Zadanie 1. Niech E(x) := ( maksymalna liczba caªkowita ≤ x). Narysowa¢ wy- kresy funkcji

FAQ ANALIZA R

Liczby rzeczywiste, ciagi

Zadanie 1. Niech E(x) := ( maksymalna liczba caªkowita ≤ x). Narysowa¢ wy- kresy funkcji

R 3 x 7→ E(x) ∈ R oraz

R 3 x 7→ E(x) − 3E( x 3 ) ∈ R.

Wyprowadzi¢ wzory:

(a) 0 ≤ E(x + y) − E(x) − E(y) ≤ 1 (b) E(

_n¹

E(nx)) = E(x) dla n ∈ N;

(c) P

ⁿ⁻¹k=0

E(x +

_n^k

) = E(nx) ;

(d) P

^Nn=1

E(

₂^xn

+

¹₂

) = E(x) , je±li liczba N ∈ N jest dostatecznie du»a.

Zadanie 2. Niech n ∈ N. Wykaza¢, »e je±li a

1

< a

2

< · · · < a

n

, b

1

< b

2

<

· · · < b

n

, oraz ci¡g (b

⁰1

, . . . , b

⁰_n

) ró»ni si¦ od ci¡gu (b

1

, . . . , b

n

) jedynie kolejno±ci¡, to P

n

k=1

a

k

b

k

> P

n

k=1

a

k

b

⁰_k

.

Zadanie 3. Jaki warunek musz¡ speªnia¢ liczby a, b ∈ R, aby

∀x ∈ ]0, 1] : ∃k ∈ N : a ≤ kx < b?

Sprawdzi¢ a :=

_b+1^b2

, b ∈ N.

Zadanie 4. Która z dwu liczb jest wi¦ksza:

¹⁰⁰⁰⁰

√

10001 , czy

⁹⁹⁹⁹

√ 10000 ? Zadanie 5. Niech n ∈ N oraz dane dodatnie x

1

, . . . , x

n

; dla λ ≥ 0 oznaczmy:

M

λ

(x

1

, . . . , x

n

) := p

ⁿ

(λ + x

1

) · · · (λ + x

n

) − λ;

niech ponadto

A := A(x

1

, . . . , x

n

) := 1

n (x

1

+ · · · + x

n

), G := G(x

1

, . . . , x

n

) := √

ⁿ

x

1

· · · x

n

. Wykaza¢, »e:

(a) G ≤ M

λ

≤ A dla λ ≥ 0;

(b) M

λ

(x

1

, . . . , x

n

) jest niemalej¡c¡ funkcj¡ λ;

(c) lim

λ→∞

M

_λ

(x

₁

, . . . , x

_n

) = A .

Data: 15 pa¹dziernika 2016 r.

1

2 FAQ ANALIZA R (a) Dla 1 ≤ k ≤ n nierówno±¢ Cauchy'ego daje_n

k

 G^k ≤ P

i1<···<ikx_i1· · · x_ik; (b) Zauwa»y¢, »e z 0 ≤ λ < µwynika Mµ(x1, . . . , xn) − M_λ(x1, . . . , xn) = M_µ−λ(y1, . . . , yn) − G(y1, . . . , yn), gdzie yk= λ + x_k; (c) M − λ =(λ+x1)···(λ+xn)−λn

P λn−1−k Gk λ

, gdzie Gλ:= G(λ + x1, . . . , λ + xn).

Zadanie 6. Znale¹¢ liczb¦ l ∈ R oraz funkcj¦ h : ]0, ∞[ → N takie, »e ∀ > 0 :

∀n > h() : |x

_n

− l| <  , je»eli ci¡g (x

n

) jest okre±lony wzorem:

(a) x

n

:=

¹⁰⁰_n

E(

₁₀₀ⁿ

) ; (b) x

n

:= √

n

²

+ 3n − n ; (c) x

n

:= √

ⁿ

n + 100 ; (d) x

n

:= sin π √

n

²

+ 1
.

