w tym rozwiązanych

SPIS TREŚCI 1

Równania II rzędu

Spis treści

1 Równania rzędu drugiego 2

1.1 Klasyfikacja i postać kanoniczna równań rzędu drugiego . . . 2 1.2 Warunki początkowe . . . 7 1.3 Zestaw zadań do ćwiczenia samodzielnego . . . 11

2 Metoda rozdzielania zmiennych Fouriera 14

1 Równania rzędu drugiego 2

1

Równania rzędu drugiego

1.1

Klasyfikacja i postać kanoniczna równań rzędu drugiego

Zadanie 1.1.

Określić typy poniższych równań.

a)yu_xx − u_yy = 0.

Równanie to można sklasyfikować dwiema metodami: za pomoca wyróżnika cz
eści głównej lub warto-
ści własnych macierzy A o elementach bed
acych współczynnikami cz
eści głównej. Zauważmy najpierw,
że równanie to składa sie tylko z cz
eści głównej. Określmy macierz

   y 0 0 −1   .

Wtedy det(A− λI ) = (y − λ)(−1 − λ). Zatem wartościami własnymi sa
λ₁ = y i λ₂ =−1. Wynika stad, że równanie jest hiperboliczne, gdy y
> 0, eliptyczne dla y < 0 i paraboliczne dla y = 0, x ∈ R.

Gdybyśmy policzyli natomiast wyróżnik cześci głównej: b
2− ac, to otrzymamy ∆ = 02− y(−1) = y. Widać wiec, że znak ∆ zależy tylko od y i otrzymujemy ten sam wynik.

b)4u_xx + 2u_yy − 6u_zz+ 6u_xy+ 10u_xz + 4u_yz + 2u = 0.

Zauważmy, że cześć główna, to 4u
_xx + 2u_yy − 6u_zz + 6u_xy + 10u_xz + 4u_yz, wiec macierz A ma

postać: _      4 3 5 3 2 2 5 2 −6      .

Wartościami własnymi sa rozwi
azania równania det(A
− λI ) = 0, czyli

     4− λ 3 5 3 2− λ 2 5 2 −6 − λ      = 0,

1.1 Klasyfikacja i postać kanoniczna równań rzędu drugiego 3

λ(66 − λ2_{) = 0,}

λ1 = 0, λ2 =

√

66, λ₃ =−√66. Równanie to jest wiec niesklasyfikowane.

Zadanie 1.2.

Sprowadzić poniższe równanie do postaci kanonicznej:

u_xx+ 2u_xy + 5u_yy − 32u = 0.

Łatwo zauważamy, że wyróżnik cześci głównej ∆ = 2
2− 1 · 5 = −1, wiec równanie jest eliptyczne.
Równanie charakterystyk

F_x2+ 2F_xF_y + 5F_y2 = 0

nie posiada rozwiazań w dziedzinie rzeczywistej, bo ∆ =
−16F_y2, ale możemy je rozwiazać w dzie-
dzinie zespolonej. Wtedy funkcja F spełniajaca

F_x = −2Fy ± 4Fy √

i2

2 = (−1 ± 2i)Fy

jest funkjca zespolon
a F =
φ + iψ, gdzie φ i ψ sa już rzeczywiste. Dostajemy wi
ec równanie
F_x+ (1− 2i)F_y = 0,

dla którego szukamy zespolonej całki pierwszej układu:

     x
= 1, y
= 1− 2i.

Jest nia F (x , y ) = (
−1 + 2i)x + y, czyli φ(x, y) = −x + y, ψ(x, y) = 2x. Stosujemy wiec zamian
e
zmiennych: ξ = φ(x, y) = −x + y, η = ψ(x, y) = 2x. Stad mamy kolejno
u_x = v_ξξ_x + v_ηη_x = v_ξ· (−1) + v_η· 2 = 2v_η− v_ξ, u_y = v_ξξ_y + v_ηη_y = v_ξ· 1 + v_η· 0 = v_ξ, u_xx = 2v_ηξξ_x+ 2v_ηηη_x − v_ξξξ_x − v_ξηη_x = = 2v_ηξ· (−1) + 2v_ηη· 2 − v_ξξ· (−1) − v_ξη · 2 = 4v_ηη+ v_ξξ− 4v_ξη, u_xy = v_ξξξ_x + v_ξηη_x = v_ξξ· (−1) + v_ξη · 2 = 2v_ξη− v_ξξ, u_yy = v_ξξξ_y + v_ξηη_y = v_ξξ.

