Wykad 12

(1)

MECHANIKA 2

Wykład Nr 12

Zasady pracy i energii

(2)

Wektor pola sił możemy zapisać w postaci:

Prawa strona jest gradientem funkcji

Φ

, czyli

WEKTOR POLA SIŁ

(1)

(3)

POTENCJAŁ POLA SIŁ

Funkcję

nazywamy potencjałem

pola sił. Potencjał spełnia następujące zależności:

(

x

y

z

)

(

x

y

z

)

U

,

=

−

Φ

,

lub w postaci wektorowej

(4)

Miejsce geometryczne punktów, dla których

nazywamy

powierzchnią ekwipotencjalną.

POTENCJAŁ POLA SIŁ

Potencjałem pola sił

nazywamy skalarną

funkcję położenia

, której pochodne cząstkowe

względem odpowiednich kierunków są równe składowym

siły pola w tych kierunkach ze znakiem ujemnym.

Gradient tej funkcji jest równy sile pola ze znakiem (-).

(

x

y

z

)

U

,

(

x

y

z

)

const

U

,

=

(5)

SIŁA W POTENCJALNYM POLU SIŁ

Cechy siły potencjalnego pola sił :

a) Moduł siły jest równy

b) kierunek prostopadły do powierzchni ekwipotencjalnej,

c)

Siła

ma

zwrot

od

powierzchni

wyższego

(6)

Po zróżniczkowaniu pierwszego równania (z układu 3) względem y, drugiego względem x, otrzymamy:

(4)

WŁASNO

Ś

CI POTENCJALNEGO POLA SIŁ

Podobnie, różniczkując względem „przemiennych" kierunków układ równań (3), dochodzimy do następujących zależności:

Z (4) wynika, że:

(5)

(7)

Składowe siły pola muszą spełniać związki (6), ażeby pole sił było

polem potencjalnym. W postaci wektorowej:

(7)

Aby pole sił było polem potencjalnym, rotacja

wektora siły pola musi by

ć

równa zeru.

(8)

PRACA W POTENCJALNYM POLU SIŁ

Praca elementarna

(8)

W polu potencjalnym praca elementarna jest różniczką zupełną

pewnej funkcji skalarnej - potencjału pola sił - ze znakiem ujemnym.

Praca całkowita

W polu potencjalnym praca całkowita jest równa ró

ż

nicy

potencjałów w poło

ż

eniu pocz

ą

tkowym i ko

ń

cowym.

stąd

₍₁₀₎

(9)

CECHY POTENCJALNEGO POLA SIŁ

a) potencjał jest skalarną funkcją położenia

b) potencjał istnieje w polu, dla którego

c) w polu potencjalnym praca elementarna jest równa różniczce zupełnej potencjału ze znakiem ujemnym

e) praca w polu potencjalnym po dowolnej krzywej leżącej na powierzchni ekwipotencjalnej jest równa zeru.

d) praca całkowita w polu potencjalnym nie zależy od kształtu toru i równa się różnicy potencjałów

(10)

h) powierzchnie ekwipotencjonalne i linie sił tworzą układ ortogonalny,

i) siły pola są zwrócone od powierzchni wyższego potencjału do powierzchni niższego potencjału.

j) praca całkowita w polu potencjalnym po dowolnej linii zamkniętej jest równa zeru

(11)

PRACA W POLU SIŁ CI

ĘŻ

KO

Ś

CI

Rys. 4

Składowe sił pola grawitacyjnego Ziemi

Praca elementarna

Potencjał pola sił ciężkości ma postać:

(11)

(12)

Przyjmiemy, że na poziomie Ziemi (na której znajduje się położenie 2)

potencjał jest równy zeru. Wtedy praca całkowita wynosi :

(12)

Pracę

nazywamy energią potencjalną.

Jest to praca, jaką wykona pole sił ciężkości przy

przemieszczeniu masy m z wysokości h na powierzchnię

Ziemi.

mgh

U

=

(13)

oraz pracy i energii potencjalnej wynika że:

ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ

dU

A

=

−

δ

dE

A

=

δ

(13)

czyli

Jest to forma różniczkowa zasady zachowania energii mechanicznej. Z zasady pracy i energii kinetycznej

Całkując to równanie otrzymujemy

W polu potencjalnym suma energii kinetycznej i potencjalnej jest w każdym położeniu wielkością stalą.

W odniesieniu do poruszającego się punktu zasadę tę możemy przedstawić za pomocą wzoru

(14)

Przykład 1

A

B

υ

h

Z zasady zachowania energii mechanicznej

E

_A

= E

_B,

(E = E

_p

+ E

_k

)

(15)

Po gładkim torze porusza się

punkt materialny o masie m.

