mgr in. ukasz Sajewski Politechnika Biaostocka Wydzia Elektryczny
WYZNACZANIE REALIZACJI DODATNIEJ LINIOWEGO UKADU
HYBRYDOWEGO TYPU SISO W POSTACI DRUGIEGO MODELU
FORNASINIEGO-MARCHESINIEGO
Sformuowano problem realizacji dla hybrydowych dodatnich ukadów liniowych o jednym wejciu i jednym wyjciu (SISO), w postaci drugiego modelu Fornasiniego-Marchesiniego. Zaproponowano metod wyznaczania realizacji dodatniej dla danej transmitancji waciwej w oparciu o schemat zmiennych stanu. Podano warunki wystarczajce na istnienie realizacji dodatniej dla danej transmitancji waciwej. Sformuowano równie procedur wyznaczania realizacji dodatniej, któr zilustrowano przykadem numerycznym.
COMPUTATION OF POSITIVE REALIZATION OF HYBRID LINEAR SISO SYSTEMS DESCRIBED BY THE SECOND FORNASINI-MARCHESINI
MODEL
The realization problem for positive linear hybrid systems with single input and single output (SISO), described by the second Fornasini-Marchesini model is formulated. The method based on the state variable diagram for finding a positive realization of a given proper transfer function is proposed. Sufficient conditions for the existence of a positive realization of a given proper transfer function are established. A procedure for computation of a positive realization is proposed and illustrated by a numerical example.
1. WSTP
W ukadach dodatnich wymuszenia, zmienne stanów oraz odpowiedzi przyjmuj tylko wartoci nieujemne. Taka sytuacja jest spotykana w wielu dziedzinach techniki, biologii, ekonomi, medycyny, itp. Przykadem mog by wymienniki ciepa, kolumny destylacyjne, modele populacji, modele epidemiologiczne, modele zanieczyszczenia rodowiska. Ze wzgldu na podane ograniczenia, w odrónieniu od ukadów standardowych, teoria ukadów dodatnich opiera si na przestrzeniach stoków. Teoria takich ukadów jest trudniejsza i mniej zaawansowana. Ukady hybrydowe cz w swojej strukturze zarówno cz cig jak i cz dyskretn a zmienne stanu w takim ukadzie zale jednoczenie od chwil czasu cigego t oraz dyskretnych stanów i. Dziadzina dodatnich ukadów hybrydowych jest dziedzin bardzo mod. Literatura dotyczca ukadów dodatnich jest do bogata [2, 9]. Problem realizacji dla cigych i dyskretnych ukadów dodatnich z opónieniami jak i bez opónie by rozpatrywany w pracach [1, 2, 9-14]. Nowa klasa dwuwymiarowych liniowych hybrydowych ukadów dodatnich zostaa zaproponowana w pracy [14]. Problem realizacji dodatniej dla tej klasy ukadów zosta rozpatrzony w pracy [6, 15] oraz dla ukadów z opónieniami w [5, 7]. Wspomniane ukady hybrydowe miay struktur zblion do struktury ukadu Roessera [22].
Gównym celem tej pracy jest zaprezentowanie metody rozwizania zadania realizacji dodatniej dla hybrydowych ukadów liniowych których struktura jest oparta na drugim modelu Fornasinego-Marchesniego. Zostan podane warunki wystarczajce istnienia realizacji dodatniej dla danej transmitancji waciwej. Zaproponowana zostanie te procedura wyznaczania tej realizacji, wraz z ilustrujcym j przykadem numerycznym.
2. INFORMACJE PODSTAWOWE I SFORMUOWANIE ZADANIA
Rozwamy ukad hybrydowy opisany równaniami [9]
) 1 , ( ) , ( ) 1 , ( ) , ( ) 1 , (t i A1x t i A2x t i B1u t i B2u t i x (1a) ) , ( ) , ( ) , (t i Cx t i Du t i y , tR [0,f], i Z (1b) gdzie t i t x i t x w w ( , ) ) , (
, x(t,i)Rn, u(t,i)Rm, y(t,i)Rp s odpowiednio wektorem stanu, wymuszenia i odpowiedzi oraz A1,A2Rnun,B1,B2Rnum,CRpun,DRpum s macierzami rzeczywistymi.
