Wykład X
Przypomnienie:
1. Z:
f
C
[a,b],
F
pierwotna do f na [a,b]
T:
b aa
F
b
F
dx
x
f
(
)
(
)
(
)
2.
{
x
:
f
(
x
)
g
(
x
)}
jest zbiorem miary Riemanna 0
to
b a b adx
x
g
dx
x
f
(
)
(
)
a
c
b
3.
b a c a b cdx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
(
)
(
)
(
)
Przykład 10.1
3 0)
( dx
x
f
}
3
,
2
,
1
{
,
1
}
2
,
1
{
\
)
3
,
0
[
,
)
(
2
x
x
x
x
x
f
Ta funkcja nie jest ciągła, lecz
}
)
(
:
{
x
f
x
x
2ma miarę Riemana 0 zatem
3 0 2 3 0)
(
x
dx
x
dx
f
9
0
9
0
3
3
1
3
x
Przykład 10.2
2 0)
( dx
x
f
)
2
,
1
(
,
1
]
1
,
0
[
,
)
(
2x
x
x
x
x
f
rys. y 1 Punkt uciąglenia x 1 2Funkcja ma 1 punkt nieciągłości i nie da się zmienić wartości tak aby uciąglić. (3)Rozpiszemy na 2 całki
1
7
3
2
1
3
1
1
3
8
2
0
2
1
1
2
)
3
(
0
1
2
)
1
(
)
(
3 2 2 0 1 0 2 1 2x
x
x
dx
x
xdx
dx
x
f
aby były spełnione założenia tw. N-L
należy domknąć przedział [1,2]
Jeżeli funkcja jest nieograniczona nie da się bezpośrednio skorzystać z tw. N-L wtedy mamy do czynienia z całkami niewłaściwymi
CAŁKI NIEWŁAŚCIWE
Założenia tw. Newtona-Leibniza
funkcja ciągła
[a,b]-domknięty i ograniczony
1)
f
C
[a,b], f nieciągła w a (x=a asymptota pionowa prawostronna)
y
x
a
b
a
a
b
a
wówczas:
b
b
a
a
dx
x
f
dx
x
f
lim
(
)
(
)
)
(
są spełnione zał. tw. N-L
Jeżeli granica
(
)
istnieje i jest liczbą skończoną to powiemy, że całka niewłaściwa jest
zbieżna, w przeciwnym przypadku powiemy, że całka jest rozbieżna.
(tzn. jeżeli ta granica jest niewłaściwa lub nie istnieje)
2)
2
.
1
2)
f
C
[
a
,
b
)
nieciągła w b (x=b – asymptota pionowa)
a b b adx
x
f
dx
x
f
(
)
lim
(
)
reszta analogicznie jak w 1)
3)
}
\{
]
,
[
)
(
ox
b
a
C
x
f
nieciągła w x
0
b a x x b x x a b adx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
lim
(
)
lim
(
)
)
(
)
(
)
(
0 0 0 0Przykład 10.3
2 0 31
x
dx
I
dziedzina: D: R\{1}1Punkt nieciągłości jest wewnątrz przedziału(Nie spełnia założeń tw. N-L jak w 3))
2 3 0 1 3 1 2 1 3 1 0 31
lim
1
lim
1
1
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
I
= Obliczenie pomocnicze:
x
C
C
t
dt
t
t
dt
t
dx
t
x
t
x
x
dx
2 3 2 2 2 3 3 32
1
3
2
3
3
3
1
1
1
0
2
3
2
3
1
1
2
3
1
1
2
3
2
1
2
3
0
1
2
3
3 2 1 3 3 2 1 3 2 1 3 21
lim
lim
lim
lim
x
x
I
Przykład 10.4
1 1x
dx
I
D
: R
\
0
-1 0 1
1
ln
1
ln
lim
lim
lim
lim
0 0 1 1 0 0 1 0 0 1x
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
I
ln
1
ln
1
ln
ln
lim
lim
0 0 - symbol nieoznaczony.-∞ 0 0 +∞ granica nie istnieje
całka jest rozbieżnaWydawałoby się, że zaznaczone pola są identyczne, ale oba są nieskończone, więc się NIE redukują.
0
0
niezależnie od siebie (nie tak samo)Jeżeli
zmierzają do zera w taki sam sposób to:
lim
[ln
ln
]
0
0
Wartość Główna Całki Niewłaściwej
Jeżeli
f
C
[a,b]\ x
0
0 0)
(
)
(
lim
0 x a b xdx
x
f
dx
x
f
- Wartość Główna Całki Niewłaściwej
II typ całek niewłaściwych
(przedział całkowania jest nieograniczony)
Z: f – ciągła
A
1
b A A bdx
x
f
dx
x
f
(
)
lim
(
)
b
A
B a B adx
x
f
dx
x
f
(
)
(
)
2
lim
B A B Adx
x
f
dx
x
f
(
)
(
)
3
lim
Przykład 10.5
R
D
x
x
D
0
28
16
0
7
4
:
2 Obliczenie pomocnicze:Wniosek 10.1 (całkowanie przez podstawienie dla całki oznaczonej)
Jeżeli F pierwotna do f na [a,b], to
F
jest pierwotna do
f
(tzn.
