Zestaw 1-2020

1 Zadanie 1.1

Zmienna losowa X ma rozkład N(1; 3). Obliczyć: a) P(0,5 < X < 1,5)

b) P(0,5 < X₂₅ < 1,5) c) P(0,5 < X₃₆ < 1,5) d) P(0 < X₃₆ < 2) e) P(-0,5 < X₃₆ < 2,5)

Otrzymane wyniki zinterpretować na wykresie gęstości.

(odp. a) 0,14; b) 0,594)

Zadanie 1.1-2

Zmienna losowa X ma rozkład N(m; ). a) m = -1,  = 5; oblicz P(0 < X₁₆ < 2) b) m = -1,  = 8; oblicz P(-1 < X₂₅ < 4) c) m = -2,  = 5; oblicz P(-3 <

X

₄) d) m = -2,  = 8; oblicz P(-4 < X₉ ) e) m = -3, 2 = 4; oblicz P(

X

₄ < -2) f) m = -3, 2 = 9; oblicz P(X₁₆ < -2) g) m = 2, 2 = 4; oblicz P(1 < X₉ < 3) h) m = 2, 2 = 9; oblicz P(1 <

X

₄ < 3) i) m = 3, 2 = 16; oblicz P(2 < X₉ < 4) j) m = 3, 2 = 36; oblicz P(2 < X₃₆ < 4)

Otrzymane wyniki zinterpretować na wykresie gęstości.

(odp. a) 0,2; b) 0,5; c) 0,66; d) 0,77; e) 0,84; f) 0,91;g) 0,87; h) 0,5; i) 0,55; j) 0,68)

Zadanie 1.2

Zmienna losowa X ma rozkład N(m; 4). Obliczyć: a) P(S₆2 > 20), b) P(S₆2 < 10), c) P(

S

ˆ

₆2 > 10), d) P(

S

₄₂2 > 20), e) P(

S

₄₂2 < 16), f) P(

S

₄₂ > 4), g) P(8 < S₆2 < 16), h) P(

S

ˆ

₆2 < 10), (odp. a) 0,18; b) 0,4; c) 0,68; d) 0,1; e) 0,57; f) 0,42; g) 0,39; h) 0,32)

2 Zadanie 1.2-2

Zmienna losowa X ma rozkład N(m; ). a)  = 5; oblicz P(20 < S₁₆2 ) b)  = 8; oblicz P(S₂₅2 < 50) c)  = 5; oblicz P(10 <

S

₄2) d)  = 8; oblicz P(S₉2 < 30) e) 2 = 4; oblicz P(2 <

S

₄2 < 6) f) 2 = 9; oblicz P(5 < S₁₆2 < 10) g) 2 = 4; oblicz P(S₉2 < 3) h) 2 = 9; oblicz P(5 <

S

₄2) i) 2 = 16; oblicz P(2 < S₉2 < 8) j) 2 = 36; oblicz P(S₆₂2 < 40) k)  = 7; oblicz P(40 < S₈₆2 ) l)  = 8; oblicz P(S₆₂2 < 50) m)  = 8; oblicz P(60 < S₈₆2 )

Otrzymane wyniki zinterpretować na wykresie gęstości.

(odp. a) 0,62; b) 0,28; c) 0,66; d) 0,16; e) 0,46; f) 0,61;g) 0,44; h) 0,53; i) 0,19; j) 0,77, k) 0,88, l) 0,12, m) 0,61)

Zadanie 1.3

Zmienna losowa X ma rozkład N(2; 3). Obliczyć: P(S₁₆02 > 18),

P(S₉0 < 4)

(odp. a) 0,01; b) 0,93) Zadanie 1.4

Zmienna losowa X ma rozkład N(– 1; ). Wiadomo, że S₂₆2 = 16. a) Obliczyć: P(X₂₆ > 1)

b) Obliczyć: P(X₂₆ < 0) c) Obliczyć: P(|X₂₆| < 2)

(odp.a) 0,01 b) 0,89; c) 0,89)

Zadanie 1.4-2

Zmienna losowa X ma rozkład N(m; ). a) m = -1, S₁₇ = 5; oblicz P(0 < X₁₇ < 2) b) m = -1, S₂₆ = 8; oblicz P(-1 < X₂₆ < 4) c) m = -2, S₅ = 5; oblicz P(-3 < X₅) d) m = -2, S₁₀ = 8; oblicz P(-4 < X₁₀ )

3 e) m = -3, S₅ = 4; oblicz P(X₅ < -2) f) m = -3, S₁₇2 = 9; oblicz P(X₁₇ < -2) g) m = 2, S₁₀2 = 4; oblicz P(1 < X₁₀ < 3) h) m = 2, S₅2 = 9; oblicz P(1 < X₅ < 3) i) m = 3, S₁₀2 = 16; oblicz P(2 < X₁₀ < 4) j) m = 3, S₃₇2 = 36; oblicz P(2 < X₃₇ < 4)

Otrzymane wyniki zinterpretować na wykresie gęstości.

