SIMR 2012/2013, Analiza 2, wykład 10, 2013-05-06

(1)

SIMR 2012/2013, Analiza 2, wykład 10, 2013-05-06

Całka po zbiorze symetrycznym

Jeżeli zbiór po którym całkujemy jest symetryczny (np. ma oś symetrii) i jednocześnie funkcja podcał- kowa w punktach symetrycznych ma albo tę samą lub przeciwną wartość, to można uprościć obliczanie całki.

Twierdzenie

Niech dana będzie izometria Φ : R² → R² (np. symetria osiowa, obrót, przesunięcie). Izometria spełnia wszystkie założenia do zmiany zmiennych, a jej jakobian J = 1 ponieważ izometria nie zmienia pola powierzchni.

Niech ponadto zbiór A ⊂ R² da się podzielić na A = A₁∪ A₂ takie, że A₂ = Φ(A₁) oraz |A₁∩ A₂| = 0 . Oznaczmy P⁰ = Φ(P ) - punkt będący obrazem P dla P ∈ A₁

Wtedy:

1. Jeśli f (P⁰) = −f (P ) oraz istnieje

Z Z

A

f (x, y) dx dy to

Z Z

A

f (x, y) dx dy = 0 2. Jeśli f (P⁰) = f (P ) to

Z Z

A

f (x, y) dx dy = 2

Z Z

A1

f (x, y) dx dy , przy czym całka z lewej strony istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje całka z prawej strony.

Szkic dowodu

Z Z

A

f (x, y) dx dy =

Z Z

A1

f (x, y) dx dy +

Z Z

A2

f (x, y) dx dy =

Z Z

A1

f (x, y) dx dy +

Z Z

A1

f (Φ(t, s)) dt ds W drugiej całce zmieniliśmy zmienne, jakobian jest równy 1. Korzystając z symetrii funkcji f dostajemy tezę.

Przykład 1: Oblicz

Z Z

A

xy²

4 + x²+ sin y) dx dy, gdzie A = {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ¬ 1}

Zbiór A jest symetryczny względem osi Oy. Jeśli P = (x, y) to punkt symetryczny P⁰ = (−x, y).

f (P⁰) = f (−x, y) = (−x)y²

4 + (−x)² + sin y = − xy²

4 + x² + sin y = −f (P )

Całka istnieje ponieważ funkcja f jest ciągła, a zbiór A jest obszarem normalnym.

Wniosek:

Z Z

A

xy²

4 + x²+ sin y) dx dy = 0 Przykład 2: Oblicz

Z Z

A

x²dx dy , gdzie A = {(x, y) ∈ R² : |x| + |y| ¬ 1}

Zbiór A jest symetryczny względem osi Oy. Jeśli P = (x, y) to punkt symetryczny P⁰ = (−x, y).

f (P⁰) = f (−x, y) = (−x)² = x² = f (P ) Wniosek:

Z Z

A

x²dx dy = 2

Z Z

A1

x²dx dy gdzie A₁ = {(x, y) ∈ A : x 0}

Zbiór A₁ jest symetryczny względem osi Ox. Jeśli P = (x, y) to punkt symetryczny P⁰ = (x, −y).

f (P⁰) = f (x, −y) = x² = f (P ) Wniosek:

Z Z

A1

x²dx dy = 2

Z Z

A2

x²dx dy

(2)

gdzie A₂ = {(x, y) ∈ A₁ : y 0}

Mamy więc:

Z Z

A

x²dx dy = 4

Z Z

A2

x²dx dy = 4

Z1

0





1−xZ

0

x²dy



 dx = 4

Z1

0

hx²yⁱ^1−x

0 dx = 4

Z1

0

x²(1 − x) dx = 4

Z1

0

(x²−

x³) dx = 4

"

x³ 3 − x⁴

4

#1

0

= 4(1 3− 1

4) = 1 3

Całka podwójna niewłaściwa

Podstawowymi założeniami przy konstrucji całki podwójnej były: zbiór A jest ograniczony i funkcja f jest ograniczona. Jeżeli założenia te nie są spełnione to możemy spróbować konstruować całkę nie- właściwą. Kluczowym elementem konstrukcji całki niewłaściwej jest wycięcie obszarów niewłaściwych:

tam gdzie funkcja lub zbiór jest nieograniczony Sposób wycięcia tych obszarów jest dowolny i dlatego konstrukcja ta jest inna niż konstrukcja całki niewłaściwej funkcji jednej zmiennej (punkty niwłaściwe były wycinane przedziałami).

