

Zbadaj zbiezność szeregu . Rozwiaznie:

Skorzystamy z Kryterium Dirichleta oraz ze wzoru .

Niech i .

Ciąg jest malejący i oraz ,

czyli ciąg jest ograniczony.

Zatem, z kryterium Dirichleta, szereg jest zbieżny.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 16:

Twierdzenie 16: Kryterium Abela

Kryterium Abela

Jeżeli szereg jest zbieżny oraz ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to szereg jest zbieżny.

PRZYKŁAD

Przykład 39:

Zastosujemy Kryterium Abela, w którym i .

Szereg jest szeregiem harmonicznym zbieżnym oraz ciąg jest malejący i , co implikuje ograniczoność ciągu .

Zatem z kryterium Abela szereg jest zbieżny.

∑

∞ n=1 sin nπ 3 n √

sin (ix) =

∑

n

i=1 cos −cos

x 2 (2n+1)x 2 2 sinx 2

=

a

n _√1_n

b

n

= sin

nπ₃

( )

a

n

lim

n→∞

a

n

= 0

| | =

S

n

∣∣∑

ni=1

sin (i ) =

π3

∣∣

∣

_∣

∣

= 2 sin (n + 1) sin n < 2

cos −cosπ 6 (2n+1)π 6 2 sinπ 6

∣

∣ ∣∣

π 3 π3

∣∣

( )

S

n

∑

∞ n=1 sin nπ 3 n √

∑

∞ n=1

a

n

( )

b

n

∑

∞n=1

a

n

b

n

sin

∑

∞ n=1 n12 _n1

=

a

n _n12

b

n

= sin

1_n

∑

∞ n=1

a

n

( )

b

n

lim

n→∞

b

n

= 0

( )

b

n

sin

∑

∞ n=1 n12 1_n

(28)

PRZYKŁAD

Przykład 40:

Zastosujemy Kryterium Abela, gdzie i .

Szereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych, zbieznym z kryterium Cauchy'ego, bo . Ciąg jest rosnący i , co implikuje ograniczoność ciągu .

Zatem z kryterium Abela szereg jest zbieżny.

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-09 21:09:49

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-podreczniki_view.php? categId=4&handbookId=59

∑

∞ n=1 ₃n_{(1− )}n₃2n

=

a

n ₃nn

b

n

=

₁₋₃12n

∑

∞ n=1

a

n

lim

n→∞ ₃nn

= < 1

−−

√

n 1 3

( )

b

n

lim

n→∞

b

n

= 0

( )

b

n

∑

∞ n=1 ₃n_{(1− )}n₃2n