1.1 Klasyfikacja i postać kanoniczna równań rzędu drugiego 4

Po wstawieniu do równania dostajemy:

4v_ηη+ v_ξξ− 4v_ξη+ 2(2v_ξη − v_ξξ) + 5v_ξξ− 32u = 0, 4v_ξξ+ 4v_ηη− 32u = 0,

v_ξξ+ v_ηη − 8v = 0 i jest to szukana postać kanoniczna.

Zadanie 1.3.

Znaleźć najprostsza postać kanoniczn
a dla równania:

u_xx − 2u_xy+ u_yy + 9u_x + 9u_y − 9u = 0.

Ponieważ ∆ = 0, wiec równanie jest w całej płaszczyźnie paraboliczne. Równaniem charakterystyk
jest

F_x2− 2F_xF_y + F_y2 = 0, (F_x− F_y)2 = 0,

F_x − F_y = 0. Znajdziemy całke pierwsz
a układu:
_

    x
= 1, y
= −1.

Jest nia
φ(x, y) = x + y. Możemy teraz zastosować zamiane zmiennych
ξ = φ(x, y), η = ψ(x, y),

gdzie ψ jest dowolna funkcj
a klasy C
2 o własności:

det    φx φy ψx ψy   = 0.

Możemy wiec wzi
ać funkcj
e
ψ(x, y) = x. Wtedy rzeczywiście

det    φx φy ψx ψy   =     1 1 1 0     =−1 = 0.

1.1 Klasyfikacja i postać kanoniczna równań rzędu drugiego 5

Zatem stosujemy zamiane zmiennych:
ξ = x + y, η = x. W nowych zmiennych mamy u_x = v_ξξ_x + v_ηη_x = v_η+ v_ξ,

u_y = v_ξξ_y + v_ηη_y = v_ξ,

u_xx = 2v_ηξξ_x+ 2v_ηηη_x− v_ξξξ_x − v_ξηη_x = v_ηη + v_ξξ+ 2v_ξη, u_xy = v_ξξξ_x + v_ξηη_x = v_ξη + v_ξξ,

u_yy = v_ξξξ_y + v_ξηη_y = v_ξξ, wiec równanie przyjmuje postać:

v_ηη+ 18v_ξ+ 9v_η − 9v = 0. (1)

Jest to oczywiście postać kanoniczna, ale czasami można jeszcze wprowadzić nowa zamian
e zmien-
nych, aby jeszcze bardziej te postać uprościć. Funkcja v przyj
ać może wtedy postać:

v (ξ, η) = eλξ+µηw (ξ, η). Różniczkujemy kolejno:

v_ξ = eλξ+µη· λ · w + eλξ+µηw_ξ, v_η = eλξ+µη· µ · w + eλξ+µηw_η,

v_ηη =µ2eλξ+µηw + 2µeλξ+µηw_η + eλξ+µηw_ηη.

Obliczone pochodne wstawiamy do równania (1) i otrzymujemy (po skróceniu przez eλξ+µη): w_ηη+ (2µ + 9)w_η+ 18w_ξ+ (µ2+ 18λ + 9µ − 9)w = 0.

Należy teraz tak dobraćµ i λ, by jak najwiecej współczynników przy pochodnych cz
astkowych znikało.
Rozwiazuj
ac układ równań:

2µ + 9 = 0, µ2+ 18λ + 9µ − 9 = 0, dostajemy: µ = −9 2, λ = 25 2 . Zatem ostatecznie przy podstawieniu

v (ξ, η) = e252ξ−92η

otrzymujemy:

w_ηη + 18w_ξ= 0 i to jest najprostsza postać wyjściowego równania.

1.1 Klasyfikacja i postać kanoniczna równań rzędu drugiego 6

Zadanie 1.4.

Sprowadzić poniższe równanie do postaci kanonicznej i znaleźć jego rozwiazanie (o ile si
e da):
u_xx + 4 cos 2xu_xy − 4 sin22xu_yy− 4 sin 2xu_y = 0.