Zadanie 7. Wykaza¢, »e:

(a) lim(

¹⁰⁰

√

n

¹⁰⁰

+ n

⁹⁹

− n) =

₁₀₀¹

; (b) lim n n + 4 √

n

²

+ n − 2 √

n

²

− n − 3 √

n

²

+ 2n
=

⁵₄

; (c) lim n(2 √

n

²

− n + 2 − 3 √

n

²

+ 1 + √

n

²

+ 2n) = −

¹₄

; (d) lim q

n

²

+ p n

³

+ √

n

⁵

− p n

²

+ √

n

³



=

¹₄

; (e) lim 

p(n + 2)(n + 4)(n + 5) −

3

pn(n + 1)(n + 3)

³



=

⁷₃

; (f) lim n

²



1 +

_n^p

q

− 1 +

^q_n

p

 =

¹₂

pq(q − p) dla p, q ∈ N;

(g) lim  p n + √

n − p n − √

n 

= 1 ; (h) lim √

ⁿ

5a

²ⁿ

+ 4a

ⁿ

+ 3 = max{1, a

²

} dla a ∈ R;

(i) lim(n

⁷

+ 7)

⁻⁷

p(n + 2)

¹⁰⁰

− n

¹⁰⁰

− 200n

⁹⁹

= 30 √ 22 ; (j) lim p(3 + x)

^{n n}

+ (1 − x)

ⁿ

= 2 + |1 + x| dla x ∈ R;

(k) lim

^p1a_pⁿ⁺¹¹_1a^{n+···+pran+1r}

1+···+praⁿ_r

= max{a

₁

, . . . , a

_r

} oraz lim pp

ⁿ ₁

a

ⁿ₁

+ · · · + p

_r

a

ⁿ_r

= max{a

₁

, . . . , a

_r

} , je±li r ∈ N i liczby p

i

, a

i

s¡ dodatnie;

(l) lim 

1

n√

2−1

−

n√² 4−1



=

¹₂

; (m) lim 2

⁻ⁿ

1 +

_n¹

1 +

_n²

. . . 1 +

ⁿ_n

= 0;

(n) lim

_n¹

1 +

_n¹

1 +

_n²

. . . 1 +

ⁿ_n

= +∞;

(o) lim

²ⁿ⁻¹_2n+1

·

²ⁿ⁻²_2n+2

. . .

_3nⁿ

= 0 ; (p) lim n[(n + 1)

¹⁰⁰¹

− n

¹⁰⁰¹

] = +∞ ; (q) lim 

√ 1

n²−n+1

+

^{√ 1}

n²−n+2

+ · · · +

^{√ 1}

n²+n



= 2 ; (r) lim 

n²+1

n³+1

+

ⁿ_n²3⁺²+2

+ · · · +

ⁿ_n²3⁺ⁿ+n



= 1 ;

(s) lim

²₂³3⁻¹+1

·

³₃³3⁻¹+1

· · · · ·

ⁿ_n³3⁻¹+1

=

²₃

;

FAQ ANALIZA R 3

(t) lim √

ⁿ

1

⁴

+ 2

⁴

+ · · · + n

⁴

= 1 ; (u) lim

_nⁿ⁺²2−3

P

n k=1

√

n

k

²

− 2 = 1 .

(h),(j),(k),(o),(q),(r),(t),(u) Wykorzysta¢ twierdzenie o trzech ci¡gach; (m),(n) Obliczy¢ limx_n+1

x_n ; (s) Upro-

±ci¢ wzór na xn. 16. Ci¡g (ⁿ√

n + 100)jest malej¡cy (nierówno±¢ Bernoulliego). Oszacowa¢ ^m√

njako ±redni¡

geometryczn¡ m liczb n, 1, . . . , 1.

Zadanie 8. Zbada¢ ograniczono±¢ i wyznaczy¢ kresy zbioru: { √

ⁿ

n + 100 : n ∈ N};

{

_x2^x+1

: x ∈ R}; {2

^x

+ 2

^1−x

: x ∈ R}; {

2ⁿⁿ²

: n ∈ N}; {

¹⁰⁰⁰_n!ⁿ

: n ∈ N};

{ √

n − E( √

n − 1) : n ∈ N}; {

n(m+n)^m

: m, n ∈ N}; {

^m√1_n

+

n√¹

m

: m, n ∈ N}.

Zadanie 9. Wyznaczy¢ kresy zbioru {x

n

: n ∈ N}, zbiór punktów skupienia ci¡gu (x

n

) oraz lim inf x

n

i lim sup x

n

, je»eli:

(a) x

n

:= √

ⁿ

n ; (b) x

n

:=

_n¹



1 + 2E(

^√n

2

) ;

(c) x

n

:= cos

^5π_2n

; (d) x

n

:= √

n − E( √ n) ; (e) x

n

:=

^(n−1)(n+5)_n

− 5E(

ⁿ₅

) .

(e) x5k+r= r + 4 −_5k+r⁵ dla r ∈ 0, 4.

