Wykorzystanie pola pod wykresem funkcji przynależności w analizie szeregów danych rozmytych

Pełen tekst

(1)Zeszyty Naukowe nr. 838. 2010. Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie. Jacek Wołoszyn Katedra Informatyki. Paweł Wołoszyn Katedra Systemów Obliczeniowych. Wit Urban Katedra Informatyki. Wykorzystanie pola pod wykresem funkcji przynależności w analizie szeregów danych rozmytych Streszczenie. Artykuł został poświęcony metodom analizy skalarnej wielowymiarowych szeregów rozmytych ze szczególnym uwzględnieniem tych, których elementy zostały zdefiniowane na osi czasu. Tego typu dane są szczególnie przydatne do reprezentacji przebiegu procesów o charakterze cyklicznym. W opracowaniu przedstawiono propozycję wykorzystania pola pod wykresem funkcji przynależności rzeczywistych liczb rozmytych jako podstawy skalaryzacji wielkości rozmytych. Metoda ta zapobiega w znacznym stopniu utracie informacji w nich zawartej w następstwie rezygnacji z metod analizy wielowymiarowej na rzecz jednowymiarowej. Artykuł zawiera także przykład wykorzystania proponowanego podejścia w odniesieniu do wybranego procesu rzeczywistego. Słowa kluczowe: zbiory rozmyte, arytmetyka rozmyta, procesy cykliczne.. 1. Wprowadzenie Jednym z wygodnych narzędzi analizy wielowymiarowej są metody teorii zbiorów rozmytych. Oprócz niewątpliwych zalet związanych z dostarczeniem aparatu formalnego pozwalającego na opis procesów rzeczywistych właśnie za pomocą wartości o charakterze wielowymiarowym łączy się z nimi występowanie także.

(2) 188. Jacek Wołoszyn, Paweł Wołoszyn, Wit Urban. pewnych problemów. Dotyczą one przede wszystkim możliwości analizy takich danych bez konieczności dużej utraty informacji. Jako jedną z propozycji ułatwiających rozwiązywanie tego typu problemów można wskazać procedury skalaryzacji liczb rozmytych. Celem artykułu jest pokazanie jednej z takich procedur opartej na wykorzystaniu pola pod wykresem funkcji przynależności. Prezentację tego podejścia poprzedza wprowadzenie do aparatu formalnego teorii zbiorów rozmytych i arytmetyki rozmytej. We wnioskach podsumowano rozważania dotyczące możliwości analizy danych wielowymiarowych w ujęciu skalarnym. 2. Wybrane elementy teorii zbiorów rozmytych Podstawą teorii zbiorów rozmytych jest zaproponowane przez L.A. Zadeha [1965] pojęcie zbioru rozmytego. Definicja 1. Zbiorem rozmytym A w przestrzeni X będącej niepustym zbiorem nazywamy zbiór par uporządkowanych A = {x, μ A(x): x ∈ X}, gdzie μA: X → [0; 1]. (1). jest funkcją przynależności, której wartości określają stopień przynależności poszczególnych elementów przestrzeni X do zbioru rozmytego A. Na podstawie definicji zbioru rozmytego zostały zdefiniowane podstawowe pojęcia arytmetyki rozmytej, tj. całkowitej liczby rozmytej i rzeczywistej liczby rozmytej. Definicja 2 [Kaufmann i Gupta 1985]. Rozmyta liczba całkowita α jest wypukłym zbiorem rozmytym w przestrzeni Z, przy czym warunek wypukłości ma postać: μα(k) ≥ μα(i) ∧ μα(j). ∀ i, j, k ∈ Z,. i ≤ k ≤ j.. (2). Klasa rozmytych liczb całkowitych jest często oznaczana w literaturze jako N(Z). Zgodnie z podaną definicją każda liczba całkowita n ∈ Z może być traktowana jako całkowita liczba rozmyta o funkcji przynależności zdefiniowanej w następujący sposób: 1 dla k = n k Z. n (k) = (3) 0 dla k ≠ n Definicja 3 [Zadeh 1965]. Rozmyta liczba rzeczywista jest zbiorem rozmytym w przestrzeni R mającym ciągłą funkcję przynależności μ α oraz spełniającym warunek wypukłości:.