Warunki pocztkowe dla (1a) i (1b) maj posta
) ( ) , 0 ( i x1 i x , i Z i x(t,0) x(t),x(t,0) x(t), t R (2) Niech Rnum bdzie zbiorem macierzy rzeczywistych o wymiarach num z nieujemnymi elementami oraz Rn Rnu1, oraz Mn bdzie zbiorem macierzy Metzlera o wymiarach nun.
Definicja 1. [9] Ukad hybrydowy (1) jest nazywany (wewntrznie) dodatnim, gdy
n
R i t
x( , ) i y(t,i)Rp, t R, i Z dla dowolnych warunków pocztkowych x(i)Rn,
Z
i , x(t)Rn, x(t)Rn, t R oraz wszystkich wymusze u(t,i)Rm, u(t,i)Rm,
R
t , i Z.
Twierdzenie 1. [9] Ukad hybrydowy (1) jest (wewntrznie) dodatnim wtedy i tylko wtedy,
gdy m p n p m n m n n n n n n A M AA R B R B R C R D R R A1 u , 2 , 1 2 u , 1 u , 2 u , u , u (3) Transmitancja ukadu (1) jest dana zalenoci
) , ( ) ( ] [ ) , (s z C I sz A1s A2z 1 B1s B2z D R s z T n pum (4)
Definicja 2. Macierze (3) s nazywane realizacj dodatni danej transmitancji T( zs, ), jeli speniaj równanie (4).
Problem realizacji mona sformuowa nastpujco.
Dana jest waciwa transmitancja T(s,z)Rpum(s,z), naley wyznaczy jej realizacj dodatni (3).
3. ROZWIZANIE ZADANIA
Istot proponowanej metody przedstawimy na pocztek na nastpujcym przykadzie transmitancji operatorowej ukadu hybrydowego
00 01 10 11 2 02 2 20 2 12 2 21 2 2 00 01 10 11 2 02 2 20 2 21 2 21 2 2 22 ) , ( a z a s a sz a z a s a sz a z s a z s b z b s b sz b z b s b sz b z s b z s b z s T (5) Mnoc licznik i mianownik tej transmitancji przez s2z2 otrzymamy
U Y z s a z s a z s a z s a s a z a s a z a z s b z s b z s b z s b s b z b s b z b b z s T 2 2 00 1 2 01 2 1 10 1 1 11 2 02 2 20 1 12 1 21 2 2 00 1 2 01 2 1 10 1 1 11 2 02 2 20 1 12 1 21 22 1 ) , ( (6) Definiujc 2 2 00 1 2 01 2 1 10 1 1 11 2 02 2 20 1 12 1 21 1a z a s a z a s a sz a s z a s z a s z U E (7)
z (6) otrzymamy E z s b z s b z s b z s b s b z b s b z b b Y E z s a z s a z s a z s a s a z a s a z a U E ) ( ) ( 2 2 00 1 2 01 2 1 10 1 1 11 2 02 2 20 1 12 1 21 22 2 2 00 1 2 01 2 1 10 1 1 11 2 02 2 20 1 12 1 21 (8) Na podstawie zalenoci (8) rysujemy schemat zmiennych stanu przedstawiony na rys. 1.