Zadanie 10. Wykaza¢, »e je±li ci¡g liczbowy (a

n

) jest ograniczony, to ci¡g (x

n

) o wyrazach x

n

=:

²ⁿ⁻¹₂^a_n−1^1+···+2a_+···+2+1^n−1+an

jest zbie»ny. Obliczy¢ lim x

n

, je±li a

n

= α

ⁿ

,

|α| < 2 . Wskazówka. ˜x

n

:= (1 − 2

⁻ⁿ

)x

_n

speªnia warunek Cauchy'ego.

Zadanie 11. Wykaza¢, »e je±li ci¡g liczbowy (a

n

) jest zbie»ny, to lim

^na1n+(n−1)+···+1^{+(n−1)a2+···+an}

= lim a

_n

.

Twierdzenie Stolza.

Zadanie 12. Wykaza¢, »e je±li ci¡g liczbowy (a

n

) jest zbie»ny, to zbie»ny do tej sa- mej granicy jest tak»e ci¡g o wyrazach x

n

:=

₂¹_n

P

n

k=0 n

k

a

k

. Uwaga. Twierdzenie Stolza pozwala tu jedynie stwierdzi¢, »e opuszczenie sko«czonej liczby pocz¡tko- wych wyrazów ci¡gu (a

n

) nie wpªywa ani na zbie»no±¢, ani na warto±¢ granicy ci¡gu (x

n

) .

Zadanie 13. Sprawdzi¢, korzystaj¡c z twierdzenia Stolza:

lim

¹⁵⁺²⁵_n^+···+n6 ⁵

=

¹₆

; lim 

1⁵+2⁵+···+n⁵ n⁵

−

ⁿ₆



=

¹₂

; lim

^√1_n



√1

n+1

+

^√_n+2¹

+ · · · +

^√1

2n



= 2( √

2 − 1) ;

4 FAQ ANALIZA R

lim



√ 1·2+√

2·3+···+

√

n(n+1)

n

−

ⁿ₂



= 1 ; lim

^√1_n

(1 +

^√1

2

+ · · · +

^√1_n

) = 2 ; lim

√1+√ 2+···+√

n (n+1)√

n

=

²₃

; lim

ⁿ

√

(2n−1)!!

n

=

²_e

; lim

^n(2n−1)_n

√

(2n)!

=

^e₂²

.

Zadanie 14. Dla danych liczb dodatnich a i b okre±lmy rekurencyjnie dwa ci¡gi (a

n

) i (b

n

) , przyjmuj¡c: a

0

:= a, b

0

:= b , a

n+1

:=

^an+b₂ ⁿ

, b

n+1

:=

_a^2anbn

n+b_n

. Wykaza¢,

»e ci¡gi (a

n

), (b

_n

) s¡ zbie»ne oraz lim a

n

= √

ab = lim b

_n

.

Sprawdzi¢ monotoniczno±¢ tych ci¡gów.

Zadanie 15. Wykaza¢, »e je»eli ci¡g liczbowy (a

n

) jest ograniczony z doªu oraz

∀n ∈ N : a

n+1

≤ a

n

+

_n¹2

, to jest zbie»ny.

Dobra¢ (bn)tak, by ci¡g (an+ bn)byª malej¡cy i ograniczony.

Zadanie 16. Wykaza¢ zbie»no±¢ ci¡gu (a

n

) , je±li:

(a) a

n

:= (1 +

₁¹2

)(1 +

₂¹2

) · · · (1 +

_n¹2

) ; (b) a

n

:= 1 +

^√1

3

+ · · · +

^{√ 1}

2n−1

− √ 2n ;

(c) a

n

:= 1 +

¹₂

+ · · · +

¹_n

− log n (liczba lim a

n

≈ 0.57721566 nazywa si¦ staª¡

Eulera);

(d) a

n

=

_(2n+1)!!^(2n)!!

√ n + 1 .

Zbada¢ monotoniczno±¢ ci¡gów (an) i (bn), gdzie: (a) bn := (1 +_n¹)an; (b) bn := an+√ 2n −√

2n + 1; (c) bn:= an−¹

n; (d) bn= an q2n+1

2n+2.

Zadanie 17. Dowie±¢, »e je±li ci¡g (a

1

+ · · · + a

n

) jest ograniczony oraz a

n

& 0 przy n → ∞, to lim na

n

= 0 .