Ponieważ wyróżnik ∆> 0 w całej płaszczyźnie, wiec równanie jest hiperboliczne. Równanie charak-
terystyk:

F_x2+ 4 cos 2xF_xF_y − 4 sin22xF_y2 = 0 można zapisać w postaci iloczynowej

(F_x + (2 cos 2x + 2)F_y)(F_x − (2 − 2 cos 2x)F_y) = 0. Wystarczy wiec znaleźć po jednej całce pierwszej dla układów:

     x
= 1, y
= 2 cos 2x + 2,      x
= 1, y
= −(2 − 2 cos 2x).

Te całki to: φ(x, y) = y − sin 2x − 2x i ψ(x, y) = y − sin 2x + 2x. Możemy zastosować zamiane
zmiennychξ = y −sin 2x −2x i η = y −sin 2x + 2x. W tych nowych zmiennych pochodne czastkowe
funkcji u sa nast
epuj
ace:

u_x = v_ξξ_x + v_ηη_x = v_η(2− 2 cos 2x) + v_ξ(−2 − 2 cos 2x), u_y = v_ξξ_y + v_ηη_y = v_ξ+ v_η,

u_xx = (v_ξξξ_x+ v_ξηη_x)(−2 − 2 cos 2x) + v_ξ(4 sin 2x ) + (v_ηξξ_x+ v_ηηη_x)(2− 2 cos 2x)+ +v_η(4 sin 2x ) = v_ξξ(2 + 2 cos 2x )2+ v_ξη(−8 + 8 cos22x )+

+v_ηη(2− 2 cos 2x)2+ v_ξ(4 sin 2x ) + v_η(4 sin 2x ), u_yx = v_ξξξ_x + v_ξηη_x+ v_ηξξ_x + v_ηηη_x =

= v_ξξ(−2 − 2 cos 2x) + v_ξη(−4 cos 2x) + v_ηη(2− 2 cos 2x), u_yy = v_ξξξ_y + v_ξηη_y + v_ηξξ_y+ v_ηηη_y = v_ξξ+ 2v_ξη + v_ηη.

Po wstawieniu ich do równania i wykonaniu redukcji otrzymujemy prosta postać
v_ξη = 0.

Jego rozwiazaniem jest

v (ξ, η) = f (ξ) + g(η).

Aby v ∈ C2, musi być f , g ∈ C2. Ostatecznie, dowolne rozwiazanie wyjściowego równania ma postać:
u(x , y ) = f (y − sin 2x − 2x) + g(y − sin 2x + 2x).

1.2 Warunki początkowe 7

1.2

Warunki początkowe

Zadanie 1.5. Rozwiazać równanie

u_xx + 2 cos xu_xy− sinxu_yy − sin xu_y = 0 z warunkami

u(x , sin x ) = x + cos x , u_y(x , sin x ) = sin x . (2)

Łatwo sprawdzamy, że równanie jest hiperboliczne, wiec równanie charakterystyk:
F_x2+ 2 cos xF_xF_y − sin2xF_y2 = 0

można zapisać w postaci iloczynowej

(F_x − (− cos x − 1)F_y)(F_x− (− cos x − 1)F_y) = 0. Wystarczy wiec znaleźć po jednej całce pierwszej dla układów:

     x
= 1, y
= cos x + 1,      x
= 1, y
= cos x − 1.

Te całki to:φ(x, y) = y −sin x −x i ψ(x, y) = y −sin x +x. Możemy zastosować zamiane zmiennych
ξ = y − sin x − x i η = y − sin x + x. W tych nowych zmiennych pochodne czastkowe funkcji u s
a
nastepuj
ace:

u_x = v_ξ(− cos x − 1) + v_η(− cos x + 1), u_y = v_ξ+ v_η,

u_xx = v_ξξ(− cos x − 1)2+ v_ξη2(−1 + cos2x ) + v_ηη(− cos x + 1)2+ v_ξ(sin x ) + v_η(sin x ), u_yx = v_ξξ(− cos x − 1) + v_ξη(−2 cos x) + v_ηη(− cos x + 1),

u_yy = v_ξξ+ 2v_ξη+ v_ηη.