Rys. 1. Pomocniczy schemat zmiennych stanu dla transmitancji (5)
Za zmienne stanu wybieramy wielkoci wyjciowe czonów cakujcych (x1(t,i), x2(t,i)) i opóniajcych (x3(t,i), x4(t,i), x5(t,i), x6(t,i)). Na podstawie schematu zmiennych stanu (rys. 1.) wypisujemy nastpujce równania
) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) 1 , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) 1 , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) 1 , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) 1 , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 22 5 2 12 1 02 20 2 10 1 00 6 21 6 2 11 1 01 5 20 2 10 1 00 4 21 4 2 11 1 01 3 2 2 1 i t e b i t x i t x b i t x b i t y i t e b i t x b i t x b i t x i t e b i t x i t x b i t x b i t x i t e a i t x a i t x a i t x i t e a i t x i t x a i t x a i t x i t e i t x i t x i t x (9) gdzie ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , (t i a02x1 t i a12x2 t i x3 t i u t i e (10)
Zwikszajc zmienn i o 1 w równaniach róniczkowych (9) oraz róniczkujc równania rónicowe (9), a nastpnie podstawiajc (10) do (9) otrzymamy
) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) 1 , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) 1 , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) 1 , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( 22 5 3 22 2 22 12 12 1 22 02 02 20 3 20 2 20 12 10 1 20 02 00 6 21 6 3 21 2 21 12 11 1 21 02 01 5 20 3 20 2 20 12 10 1 20 02 00 4 21 4 3 21 2 21 12 11 1 21 02 01 3 3 2 12 1 02 2 2 1 i t u b i t x i t x b i t x b a b i t x b a b i t y i t u b i t x b i t x b a b i t x b a b i t x i t u b i t x i t x b i t x b a b i t x b a b i t x i t u a i t x a i t x a a a i t x a a a i t x i t u a i t x i t x a i t x a a a i t x a a a i t x i t u i t x i t x a i t x a i t x i t x i t x (11)
Definiujc » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « ¬ ª » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « ¬ ª » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « ¬ ª ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( , ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( , ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 i t x i t x i t x i t x i t x i t x i t x i t x i t x i t x i t x i t x i t x i t x i t x i t x i t x i t x i t x i t x i t x (12)
moemy równania (11) napisa w postaci
) , ( ) , ( ) , ( ) 1 , ( ) , ( ) 1 , ( ) , ( ) 1 , ( 1 2 1 2 i t Du i t Cx i t y i t u B i t u B i t x A i t x A i t x (13) gdzie ] [ ], 0 1 0 ) ( ) ( [ , 0 0 0 0 1 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 , 0 0 0 ) ( ) ( 1 0 0 ) ( ) ( 0 0 0 ) ( ) ( 0 0 1 ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 22 22 22 12 12 22 02 02 2 20 21 20 21 1 12 02 2 20 20 12 10 20 02 00 21 21 12 11 21 02 01 20 20 12 10 20 02 00 21 21 12 11 21 02 01 1 b D b b a b b a b C B b b a a B a a A b b a b b a b b b a b b a b a a a a a a a a a a a a a a A » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « ¬ ª » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « ¬ ª » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « ¬ ª » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « ¬ ª (14)
Z zalenoci (14) wynika nastpujcy wniosek
Wniosek. Realizacja dodatnia dla podanej transmitancji (5) ukadu hybrydowego istnieje
wtedy, gdy wszystkie wspóczynniki licznika i mianownika transmitancji (5) s nieujemne. Uogólniajc powyszy przykad na dowoln transmitancj otrzymamy
00 01 10 11 1 1 , 00 01 10 11 1 1 , , ... ... ) , ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 a z a s a sz a z s a z s b z b s b sz b z s b z s b z s T n n n n n n n n n n n n n n (15)
Mnoc licznik i mianownik tej transmitancji przez sn1zn2 otrzymamy
U Y z s a s a z a z s b s b z b b z s T n n n n n n n n n n n n n n 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 00 1 , 1 1 1 , 00 1 , 1 1 1 , , ... 1 ... ) , ( (16) Definiujemy E z s b s b z b b Y E z s a s a z a U E n n n n n n n n n n n n n n ) ... ( ) ... ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 00 1 , 1 1 1 , , 00 1 , 1 1 1 , (17) Schemat zmiennych stanu w tym przypadku ma posta jak na rys. 2.
