Całka oznaczona – zastosowania.

(1)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

Kolokwium nr 5: czwartek 28.03.2019, godz. 12:15–13:00 (sala HS), materiał zad. 1–192.

Całka oznaczona – zastosowania.

Zadania do omówienia na ćwiczeniach we wtorek 26.03.2019 (9:15-12:00).

Nie wszystkie zadania będą szczegółowo przeliczone.

Proszę umieć wskazać zadania, które sprawiły najwięcej kłopotu.

Grupa 1 ma zajęcia w sali HS, grupa 2 ma zajęcia w sali EM, grupa 3 ma zajęcia w sali A.

Obliczyć granice 133. lim

n→∞

1

2n+ 1

2n + 1+ 1

2n + 2+ 1

2n + 3+ ... + 1 3n 134. lim

n→∞

1²⁰+ 2²⁰+ 3²⁰+ ... + n²⁰ n²¹

135. lim

n→∞

1

n²+ 1

(n + 1)²+ 1

(n + 2)²+ 1

(n + 3)²+ ... + 1 (2n)²

!

· n 136. lim

n→∞

√ 1 n√

2n+ 1

√n√

2n + 1+ 1

√n√

2n + 2+ 1

√n√

2n + 3+ ... + 1

√n√ 3n 137. lim

n→∞

√

4n +√

4n + 1 +√

4n + 2 + ... +√

5n· 1 n√

n 138. lim

n→∞

1

√3

n+ 1

√3

n + 1+ 1

√3

n + 2+ ... + 1

√3

8n

!

· 1

√3

n² 139. lim

n→∞

1

7n²+ 1

7n²+ 1+ 1

7n²+ 2+ 1

7n²+ 3+ ... + 1 8n² 140. lim

n→∞

√1

n+ 1

√n + 3+ 1

√n + 6+ 1

√n + 9+ ... + 1

√7n

! 1

√n 141. lim

n→∞

n²+ 0

(3n)³ + n²+ 1

(3n + 1)³+ n²+ 2

(3n + 2)³+ n²+ 3

(3n + 3)³+ ... +n²+ n (4n)³ Wskazówka: Skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach.

142. lim

n→∞

4

5n+ 4

5n + 3+ 4

5n + 6+ 4

5n + 9+ ... + 4 26n 143. lim

n→∞

1

7n+ 1

7n + 2+ 1

7n + 4+ 1

7n + 6+ ... + 1 9n 144. lim

n→∞

n

2n²+ n

2(n + 1)²+ n

2(n + 2)²+ n

2(n + 3)²+ ... + n 50n² 145. lim

n→∞

n

2n²+ n

n²+ (n + 1)²+ n

n²+ (n + 2)²+ n

n²+ (n + 3)²+ ... + n 50n²

Obliczyć pole figury ograniczonej podanymi krzywymi (określonymi opisem lub rów- naniem):

146. y = x² i y = 2x + 5

147. y = e^x i prostą przechodzącą przez punkty (0,1) i (1,e)

Lista 5 - 8 - Strony 8-10

(2)

148. y = sinx i y =2x

π 149. y = x⁴ i y = x³

150. y = 1

x i y =5

2− x 151. y = 1

x² , y = 1

x³ i x = 2 Dla danych f (x), a i b obliczyć długość łuku krzywej o równaniu y = f (x), a ¬ x ¬ b

152. x , 1 , 2 153. 2x − 3 , −7 , 12

154. e^x , 1 , 2 155. √

x³ , 6 , 10 156. e^x+ e^−x

2 , 0 , 1 Dla danych f (x), a i b obliczyć pole powierzchni powstałej przez obrót krzywej o rów- naniu y = f (x) , a ¬ x ¬ b wokół osi OX

157. x³ , 0 , 5 158. e^−x , 0 , 10

159. √

x , 0 , 4 160. sinx , 0 , π 161. cos7x , 0 , 2π

Dla danych f (x), a i b obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót wokół osi OX obszaru zdefiniowanego nierównościami 0 ¬ y ¬ f (x) , a ¬ x ¬ b

162. √

x , 0 , 1 163. x , 1 , 5 164. x⁷ , 0 , 10

165. e^x , −3 , 0 166. sinx , 0 , 3π

2 Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót wokół osi OY obszaru ograniczonego krzywymi o podanych równaniach:

167. y = e^x , y = 0, x = 0 i x = 5 168. y = sinx i y = −sinx , 0 ¬ x ¬ π 169. y = 1

x , y = 0 , x = 1 i x = 2 170. y = lnx , y = 0 , x = 1 i x = e 171. y²= 1 − (x − 2)² (co to za bryła?)