Zadanie 18. Wykaza¢, »e:

(a) lim E(an) E(bn) = a

b ,gdy b 6= 0;

(b) lim E( √ 2n) E( √

n) = √ 2 ;

(c) lim a

ⁿ

(1 + a)(1 + a

²

) · · · (1 + a

ⁿ

) = 0 dla a > 0;

(d) lim n n + 1

n

n + 2 · · · n

2n = 0 ;

FAQ ANALIZA R 5

(e) je±li x

0

> 0 oraz x

n+1

=

_1+x^xn

n

dla n ∈ N, to lim nx

n

= 1 ; (f) je±li x

0

> 0 i x

n+1

=

√

1+x²_n−1

xn

dla n ∈ N, to lim 2

ⁿ

x

_n

= arctan x

₀

; (g) lim( 1

n + 1

n + 1 + · · · + 1

2n ) = log 2 .

(g) Wykaza¢, »e logⁿ⁺¹_n ≤ ¹ n≤ log ⁿ

n−1 dla n ≥ 2.

Zadanie 19. Zbada¢ zbie»no±¢ ci¡gu (x

n

) , ewentualnie obliczy¢ granic¦:

(a) x

n

= n log

ⁿ_n²2⁺ⁿ⁺¹−n+1

; (b) x

n

=

√n²

9−1

−

n√³ 27−1

; (c) x

n

=

ⁿ

√3−ⁿ√ 2

n√ 5−ⁿ√

3

; (d) x

n

= cos

_2n+1^2πn2

;

(e) x

n

= cos

_n+3^πn2

; (f) x

n

= sin π √

n

²

+ n + 1 ; (g) x

n

= tan(

^π₂

pn(n + 1)) ;

(h) x

n

=

_E(^√n_n)

− E( √ n) ; (i) x

n

=

_(2n+1)!!^(2n)!!

;

(j) x

n

= (2 − √

ⁿ

10)

ⁿ

;

(k) x

n

= (log n)

⁻¹

(1 +

¹₂

+

¹₃

+ · · · +

_n¹

) .

(a) l = 2; (b) l =¹₂; (c) l = log³₂// log⁵₃; (d) l = 0; (e),(f),(g),(h) rozbie»ny; (i)(i) Pokaza¢, »e xn≤√¹ n+1,l = 0; (j) l =₁₀¹; (k) l = 1.

Zadanie 20. Zbada¢ zbie»no±¢ ci¡gu okre±lonego rekurencyjnie:

(a) x

0

> 0 dane, x

n+1

=

^x_xⁿ⁺²

n+1

; (b) x

0

> 0 dane, x

n+1

=

^1+x_2xⁿ

n

; (c) x

0

> 2 dane, x

n+1

= 5 −

_x⁶

n

; (d) x

0

= 0 , x

n+1

= √

2 − x

_n

; (e) x

1

= 0 , x

n+1

= √

2 + x

n

;

(f) x

0

∈ ]−1, 2[ dane, x

n+1

= x

_n

(x

_n

− 1) ; (g) x

0

> 0 dane,x

n+1

=

^x₂ⁿ

+

_x¹

n

; (h) x

0

6=

²₃

dane, x

n+1

=

^2x_3xⁿ⁻¹

n−2

; (i) x

0

∈ [−1, 1] dane, x

n+1

=

_1+x¹⁰₂

n

; (j) x

0

∈]0, 1[ dane, x

n+1

=

¹₃

x

n

(4 − x

n

) ; (k) a > 0, k ∈ N, x

0

> 0 dane, x

n+1

=

^k+1

√

ax

_n

.

6 FAQ ANALIZA R (a),(b),(d) osc.; (b) |xn+2− 1| ≤¹

2|x_n− 1|; (c) monotoniczny; (e),(j) rosn¡cy; (f) osc.; zacz¡¢ od x0∈ [0, 1]; zauwa»y¢, »e g([0, 1]) ⊂ [0, 1] i g(x) ≤ x na [0, 1]; (g),(k) malej¡cy; (h) obliczy¢ g := f ◦ f; (i) ∀n : |xn| ≤ 1lub xn≥ 5.

(a),(g) l =√

2; (b),(j),(d) l = 1; (c) l = 3; (e) l = 2; (f) l = 0; (h) zbie»ny ⇐⇒ x0 = ¹₃ lub x0 = 1;

(i) rozbie»ny; (k) l = ^k√

a. 7. xn= nP ka_k√

∗ = nP ka_k(√

∗ − n) = nP

kak(bkn+ck) n+√

∗ = x⁰_n+ x⁰⁰_n, gdzie x⁰_n = n²P

ka_kb_k( ¹ n+√

∗− ¹

2n) = −n²P

ka_kb_k ^bkn+ck 2n(n+√

∗)2

n→∞−→ −¹ 8

P

ka_kb²_k, x⁰⁰n = nP k akck

n+√

∗ n→∞−→

1 2

P ka_kc_k.