Rys. 2. Pomocniczy schemat zmiennych stanu dla transmitancji (16)
Za zmienne stanu wybieramy wielkoci wyjciowe czonów cakujcych ( ( , ), ( , ), ..., ( , ) 1 2 1 t i x t i x t i x n ) i opóniajcych ( ( , ), ( , ), ..., ( , ) 2 1 11 t i x 2 t i x2 t i xn n n ).
Na podstawie schematu zmiennych stanu (rys. 2.) wypisujemy równania róniczkowe i rónicowe ) , ( ) , ( ) , ( ... ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ... ) , ( ) , ( ) 1 , ( ) , ( ) , ( ) , ( ... ) , ( ) , ( ) 1 , ( ) , ( ) , ( ) , ( ... ) , ( ) , ( ) 1 , ( ) , ( ) , ( ) , ( ... ) , ( ) , ( ) 1 , ( ) , ( ) , ( ... ) , ( ) , ( ) 1 , ( ) , ( ) , ( ) , ( ... ) , ( ) , ( ) 1 , ( ) , ( ) , ( ) , ( ... ) , ( ) , ( ) 1 , ( ) , ( ) , ( ) , ( ... ) , ( ) , ( ) 1 , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 , 1 , 1 2 , 1 1 , 0 0 , 0 , 1 2 10 1 00 2 1 , 2 1 , 1 2 1 , 1 1 1 , 0 1 2 2 , 3 , 2 , 1 2 , 1 2 2 , 1 1 2 , 0 2 , 2 1 , 2 , 2 , 1 1 , 1 2 1 , 1 1 1 , 0 1 , 2 0 , 0 , 1 2 10 1 00 , 2 1 , 1 , 1 2 1 , 1 1 1 , 0 1 , 2 2 , 3 2 , 1 2 2 , 1 1 2 , 0 2 1 , 2 1 , 1 2 1 , 1 1 1 , 0 1 1 2 1 i t e b i t x i t x b i t x b i t x b i t y i t e b i t x b i t x b i t x b i t x i t e b i t x i t x b i t x b i t x b i t x i t e b i t x i t x b i t x b i t x b i t x i t e b i t x i t x b i t x b i t x b i t x i t e a i t x a i t x a i t x a i t x i t e a i t x i t x a i t x a i t x a i t x i t e a i t x i t x a i t x a i t x a i t x i t e a i t x i t x a i t x a i t x a i t x i t e i t x i t x i t x i t x i t x n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n # # # (18) gdzie ) , ( ) , ( ) , ( ... ) , ( ) , ( ) , ( 0, 1 1, 2 1, 1 1 1 2 1 2 2x t i a x t i a x t i x t i u t i a i t e n n n n n n (19)
Zwikszajc zmienn i o 1 w równaniach róniczkowych (dla zmiennych stanu od x1 do 1 n
x ) oraz róniczkujc równania rónicowe (dla zmiennych stanu od 1
1 n x do 2 2n x ), nastpnie podstawiajc (19) do (18) otrzymamy ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ... ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ... ) , ( ) , ( ) 1 , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ... ) , ( ) , ( ) 1 , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ... ) , ( ) , ( ) 1 , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ... ) , ( ) , ( ) 1 , ( ) , ( ) , ( ) , ( ... ) , ( ) , ( ) 1 , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ... ) , ( ) , ( ) 1 , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ... ) , ( ) , ( ) 1 , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ... ) , ( ) , ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( ... ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 , 1 1 , , 1 2 , 1 1 , 0 0 , 1 0 , 0 , 1 2 10 1 00 2 1 , 2 1 1 , 1 , 1 2 1 , 1 1 1 , 0 1 2 2 , 3 1 2 , 2 , 1 2 2 , 1 1 2 , 0 2 1 , 2 1 1 , 1 , 1 2 1 , 1 1 1 , 0 1 0 , 1 0 , 0 , 1 2 10 1 00 1 , 1 1 , 1 , 1 2 , 1 2 2 1 , 0 1 2 , 3 1 2 , 2 , 1 2 2 , 1 1 2 , 0 2 1 , 2 1 1 , 1 , 1 2 1 , 1 1 1 , 0 1 1 , 1 2 , 1 1 , 0 1 3 2 2 1 i t u b i t x i t x b i t x b i t x b i t x b i t y i t u b i t x b i t x b i t x b i t x b i t x i t u b i t x i t x b i t x b i t x b i t x b