Wielowymiarowe grafy skierowane oddziaływań i ich zastosowanie w analizie układów dodatnich / PAR 2/2009 / 2009 / Archiwum / Strona główna | PAR Pomiary - Automatyka - Robotyka

(1)

dr in. Konrad Andrzej MARKOWSKI

Politechnika Warszawska, Wydzia Elektryczny, Instytut Sterowania i Elektroniki Przemysowej,

WIELOWYMIAROWE GRAFY SKIEROWANE ODDZIAYWA I ICH ZASTOSOWANIE W ANALIZIE UKADÓW DODATNICH

W pracy pokazano podstawy klasycznej teorii grafów. Wprowadzono podstawowe definicje oraz omówiono podstawowe waciwoci. Zaprezentowano jednowymia- rowe grafy skierowane oddziaywa oraz pokazano uogólnienie tych grafów na wielowymiarowe grafy skierowane oddziaywa. Nastpnie pokazano sposób po-wizania wielowymiarowych grafów skierowanych oddziaywa z ukadami jed-no- i wielowymiarowymi.

USING MULTIDIMENSIONAL DIGRAPH THEORY IN ANAYSES OF POSITIVE SYSTEMS

In this paper presented the classical graph theory. Introduce the elementary defi-nitions. Presented the one-dimensional digraphs and presented generalization on multidimensional digraphs. At the end presented connection between multi- dimensional digraph and positive one- and multi- dimension systems.

1. WPROWADZENIE

W ostatnim czasie obserwuje si due zainteresowanie matematyk dyskretn, a w szcze-gólnoci zastosowaniem pewnych aparatów do rozwizywania problemów z rónych dzie-dzin, poczwszy od nauk humanistycznych takich, jak ekonomia, biologia, medycyna a sko-czywszy na naukach technicznych takich, jak mechanika, chemia, elektrotechnika czy wresz-cie teoria sterowania. Jednym z narzdzi coraz czwresz-ciej stosowanych do rozwizywania problemów z rónych dziedzin ycia jest teoria grafów.

Pierwsze wykorzystanie grafów skierowanych i nieskierowanych miao pocztek w analizie i syntezie obwodów elektrycznych. Pierwsze próby uycia teorii jednowymiarowych grafów skierowanych oddziaywa do analizy ukadów jednowymiarowych bez opónie zostay zapocztkowane w pracach [10, 11, 15, 22]. Kolejnym etapem byo uogólnienie teorii jedno-wymiarowych grafów skierowanych oddziaywa na dwuwymiarowe grafy skierowane od-dziaywa i zastosowanie teorii tej do wyznaczania indeksu osigalnoci dla ukadów dwu-wymiarowych opisanych drugim modelem Fornasiniego-Marchesiniego [6, 7, 8]. W efekcie rozszerzono metod wyznaczania indeksów osigalnoci oraz metod wyznaczania obszaru indeksów osigalnoci na ukady dwuwymiarowe opisane modelem ogólnym [19, 20, 21]. Nastpnie rozszerzono zastosowanie dwuwymiarowych grafów skierowanych odziaywa do wyznaczania elementów macierzy stanu w ukadach dwuwymiarowych bez opónie opisa-nych za pomoc modelu ogólnego, pierwszym i drugim modelem Fornasiniego-Marchesiniego [16, 17, 18]. W wyniku tych prac skonstruowano metod wyznaczania realiza-cji ukadów jednowymiarowych i dwuwymiarowych bez opónie i z opónieniami.

Naley zauway, i teoria wielowymiarowych grafów skierowanych oddziaywa moe po-suy jako wydajne narzdzie do analizy szerokiej klasy ukadów jednowymiarowych i wie-lowymiarowych bez opónie i z opónieniami. Stanowi ona alternatyw dla oblicze klasycznych przy tak trudnych zagadnieniach jak osigalno czy problem realizacji ukadów dodatnich bez opónie i z opónieniami. Kolejnym atutem tego podejcia jest fakt atwej

(2)

2. GRAFY SKIEROWANE

2.1. Klasyczna definicja grafu i digrafu

W istniejcej literaturze mona spotka róne definicje grafu [1], [2], [3], [9], [15], [23]. Ob-serwowane dynamiczne zmiany wynikajce ze sposobu definiowania grafu wynikaj z po-trzeby obejmowania teori grafów coraz szerszej klasy struktur.

Aby okreli graf, naley okreli zbiór jego wierzchoków , zbiór gazi oraz relacj . Teraz maemy przyj´ nastpujc, ogóln definicj grafu.