Niech dany będzie zbiór A ⊂ R² i funkcja ciągła f : A → R. Weźmy dowolny ciąg zbiorów (A_n), n = 1, 2, . . . taki, że:

1. A_n⊂ A_n+1 - wstępujący ciąg zbiorów 2.

∞

S

n=1

A_n= A

3. A_n jest mierzalny (a więc też ograniczony) 4. Funkcja f jest całkowalna na A_n

Zakładamy, że istnieje przynajmniej jeden taki ciąg zbiorów (A_n). Niech I_n=

Z Z

An

f (x, y) dx dy Jeżeli, dla każdego takiego ciągu zbiorów istnieje granica ciągu lim

n→∞I_ni nie zależy od wyboru ciągu (A_n) to mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna i jest równa tej granicy. Całkę niewłaściwą oznaczamy tym samym symbolem co zwykłą całkę:

Z Z

A

f (x, y) dx dy . Jeżeli granica nie istnieje lub zależy od wyboru ciągu (A_n) to mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna.

Własności całki niewłaściwej 1. Jeżeli istnieje zwykła całka

Z Z

A

f (x, y) dx dy to istnieje też całka niewłaściwa i są sobie równe. Całka niewłaściwa jest więc uogólnieniem zwykłej całki.

2. Jeżeli funkcja jest nieujemna f 0 to w konstukcji całki niewłaściwej wystarczy wziąć po uwagę jeden ciąg zbiorów (A_n) . Jeżeli dla tego ciągu zbiorów istnieje granica lim

n→∞

Z Z

An

f (x, y) dx dy , to dla każdego innego ciągu zbiorów też będzie istnieć i będą sobie równe. Ta ważna własność wynika z monotoniczności ciągu całek.

3. Dla funkcji ciągłej f , całka niewłaściwa f jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżna jest całka niewłaściwa wartości bezwzględnej |f | .

4. Zmiana zmiennych w całce niewłaściwej nie zmienia zbieżności i wartości tej całki.

Z Z

A

f (x, y) dx dy =

Z Z

A^∗

f (Φ(s, t))|J | ds dt

Przykład 1: Oblicz całkę

Z Z

R²

e^−x²^−y²dx dy

Całkujemy po zbiorze nieograniczonym - jest to więc całka niewłaściwa. Funkcja f (x, y) = e^−x²^−y² jest ograniczona i ciągła. Funkcja jest nieujemna, wystarczy więc wziąć pod uwagę jeden ciąg zbiorów (An).

Przyjmijmy A_n= {(x, y) : x²+ y² ¬ n²} - koło o promieniu n i środku w (0, 0). Wtedy:

(3)

Z Z

R²

e^−x²^−y²dx dy = lim

n→∞I_n I_n=

Z Z

An

e^−x²^−y²dx dy

Zmieniamy zmienne na biegunowe:

I_n=

Z Z

A^∗_n

e^−r²r dr dϕ =

Zn

0

e^−r²r dr ·

Z2π

0

dϕ =

−n²

Z

0

e^t(−1

2) dt · [ϕ]^2π₀ = −π^he^tⁱ⁻ⁿ

2

0 = −π(e⁻ⁿ² − 1)

W nowych zmiennych całkujemy po prostokącie, a funkcja podcałkowa jest iloczynem funkcji jednej zmiennej. Stosujemy podstawienie: t = −r² , dt = −2r dr

Obliczamy granicę:

n→∞lim I_n= lim

n→∞−π(e⁻ⁿ² − 1) = π

Wniosek: Całka niewłaściwa jest zbieżna i jest równa:

Z Z

R²

e^−x²^−y²dx dy = π

Obliczmy tę całkę w inny sposób. Weźmy ciąg zbiorów: Bn= {(x, y) : −n ¬ x ¬ n , −n ¬ y ¬ n} czyli kwadraty o boku 2n . Wtedy:

I_n=

Z Z

Bn

e^−x²^−y²dx dy =

Z Z

Bn

e^−x²e^−y²dx dy =

n

Z

−n

e^−x²dx ·

n

Z

−n

e^−y²dy =





n

Z

−n

e^−x²dx





2

π = lim

n→∞In =

∞

R

−∞

e^−x²dx

!2

Stad:

∞

Z

−∞

e^−x²dx =√ π

Przykład 2: Oblicz całkę

Z Z

A

√ 1

x²+ y² dx dy , gdzie A = {(x, y) : x²+ y² ¬ 1} - koło o promieniu 1 i środku w (0, 0).

Funkcja f (x, y) = 1

√x²+ y² jest nieograniczona w otoczeniu punktu (0, 0) - jest to więc całka niewła- ściwa Funkcja jest nieujemna wystarczy więc wziąć pod uwagę jeden ciąg zbiorów (A_n). Przyjmijmy An = {(x, y) : _n¹2 ¬ x²+ y² ¬ 1} - pierścień o promieniu wewnętrznym _n¹ , promieniu zewnętrznym 1 i środku w (0, 0). Wtedy:

Z Z

A

√ 1

x²+ y²dx dy = lim

n→∞I_n I_n=

Z Z

An

√ 1

x²+ y²dx dy

Zmieniamy zmienne na biegunowe:

I_n=

Z Z

A^∗_n

1

rr dr dϕ =

Z Z

A^∗_n

dr dϕ =

1

Z

1 n

dr ·

2π

Z

0

dϕ = [r]¹¹

n · [ϕ]^2π₀ = 2π(1 − 1 n)

W nowych zmiennych całkujemy po prostokącie, a funkcja podcałkowa jest iloczynem funkcji jednej zmiennej.

Obliczamy granicę:

n→∞lim I_n= lim

n→∞2π(1 − ¹_n) = 2π

(4)

Wniosek: Całka niewłaściwa jest zbieżna i jest równa:

Z Z

A

√ 1

x²+ y²dx dy = 2π

Uwaga: Po zmianie zmiennych funkcja podcałkowa jest ograniczona, a więc można ją obliczać jak zwykłą całkę, bez ciągu (A_n)

Zastosowania całki podwójnej Zakładamy, że poniższe całki istnieją (być może niewłaściwe).

Pole powierzchni figury płaskiej

Niech A ⊂ R² będzie zbiorem mierzalnym. Wtedy pole S figury A jest równe:

S =

Z Z

A

1 dx dy

Przykład : Znajdź pole obszaru ograniczonego krzywą (x²+ y²)² = 2xy Zmieniamy zmienne na biegunowe:

S =

Z Z

A

1 dx dy =

Z Z

A^∗

r dr dϕ

Zbiór A^∗ jest ograniczony krzywą: r⁴ = 2(r cos ϕ)(r sin ϕ) , czyli r = √

sin 2ϕ . Dzielimy A^∗ na dwie symetryczne części (przesunięcie o π) Funkcja podcałkowa nie zmienia się przy tej symetrii.