Rys. 5

Z zasady zachowania energii (15) wynika równość:

a stąd

(16)

(17)

Przykład 2

(16)

ZACHOWANIE PUNKTU W POLU SIŁ CI

ĘŻ

KO

Ś

CI

Największa wysokość z_max, którą osiągnie punkt materialny, otrzymamy v = 0, podstawiając do równania (17)

(18)

Wynika stąd, że:

a) na jednym i tym samym poziomie punkt ma tę samą prędkość (przy założeniu toru gładkiego),

b) maksymalny poziom, jaki osiągnie punkt materialny, wynosi z_max (18), c) punkt materialny przejdzie przez wszystkie „garby„ toru, nie większe

(17)

Narciarz o masie m wystartował z punktu A (rys. poniżej)

z prędkością początkową v

₀

. Wyznaczyć jego prędkość w

chwili, gdy znalazł się na dole zbocza (w punkcie C).

Współczynnik tarcia kinetycznego nart o śnieg w każdym

punkcie wynosił µ. Dane: s, h i α.

(18)

Ruch A–B

Rozwi

ą

zanie

Z zasady pracy i energii mechanicznej:

=

−B A

A

– praca siły tarcia

gdzie:

Zatem

:

(19)

Ruch B–C

_{Z zasady pracy i energii mechanicznej:}

=

−C B

A

–

praca

siły tarcia

gdzie:

Zatem

:

2

(20)

2 1

(21)

PRZYKŁAD 4

Z powierzchni ziemi wyrzucono pionowo w górę ciało z prędkością v₀ = 10 m/s. Na wysokości h = 3 m energia potencjalna tego ciała wynosiła U = 15 J. Ile wynosiła na tej wysokości jego energia kinetyczna (do obliczeń przyjąć: g = 10 m/s2_{)? Pominąć opory ośrodka.}

Z zasady zachowania energii:

(22)

Kamień o masie 2 kg został wyrzucony pionowo do góry z

prędkością początkową v

₀

= 10 m/s. Czy podczas lotu kamienia była

zachowana energia mechaniczna, jeżeli wiadomo, że kamień osiągnął

maksymalną wysokość równą 4 m? Przyjąć g = 9,81 m/s

2

.

PRZYKŁAD 5

Z zasady zachowania energii powinno wynikać:

Odp.: zasada zachowania energii nie była spełniona, ponieważ działały opory ośrodka.

(23)

Obciążnik o masie m

₁

porusza ciało o masie m

₂

. Współczynnik tarcia

między masą m

₂

a podłożem wynosi

µ

. Obliczyć, z jaką prędkością

obciążnik uderzy o podłogę, jeśli początkowo wisi na wysokości h i

jego prędkość początkowa jest równa v

₁

. Pominąć tarcie linki o

krążek i opory ośrodka.

(24)

(25)

Z zasady pracy i energii:

=

−2 1

A

– praca siły

tarcia T

₂

gdzie:

Podstawiając:

otrzymujemy:

(26)

Skrzynię o masie m ciągniemy po chropowatym podłożu siłą o

wartości F, nachyloną do poziomu pod kątem 30°. Obliczyć pracę

wykonaną

przy

przemieszczeniu

na

odległość

s

przez

siłę

wypadkową działającą na skrzynię. Narysować wszystkie siły.

Współczynnik tarcia skrzyni o podłoże wynosi µ. Znaleźć też

prędkość końcową skrzyni po czasie ∆t, jeżeli skrzynia ruszyła bez

prędkości początkowej.

Dane: m, F, α = 30°, s, µ, ∆t

Szukane: W, v

₁

(27)

Wypadkowa:

Rozwi

ą

zanie

– równanie równowagi, gdyż

ruch odbywa się tylko wzdłuż

osi x.

(28)

Praca siły wypadkowej:

(29)

Na końcu sznurka o długości l umieszczono kulkę o masie m.

Sznurek odchylono o kąt α. Oblicz pęd kulki w najniższym

położeniu.

Dane: m, l, α

Szukane: p

(30)

Ponieważ nie ma tutaj sił zewnętrznych, stosujemy zasadę

zachowania energii:

Rozwi

ą

zanie

Energię potencjalną liczymy względem położenia [2]:

(31)

(32)

RÓWNOWAGA

Równowagę punktu w polu ciężkości na gładkim torze

Punkt będzie w równowadze na krzywej gładkiej wtedy, gdy wypadkowa sił czynnych będzie prostopadła do tej krzywej.

(19)

Rozróżniamy:

równowagę stałą

, która zachodzi w położeniu, w którym wychylony z

położenie równowagi punkt materialny będzie się poruszał w pobliżu tego położenia równowagi,

równowagę chwiejną

, która zachodzi w ,położeniu, w którym nawet

dowolnie m prędkość udzielona punktowi materialnemu oddala go na stałe od tego położenia równowagi,

równowagę obojętną

, zachodzącą w położeniu, gdzie punkt materialny

wychylony ze swego położenia równowagi natrafia w pobliżu na nowe położenie równowagi.