Definicja 1. Grafem nazywamy uporzdkowan trójk G = < , ,R >, gdzie jest zbiorem wierzchoków grafu, jest zbiorem gazi grafu, jest relacj trójczonow incydencji

 × × o wasnoci

, , , ,

u U x y X x u y u x y (1) Zbiór nazywamy zbiorem wierzchoków, a jego elementy nazywamy wierzchokami. Zbiór

nazywamy zbiorem gazi, a jego elementy nazywamy gaziami.

Obrazem geometrycznym grafu abstrakcyjnego na paszczynie nazywa si grafem geome-trycznym. Naley zauway zatem, e dla tego samego grafu abstrakcyjnego mona wyryso-wa wiele grafów geometrycznych, które s izomorficzne z nim.

Jeeli liczebno zbioru wierzchoków W jest skoczona |W| = n < , to graf G nazywamy grafem skoczonym. W przypadku gdy n = , graf nazywamy grafem nieskoczonym. Nale-y zauwaNale-y, e kady graf skoczony posiada odwzorowanie geometryczne w postaci zbioru punktów – czyli wierzchoków oraz czcych ich gazi. Przykadowy graf skoczony poka-zano na rys. 1.

Rys. 1. Graf (a) skierowany, (b) nieskierowany Gazie grafu (rys. 1) dzielimy na:

1. Gazie nieskierowane zwane krawdziami. Ga u stanowi krawd, gdy zachodzi

< x, u, y > < y, u, x > . Przykadowo na rys. 1(b) mamy nastpujce krawdzie:

(1, 2), (1, 5), (2, 5) oraz (3, 6).

2. Gazie skierowane zwane ukami. Ga jest ukiem, gdy < x, u, y > < y, u, x > . Przykadowo na rys. 1(a) mamy nastpujce uki: (1, 2), (2, 4), (4, 1).

3. Ptle. Ga jest ptl gdy < x, u, x > . Przykadowo na rys. 1(a) mamy nastpujc ptl: (2, 2).

Definicja 2. GrafG nazywamy grafem skierowanym i oznaczamy go przezGo, gdy zbiór ga-zi ma co najmniej jedn ga skierowan.

(3)

Definicja 3. Digrafem D nazywamy graf, w którym kada krawd jest zorientowana i s to gazie typu uki lub ptle.

W grafie nieskierowanym G = < , , > zbiór krawdzi to zbiór nieuporzdkowanych par wierzchoków. Oznacza to, e krawd jest zbiorem {u, v}, gdzie u, v i u z v. Do ozna-czania krawdzi bdziemy uywa notacji (u, v). Zapis (u, v) i (v, u) oznaczaj t sam kra-wd.

W grafie nieskierowany nie mog wystpowa ptle zatem, kada krawd zawiera dokadnie dwa róne wierzchoki. Na rys. 1(b) jest pokazany graf nieskierowany o zbiorze wierzcho-ków = {1, 2, 3, 4, 5, 6} i zbiorze krawdzi = {(1, 2), (1, 5), (2, 5), (3, 6)}.

W grafie skierowanym oddziaywa jeeli (u, v) jest ukiem digrafu D = < , , >, to mó-wimy, e uk (u, v) jest wychodzcy z wierzchoka u i jest wchodzcy do wierzchoka v. Na rys. 1(a) jest pokazany graf skierowany oddziaywa o zbiorze wierzchoków

= {1, 2, 3, 4, 5, 6} i zbiorze krawdzi = {(1, 2), (2, 2), (2, 4), (4, 1), (4, 5), (6, 3)}. Na przykad uki wychodzce z wierzchoka 2 to (2, 2), (2, 4) i (2, 5) a uki wchodzce do wierz-choka 2 to: (1, 2) i (2, 2).

Jeeli (u, v) jest ukiem grafu skierowanego oddziaywaD, to mówimy, e wierzchoek v jest ssiedni wzgldem wierzchoka u. W przypadku grafu nieskierowanego G relacja ssiedztwa jest symetryczna. Przykadowo na rys. 1 (a) i (b) wierzchoek 2 jest ssiedni wzgldem wierz-choka 1, poniewa krawd (1, 2) naley do obu grafów. Natomiast wierzchoek 1 nie jest ssiedni wzgldem wierzchoka 2 na rys. 1 (a) poniewa krawd (2, 1) nie naley do grafu. Stopniem wierzchoka w grafie nieskierowanym G jest liczba incydentnych z nim krawdzi. Na przykad wierzchoek 2 na rys. 1 (b) ma stopie 2. Wierzchoek, którego stopie wynosi zero, taki jak wierzchoek 4 na rys. 1 (b), jest nazywany wierzchokiem izolowanym. W grafie skierowanym oddziaywa D stopie wyjciowy wierzchoka jest liczb uków lub ptli z niego wychodzcych, a stopie wejciowy wierzchoka jest liczb uków lub ptli do niego wchodzcych. Stopniem wierzchoka w grafie skierowanym oddziaywa jest liczba bdca sum jego stopnia wejciowego i wyjciowego. Przykadowo wierzchoek 2 na rys. 1 (a) ma stopie wejciowy 2, stopie wyjciowy 3 i stopie 5.