i t x i t u b i t x i t x b i t x b i t x b i t x b i t x i t u b i t x i t x b i t x b i t x b i t x b i t x i t u a i t x a i t x a i t x a i t x a i t x i t u a i t x i t x a i t x a i t x a i t x a i t x i t u a i t x i t x a i t x a i t x a i t x a i t x i t u a i t x i t x a i t x a i t x a i t x a i t x i t u i t x i t x a i t x a i t x a i t x i t x i t x i t x i t x i t x i t x n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n # # # (20) gdzie j n n i j i j i a a a a, , , , 1 2 , bi,j bi,j ai,nbn,j 1 2 dla i 0,1,...,n11; j 0,1,...,n2 1 (21) Definiujc (analogicznie do (12)) wektor
» » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « ¬ ª ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 2 2 1 1 2 1 2 1 1 i t x i t x i t x i t x i t x i t x n n n n # # (22)
) 2 ( ) 2 ( , 1 , 2 , 1 , 0 2 ) 2 ( ) 2 ( 0 , 0 , 1 00 1 , 1 , 1 01 2 , 2 , 1 2 , 0 1 , 1 , 1 1 , 0 0 , 0 , 1 00 1 , 1 , 1 01 2 , 2 , 1 2 , 0 1 , 1 , 1 1 , 0 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... ... 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 1 ... 0 ... 0 0 1 ... 0 0 0 ... 0 ... 0 0 0 ... 1 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 1 0 , 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 0 ... 0 1 ... 0 0 0 0 ... 0 0 ... ... 0 0 ... 1 0 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0 1 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0 0 0 1 ... 0 0 ... ... ... 0 0 ... 0 0 0 0 ... 1 0 ... 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 1 ... 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 ... ... ... 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n R a a a a A R b b b b b b b b b b b b a a a a a a a a a a a a A u u » » » » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « « « ¬ ª » » » » » » » » » » » » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « « « « « « « « « « « ¬ ª # # # # # # # # # # # % # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (23)
> @
>
@
>
@
>
@
>
@
>
@
> @
11 , 1 22 1 , 21 2 1 22 21 2 1 , 1 , 1 , 0 1 ) 2 ( 1 2 1 1 2 22 1 21 1 ) 2 ( 22 21 2 1 ) 2 ( 0 , 1 , 0 , 1 , 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 0 ... 0 1 , 0 ... 0 , , ... , , 0 , 1 0 0 , , 0 0 u u u u u u u u u u » » » » ¼ º « « « « ¬ ª » ¼ º « ¬ ª » » » » » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « « « « ¬ ª R b D R C R b C R C C C R b b b C R C C C R B R B R B B B R b b a a B n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n # # # #Zostao wic udowodnione nastpujce twierdzenie
Twierdzenie 2. Realizacja dodatnia ukadu hybrydowego o danej transmitancji waciwej
Realizacj dodatni dla danej transmitancji waciwej ukadu hybrydowego mona wyznaczy korzystajc z nastpujcej procedury
Procedura
Krok 1. Dan transmitancj o postaci (15) sprowadzamy do postaci (16) i wyznaczamy zalenoci (17).
Krok 2. Na podstawie równa (17) rysujemy schemat zmiennych stanu jak na rys. 2.
Krok 3. Wybieramy zmienne stanu i wypisujemy równania (18), (19) nastpnie przeksztacamy je do postaci (20).
Krok 4. Na podstawie równa (20) wyznaczamy poszukiwan realizacj transmitancji (15) o postaci (23).