Zadanie 21. Korzystaj¡c z nierówno±ci Bernoulliego wykaza¢, »e ∀x > −1 : ∀n ∈ N :

_1+x^x

≤ n( √

ⁿ

1 + x − 1) ≤ x . Wywnioskowa¢ z tego, »e lim a

n

( p

ⁿ

1 + b

n

− 1) = lim a

_n

b

_n

n , je±li lim

n→∞

b

_n

= 0 i granica po prawej stronie istnieje. Sprawdzi¢, »e:

lim n

²

(1 −

ⁿ

r n

n + 1 ) = 1 ; lim n

²

( √

ⁿ

n + a − √

ⁿ

n + b) = a − b ; lim n

³

( p

ⁿ

n

²

+ a − p

n

n

²

+ b) = a − b .

Zadanie 22. Dowie±¢, »e:

(a) Je±li x

n

> 0 oraz lim

n→∞

x

n

= 0 , to albo granica lim

n→∞ ⁿ

√ x

n

nie istnieje (poda¢ przykªad), albo lim

n→∞ ⁿ

√ x

n

=: l ∈ [0, 1] (poda¢ przykªady pokazuj¡ce, »e dopuszczalne s¡ tu wszystkie warto±ci l ∈ [0, 1]).

(b) Je»eli lim

n→∞

x

n

> 0 , to lim

n→∞ ⁿ

√ x

n

= 1 . (c) Je±li lim

n→∞

x

_n

= 1 , to lim

n→∞

n( √

ⁿ

x

_n

− 1) = 0 .

(b) Zauwa»y¢, »e |ⁿ√

x − 1| ≤ |x − 1|dla x ≥ 0, gdy» ⁿ√ x ∈ [1, x].

Zadanie 23. Wykaza¢, »e je±li r ∈ N, a

1

, . . . , a

r

s¡ dodatnie oraz p

1

+ · · · + p

r

= 1 , to lim(p

1ⁿ

√ a

1

+· · ·+p

rⁿ

√ a

r

)

ⁿ

= a

^p₁¹

·· · ··a

^p_r^r

. W szczególno±ci: lim( √

ⁿ

a+

ⁿ

√

b−1)

ⁿ

= ab (dla a, b > 0); lim(p √

ⁿ

a − p + 1)

ⁿ

= a

^p

(dla a, p ∈ R, a > 0).

Zadanie 24. Niech dane r ∈ N oraz a

k

, b

k

, c

k

∈ R dla k ∈ 1, r, takie »e P

r k=1

a

k

= 0, P

r

k=1

a

k

b

k

= 0 . Wykaza¢, »e 1.17lim n

r

X

k=1

a

k

p n

²

+ b

k

n + c

k

= − 1 8

r

X

k=1

a

k

∆

k

, 1.4 gdzie ∆

k

:= b

²_k

− 4c

k

. Korzystaj¡c z tego wzoru sprawdzi¢, »e:

lim n(2 p

n

²

+ 7n + 3 − 5 p

n

²

+ n − 4 + 3 p

n

²

− 3n + 2) = 1 ; lim n(2 p

n

²

+ 7n − 2−5 p

n

²

+ n − 6+3 p

n

²

− 3n + 2) = 1 = lim n[2 p

n

²

+ 9n + 6−

√ n − 1(5 √

n + 4 − 3 √ n)] .

Zadanie 25. Oznaczmy x

k

:= √

k − E( √

k) dla k ∈ N.

(a) Wykaza¢, »e je±li a

n

dla n ∈ N oznacza ±redni¡ arytmetyczn¡ liczb x

k

dla k ∈ n

²

, (n + 1)

²

− 1 , tzn. E( √

k) = n , to lim

n→∞

a

n

=

¹₂

. (b) Wykaza¢, »e lim

n→∞ 1

n

(x

₁

+ x

₂

+ · · · + x

_n

) =

¹₂

.

FAQ ANALIZA R 7

(a) Sn :=Pn(n+2)

k=n2 x_k = P2n

l=0x_{n2 +l} ∈ [n, n + ¹

2], gdy» x_{n2 +l} = ^l n+

q n2 +l

∈ [ ^l

2n+1,_2n^l]; st¡d an ∈ [_2n+1ⁿ ,¹₂]. (b) Niech m := E(√

n), wtedy m²≤ n ≤ m²+ 2m, wi¦c P^m−1_k=1 S_k≤ x₁+ · · · + xn≤Pm k=1S_k; st¡d oszacowanie Skdaje x1+ · · · + xn∈ [^m(m−1)

2 ,^m(m+2)₂ ].