2.2. Sposoby reprezentacji grafu

Istniej dwa standardowe sposoby reprezentacji grafu G: za pomoc list ssiedztwa oraz za pomoc macierzy ssiedztwa.

Zazwyczaj preferowan reprezentacj jest posta listy ssiedztwa poniewa umoliwia ona przestawienia w zwarty sposób grafów rzadkich czyli takich dla których |E| jest duo mniej-sze od |V |2. W przypadku, gdy graf jest gsty czyli taki graf dla którego |E| jest bliskie |V|2 lub gdy istnieje potrzeba szybkiego sprawdzenia czy istnieje ga czca dwa dane wierz-choki, wtedy korzystniejsza jest reprezentacja za pomoc macierzy ssiedztwa.

W reprezentacji grafu G za pomoc list ssiedztwa dana jest tablica Tab zawierajca |V| list, po jednej dla kadego wierzchoka. Dla kadego u elementami listy ssiedztwa Tab[u] s wszystkie wierzchoki v takie, e krawdzie (u, v) . Porzdek wierzchoków na licie s-siedztwa jest dowolny. Na rys. 2(b) pokazano list ss-siedztwa dla grafu G z rys. 2 (a). Na rys. 3 (b) pokazano list ssiedztwa dla grafu skierowanego oddziaywaD z rys. 3 (a).

Jeeli rozpatrujemy graf skierowany oddziaywa (digraf) D, to suma dugoci wszystkich list ssiedztwa wynosi |E|, poniewa uk lub ptla postaci (u, v) jest reprezentowany przez wyst-pienie v na licie Tab[u]. Jeeli G jest grafem nieskierowanym, to suma dugoci wszystkich

(4)

list ssiedztwa wynosi 2|E|, poniewa dla krawdzi (u, v) wierzchoek u wystpi na licie s-siedztwa v i odwrotnie, v wystpuje na licie u.

Rys. 2. Dwie reprezentacje grafu nieskierowanego (a) Graf nieskierowany, (b) lista ssiedztwa grafu nieskierowanego, (c) macierz ssiedztwa grafu nieskierowanego

Rys. 3. Dwie reprezentacje grafu skierowanego (a) Graf skierowany, (b) lista ssiedztwa grafu skierowanego, (c) macierz ssiedztwa grafu skierowanego

W reprezentacji grafu nieskierowanego G oraz grafu skierowanego oddziaywaD za pomoc macierzy ssiedztwa zakadamy, e wierzchoki s ponumerowane 1, 2,…,|V| w pewien do-wolny sposób. Reprezentacja macierzowa skada si wtedy z macierzy: A = (aij) wymiaru

|V|×|V| takiej, e aij = 1 jeeli (i, j)E oraz aij = 0 w przeciwnym razie.

Na rys. 2 (c) pokazano macierz ssiedztwa dla grafu G z rys. 2 (a). Na rys. 3 (c) pokazano macierz ssiedztwa dla grafu skierowanego oddziaywaD z rys. 3 (a).

2.3. Podstawowe wasnoci digrafów

Definicja 4. Sum prost dwóch grafów G1 = < 1, 1, 1>, G2= < 2, 2, 2> nazywamy graf

G = < , , > gdzie = 1 2, = 1 2, = 1 2i oznaczamy G = G1G2.

Definicja 6. Iloczynem dwóch grafów G1 = < 1, 1, 1>, G2= < 2, 2, 2> nazywamy graf

G = < , , > gdzie = 1 2, = 1 2, = 1 2 i oznaczamy G = G1G2.

Definicja 7. Rónic symetryczn dwóch grafówG1 = < 1, 1, 1>,G2= < 2, 2, 2> nazywamy grafG = < , , > gdzie = 1\ 2, = 1\ 2, = 1\ 2 i oznaczamy G = G1\G2.

W dualny sposób moemy zdefiniowa sum prost, iloczyn oraz rónic symetryczn dwóch grafów skierowanych oddziaywa.