4. PRZYKAD LICZBOWY
Dana jest transmitancja waciwa o postaci
1 . 0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 5 . 0 1 2 3 4 5 6 ) , ( 2 2 2 2 z s sz s z s z s sz s z s z s T (24)
naley wyznaczy jej realizacj dodatni (23). W tym przypadku n 2 i m 1. Stosujc procedur otrzymamy.
Krok 1. Mnoc licznik i mianownik transmitancji (24) przez s2z1 otrzymujemy
U Y z s s z s s z z s s z s s z z s T 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 . 0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 5 . 0 1 2 3 4 5 6 ) , ( (25) oraz E z s s z s s z Y E z s s z s s z U E ) 2 3 4 5 6 ( ) 1 . 0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 5 . 0 ( 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 (26) Krok 2. Schemat zmiennych stanu ma posta jak na rys. 3
Krok 3. Na podstawie schematu zmiennych stanu (rys. 3) wypisujemy równania stanu ) , ( 6 ) , ( ) , ( 6 ) , ( 6 . 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( ) , ( 5 ) , ( 5 ) , ( ) , ( 2 ) 1 , ( ) , ( 5 . 0 ) , ( 5 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 2 . 0 ) 1 , ( ) , ( ) , ( ) , ( 4 . 0 ) , ( 2 . 0 ) , ( ) , ( ) , ( 4 3 2 1 3 2 1 4 3 2 1 3 3 2 1 2 2 1 i t u i t x i t x i t x i t x i t y i t u i t x i t x i t x i t x i t u i t x i t x i t x i t x i t u i t x i t x i t x i t x i t x i t x (27)
które po przeksztaceniu i zapisaniu w postaci macierzowej maj posta
>
@
6 (, ) ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 1 6 6 . 1 2 . 3 ) , ( ) 1 , ( 0 0 1 0 ) , ( 5 5 . 0 0 0 ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 . 0 2 . 0 0 0 1 0 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 0 5 1 2 0 5 . 0 1 . 0 2 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 i t u i t x i t x i t x i t x i t y i t u i t u i t x i t x i t x i t x i t x i t x i t x i t x i t x i t x i t x i t x » » » » ¼ º « « « « ¬ ª » » » » ¼ º « « « « ¬ ª » » » » ¼ º « « « « ¬ ª » » » » ¼ º « « « « ¬ ª » » » » ¼ º « « « « ¬ ª » » » » ¼ º « « « « ¬ ª » » » » ¼ º « « « « ¬ ª » » » » ¼ º « « « « ¬ ª (28)Krok 4. Poszukiwana realizacja ma posta
>
3.2 1.6 6 1@
, [6] 0 0 1 0 , 5 5 . 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 . 0 2 . 0 0 0 1 0 , 0 5 1 2 0 5 . 0 1 . 0 2 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 » » » » ¼ º « « « « ¬ ª » » » » ¼ º « « « « ¬ ª » » » » ¼ º « « « « ¬ ª » » » » ¼ º « « « « ¬ ª D C B B A A (29)Otrzymana realizacja (29) jest realizacj dodatni gdy spenione s warunki twierdzenia 1.
5. PODSUMOWANIE
Zostaa zaproponowana metoda wyznaczania realizacji dodatniej hybrydowych ukadów liniowych o strukturze drugiego modelu Fornasiniego-Marchesiniego. Sformuowane zostay warunki wystarczajce istnienia dodatniej realizacji dla danej transmitancji waciwej ukadu hybrydowego. Zaproponowano procedur wyznaczania realizacji dodatniej oraz zilustrowano t procedur przykadem numerycznym. Problemem otwartym jest sformuowanie warunków koniecznych i wystarczajcych istnienia realizacji dodatniej dla ukadów hybrydowych.
6. LITERATURA
[1] L. Benvenuti and L. Farina: A tutorial on the positive realization problem, IEEE Trans. Autom. Control, vol. 49, No 5, 2004, pp. 651-664.