(odp. a) 0,21; b) 0,5; c) 0,62; d) 0,75; e) 0,77; f) 0,89;g) 0,8; h) 0,4; i) 0,5; j) 0,67)

Zadanie 1.5

Wielkość dobowego zbytu pewnego wyrobu firmy A ma (na podstawie wieloletnich obserwacji) w przybliżeniu rozkład normalny o wartości średniej 500 szt. i odchyleniu standardowym 100 szt. Rentowność produkcji jest zapewniona gdy dobowy zbyt wynosi co najmniej 400 szt.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że dobowa produkcja firmy jest rentowna?

b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że tygodniowa produkcja (średnia z 5 dni) firmy jest rentowna? (odp. a) P(X 400)(1)0,8413, b) P(X₅ 400)(2,24)0,9875). Zadanie 1.6

Zakładamy, że X – N(100, 5), Y – N(102, 4) są niezal. a) Oblicz P(X25 Y16),

a) Oblicz P(|X₂₅  Y₁₆ |2),

(odp. a) około 0,92; b) około 0,5) Zadanie 1.7 Zakładamy, że X – N(m1, 5), Y – N(m2, 4). Wyznacz k aby 0,05 ) ( ) ( 2 10 2 16           k Y S X S P (odp. około 4,9) Zadanie 1.8

Badana cecha X ma rozkład Poissona. Sprawdzić, że średnia z próby jest estymatorem zgodnym, nieobciążonym i najefektywniejszym parametru .

Zadanie 1.9

Badana cecha X ma rozkład zerojedynkowy. Sprawdzić, że średnia liczba sukcesów jest estymatorem zgodnym, nieobciążonym i najefektywniejszym parametru p.

Zadanie 1.10a

Badana cecha X ma rozkład dwumianowy. k N k

q

p

k

N

k

X

P

_















 )

(

N – dane.

Sprawdzić, że statystyka

N

X _{jest estymatorem zgodnym, nieobciążonym i najefektywniejszym}

4 Zadanie 1.10b

Badana cecha X ma rozkład wykładniczy.















0

dla

0

0

dla

)

(

x

x

ae

x

f

ax (a > 0) Sprawdzić, że statystyka X jest estymatorem zgodnym, nieobciążonym i najefektywniejszym parametru

a

1_.

Zadanie 1.11

Badana cecha X ma rozkład N(m, ). Zakładamy, że  jest znane. Metodą największej wiarygodności wyznaczyć estymator parametru m.

(odp. średnia ).

Zadanie 1.12

Badana cecha X ma rozkład N(m, ). Zakładamy, że m jest znane. Metodą największej wiarygodności wyznaczyć estymator parametru 2.

(odp. S02).

Zadanie 1.13

Badana cecha X ma rozkład dwumianowy. k N k

q

p

k

N

k

X

P

_















 )

(

N – dane.

Metodą największej wiarygodności wyznaczyć estymator parametru p.

(odp. średnia liczba sukcesów/N). Zadanie 1.14

Badana cecha X ma rozkład wykładniczy.















0

dla

0

0

dla

)

(

x

x

ae

x

f

ax (a > 0)

Metodą największej wiarygodności wyznaczyć estymator parametru a.

(odp. odwrotność średniej).

Zadanie 1.14a

Badana cecha X ma rozkład o gęstości.

       x x ax x f a innnych dla 0 1 0 dla ) ( 1 (a > 0) Mamy próbę 0,4; 0,7; 0,9.

(a) Metodą momentów wyznaczyć estymator parametru a.

(b) Metodą największej wiarygodności wyznaczyć estymator parametru a.

(odp. (a) 2; (b) ok. 2,18)

Zadanie 1.14b

Badana cecha X ma rozkład geometryczny.

k

pq

k

X

P

(

 )



k = 0, 1, 2, …..0 < p < 1 q = 1 - p

5 Badana cecha X ma rozkład o gęstości f(x).

Metodą największej wiarygodności wyznaczyć estymator parametru a. a)































3

dla

0

3

dla

3

3

)

(

1

x

x

x

a

x

f

a (a > 0) odp. 3 ln ln 1 n X n n i i



 . b)



















0

dla

0

0

dla

2

)

(

2

x

x

axe

x

f

ax (a > 0) odp.



 n i i

X

n

1 2 . c)



















0

dla

0

0

dla

2

)

(

2 3

x

x

e

x

a

x

f

ax (a > 0) odp.



 n i i

X

n

1

3

. d)













 

1

dla

0

1

dla

)

(

1

x

x

ax

x

f

a (a > 0) odp.



 n i i X n 1 ln . e)

















 

1

dla

0

1

dla

2

)

(

2 2 ) 1 (

x

x

e

a

x

f

a x



_{(a > 0)} odp.











n i i

X

n

1 2

1

2

.

6 f) 2

2

)

(

x



a

e

a x

f

_{(a > 0)} odp.







n i i

X

n

1

2

. Zadanie 1.16

Badana cecha X ma rozkład o gęstości f(x).

Metodą momentów wyznaczyć estymator parametru a. a)

















 

1

dla

0

1

dla

2

)

(

2 2 ) 1 (

x

x

e

a

x

f

a x



(a > 0) odp.  n X _. b)



















0

dla

0

0

dla

2

)

(

2 3

x

x

e

x

a

x

f

ax (a > 0) odp. n

X

3

. c)













 

1

dla

0

1

dla

)

(

1

x

x

ax

x

f

a (a > 0) odp.

1



n n

X

X

. d)



















0

dla

0

0

dla

4

)

(

2 2 2 3

x

x

e

x

a

x

f

x a



_{(a > 0)} odp. n X  2 _.

7 1 0

!

  





n ax n

a

n

dx

e

x

(a > 0) 1 0 1 2

2

!

2    





n ax n

a

n

dx

e

x





2 1 1 0 2

2

!

!

1

2

2    







n n ax n

a

n

dx

e

x



18.11.20