(3) 189. Wykorzystanie pola pod wykresem funkcji…. μα(y) ≥ μα(x) ∧ μα(z). ∀ x, y, z ∈ R,. y ∈ [x; z].. (4). Klasę rozmytych liczb rzeczywistych oznacza się z kolei często jako N(R). Należy zaznaczyć, że w literaturze występuje także określenie rozmytej liczby rzeczywistej nieżądające spełnienia warunku wypukłości funkcji przynależności [Chang, Chow i Chang 1983]. Z punktu widzenia takiego podejścia definicja (3) odnosi się do podklasy wypukłych rozmytych liczb rzeczywistych. Ponadto w większości publikacji definicja ta jest uzupełniana o warunek normalności zdefiniowany w następujący sposób. Definicja 4 [Kaufmann i Gupta 1985]. Zbiór rozmyty A ∈ P(X) (gdzie P(X) oznacza klasę wszystkich zbiorów rozmytych w przestrzeni X) nazywamy normalnym, jeżeli ∃x ∈ X μA(x) = 1.. (5). ∀x ∈ X μA(x) < 1,. (6). Jeżeli natomiast zbiór A nazywamy podnormalnym, subnormalnym. Przedstawione definicje całkowitej liczby rozmytej oraz rzeczywistej liczby rozmytej stanowią wprowadzenie do zagadnień arytmetyki rozmytej. Podstawę tej części teorii zbiorów rozmytych związanej z działaniami arytmetycznymi na liczbach rozmytych oparto na wykorzystaniu zdefiniowanej przez L.A. Zadeha zasady rozszerzenia [1965]. Definicja 5. Niech f będzie odwzorowaniem X1 × … × X n → Y, takim że y = f(x1, …, xn); y ∈ Y, xi ∈ X i ∀ i ∈ Nn, oraz niech Ai ∈ P(X) ∀ i ∈ Nn. Iloczyn kartezjański A1 × … × An przekształcany jest zgodnie z odwzorowaniem f w zbiór rozmyty B ∈ P(Y) określony funkcją przynależności: min ( A1 (x1), , An (xn )) dla f 1 (y) ≠ sup. x1 X 1, , xn Xn B (y) = y = f ( x1, , xn ). 0 dla f 1 (y) = . y Y (7). Podana zasada pozwala znajdować rozmyte odpowiedniki nierozmytych odwzorowań poprzez zastąpienie koncepcji zmiennej mającej ściśle określoną wartość podejściem, w którym występuje zbiór stopni przynależności charakteryzujących poszczególne potencjalne jej wielkości..

(4) 190. Jacek Wołoszyn, Paweł Wołoszyn, Wit Urban. Dzięki tej definicji można określić podstawowe operacje arytmetyczne na liczbach rozmytych [Klir i Pan 1998]. Podano je dla klasy rozmytych liczb rzeczywistych, tej bowiem klasy dotyczą rozważania prezentowane w opracowaniu. Definicja 6. Jeśli założyć, że A i B ∈ N(R), oraz przyjąć: a) f (x1, x2) = x1 + x2, dla operacji dodawania A + B ∈ N(R) A+ B (y) = sup min( A (x1 ), B (x2 )) x1 , x2 R y = x1 + x 2. y R ;. (8). b) f(x1, x2) = x1 – x2, dla operacji odejmowania A – B ∈ N(R) A− B (y) =. sup min( A (x1 ), B (x2 )). x 1 , x2 R y = x 1 x2. y R;. (9). c) f (x1, x2) = x1 * x2, dla operacji mnożenia A * B ∈ N(R) A *B (y) = sup min( A (x1 ), B (x2 )) x1 , x2 R y = x 1 * x2. y R;. (10). d) f (x1, x2) = x1 / x2, x2 ≠ 0, dla operacji dzielenia A / B ∈ N(R) A/B (y) =. sup. min( A (x1 ), B (x2 )). x1 R, x2 R – {0} y = x 1 /x 2. y R.. (11). 3. Skalaryzacja danych rozmytych zdefiniowanych na osi czasu Chociaż metody skalaryzacji danych rozmytych odnoszą się do ogółu takich wielkości, zakres merytoryczny artykułu został ograniczony do szczególnej podklasy szeregów o elementach należących do przestrzeni rzeczywistych liczb rozmytych. Przez szereg danych rozmytych (szereg rozmyty) w dalszym ciągu opracowania rozumie się ciąg nieujemnych rozmytych wartości rzeczywistych spełniających warunek odwzorowania przez funkcję przynależności osi czasu w zbiór wartości z przedziału obustronnie domkniętego od zera do jeden. X1, X2, …, Xn. Xi ∈ N(R),. i = 1, 2, …, n,. (12). gdzie μ X (t): T → < 0; 1>. i. Wybór taki został podyktowany praktycznym zastosowaniem szeregów danych rozmytych w analizie procesów rzeczywistych. W kontekście przyjętego rozumienia tego pojęcia pewną propozycją może być odwołanie się do przypadków.