Po wstawieniu do równania otrzymujemy

v_ξη = 0, wiec

v (ξ, η) = f (ξ) + g(η), gdzie f , g ∈ C2, i po powrocie do zmiennych x , y

1.2 Warunki początkowe 8

Wykorzystamy teraz warunki (2):

x + cos x = u(x , sin x ) = f (sin x − sin x − x) + g(sin x − sin x + x) = f (−x) + g(x), sin x = u_y(x , sin x ) = 1· f
(sin x− sin x − x) + 1 · g
(sin x− sin x + x) = f
(−x) + g
(x ). Dostajemy wiec układ
     x + cos x = f (−x) + g(x), sin x = f
(−x) + g
(x ). (3)

Po zróżniczkowaniu pierwszego równania tego układu, otrzymujemy nowy

     1− sin x = −f
(−x) + g
(x ), sin x = f
(−x) + g
(x ), z którego wyznaczamy g
(x ) = 1 2, f
_{(−x) = −}1 2 − 2 sin x. Po scałkowaniu, uzyskujemy poszukiwane funkcje f i g :

g (x ) =  ₁ 2dx = 1 2x + C1, C1 ∈ R, f (−x) =  −1 2+ sin x  dx = −1 2x − cos x + C2, C2 ∈ R.

Wykorzystamy teraz pierwsze równanie układu (3), aby wyznaczyć stałe C₁, C₂. Ponieważ f (−x) + g(x) = C₁+ C₂− cos x,

wiec

C₁+ C₂− cos x = x + cos x, C₁+ C₂ = x + 2 cos x . Znalezione funkcje f i g wstawiamy teraz do rozwiazania u :

u(x , y ) = 1

2(y − sin x − x) − cos(y − sin x − x) + C2+ 1

2(y − sin x + x) + C1, czyli

u(x , y ) = x + y + 2 cos x − sin x − cos(y − sin x − x) jest szukana postaci
a funkcji u.

1.2 Warunki początkowe 9 –10 –5 5 10 –4 2 4 y –4 –2 2 4 x

Rozwiązanie problemu początkowego

Zadanie 1.6. Rozwiazać równanie

eyu_xy − u_yy + u_y = 0 z warunkami poczatkowymi:

u(x , 0) = −1 2x

2_{, (4)}

u_y(x , 0) =− sin x. (5)

Równanie to ma już praktycznie postać kanoniczna. Zatem, by je rozwi
azać, wystarczy wykonać
podstawienie u_y = w . Wtedy dostajemy równanie

eyw_x − w_y + w = 0,

które jest pierwszego rzedu. Znajdziemy wi
ec dwie całki pierwsze układu

           x
= ey, y
= −1, w
= −w.

Całkujemy drugie równanie, aby uzyskać y (t) = −t + A, A ∈ R. Uzyskany wynik wstawiamy do pierwszego równania i również całkujemy:

1.2 Warunki początkowe 10

x (t) =−e−t+A+ B, B ∈ R. Z otrzymanych x i y rugujemy parametr t:

x + ey = B,

zatem szukana całk
a pierwsz
a jest
ψ₁(x , y , w ) = x + ey. Rozwiażmy teraz trzecie równanie układu.
Jest to równanie o rozdzielonych zmiennych, a jego rozwiazaniem jest

w (t) = Ce−t, C ∈ R. Z w i uzyskanego poprzednio x znowu rugujemy parametr t:

we−y = Ce−A,

zatem druga całk
a pierwsz
a jest
ψ₂(x , y , w ) = we−y. Rozwiazanie dane jest wi
ec w postaci uwikłanej
Φ(ψ₁,ψ₂) = 0, czyli

Φ(x + ey, we−y) = 0.

Zauważmy, że spełnione sa założenia twierdzenia o funkcji uwikłanej, wi
ec
we−y = f (x + ey),

czyli

w = eyf (x + ey),

przy czym o funkcji f należy założyć, że jest klasy C1. Ponieważ u_y = w , to z warunku (5) mamy − sin x = uy(x , 0) = f (x + 1),

co daje postać funkcji f (t) =− sin(t − 1). Stad

u_y =−eysin(x− 1 + ey). Całkujac ten wynik względem zmiennej y , otrzymamy

u(x , y ) = cos(x − 1 + ey) + D(x ), D ∈ C2. Postać funkcji D możemy wyznaczyć teraz z warunku (4):