[2] L. Farina and S. Rinaldi: Positive Linear Systems; Theory and Applications, J. Wiley, New York, 2000.
[3] T. Kaczorek and M. Busowicz: Reachability and minimum energy control of positive linear discrete-time systems with one delay, 12th Mediterranean Conference on Control and Automation, June 6-9, 2004, Kusadasi, Izmir, Turkey.
[4] T. Kaczorek and M. Busowicz: Minimal realization problem for positive multivariable linear systems with delay, Int. J. Appl. Math. Comput. Sci., Vol. 14, No. 2, 2004, pp. 181-187.
[5] T. Kaczorek and . Sajewski: Computation of positive realization of MIMO hybrid linear systems with delays using the state variable diagram method, 16th International Conference on Systems Science, Wrocaw 4 – 6 Wrzesie 2007, Vol. 1, 2007, pp. 150-160.
[6] T. Kaczorek and . Sajewski: Computation of positive realization of MIMO hybrid linear systems using the state variable diagram method, Archives of Control Sciences – Vol. 17, 2007, No.1 pp. 5-21.
[7] T. Kaczorek and . Sajewski: Realization problem for positive 2D hybrid systems with one delay in state and input vectors, 8th International Workshop „Computational Problems of Electrical Engineering”, Wilkasy 14 – 16 Wrzesie 2007, Przegld Elektrotechniczny – 2/2007, pp. 242-246.
[8] T. Kaczorek: Some recent developments in positive systems, Proc. 7th Conference of Dynamical Systems Theory and Applications, pp. 25-35, ód 2003.
[9] T. Kaczorek: Positive 1D and 2D systems, Springer Verlag, London 2002.
[10] T. Kaczorek: A realization problem for positive continues-time linear systems with reduced numbers of delay, Int. J. Appl. Math. Comp. Sci. 2006, Vol. 16, No. 3, pp. 325-331.
[11] T. Kaczorek: Realization problem for positive multivariable discrete-time linear systems with delays in the state vector and inputs, Int. J. Appl. Math. Comp. Sci. 2006, Vol. 16, No. 2, pp. 101-106.
[12] T. Kaczorek: Realization problem for positive discrete-time systems with delay, System Science, Vol. 30, No. 4, 2004, pp. 117-130.
[13] T. Kaczorek: Positive minimal realizations for singular discrete-time systems with delays in state and delays in control, Bull. Pol. Acad. Sci. Techn., Vol 53, No 3, 2005, pp. 293-298.
[14] T. Kaczorek: Positive 2D hybrid linear systems, Proc. Inter. Conf. Numerical Linear Algebra in Signals Systems and Control 2007.
[15] T. Kaczorek: Realization problem for positive 2D hybrid systems, Submitted to COMPEL.
[16] T. Kaczorek: Two-Dimensional Linear Systems, Springer Verlag, Berlin 1985.
[17] T. Kaczorek: Determination of singular positive realization of improper transfer function of 2D linear systems, SMC Zakopane 2007.
[18] J. Klamka: Controllability of Dynamical Systems, Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 1991.
[19] J. Kurek: The general state-space model for a two-dimensional linear digital system, IEEE Trans. Austom. Contr. AC-30 , June 1985, pp. 600-602.
[20] V. M. Marchenko and O. N. Poddubnaya: Relative controllability of stationary hybrid systems, 10th IEEE Int. Conf. on Methods and Models in Automation and Robotics, 30 Aug. -2 Sept. 2004, Midzyzdroje, Poland pp. 267-272.
[21] V. M. Marchenko, O. N. Poddubnaya, Z. Zaczkiewicz: On the observability of linear differential-algebraic systems with delays, IEEE Trans. Autom. Contr. Vol. 51, No. 8, 2006, pp. 1387-1392.
[22] R. B. Roesser: A discrete state-space model for linear image processing, IEEE Trans. on Automatic Control, AC-20, 1 (1975), pp. 1-10.