(5) 191. Wykorzystanie pola pod wykresem funkcji…. cyklicznego w przybliżeniu charakteru zmienności opisujących przebieg takich procesów wielkości. Zgodnie z ogólną definicją cyklu stanowi on ciąg uporządkowanych zmian, w wyniku których po upływie danego okresu substancja, mechanizm lub system wraca do swojego stanu początkowego. Dobrym przykładem jest jednostajnie obracające się koło. W przypadku takich wielkości przebieg cyklu określonej zmiennej można przedstawić za pomocą nieujemnej rzeczywistej liczby rozmytej. W tym celu należy przyjąć, że poziom wartości badanej zmiennej dla danego momentu czasu jest miarą jego przynależności do cyklu. Oczywiście konieczne jest uwzględnienie wymagań formalnych zawartych w definicji rzeczywistej liczby rozmytej nakładających na funkcję przynależności ograniczenie do przedziału obustronnie domkniętego [0; 1]. Wynika z tego konieczność przeskalowania wartości badanej zmiennej dla przebiegu danego cyklu tak, aby ten warunek był spełniony. Taki zabieg wiąże się wprawdzie z utratą części informacji, ale z drugiej strony umożliwia sprowadzenie badanych wahań cyklicznych do postaci pozwalającej na wykorzystanie metod analizy wywodzących się z teorii zbiorów rozmytych. Jest to także wygodny sposób na zapewnienie porównywalności przebiegów cyklicznych w ramach przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych. Wahania cykliczne zmiennych opisujących procesy rzeczywiste charakteryzuje często nieregularność. Jej przyczyny z reguły należałoby poddać dodatkowej analizie. Natomiast przez sprowadzenie danych związanych z takimi procesami do pewnej wspólnej platformy porównywalności uwalnia się je od wpływu przynajmniej części czynników o charakterze okazjonalnym, zaburzających pewną ogólną tendencję. Dokładną procedurę opisu procesów cyklicznych za pomocą rzeczywistych liczb rozmytych zawiera artykuł [Urban 2010]. Dodatkowo należy także przyjąć założenie, że funkcja przynależności nieujemnej rzeczywistej liczby rozmytej tak zdefiniowana na osi czasu dla momentów nienależących do cyklu przyjmuje wartości zero. Oczywiście przedstawiona propozycja konstrukcji szeregu danych rozmytych jest jedną z dostępnych opcji i wskazuje na istniejące w tym zakresie możliwości. Pozwala to na konkluzję o istnieniu potencjału badawczego metod stosowanych w odniesieniu do takich szeregów. Część z nich wykorzystuje procedury skalaryzacji wartości rozmytych. Wygodną propozycję może stanowić między innymi pole pod wykresem funkcji przynależności rzeczywistych liczb rozmytych. . X NR PX . X x X dxX. (13). . Zaletą tej wielkości jest fakt, że przy odpowiednio dobranej funkcji przynależności, jak np. trójkątna czy też krzywa Gaussa, znajomość pola pod jej wykresem oraz wartości, dla której przyjmuje ona maksimum, pozwalają wyznaczyć postać analityczną całego odwzorowania. Z tego też względu wykorzystanie omówionej.

(6) 192. Jacek Wołoszyn, Paweł Wołoszyn, Wit Urban. charakterystyki w procedurze prognozowania wielkości rozmytych na podstawie odpowiednio skonstruowanego szeregu rozmytego wydaje się uzasadnione. Inną zaletą proponowanego podejścia jest zastąpienie jednego ciągu wielkości wielowymiarowych dwoma szeregami skalarnymi bez konieczności utraty części informacji zawartej w tym pierwszym. Istnieje jednak problem dotyczący doboru funkcji trendu dla szeregów skalarnych. Jego ilustrację może stanowić wykres zmienności pola pod wykresem funkcji przynależności otrzymanego dla ciągu wartości rozmytych odpowiadających kolejnym cyklom notowań dolara amerykańskiego (rys. 1). 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 0. 2. 4. 6. 8. 10. Rys. 1. Zmiany pola pod wykresem funkcji przynależności dla szeregu rzeczywistych wartości rozmytych odpowiadających kolejnym cyklom w notowaniach dolara amerykańskiego Źródło: opracowanie własne na podstawie http://www.bankier.pl.. Szereg taki można aproksymować za pomocą różnych odwzorowań. Dobór zależy oczywiście od konkretnego przypadku. W zaprezentowanym przykładzie związanym z wahaniami kursu dolara amerykańskiego jedną z możliwości jest zastosowanie wielomianu odpowiedniego stopnia. Wybór taki wydaje się uzasadniony przede wszystkim ze względu na charakter zmienności pola pod wykresem funkcji przynależności wartości rozmytych odpowiadających kolejnym cyklom notowań tej waluty. W badanym przypadku zastosowano aproksymację wykresu dla szeregu czasowego takich pól z wykorzystaniem wielomianu siódmego stopnia. Wybór stopnia był związany z liczebnością szeregu i stopień ten był o jeden mniejszy od liczby posiadanych obserwacji. W wyniku estymacji parametrów wielomianu otrzymano następującą zależność:.

(7) 193. Wykorzystanie pola pod wykresem funkcji…. p(t) = 3,278274412t7 – 109,7382331t6 + 1512,332191t5 – 11049,37811t4 + (14) + 45809,46229t3 – 106342,4645t2 + 125054,5777t – 54335,84461 Uzyskana dokładność dopasowania mierzona odchyleniem standardowym wartości teoretycznych od empirycznych wyniosła 0,073529. Wykres przedstawiony na rys. 2 umożliwia dodatkowe porównanie różnic pomiędzy wartościami pól pod wykresami funkcji przynależności wielkości rozmytych odpowiadających kolejnym cyklom notowań dolara amerykańskiego a odpowiadającymi im wynikami aproksymacji za pomocą wielomianu danego wzorem (14). 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Rys. 2. Rzeczywiste oraz wyznaczone za pomocą wielomianu (13) zmiany pola pod wykresem funkcji przynależności dla szeregu rzeczywistych nieujemnych wartości rozmytych odpowiadających kolejnym cyklom w notowaniach dolara amerykańskiego Źródło: opracowanie własne na podstawie http://www.bankier.pl.. Wielomian opisany wzorem (14) został także wykorzystany do wyznaczenia prognozy pola w kolejnym okresie i do porównania z rzeczywistą jego wartością. Wyniki okazały się jednak rozbieżne. Wartość prognozowana wyniosła 19 736,06, podczas gdy powinna wynieść 162,5852. Powodem tej sytuacji jest specyficzny charakter aproksymowanego szeregu. Można bowiem zauważyć, że pola pod wykresem funkcji przynależności wielkości rozmytych odpowiadających cyklom zmienności badanych zmiennych zachowują ten typ wahań. W ten sposób skalaryzacja szeregu danych rozmytych nie traci swojej podstawowej zawartości informacyjnej, o czym była już mowa we wcześniejszym fragmencie artykułu. Warto także zauważyć, że cykliczność szeregu pól zachowuje nieregularność tych zmian. Tym samym, choć jego aproksymacja nie stanowi problemu, wykorzystanie.

(8) 194. Jacek Wołoszyn, Paweł Wołoszyn, Wit Urban. otrzymanego w ten sposób odwzorowania do obliczania prognoz może budzić pewne wątpliwości. 600 500 400 300 200 100 0 0. 2. 4. 6. 8. 10. Rys. 3. Wykres wyznaczony przez minima lokalne pola pod wykresem funkcji przynależności dla szeregu rzeczywistych nieujemnych wartości rozmytych odpowiadających kolejnym cyklom w notowaniach dolara amerykańskiego Źródło: opracowanie własne na podstawie http://www.bankier.pl.. 2000. 1500. 1000. 500. 0 0. 2. 4. 6. 8. Rys. 4. Wykres wyznaczony przez maksima lokalne pola pod wykresem funkcji przynależności dla szeregu rzeczywistych nieujemnych wartości rozmytych odpowiadających kolejnym cyklom w notowaniach dolara amerykańskiego Źródło: opracowanie własne na podstawie http://www.bankier.pl.. Można rozwiązać te trudności na różne sposoby. Jedną z propozycji jest potraktowanie prognozowania jako pewnej niezależnej składowej procesu badania takich.

(9) Wykorzystanie pola pod wykresem funkcji…. 195. szeregów. Przy zastosowaniu takiego podejścia możemy poszukiwać formuł opisu badanych danych z różnych punktów widzenia i wyznaczać wartości prognozowane jako ich wypadkową. Przykładem takiego podejścia jest podzielenie rozważanego szeregu pól na osobne zbiory danych minimów i maksimów lokalnych. W każdym z nich wyróżnienie trendu jest już łatwiejsze, co prezentują wykresy na rys. 3 i 4. Do aproksymacji otrzymanych w ten sposób szeregów wykorzystano następnie funkcję opisaną wzorem: p(t) = e at + b.. (15). Po estymacji parametrów funkcji liniowej znajdującej się w liczniku funkcji wykładniczej uzyskano następujące postacie tego odwzorowania w odniesieniu do szeregów minimów i maksimów lokalnych: pmin(t) = e –0,09712t + 6,113023581. (16). pmax(t) = e –0,32821t + 7,878992.. (17). Ostatnim krokiem realizowanej procedury było obliczenie prognozowanych wartości dla każdego z tych szeregów. Otrzymano wielkości 137,7035 oraz 188,4766. Tym samym wyznaczono granice przedziału dla poszukiwanej wartości pola. W celu otrzymania z kolei prognozy punktowej wykorzystano średnią podanych liczb stanowiących końce tego przedziału. W celu weryfikacji poprawności takiego wyboru sprawdzono kształtowanie się odchyleń podobnie wyznaczonej średniej w stosunku do rzeczywistych wartości badanej zmiennej cyklicznej dla przeszłych okresów. Jeśli jest możliwe określenie tendencji w występujących odchyleniach, należy prognozę punktową zmodyfikować za pomocą przewidywanej na jej podstawie wielkości. W omawianym przykładzie nie udało się wyróżnić trendu ze względu na cykliczny charakter odchyleń średnich wartości obliczonych dla granic przedziałów wyznaczonych przez aproksymacje maksimów i minimów lokalnych od rzeczywistych wartości pól pod wykresem funkcji przynależności wartości rozmytych odpowiadających kolejnym cyklom notowań waluty amerykańskiej. Ilustracją tego faktu może być wykres na rys. 5. Dlatego też poprzestano na prognozie punktowej otrzymanej jako średnia granic przewidywanego przedziału, w którym znajduje się poszukiwana wartość pola pod wykresem funkcji przynależności, wynosząca 163,0901. Podobna procedura umożliwiła rozwiązanie problemu modelowania zmienności momentu cyklu, w którym kurs dolara amerykańskiego osiąga maksimum. Wykorzystane dane z przeszłości ilustruje wykres na rys. 6. Także i w tym przypadku dokonano podziału szeregu czasowego utworzonego z miejsc maksimów kolejnych cykli na dwa zbiory ekstremów lokalnych..

(10) 196. Jacek Wołoszyn, Paweł Wołoszyn, Wit Urban. 1200 1000 800 600 400 200 0 –200. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. –400 –600 –800. Rys. 5. Wykres odchyleń średnich wartości obliczonych dla granic przedziałów wyznaczonych przez aproksymacje maksimów i minimów lokalnych od rzeczywistych wartości pól pod wykresem funkcji przynależności wartości rozmytych odpowiadających kolejnym cyklom notowań waluty amerykańskiej Źródło: opracowanie własne na podstawie http://www.bankier.pl.. 30 25 20 15 10 5 0 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Rys. 6. Momenty czasu odpowiadające maksymalnym notowaniom dolara amerykańskiego w kolejnych badanych cyklach Źródło: opracowanie własne na podstawie http://www.bankier.pl..

(11) 197. Wykorzystanie pola pod wykresem funkcji…. 30 25 20 15 10 5 0 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Rys. 7. Wykres wyznaczony przez maksima lokalne szeregu utworzonego z miejsc maksimów badanych cykli notowań dolara amerykańskiego Źródło: opracowanie własne na podstawie http://www.bankier.pl.. 35 30 25 20 15 10 5 0 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Rys. 8. Wykres wyznaczony przez minima lokalne szeregu utworzonego z miejsc maksimów badanych cykli notowań dolara amerykańskiego Źródło: opracowanie własne na podstawie http://www.bankier.pl.. Każdy z tych zbiorów pozwolił na wyznaczenie, podobnie jak w przypadku pól, wykresów dla minimów oraz maksimów lokalnych, co pokazano na rys. 7 i 8. Do ich aproksymacji zostały jednak tym razem wykorzystane wielomiany..

(12) 198. Jacek Wołoszyn, Paweł Wołoszyn, Wit Urban. Tmin(t) = –0,2t2 + 6,4t – 9,4. (18). Tmax(t) = 0,466667t2 + 1,333333t + 0,2. (19). Posłużyły one do określenia prognozy przedziałowej 〈32; 50〉. Zgodnie z przyjętą procedurą przewidywany moment maksimum cyklu będącego przedmiotem prognozowania obliczono jako średnią granic podanego przedziału. Wyniosła ona 41. Także w tym przypadku analizie zostały poddane odchylenia podobnie wyznaczonej średniej od momentów maksimum w cyklach historycznych. W rezultacie otrzymano wykres prezentowany na rys. 9. Był on następnie aproksymowany za pomocą funkcji wielomianowej o postaci zgodnej ze wzorem: Todch(t) = 1,57E – 12t 7 – 4,9E – 11t6 + 6,35E – 10t5 – 4,3E – 09t4 + + 1,63E – 08t3 – 0,33333t2 + 2,533333t – 4,79998.. (20). Analityczna postać odwzorowania aproksymującego została wykorzystana do obliczenia przewidywanego odchylenia od otrzymanej prognozy miejsca maksimum cyklu notowań dolara amerykańskiego. Wielkość ta wyniosła –9. Tym samym ostateczna prognoza punktowa momentu, w którym badany cykl osiągnie swoje maksimum, przyjęła wartość 32, czyli tyle, ile powinna wynieść.. 1 0 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7. Rys. 9. Wykres odchyleń średnich wartości obliczonych dla granic przedziałów wyznaczonych przez aproksymacje maksimów i minimów lokalnych od miejsc maksimów kolejnych cykli notowań waluty amerykańskiej Źródło: opracowanie własne na podstawie http://www.bankier.pl.. 9.

(13) Wykorzystanie pola pod wykresem funkcji…. 199. 4. Wnioski Głównym celem przedstawienia procedury wykorzystującej zeskalaryzowany szereg danych rozmytych było nie wskazanie pewnego uporządkowanego oraz dokładnego algorytmu, ale zademonstrowanie, że metody aproksymacji wielowymiarowej procesów rzeczywistych stanowią pewną interesującą propozycję. Opiera się ona na podstawowej zasadzie traktowania każdego przypadku jako oddzielnego problemu badawczego. Na pewno można jednak stwierdzić, że przy takim podejściu opis procesów rzeczywistych, a zwłaszcza tych charakteryzujących się cyklicznością, może być realizowany z wykorzystaniem szeregów danych rozmytych. Wartości tego typu stanowią wygodną platformę zapewniania porównywalności różnych cykli w zakresie ich podstawowych parametrów takich jak czas trwania oraz miejsce maksimum. Teza artykułu o przydatności pola pod wykresem funkcji przynależności jako prostej i efektywnej metody skalaryzacji wartości rozmytych wydaje się uzasadniona. Literatura Chang W.K., Chow L.R., Chang S.K. [1983], Arithmetic Operations on Level Sets of Convex Fuzzy Numbers, Fuzzy Sets and Systems, Proceedings of IFAC Symposium on Fuzzy Information, Knowledge Representation, and Decision Analysis, Marseille, France, 19–21 July. Kaufmann A., Gupta M.M. [1985], Introduction to Fuzzy Arithmetic, Theory and Applications, Van Nostrand, New York. Klir G.J., Pan Y. [1998], Constrained Fuzzy Arithmetic: Basic Questions and Some Answers, „Soft Computing”, vol. 2, nr 2. Urban W. [2010], Modelowanie zmian cyklicznych przykładowych wielkości ekonomicznych za pomocą liniowych równań różnicowych w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych, Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie, Kraków, nr 814. Zadeh L.A. [1965], Fuzzy Sets, „Information and Control”, nr 8. Utilisation of the Area Below a Membership Function Chart in a Fuzzy Data Series Analysis The study concerns the methods of scalar analysis of multivariate fuzzy series with special consideration of fuzzy time series. Such data are particularly predestined to representation of processes having a cyclic nature. The article submits a proposal of using the area, located below a membership function chart for real fuzzy numbers, as a basis for scalarisation of fuzzy values. The method significantly prevents losing the information contained in them, what can be a consequence of application of univariate analysis methods rather than multivariate ones. An example of utilisation of the proposed approach in a selected real process has also been demonstrated. Key words: fuzzy sets, fuzzy arithmetic, cyclic processes..

(14)