−1 2x 2 _{= u(x , 0) = cos x + D(x ),} czyli D(x ) =−1 2x 2_{− cos x.}

Ostatecznie rozwiazaniem równania jest

u(x , y ) = cos(x − 1 + ey)− cos x − 1 2x

1.3 Zestaw zadań do ćwiczenia samodzielnego 11 –14 –12 –10 –8 –6 –4 –2 –8 –6 –4_–2 4 6 8 y –4 2 4 x

Rozwiązanie problemu początkowego

1.3

Zestaw zadań do ćwiczenia samodzielnego

1. Sprowadzić naste¸puja¸ce równania do najprostszej postaci kanonicznej: (i) u_xx+ 4u_xy+ 10u_yy− 24u_x+ 42u_y + 2(x + y ) = 0,

(ii) 9u_xx− 6u_xy + u_yy + 10u_x − 15u_y − 50u + x − 2y = 0, (iii) u_xx − 4u_xy + 5u_yy − 3u_x+ u_y + u = 0, (iv) u_xx− 6u_xy + 9u_yy − u_x+ 2u_y = 0, (v) 2u_xy − 4u_yy+ u_x − 2u_y + u + x = 0, (vi) u_xy + 2u_yy − u_x+ 4u_y+ u = 0, (vii) 2u_xx+ 2u_xy+ u_yy + 4u_x + 4u_y + u = 0, (viii) u_xx+ 2u_xy + u_yy + 3u_x − 5u_y + 4u = 0, (ix) _∂x∂2u₂ + 2_∂x∂y∂2u − 3_∂x∂2z₂ + 2∂u_∂x + 6∂u_∂y = 0,

(x) ∂_∂x2u₂ − 2 cos x_∂x∂y∂2u − (3 + sin2x )∂_∂x2z₂ − y∂u_∂y = 0, (xi) y2 ∂_∂x2u₂ + 2xy_∂x∂y∂2u + 2x2 ∂_∂x2z₂ + y∂u_∂y = 0,

(xii) tg2x∂_∂x2u₂ − 2ytgx_∂x∂y∂2u + y2 ∂_∂x2z₂ + tg3x∂u_∂x = 0, (xiii) y∂_∂x2u2 + ∂

2_z

∂x2 = 0,

(xiv) x2 ∂_∂x2u₂ + 2xy_∂x∂y∂2u − 3y2 ∂_∂x2z₂ − 2x∂u_∂x + 4y∂u_∂y + 16x4u = 0, (xv) (1 + x2)∂_∂x2u₂ + (1 + y2)_∂x∂2z₂ + x∂u_∂x + y∂u_∂y = 0,

1.3 Zestaw zadań do ćwiczenia samodzielnego 12

Pierwsze dziewie¸ć równań, to równania o stałych współczynnikach.

2. Znaleźć rozwia¸zania ogólne równań:

(i) ∂_∂x2u₂ − 2 sin x_∂x∂y∂2u − cos2x∂_∂x2z₂ − cos x∂u_∂y = 0, (ii) x∂_∂x2u₂ − y∂_∂x2z₂ + 1₂(∂u_∂x −_∂y∂u) = 0, x > 0, y > 0, (iii) x2u_xx− y2u_yy − 2yu_y = 0,

(iv) x2u_xx − 2xyu_xy + y2u_yy + xu_x+ yu_y = 0, (v) _∂x∂ (x2 ∂u_∂x) = x2 ∂_∂x2z₂,

(vi) (x− y)_∂x∂y∂2u − ∂u_∂x + ∂u_∂y = 0,

(vii) () x2 ∂_∂x2u₂ + 2xy_∂x∂y∂2u + y2 ∂_∂x2z₂ + 2yz_∂y∂z∂2u + z2 ∂_∂z2u₂ + 2zx_∂z∂x∂2u = 0, (viii) () ∂_∂x4u₄ − 2_∂x∂₂4_∂yu₂ + _∂y∂u₄ = 0.

3. Znaleźć obszary hieperboliczności, eliptyczności i paraboliczności, a także ogólne (o ile istnieje) rozwia¸zanie równań:

(i) (1− x2)u_xx− 2xyu_yx − (1 + y2)u_yy− 2xu_x − 2yu_y = 0, (ii) (x2− 1)u_xx+ 2xyu_xy + (1 + y2)u_yy+ 2xu_x+ 2yu_y = 0.

4. () Pokazać, że ogólne rozwia¸zanie równania: 1 a2 ∂2_u ∂t2 = ∂2_u ∂x2 + 2 x ∂u ∂x − n(n + 1) x2 u ma postać: u = xn  1 x ∂ ∂x _n φ(x − at) + θ(x + at) x  ,

gdzie φ i θ sa¸ dowolnymi odpowiednimi (jednej zmiennej, odpowiedniej klasy) funkcjami.

5. Znaleźć ogólne rozwia¸zanie równania: ∂2_u ∂x∂y − 2 x − y ∂u ∂x + 3 x− y ∂u ∂y − 3 (x − y)2u = 0.

6. Rozwia¸zać naste¸puja¸ce zagadnienia Cauchy’ego:

(i) 4y2u_xx+ 2(1− y2)u_xy − u_yy− _1+y2y₂(2u_x − u_y) = 0, u(x , y )_|y=0 =ϕ(x), u_y(x , y )_|y=0 =ψ(x), (ii) u_xx− 2u_xy + 4ey = 0, u(0, y ) =ϕ(y), u_x(0, y ) =ψ(y),

(iii) 3u_xx− 4u_xy + u_yy − 3u_x+ u_y = 0, u(x , 0) = ϕ(x), u_y(x , 0) =ψ(x), (iv) eyu_xy− u_yy + u_y = 0, u(x , 0) =−1₂x2, u_y(x , 0) =− sin x,

1.3 Zestaw zadań do ćwiczenia samodzielnego 13

(vi) u_xx−2 sin xu_xy−(3+cos2x )u_yy+ u_x+ (2−sin x −cos x)u_y = 0, u(x , cos x ) = 0, u_y(x , cos x ) = e−x2 cos x ,

(vii) u_xx+2 sin xu_xy−cos2xu_yy+u_x+(sin x +cos x +1)u_y = 0, u(x ,− cos x) = 1+2 sin x, u_y(x ,− cos x) = sin x ,

(viii) 4y2u_xx+ 2(1− y2)u_xy − u_yy −_1+y2y₂(2u_x− u_y) = 0, u(x , 0) = ϕ₀(x ), u_y(x , 0) =ϕ₁(x ), (ix) u_xx+ 4 sin xu_xy− 4 cos2xu_yy+ 2 cos xu_y = 0, u(x ,−2 cos x) = 16x3, u_y(x ,−2 cos x) = 16x.

7. Znaleźć wszystkie charaketrystyki równania drgań struny: u_xx− u_tt = 0.

8. Określić powierzchnie charakterystyczne drugiego rze¸du dla równania drgań membrany: u_x1x1+ u_x2x2− u_tt = 0.

9. Znaleźć wszystkie płaszczyzny charakterystyczne równania falowego: u_x1x1+ u_x2x2+ u_x3x3− u_tt = 0.

10. Funkcja u(x , t) o cia¸głych pochodnych cza¸stkowych trzeciego rze¸du jest rozwia¸zaniem równania u_XX − u_tt = 0.

Wykazać, że równanie to spełnia także funkcja: v (x , t) = ∂u

∂x ∂u ∂t.

11. Wykazać, że wraz z funkcja¸ u(x , t) rozwia¸zaniem równania u_XX − u_tt = 0 sa¸ i funkcje:

2 Metoda rozdzielania zmiennych Fouriera 14 (ii) u2_x + u_t2, (iii) ut u2 x−u2t, u 2 x = ut2.

12. Wykazać, że najogólniejsze rozwia¸zanie równania

u_x1x1+ u_x2x2+ u_x3x3− u_tt = 0 zależne tylko od r i t ma postać:

u(r , t) = f1(r + t)

r +

f₂(r − t)

r , r = 0,

gdzie r2 = x₁2+ x₂2 + x₃2, a f₁ i f₂ sa¸ dowolnymi funkcjami dwukrotnie różniczkowalnymi w sposób cia¸gły (rozwia¸zania te nazywamy falami sferycznymi).

2

Metoda rozdzielania zmiennych Fouriera

2.1

Szeregi Fouriera - repetytorium do ćwiczenia samodzielnego

13. Znaleźć szereg Fouriera funkcji 2π-okresowej, która na przedziale −π, π) dana jest wzorem f (x ) = x . Zbadać jej zbieżność. Obliczyć wartość szeregu dla x = π₂.

14. Znaleźć szereg Fouriera funkcji 2π-okresowej, która na przedziale 0, 2π) jest określona g(x) =



π−x 2

₂

. Zbadać jej zbieżność.

15. Rozwina¸ć w szereg Fouriera funkcje¸ f (x ) = sin 3x na przedziale 0,2π₃ ). Zbadać zbieżność.

16. Funkcje¸ g (x ) = sin x przedstawić w postaci sumy szeregu a₀ +∞_n=1a_ncos nx na przedziale (0,π).

17. Co należy założyć o funkcji f : [0, l ]→ R, aby można ja¸ było przedłużyć do funkcji:

(i) nieparzystej na przedział [−l, l], a naste¸pnie okresowo (o okresie 2l) na R do funkcji klasy C1, C2, Ck,

BIBLIOGRAFIA 15

18. Załóżmy, że dana jest funkcja f ∈ Cp(R) o okresie 2a oraz a_n = 1 a  _a −af (t) sin nπ a t dt, bn = 1 a  _a −af (t) cos nπ a t dt.

(i) Wykazać, że: |a_n|  _nA_p, |b_n|  _nB_p, gdzie A, B sa¸ pewnymi stałymi. (ii) Wykazać, że szereg b0

2 +

_∞

n=1(ansinnπ_a t + bncosnπ_a t) jest jednostajnie zbieżny do funkcji f na

przedziale (−a, a). Co trzeba założyć o p?

(iii) Co trzeba założyć o p, aby szereg z poprzedniego podpunktu był dwukrotnie różniczkowalny wyraz po wyrazie, a tym samym funkcja wyrażona poprzez ten szereg była klasy C2? Co trzeba założyć o p, by ta funkcja była klasy Cp?

Bibliografia

[1] W. I. Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, PWN, Warszawa 1981. [2] W. I. Arnold, Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa 1975.

[3] W. I. Arnold, Teoria równań różniczkowych, PWN, Warszawa 1983. [4] A. W. Bicadze, Równania fizyki matematycznej, PWN, Warszawa 1984.

[5] A. W. Bicadze, D. F. Kaliniczenko, Zbiór zadań z równań fizyki matematycznej, PWN, Warszawa 1984. [6] P. Biler Prof. dr hab.- redakcja naukowa, Warsztaty z równań różniczkowych czastkowych, Toruń 2003.
[7] Birkholc A. Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002. [8] D. Bleecker, G. Csordas, Basic Partial Differential Equations, Chapman & Hall, Oxford 1995.

[9] L. Evans, Równania różniczkowe czastkowe, PWN, Warszawa 2002.
[10] Fichtenholz G.M. Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1980. [11] J. Jost, Postmodern Analysis, Springer-Verlag,Berlin-Heidelberg-New York 2002. [12] W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1982.

[13] H. Marcinkowska, Wstep do teorii równań różniczkowych cz
astkowych, PWN, Warszawa 1972.
[14] J. Musielak, Wstep do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976.

[15] Ockendon J., Howison S., Lacey A., Movxhan A., Applied Partial Differential Equations, Oxford University Press, 2003.

BIBLIOGRAFIA 16

[16] J. Ombach, Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo -Maple, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 1999.

[17] B. Przeradzki, Równania różniczkowe czastkowe. Wybrane zagadnienia, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódz-
kiego, Łódź 2000.

[18] B. Przeradzki, Teoria i praktyka równań różniczkowych zwyczajnych, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 2003.

[19] M. M. Smirnow, Zadania z równań różniczkowych czastkowych, PWN, Warszawa 1970.

[20] P. Strzelecki, Krótkie wprowadzenie do równań różniczkowych czastkowych, Wydawnictwo Uniwersytetu War-
szawskiego, Warszawa 2006.

[21] B. W. Szabat, Wstęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 1974.

[22] Whitham G.B., Lecture notes on wave propagation , Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1979. [23] Zauderer, Partial Differential Equations of Applied Mathemathics, John Wiley & Sons, Singapore-New