Rozwiązywanie zagadnienia początkowego równania quasiliniowego o dwóch zmiennych niezależnych

(1)

Rozwiązywanie zagadnienia

początkowego równania

quasiliniowego o dwóch

zmiennych niezależnych

Autorzy:

Vsevolod Vladimirov

2019

(2)

(1)

(2)

(3)

(4) (5)

Rozwiązywanie zagadnienia początkowego równania quasiliniowego o dwóch zmiennych niezależnych

Autor: Vsevolod Vladimirov

Zanim przejdziemy do konkretnych przykładów, przypomnijmy sobie, że rozwiazanie ogólne równania

opisuje rodzinę powierzchni wektorowych pola (zob. moduł ) lub, innymi słowy, rodzinę powierzchni gładkich, do których pole jest styczne w każdym punkcie. Powierzchnie te są utkane z krzywych całkowych stowarzyszonego z równaniem układu dynamicznego

Konkretna powierzchnia będzie zadana w sposób jednoznaczny, jeżeli wskazana będzie gładka krzywa przestrzenna, w całości należąca do tej powierzchni. Ponieważ krzywa w jest miejscem geometrycznym przecięcia się pary powierzchni, można ją zadać podając parę równań

opisujących te krzywą. Procedura znalezienia powierzchni całkowej pola , przechodzacej przez krzywą zadaną układem ( 3 ), polega na wspólnym rozwiązaniu układu

Drugą parę równań tego układu stanowią równania niezależnych charakterystyk, spełniających układ

Techniczne znalezienie powierzchni, przechodzącej przez linię zadaną równaniami, polega na wykluczeniu współrzędnych z układu ( 4 ),( 5 ). Daje to w efekcie funkcję, wiążącą stałe i .

P(x, y, z) + Q(x, y, z) = R(x, y, z)

z

x

z

y

= (P, Q, R)

F⃗

= P(x, y, z),

= Q(x, y, z),

= R(x, y, z).

d x d t d yd t d zd t

R

3

(x, y, z) = 0,

Φ

1

Φ

2

F⃗

(x, y, z) = 0,

Φ

1

Φ

2

(x, y, z) = ,

ψ

1

_C

₂

_ψ

2

_C

₂

=

.

d x P d yQ d zR

(x, y, z)

C

1

C

2

(3)

ZADANIE

Zadanie 1:

Treść zadania: Treść zadania:

Znaleźć powierzchnię całkową równania

przechodzącą przez linię

Rozwiązanie: Rozwiązanie:

1. Zapisujemy równania charakterystyk

i znajdujemy dwa niezależne rozwiązania:

2. Zapisujemy wspólny układ:

Z drugiego i trzeciego równania otrzymujemy . Z pierwszego i czwartego równania otrzymujemy równość . Będą one spełnione jednocześnie gdy . I to jest właśnie równanie poszukiwanej powierzchni, które, w postaci jawnej, przybiera postać

3. Przekonujemy się, że przy powyższy wzór przekształca się w warunek , zatem znaleziona powierzchnia rzeczywiscie przechodzi przez linię .

Spełnienie równania wyjściowego przez dowolną funkcję postaci jest równie proste do pokazania:

ZADANIE

Zadanie 2:

Treść zadania: Treść zadania:

Znaleźć powierzchnię całkową równania przechodzącą przez linię

x + 2 y = 0,

z

x

z

y

y = 1,

z = .

x

2

=

.

d x x d y2 y d z0

: z = ,

:

= .

ψ

1

_C

₁

_ψ

2 x2 y

C

2

z =

C

1

,

x

= ,

2

y

C

2

y = 1,

z = .

x

2

=

x

2

_C

₂

=

x

2

_C

₁

_C

₁

₌

_C

₂

z = .

x2 y

y = 1

z = x

2

y = 1, z = x

2

z = Φ( /y),

x

2

(x + 2 y ) Φ( /y) = ( /y) (x ⋅ 2 x/y + 2 y ⋅ (− / )) = 0.

∂

x

∂

y

x

2

Φ

′

x

2

x

2

y

2

x − y = 1,

z

y

z

x

z = 1,

x

2

+ = 4.

_y

2

(4)

Rozwiązanie: Rozwiązanie:

1. Zapisujemy równania charakterystyk

Przyrównując do siebie pierwsze i drugie wyrażenie, rozdzielając zmienne, a następnie całkując, otrzymujemy charakterystykę

Rozpatrzmy teraz równanie

W takiej postaci nie jest to równanie o zmiennych rozdzielonych. Możemy jednak przedstawić znalezioną całkę pierwszą w postaci

i potraktować zmienną jako funkcję . W ten sposób uzyskujemy następujące równanie o zmiennych rozdzielonych:

Dokonując zamiany zmiennej , a następnie całkując, uzyskamy drugą charakterystykę:

2. Zapisując układ czterech równań

widzimy, że czwarte równanie pokrywa się z pierwszym, przy , zatem z układu tego nie da się wyeliminować zmiennych .

3. Na końcu chcielibysmy się przekonać, czy funkcja

spełnia równanie wyjściowe. Rozdzielimy to zadanie na dwa. Najpierw pokażemy, że funkcja spełnia równanie jednorodne:

Dalej, działając operatorem stojącym po lewej stronie na pierwszą funkcję, otrzymamy:

zatem równanie wyjściowe jest spelnione.

=

.

d x −y d yx d z1

:

+ = .

ψ

1

_x

2

_y

2

_C

₁

=

.

d y x d z1

y =

√

C

−

−−−−

1

−

x

−

2

,

x,

y

= dz.

d y C1 √ 1−[ y ] C1 √ 2  ⎷  

τ = y/ C

√

−−

1

: z − arcsin

= .

ψ

2 y + x2 _y2 √

C

2

+ = ,

z − arcsin

= ,

x

2

_y

2

_C

₁

y

+

x

2

_y

2

−

−−−−

−

√

C

2

z = 1,

x

2

+ = 4

_y

2

= 4

C

1

x, y, z

z = arcsin

_√_x2y₊_y2

+ Φ( + )

x

2

y

2

Φ( + )

x

2

_y

2

(x − y ) Φ( + ) = ( + ) [x ⋅ 2 y − y ⋅ 2 x] = 0.

∂

y

∂

x

2

y

2

Φ

′

x

2

y

2

(x − y ) arcsin

∂

y

∂

x

y

₊

= x

−

x

2

_y

2

−

−−−−

−

√

+

x

2

_y

2

−

−−−−

−

√

x

+ −

2

_y

2

_y

2

( + )

x

2

_y

2

_√

−

_x

−−−−

2

₊

_y

−

2

−y

√

−

x

−−−−

2

_x

+

y

−

2

−xy

= 1,

( + )

x

2

_y

2

_√

_x

−

−−−−

2

₊

_y

−

2

(5)

UWAGA

Uwaga 1:

Powyższy przykład pokazuje w jaki sposób można źle postawić warunki brzegowe. W dobrze postawionym zagadnieniu brzegowym żadna z funkcji układu ( 3 ) nie może się pokrywać z charakterystyką.nie może się pokrywać z charakterystyką.

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 07:27:28

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=d7829fa1f4543984bef246e6dd668649