04 październik 2005

4 pa¹dziernika 2005 1. Nie h

B

= {p ∈ R

2

_{| |p − (0, 0)| < 1}}

,

K

= {p ∈ R

2

_{| |p − (0, 0)| ≤ 1}}

.

(a) Czy zbiory

B, K

s¡ otwarte? (b) Czy zbiory

B, K

s¡ ograni zone?

( ) Wyzna zy¢ wntrze zbiorów

B

i

K

. (d) Wyzna zy¢ brzeg zbiorów

B

i

K

. 2. Nie h

A

= {(x, y) ∈ R

2

_{| 2x ≤ x}

2

_{+ y}

2

_{≤ 4x}}

. Zbada¢, zy

A

jest zbiorem otwartym, domknitym,ograni zonym. 3. Wyzna zy¢

f

(1,

y

x

)

, je»eli

f

((x, y)) =

2xy

x

2

_{+ y}

2

.

4. Wyzna zy¢

f

(x)

dla

x >

0

, je»eli

f



y

x



=

px

2

_{+ y}

2

x

.

5. Nie h

A

bdzie trójk¡tem o wierz hoªka h w punkta h

(0, 0)

,

(0, 1)

i

(1, 0)

. Wyzna zy¢ najmniejsz¡ i najwiksz¡ warto±¢ funk ji

F

: R

2

_{→ R}

danej wzorem

F

((x, y)) =

1

4

x

− x

2

_y

nazbiorze

A

.

6. Nie h

A

bdzie kwadratemo wierz hoªka h wpunkta h

(0, 0)

,

(0, 1)

,

(1, 0)

i

(1, 1)

. W yzna- zy¢ najmniejsz¡ i najwiksz¡ warto±¢ funk ji

F

: R

2

_{→ R}

danej wzorem

F

((x, y)) = x

2

_{− xy}

nazbiorze

A

. 7. Nie h

S

= {p ∈ R

2

_{| |p − (0, 0)| = 1}}

i

F

: R

2

_{→ R}

bdziedana wzorem

F

((x, y)) = x

2

+ xy.

Wyzna zy¢ najwiksz¡ i najmniejsz¡ warto±¢ funk ji

F

nazbiorze

S

. 8. Zbada¢, zypodaneni»ej i¡giw

R

2

s¡zbie»ne. Je»eli dany i¡g jestzbie»ny, towyzna zy¢

(a)

(

1

n

,

(−1)

n

₎

; (b)

(

n−1

n

,

1

n

sin n)

; ( )

(2, cos

1

n

)

; (d)

(n,

n−1

2n

)

; (e)

(arcsin

n

2

−1

n

2

₊₁

,

sin

π(n

2

₊₁₎

2n

)

. 9. Zbada¢istnieniegrani y funk ji:

f

(x, y) =

xy

x

2

_{+ y}

2

wpunk ie

(0, 0)

.

10. Zbada¢istnieniegrani y funk ji:

f(x, y) =



xy

x−y

dla

x

6= y;

0

dla

x

= 0.

wpunk ie

(0, 0)

.

11. Zbada¢istnieniegrani y funk ji:

f

(x, y) =

x

2

_y

x

2

_{+ y}

2

wpunk ie

(0, 0)

.

12. Zbada¢istnieniegrani y funk ji:

f

(x, y) =



_sin(xy)

x

dla

x

6= 0;

0

dla

x

= 0.

wpunk ie

(0, 0)

.

13. Zbada¢istnieniegrani :

(a)

lim

(x,y)→(0,0)

x+y

x

; (b)

lim

(x,y)→(0,0)

e

−

√

1

x2+y2

√

x

2

_+y

2

; ( )

lim

(x,y)→(0,0)

(xy)

2

x

2

_+y

2

; (d)

lim

(x,y)→(0,0)

x

2

x

2

_+y

2

; (e)

lim

(x,y)→(0,0)

x

3

x

2

_+y

2

; (f)

lim

(x,y)→(0,0)

2x

2

_+y

2

x

2

_+y

2

; (g)

lim

(x,y)→(0,0)

sin(x

3

+y

3

)

x

2

_+y

2

; (h)

lim

(x,y)→(0,0)

e

x

2

+y

2

−1

x

2

_+y

2

;

(i)

lim

(x,y)→(0,0)

√

9+x

2

_+y

2

−3

x

2

_+y

2

; (j)

lim

(x,y)→(0,0)

xy

2

x

2

_+y

4

;

(k)

lim

(x,y)→(1,0)

sin

x

2

_+y

π

2

; (l)

lim

(x,y)→(2,0)

sin(xy

2

)

y

2

+(x−2)

2

; (m)

lim

(x,y)→(0,0)

x

2

_+y

1

2

e

−

_{x2 +y2}

1

; (n)

lim

(x,y)→(0,0)

x

2

1

−y

2

e

−

1

x

2

−y

2

; (o)

lim

(x,y)→(0,0)

x

2

1

−y

2

e

−

_{x2 +y2}

1

; (p)

lim

(x,y)→(0,0)

x

2

_+y

1

2

e

−

1

x

2

−y

2

; (q)

lim

(x,y)→(0,0)

x

8

_+y

1

8

e

−

_{x2 +y2}

1

.

14. Zbada¢istnieniegrani :

(a)

lim

(x,y)→(0,0)

x

3

2x

2

_+y

4

; (b)

lim

(x,y)→(0,0)

sin

x

2

_+y

1

2

; ( )

lim

(x,y)→(0,0)

y

3

x

4

_+sin

2

_y

; (d)

lim

(x,y)→(0,0)

(1 + x

2

+ y

2

)

1

x2+y2

; (e)

lim

(x,y)→(0,0)

x

3

_+y

2x

2

_+y

4

; (f)

lim

(x,y)→(0,0)

(x · sin

x

2

_+y

1

2

)

; (g)

lim

(x,y)→(0,0)

sin(x

4

_+y

4

₎

x

2

_+y

2

; (h)

lim

(x,y)→(0,0)

(1 + x

4

y

4

)

1

x2+y2

; (i)

lim

(x,y)→(0,0)

1−cos(x

2

_+y

2

₎

(x

2

_+y

2

₎

2

; (j)

lim

(x,y)→(0,0)

1−cos(x

2

_+y

2

₎

x

2

_(x

2

_+y

2

₎

; (k)

lim

(x,y)→(0,0)

3x

2

xy

_+2y

; (l)

lim

(x,y)→(+∞,+∞)

x

2

x+y

−xy+y

2

.

15. Sprawdzi¢, »e dla funk ji

f

(x, y) =

x

− y

x

+ y

istniej¡ grani eiterowane

lim

x→0



lim

y→0

f

(x, y)



= 1

i

lim

y→0



lim

x→0

f

(x, y)



= −1,

alenieistnieje grani a

lim

(x,y)→(0,0)

f

(x, y).

16. Sprawdzi¢, »e dla funk ji

f

(x, y) =

x

2

_y

2

x

2

_y

2

_{+ (x − y)}

2

istniej¡ grani eiterowane

lim

x→0



lim

y→0

f

(x, y)



= lim

y→0



lim

x→0

f

(x, y)



= 0,

alenieistnieje grani a

lim

f

(x, y) = (x + y) sin

1

x

sin

1

y

nieistniej¡ grani eiterowane

lim

x→0



lim

y→0

f

(x, y)



i

lim

y→0



lim

x→0

f

(x, y)



,

ale

lim

(x,y)→(0,0)

f

(x, y) = 0.

18.

(⋆)

Pokaza¢, »e je»eli

lim

(x,y)→(a,b)

f

(x, y) = g

oraz istnieje grani aiterowana

lim

x→a



lim

y→b

f(x, y)



,

tojest ona równa

g

.

19. Pokaza¢, »e je»eligrani eiterowane funk ji

f

w punk ie

(a, b)

s¡ ró»ne, tj.

lim

x→a



lim

y→b

f

(x, y)



6= lim

y→b



lim

x→a

f

(x, y)



,

tonieistnieje grani a

lim

(x,y)→(a,b)

f

(x, y).