Zadanie 26. Wykaza¢, »e je±li ∀n ∈ N : x

n+N

= x

_n

, tzn. ci¡g (x

n

) jest okresowy, to lim

n→∞x₁+···+x_n

n

=

^x1+···+x_N ^N

.

Sprawdzi¢, »e ci¡g (x1+ · · · + x_n− ns), gdzie s :=_N¹ PN

k=1x_n, jest okresowy, a wi¦c ograniczony.

Zadanie 27. Dla zadanieanych liczb x

1

, . . . , x

8

∈ R okre±lmy ci¡g (x

n

) rekurencj¡

x

n+8

=

¹₈

(x

n

+ x

n+1

+ · · · + x

n+7

) . Wykaza¢, »e lim x

n

= x

1

+ 2x

2

+ · · · + 8x

8

1 + 2 + · · · + 8 , dowodz¡c kolejno nast¦puj¡cych faktów:

(1) Ci¡g o wyrazach s

n

:= x

n

+ 2x

n+1

+ + · · · + 8x

n+7

jest staªy, wi¦c je»eli (x

n

) jest zbie»ny, to s

1

= lim s

_n

= (1 + 2 + · · · + 8) lim x

_n

;

(2) Je±li δ{x

1

, . . . , x

8

} := max

1≤i<j≤8

|x

i

− x

j

| = max{x

1

, . . . , x

8

} − min{x

1

, . . . , x

8

} , to δ{x

₈

, . . . , x

₁₅

} ≤

⁷₈

δ{x

₁

, . . . , x

₈

} ;

(3) δ{x

7r+1

, . . . , x

7r+8

} ≤ (

⁷₈

)

^r

δ{x

1

, . . . , x

8

} dla r ∈ N; (4) |x

n

−x

m

| ≤ (

⁷₈

)

^r

δ{x

1

, . . . , x

8

} dla r ∈ N, m, n > 7r.

(2) Dla 8 ≤ i < j ≤ 15 mamy xi− x_j=¹₈P8

k=1(xi− x_j−k); (4) xn, xm∈ [min{x_7r+1, . . . , x7r+8}, max{∗}].

Zadanie 28. Niech (x

n

) b¦dzie ci¡giem liczbowym, takim »e x

n

≥ 0, x

_m+n

≤ x

_m

+ x

_n

dla m, n ∈ N. Wykaza¢, »e ci¡g (

^x_nⁿ

) jest zbie»ny, a jego granica jest równa inf{

^x_nⁿ

: n ∈ N}.

Zadanie 29. Ci¡g liczbowy (x

n

) nazwijmy quasi-rosn¡cym, je»eli ∀N ∈ N : x

n

≥ x

N

dla prawie wszystkich n ∈ N. Sprawdzi¢, »e ci¡g 

100

n+1

E(

₁₀₀ⁿ

) 

jest quasi- rosn¡cy, chocia» x

n

< x

n−1

, gdy n nie jest wielokrotno±ci¡ 100. Wykaza¢, »e je±li ci¡g quasi-rosn¡cy (x

n

) jest ograniczony z góry, to jest zbie»ny oraz lim x

n

= sup{x

_n

: n ∈ N}.

Zadanie 30. Dowie±¢, »e je±li ci¡g liczbowy (x

n

) speªnia warunki: (a) lim(x

n+1

− x

n

) = 0 oraz (b) ∃N ∈ N : ∀n ≥ N : x

n+2

∈ [x

n

, x

n+1

] , to jest zbie»ny. [Przyjmu- jemy tu konwencj¦ [a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b lub b ≤ x ≤ a}]. Poda¢ przykªad rozbie»nego ci¡gu (x

n

) speªniaj¡cego warunki: lim(x

n+1

− x

n

) = 0, ∀n ∈ N : (−1)

ⁿ

(x

n+1

− x

n

) > 0 .

Zadanie 31. Wykaza¢, »e:

(a) lim sup

n→∞

   

x

n+1

x

n

   

< 1 ⇒ lim x

n

= 0 ; (b) lim inf

n→∞

   

x

n+1

x

n

   

> 1 ⇒ ci¡g (x

n

) jest rozbie»ny.