F
t
f
t
t
t
,)
Dowód:
b
F
a
F
dx
x
f
L
b a L N
(
)
x
t
dt
F
b
F
a
f
P
L=P
a
b
C
bijekcja
b
a
C
f
Z
ab
,
,
,
:
,
:
1 ] , [ ] , [
t
t
dt
f
dx
x
f
T
b a
(
)
:
1 27
4x
x
dx
I
1 27
4
lim
A Ax
x
dx
I
C
x
arctg
C
arctgt
t
dt
t
dt
dt
dx
t
x
x
dx
3
2
3
3
3
3
1
3
3
3
3
3
3
3
2
3
2
2 2 2
3
2
3
6
3
3
3
2
3
1
3
3
1
3
2
3
3
lim
lim
lim
0
A A AA
arctg
arctg
A
x
arctg
I
9
3
3
3
3
Przykład 10.6
1
2
2
1
1
1
0
1
0
1
1
2 2 2 2 ln 0t
t
dx
tdt
dx
e
t
e
t
e
t
e
x
e
e
dx
e
x x x x x x x)
,
0
[
D
tworzymy tabelkę zmieniającą gr. całkowania. x 0 ln2 t 0 1
4
1
2
0
0
1
1
2
0
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
2
1 0 1 0 1 0 2 2 2 2
arctg
arctg
arctgt
t
dt
t
dt
t
t
dt
t
t
t
=
𝜋
2
bez powrotu do starej zmiennej
Wniosek 10.2 (całkowanie przez części)
a
b
C
v
u
Z
:
,
1,
u
x
v
x
dx
a
b
x
v
x
u
dx
x
v
x
u
T
b a b a
:
Zastosowania Geometryczne Całki Oznaczonej
1. Pole obszaru:
D
:
x
,
y
R
2:
x
a
,
b
x
y
x
,
,
C
a,b
a)
a
b
b adx
x
x
D
- wynika to bezpośrednio z interpretacji geometrycznej całki
oznaczonej
Współrzędne biegunowe
y
x,
y
-współ. kartezjańskie P
y
P
r
,
-współ. biegunowe punktu P
r- długość promienia wodzącego,
(odległość P
r
od początku układu)
-kąt skierowany pomiędzy
promieniem wodzącym
i dodatnimkierunku osi OX w dodatnim
r
0
,
R
Związek pomiędzy współrzędnymi biegunowymi i kartezjanskimi:
sin
cos
r
y
r
x
Przykład 10.7
Równanie biegunowe Lemniskaty Bernoulliego
(𝑥
2+ 𝑦
2)
2= 𝑎
2(𝑥
2− 𝑦
2)
Wprowadźmy współ. biegunowe 2 2 2sin
cos
r
y
x
r
y
r
x
;
a
cos
2
r
równanie biegunowe Lemniskaty Bernoulliego Ustalamy dziedzinę;Uwaga: Obowiązuje nas założenie
r
0
cos
2
0
k
k
k
k
4
4
2
:
/
2
2
2
2
2
0
2
cos
φ 4
4
4
4
4
y 4
a
a
x 4
4
2
cos
:
/
sin
cos
2 2 2 2 2 2 2 4a
r
r
r
a
r
b )Pole obszaru ograniczonego krzywą zadaną równaniem biegunowym i półprostymi φ=α i φ=β.
r
r
r
y
r
x
R
y
x
D
0
,
sin
cos
:
,
:
2
d
r
D
22
1
Tworzymy normalny ciąg podziałów przedziału
,
. W każdym z przedziałów n-tego podziału wybieramy w sposób dowolny punkt pośredni ξk.Pole zawarte pomiędzy φk , φk+1 i krzywa r=r( φ) przybliżamy jako Pk - wycinek koła o promieniu
r(ξk). Pola sumujemy.
1 0 n k
k k k
n n k k kr
P
1
2 1 02
1
1 0 2 02
1
2
1
lim
n k k k nd
r
r
n
Przykład 10.7 cd.
Obliczyć pole obszaru ograniczonego Lemniskatą Bernoulliego.
2 2 2 4 0 2 1
sin
0
)
2
(sin
0
4
2
sin
2
1
2
2
cos
2
1
4
4
D
a
d
a
a
a
D
c) Pole obszaru ograniczonego krzywą zadaną parametrycznie. D – ograniczony krzywą L:
