W15_atom wodoru1 (PPTminimizer)

1

Mechanika kwantowa

Jak opisać atom wodoru?

Jak opisać inne cząsteczki?

2

Mechanika kwantowa

Elektron – fala stojąca

3

V

T

H

ˆ

=

ˆ

+

ˆ

Równanie Schrödingera

ψ

ψ

E

H

ˆ

=

− − − ψ E

Hˆ _{operator różniczkowy Hamiltona} energia funkcja falowa m – masa cząstki h – stała Plancka

Mechanika kwantowa

zasada zachowania energii













+

+

−

2 2₂ 2₂ 2₂

2

dz

d

dy

d

dx

d

m

h

r

e

Z

0 2

4

πε

⋅

−

Z – ładunek jądra E – ładunek elektronu przyciąganie Coulombowskie jądro-elektron

energia kinetyczna elektronu

ε₀– stała dielektryczna próżni r – promień

operator energii potencjalnej operator energii kinetyczna

4

Atom wodoru

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

π

r

E

Ze

z

y

x

m

h

=

−













∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

−

2 2 ₂ 2 ₂ 2 ₂ 2

2

‰

energia E

‰

funkcja falowa

Ψ

Równanie Schrödingera

przyciąganie Coulombowskie jądro-elektron energia kinetyczna elektronu

‰

rozwiązania

‰

postać

dla atomu wodoru Z=1 (1 proton)

5

Atom wodoru

2 4 2 2 2

2

h

me

n

Z

E

=

−

π

‰

rozwiązania

‰

energia

r

0

E

n=1 n=2 n=3 n=4

Równanie Schrödingera

n = 1,2,3... – główna liczba kwantowa

6 m = -l, ... ,0,…, +l magnetyczna liczba kwantowa

‰

składowa

momentu pędu

wzdłuż

kierunku z

π

2

h

m

M

_z

=

‰

moment pędu

π

2

)

1

(

l

h

l

M

=

+

l = 0,1,2,3...n-1 poboczna/orbitalna liczba kwantowa

Atom wodoru

Równanie Schrödingera

energia nie

jest jedyną

kwantowaną

wielkością

fizyczną

‰

rozwiązania

7

przestrzenne kwantowanie

momentu pędu elektronu M w

atomie wodoru (l=2)

Obliczmy M dla l=2:

π

π

6

2

2

3

2

h

h

M

=

⋅

=

Składowe M

_z

wynoszą:

π

π

π

π

2

2

,

2

,

0

,

2

,

2

2

h

h

h

h

−

−

Atom wodoru

Równanie Schrödingera

‰

rozwiązania

‰

składowa momentu pędu

8 Ruch obrotowy elektronu nosi nazwę spinu. Elektron ma dwa stany spinowe, oznaczane strzałkami ↑ i ↓. Możemy sobie wyobrazić, że

elektron obraca się z pewną prędkością w kierunku wskazówek zegara przeciwnym (stan ↓, +1_/

2) lub z identyczna prędkością w

kierunku przeciwnym (stan ↑, -1

/2). Ponieważ wirujący ładunek

elektryczny wytwarza pole magnetyczne, elektrony znajdujące się w tych dwóch stanach spinowych można rozróżnić na podstawie

ich zachowania się w polu magnetycznym.

‰

spin

Atom wodoru

Równanie Schrödingera

‰

rozwiązania?

9

wzór

wzór

znak orbitalu

magnetyczna

spinowa:

m

=-½ lub ½

składową spinu

kierunek orbitalu

magnetyczna:

m=-l, (-l+1),…(l-1), l

składową

momentu pędu

kształt orbitalu

poboczna:

l=0,1,2,…n-1

moment pędu

rozmiar orbitalu

główna:

n=1,2,3,…

energię

określa funkcje

określa funkcje

falowe

falowe

Ψ

Ψ

przyjmuje

przyjmuje

wartości

wartości

określa

określa

wielkość

wielkość

fizyczną

fizyczną

2 4 2 2 2

2

1

h

me

Z

n

E

=

−

π

π

2

)

1

(

l

h

l

M

=

+

π

2

h

m

M

_z

=

π

σ

2

h

m

_s z

=

Atom wodoru

Liczby kwantowe

‰

rozwiązania

10

Ψ

Ψ

1,0,01,0,0 1s1s

Ψ

Ψ

2,0,02,0,0 2s2s

Ψ

Ψ

2,1,2,1,--11

Ψ

Ψ

2,1,02,1,0 2p2p

Ψ

Ψ

2,1,12,1,1

Ψ

Ψ

3,0,03,0,0 3s3s

Ψ

Ψ

3,1,3,1,--11

Ψ

Ψ

3,1,03,1,0 3p3p

ψ

ψ

3,1,13,1,1

Ψ

Ψ

3,2,3,2,--22

Ψ

Ψ

3,2,3,2,--11

Ψ

Ψ

3,2,03,2,0 3d3d

Ψ

Ψ

3,2,13,2,1

Ψ

Ψ

3,2,23,2,2

l

l

= 0

=

0

1

1

2

2

3

3

4

4

s

s

p

p

d

d

f

f

g

g

Atom wodoru

Liczby kwantowe

‰

rozwiązania

11

Funkcja falowa w interpretacji Borna. Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w danym punkcie jest proporcjonalne do kwadratu funkcji falowej (Ψ2_):

prawdopodobieństwo to jest wyrażone przez stopień

zaczernienia paska u dołu. Gęstość prawdopodobieństwa w węźle wynosi 0. Węzeł jest punktem, w którym funkcja falowa przechodzi przez 0.

Funkcja falowa w interpretacji Borna. Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w danym punkcie jest proporcjonalne do kwadratu funkcji falowej (Ψ2_):

prawdopodobieństwo to jest wyrażone przez stopień

zaczernienia paska u dołu. Gęstość prawdopodobieństwa w węźle wynosi 0. Węzeł jest punktem, w którym funkcja falowa przechodzi przez 0.

‰ funkcja falowa

‰ interpretacja

Atom wodoru

12 „ Zgodnie z postulatem Bohrna, prawdopodobieństwo

znalezienia elektronu w danym punkcie przestrzeni jest proporcjonalne do kwadratu funkcji falowej w tym punkcie.

„ Tam gdzie funkcja falowa ma dużą ampitudę, istnieje duże

prawdopodobieństwo znalezienia opisanego przez nią elektronu.

Tam gdzie funkcja falowa jest mała, znalezienie elektronu jest mało prawdopodobne. Tam gdzie funkcja falowa jest równa 0, znalezienie elektronu jest niemożliwe.

„ W mechanice kwantowej można przewidywać tylko

prawdopodobieństwo znalezienia cząsteczki w danym miejscu.

‰ interpretacja

Atom wodoru

Równanie Schrödingera

‰ funkcja falowa

13

Funkcja falowa elektronu w atomie ma tak istotne

znaczenie, iż nadano jej specjalną nazwę – orbital

atomowy. Orbital można poglądowo przedstawić

jako chmurę otaczająca jądro atomu; gęstość

chmury reprezentuje prawdopodobieństwo

znalezienia elektronu w każdym punkcie.

Funkcja falowa elektronu w atomie ma tak istotne

znaczenie, iż nadano jej specjalną nazwę – orbital

atomowy. Orbital można poglądowo przedstawić

jako chmurę otaczająca jądro atomu; gęstość

chmury reprezentuje prawdopodobieństwo

znalezienia elektronu w każdym punkcie.

‰ funkcja falowa

‰ interpretacja

Atom wodoru

14

Atom wodoru

Równanie Schrödingera

część radialna

część kątowa

( ) ( ) ( )

φ

ϕ

θ

γ

ψ

_{n ,,l m}

= r

R

⋅

⋅

x y y γ ϕ r

‰ rozwiązania

‰

funkcja falowa

15

Atom wodoru

Równanie Schrödingera

( ) ( ) ( )

φ

ϕ

θ

γ

ψ

_{n ,,l m}

= r

R

⋅

⋅

‰ rozwiązania

‰

funkcja falowa

2p

_x

2p

_y

±1

1

2

2p

_z

0

1

2

2s

0

0

2

1s

0

0

1

Ψ

_n,l,m

symbol

m

l

n

0 2 3 0 1 2 a r e a −       0 2 3 2 3 2 1 0 0 2 1 2 1 a r e a r a −       −      

( )

6 1 2 cosγ 4 1 23 ₀ 2 1 2 1 0 0 a r e a r a −            

( )

6 1 2 sinγsinϕ 4 1 23 ₀ 2 1 2 1 0 0 a r e a r a −            

( )

6 1 2 sinγcosϕ 4 1 23 ₀ 2 1 2 1 0 0 a r e a r a −             2 2 2 0 4 m e h a e π =

16

Atom wodoru

Równanie Schrödingera

( ) ( ) ( )

[

]

2 2 , ,

φ

ϕ

θ

γ

ψ

R

r

m l n

=

‰ gęstość prawdopodobieństwa

‰ rozwiązania

‰

funkcja falowa

17

Atom wodoru

Równanie Schrödingera

P= Ψ 2 dV odległość od jądra, r

( ) ( ) ( )

[

]

2 2 , ,

φ

ϕ

θ

γ

ψ

R

r

m l n

=

‰ gęstość prawdopodobieństwa

‰ rozwiązania

‰

funkcja falowa

1s

18

Atom wodoru

Równanie Schrödingera

‰ gęstość prawdopodobieństwa

‰ rozwiązania

‰

funkcja falowa

19

Atom wodoru

‰rozkład radialny

Równanie Schrödingera

rozk ład radialny g ęst oś ci 4πr2_R(r)2_dr odległość od jądra, r

( )

2

[

( ) ( )

]

2 2 , ,

φ

ϕ

θ

γ

ψ

= r

R

⋅

m l n sumujemy/ całkujemy Ψ2 po γ i ϕ

‰ gęstość prawdopodobieństwa

‰ rozwiązania

‰

funkcja falowa

1s a₀

20

Atom wodoru

Równanie Schrödingera

‰rozkład radialny

‰ gęstość prawdopodobieństwa

‰ rozwiązania

‰

funkcja falowa

21 4πr2_|R(r)|2 2s 2s 4p 4p _{3d 3d} 2-0=2 4-1=3 _3-2=1 4-0=4 4s 4s

Atom wodoru

orbitale

Równanie Schrödingera

‰ rozwiązania

‰

funkcja falowa

4πr2_|R(r)|2

‰

składowa radialna

22 07_105 Nodes Node 1s 2s 3s (a) 1s 2s 3s (b)

Atom wodoru

Wizualizacja orbitali

_Ψ

_Ψ

_{1,0,01,0,0 1s1s}

Ψ

Ψ

2,0,02,0,0 2s2s

Ψ

Ψ

3,0,03,0,0 3s3s P=90%

23

Atom wodoru

Wizualizacja orbitali

Ψ

24

Atom wodoru

Wizualizacja orbitali

07_106B x x y z x y z 2p_x 2p_y 2p_z z y

Ψ

Ψ

2,1,2,1,--11

Ψ

Ψ

2,1,02,1,0 2p2p

Ψ

Ψ

2,1,12,1,1

25

Atom wodoru

Wizualizacja orbitali

2p_z

Ψ

Ψ

2,1,2,1,--11

Ψ

Ψ

2,1,02,1,0 2p2p

Ψ

Ψ

2,1,12,1,1

26

Atom wodoru

Wizualizacja orbitali

27

Atom wodoru

Wizualizacja orbitali

07_108B x y d_yz x y x y z y z z z z x y d_xz d_xy d_{x2 - y2} d_z2 x (b)

Ψ

Ψ

3,2,3,2,--22

Ψ

Ψ

3,2,3,2,--11

Ψ

Ψ

3,2,03,2,0 3d3d

Ψ

Ψ

3,2,13,2,1

Ψ

Ψ

3,2,23,2,2

28

Atom wodoru

Wizualizacja orbitali

_Ψ

_Ψ

3,2,3,2,--22

Ψ

Ψ

3,2,3,2,--11

Ψ

Ψ

3,2,03,2,0 3d3d

Ψ

Ψ

3,2,13,2,1

Ψ

Ψ

3,2,23,2,2 3d_yz 3d_z2

29 07_109 z z z y x z z z z fz3 3 5zr

f_xyz f_{y(x2 - z2)} f_{x(z2 - y2)} f_{z(x2 - y2)} y x y x y x y x y x fx3 3 5xr2 fy3 53yr2 y x - 2 -

-Atom wodoru

Wizualizacja orbitali

Ψ

Ψ

4,3,4,3,--33

Ψ

Ψ

4,3,4,3,--22

Ψ

Ψ

4,3,4,3,--11 4f

Ψ

Ψ

4,3,04,3,0

Ψ

Ψ

4,3,14,3,1

Ψ

Ψ

4,3,24,3,2

Ψ

Ψ

4,3,34,3,3

30

Atom wodoru

31













−

=













−

−

−

=

−

=

∆

2

_{2 2}4

2

_{2 2} 4

2

₂ 4

1

₂

1

₂

j

i

h

me

i

h

me

j

h

me

E

E

E

_{j i}

π

π

π

1 2 2 2 1

677

109

1

1

₋

=

ℜ













−

ℜ

=

cm

n

n

H H

ν

ν

λ

λ

ν

h

c

hc

hc

h

E

=

=

=

1

=













−

⋅

=

2

2₃ 4

1

₂

1

₂

j

i

c

h

me

π

ν

Atom wodoru

Interpretacja widma

Wyprowadzenie wzoru Balmera

32

Przykład 1 Identyfikacja linii w widmie wodoru

Oblicz długość fali fotonu emitowanego przez atom wodoru w

wyniku przejścia elektronu z orbitalu o n = 3 do orbitalu o n = 2. Zidentyfikuj na rysunku (widmo wodoru) linię spektralną

odpowiadającą temu przejściu.

Oblicz różnicę między dwoma poziomami energetycznymi, korzystając z równania E = -(hR_H)/n2_{, a następnie oblicz długość fali}

odpowiadającą tej różnicy energii. Różnica energii między poziomem o liczbie kwantowej n₂ i energii –hR_H/n₂2 _{i drugim poziomem o liczbie}

kwantowej n₁ i energii –hR_H/n₁2 _{jest równa:}

∆E = (1/n₁2 _-1/n

22)hRH

n₂ = 3 i n₁ = 2; R_H – stała Rydberga =3.28984⋅1015 _Hz;

przeliczyć częstość na długość fali

Atom wodoru

33

różnica energii między dwoma stanami:

∆

E = (1/2

2

_{– 1/3}

2

₎

_⋅

_h

_⋅

_(3.29

_⋅

₁₀

15

_Hz)

częstość emitowanego światła wynosi:

ν

=

∆

E/h = (1/2

2

_{– 1/3}

2

₎

_⋅

_(3.29

_⋅

₁₀

15

_Hz)

długość fali promieniowania jest równa:

λ

= c/

ν

= (3,00

⋅

10

8

_m/s)/(1/2

2

_{– 1/3}

2

₎

_⋅

_(3.29

_⋅

₁₀

15

_Hz)

λ

= 6.57

⋅

10

-7

_m

Przykład 1 Identyfikacja linii w widmie wodoru

34

Przykład 1 Identyfikacja linii w widmie wodoru

36 Ne Hg Ca H Na

Widmo doświadczalne