S = 2

Z Z

A^∗₁

r dr dϕ = 2

π

Z2

0







√sin 2ϕ

Z

0

r dr





 dϕ = 2

π 2

R

0

h1 2r²ⁱ

√sin 2ϕ

0 dϕ =

π 2

R

0

sin 2ϕ dϕ = ^h−¹₂cos 2ϕⁱ

π 2

0 = 1 Objętość bryły

Niech A ⊂ R² będzie zbiorem mierzalnym , z1, z2 : A → R będą funkcami ciągłymi, takimi że z2  z1. Wtedy objętość V bryły

Ω = {(x, y, z) : (x, y) ∈ A, z₁(x, y) ¬ z ¬ z₂(x, y)} jest równa:

V =

Z Z

A

z₂(x, y) − z₁(x, y)dx dy

Przykład: Oblicz objętość Ω bryły ograniczonej powierzchniami:

z = x² - walec paraboliczny z = 1 − y - płaszczyzna z = 1 + y - płaszczyzna Objętość jest równa: V =

Z Z

A

z₂(x, y) − z₁(x, y)dx dy , gdzie A jest rzutem bryły Ω na płaszczynę xy.

Widać, że bryła jest symetryczna względem płaszczyzny y = 0. Możemy więc obliczyć objętość połowy tej bryły dla y 0 i pomnozyć przez 2.

V = 2

Z Z

A1

z₂(x, y) − z₁(x, y)dx dy

górna powierzchnia ograniczająca bryłę: z₂(x, y) = 1 − y, a dolna z₁(x, y) = x² V = 2

Z Z

A1

(1 − y − x²) dx dy

Znajdujemy zbiór A₁ . W tym celu znajdujemy równania rzutów krzywych przecięcia powierzchni na płaszczyznę xy

Krzywa 1:

( z = x² z = 1 − y

(5)

Rzut tej krzywej na płaszczyznę xy dostajemy eliminując z tego układu zmienną z:

x² = 1 − y - jest to parabola

Drugą krzywą ograniczającą A₁ jest y = 0 (jeśli w równaniu powierzchni nie występuje z czyli jest to powierzchnia walcowa o tworzących równoległych do osi z to jej rzut na płaszczynę xy ma takie samo równanie).

Zbiór A₁ jest obszarem normalnym względem osi x. Znajdujemy punkty przecięcia krzywych na płasz- czyźnie:

( x² = 1 − y y = 0 x² = 1

x₁ = −1 , ₂ = 1 Stąd: A₁ :

( x ∈< −1, 1 > rzut na oś x

y ∈< 0, 1 − x² > przekrój dla ustalonego x V = 2

1

Z

−1







1−x²

Z

0

1 − y − x²dy





 dx = 2

Z 1

−1

"

y − y² 2 − x²y

#1−x²

0

dx =

2

1

Z

−1

1 − x²−1

2(1 − x²)² − x²(1 − x²)

dx = 2

1

Z

−1

1

2x⁴− x²+ 1 2

dx = 4

1

Z

0

1

2x⁴− x²+ 1 2

dx =

4

1

10x⁵− 1

3x³+ 1 2x

1 0

= 16 15

Skorzystaliśmy z własności dla całki po przedziale symetrycznym z funkcji parzystej.

Pole powierzchni płata

Niech A ⊂ R²będzie obszarem normalnym , z : A → R funkcja klasy C₁. Wtedy pole płata powierzchni P = {(x, y, z) : (x, y) ∈ A, z = z(x, y)} jest równe

S =

Z Z

A

v u u

t1 + ∂z

∂x

!2

+ ∂z

∂y

!2

dx dy

Przykład: Oblicz pole powierzchni części paraboloidy z = x²+ y² wyciętej walcem x²+ y² = 2 S =

Z Z

A

v u u

t1 + ∂z

∂x

!2

+ ∂z

∂y

!2

dx dy =

Z Z

A

q

1 + 4x²+ 4y²dx dy gdzie A jest kołem : x²+ y² ¬ 2

Zmieniamy zmienne na biegunowe, A^∗ jest prostokątem:

S =

Z Z

A^∗

√1 + 4r²· r dr dϕ =

√2

Z

0

r√

1 + 4r²dr ·

2π

Z

0

dϕ

Stosujemy podstawienie: t = 1 + 4r² , dt = 8r dr , t(0) = 1 , t(√ 2) = 9 S =^R⁹

1 1 8

√t dt · [ϕ]^2π₀ = ^2π₈ ^h²₃t³²ⁱ⁹

1 = ^π₆(27 − 1) = ^13π₃