W każdym z poniższych 21 zadań podaj w postaci uproszczonej wartość całki ozna- czonej. Wskazówka: W niektórych zadaniach lepiej nie całkować bezpośrednio, tylko narysować odpowiednią figurę i obliczyć jej pole.

172.

2020

Z

2017

7 dx = . . . . 173.

3

Z

0

x²dx = . . . . 174.

2

Z

0

x³dx = . . . .

175.

1

Z

0

x¹⁰dx = . . . . 176.

4

Z

1

√x dx = . . . . 177.

27

Z

1

√3

x dx = . . . .

178.

10

Z

−2

|x| dx = . . . . 179.

3

Z

1

dx

x = . . . . 180.

3

Z

1

dx

x + 1= . . . .

181.

Z7

1

dx

x + 2= . . . . 182.

Z1

0

dx

x²+ 1= . . . . 183.

√3

Z

0

dx

x²+ 1= . . . .

Lista 5 - 9 - Strony 8-10

(3)

184.

√ 3

Z

1

dx

x²+ 1 = . . . . 185.

1/√ 3

Z

0

dx

x²+ 1= . . . . 186.

1

Z

1/√ 3

dx

x²+ 1= . . . .

187.

1

Z

−1

√1 − x²dx = . . . . . 188.

1

Z

0

√1 − x²dx = . . . . . 189.

0

Z

−1

√1 − x²dx = . . . . .

190.

2

Z

−2

√

4 − x²dx = . . . . . 191.

2

Z

0

√

4 − x²dx = . . . . . 192.

√ 2

Z

−√ 2

√

2 − x²dx = . . . . .

Zadania do omówienia na ćwiczeniach we wtorek 26.03.2019 (8:15-9:00 sala HS).

817. Obliczyć granicę lim

n→∞

√6

n ·√³ n +√³

n + 1 +√³

n + 2 + ... +√³ 2n

√n +√

n + 1 +√

n + 2 + ... +√ 2n 818. Obliczyć granicę

n→∞lim

n + sin(n²+ 0²)

n²+ 0² +n + sin(n²+ 1²)

n²+ 1² +n + sin(n²+ 2²)

n²+ 2² + ... +n + sin(n²+ n²) n²+ n² Wskazówka: Skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach.

819. Pasem przestrzennym o szerokości d nazywamy obszar przestrzeni zawarty po- między dwiema płaszczyznami równoległymi odległymi o d, wraz z tymi płaszczyznami.

Czy sferę można pokryć pasami przestrzennymi o sumie szerokości mniejszej od śred- nicy sfery?

Pasów ma być skończenie wiele.

820. Pasem o szerokości d nazywamy obszar płaszczyzny zawarty pomiędzy dwiema prostymi równoległymi odległymi o d, wraz z tymi prostymi.

Czy koło można pokryć pasami o sumie szerokości mniejszej od średnicy koła?

Pasów ma być skończenie wiele.

821. Obliczyć granicę (ciągu)

n→∞lim

√ 1 +√

2 +√ 3 +√

4 +√

5 + ... +√

n − 3 +√

n − 2 +√

n − 1 +√ n^k

√₃ 1 +√³

2 +√³ 3 +√³

4 +√³

5 + ... +√³

n − 3 +√³

n − 2 +√³

n − 1 +√³ n^m

dla tak dobranych względnie pierwszych liczb naturalnych k i m, aby granica ta była liczbą rzeczywistą dodatnią.

822. Wyznaczyć środek ciężkości odcinka kuli

(x, y, z) : x²+ y²+ z²¬ 1 ∧ x −1 3

.

Interesująca współrzędna środka ciężkości jest liczbą wymierną o jednocyfrowym liczniku i mianowniku.

823. Rozstrzygnąć, czy wartość całki oznaczonej

12

Z

10

√3

x²+ 4 dx jest mniejsza czy większa od 10.

Lista 5 - 10 - Strony 8-10