(5)

3. WIELOWYMIAROWE GRAFY SKIEROWANE ODDZIAYWA 3.1. Definicja

W istniejcej literaturze mona spotka róne definicje grafu. Klasyczna definicja grafu (De-finicja 1) zostaa podana podrozdziale 2.1. Obserwowane dynamiczne zmiany sposobu defi-niowania grafu wynikaj z potrzeby obejmowania teori grafów coraz szerszej klasy struktur. W naszych rozwaaniach tak struktur s dodatnie ukady wielowymiarowe bez opónie i z opónieniami. Modele tych ukadów zostay podane w pozycjach [4], [5], [10], [11], [12], [13] i [14].

eby zrozumie wielowymiarowe grafy skierowane oddziaywa na pocztku naley wpro-wadzi pojcie jednowymiarowego grafu skierowanego oddziaywaD dla struktury, jak jest dodatni ukad jednowymiarowy.

Definicja 7 Jednowymiarowym grafem skierowanym oddziaywa (digrafem) D nazywamy czwórk ( , ,A,B) gdzie = {s1,s2,…,sm} jest ródem (wejciem), = {v1,v2,…,vn} jest

zbiorem wierzchoków, Ajest podzbiorem × , którego elementy nazywamy A-ukami oraz B jest podzbiorem × , którego elementy nazywamy B-ukami.

Zgodnie z tym co zostao zaprezentowane w podrozdziale 2.1 jednowymiarowy graf skiero-wany oddziaywa moemy przedstawi w postaci listy ssiedztwa oraz za pomoc macierzy ssiedztwa.

Jednowymiarowy graf skierowany oddziaywa moemy wyznaczy za pomoc jego macie-rzy ssiedztwa komacie-rzystajc z poniszej procedury. W naszych rozwaaniach macierz ssiedz-twa jest macierz stanu (A) ukadu opisanego równaniami (D1).

Procedura 1

Krok 1: IstniejeA-uk z wierzchoka vj do wierzchoka vi wtedy i tylko wtedy, gdy (i,

j)-ty element macierzy A jest niezerowy;

Krok 2: Istnieje B-uk ze róda s do wierzchoka vj wtedy i tylko wtedy, gdy i-ty

ele-ment macierzy B jest niezerowy.

W przypadku, gdy mamy par macierzy (A1,B1) uki powstae od macierzy te rysujemy

jed-nym kolorem i jedjed-nym stylem linii.

Przykadowo dla macierzy stanu (ssiedztwa) (2) ukadu 1D opisanego równaniami (D1) mamy nastpujcy jednowymiarowy graf skierowany oddziaywa (rys. 4).

Rys. 4. Jednowymiarowy graf skierowany od-dziaywaG odpowiadajcy macierzy stanu (2)

1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 , 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 ª º ª º « » « » « » « » « » « » « » « » ¬ ¼ ¬ ¼ A B (2)

Podobnie jak dla jednowymiarowego grafu skierowanego oddziaywa (G) moemy

(6)

Definicja 8. Wielowymiarowym grafem skierowanym oddziaywaD(n)(krótko grafem oddzia-ywa) nazywamy ( , ,A1,A2,…;B1,B2,…) gdzie = {s1,s2,…,sm} jest ródem (wejciem),

={v1,v2,…,vn} jest zbiorem wierzchoków, A1,A2,…; s podzbiorami × , których elementy nazywamy A1-ukami, A2–ukami, …; oraz B1, B2,…; s podzbiorami × , których elementy nazywamyB1-ukami,B2–ukami,…;.

Wielowymiarowy graf skierowany oddziaywaD(n) moemy wyznaczy za pomoc jego ma-cierzy ssiedztwa. Naley zauway, i w przypadku wielowymiarowych grafów skierowa-nych oddziaywa mamy wiele macierzy stanu, które podobnie jak w przypadku jednowymia-rowym s macierzami ssiedztwa.

W przypadku, gdy mamy pary macierzy (A1,B1), (A2,B2),…; uki powstajce od

odpowied-nich par macierzy rysujemy jednymi kolorem i innymi stylami linii.

Przykadowo dla macierzy stanu (3) ukadu dwuwymiarowego opisanego modelem ogólnym (D3) mamy nastpujcy wielowymiarowy graf skierowany oddziaywa (rys. 5).

1 1 2 2 3 3 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 , , 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 , , 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ª º ª º « » « » « » « » « » « » « » « » ¬ ¼ ¬ ¼ ª º ª º « » « » « » « » « » « » « » « » ¬ ¼ ¬ ¼ ª º ª º « » « » « » « » « » « » « » « » ¬ ¼ ¬ ¼ A B A B A B (3)

Rys. 5. Wielowymiarowy graf skierowany oddziaywa D(n) odpowiadajcy macierzy stanu (3).

Z definicji wielowymiarowych grafów skierowanych oddziaywa (Definicja 8) wynika, i grafy te s odpowiednio zoeniem wielu grafów jednowymiarowych. A zatem definicje suszne dla grafów jednowymiarowych przenosz si równie na grafy wielowymiarowe. Z powyszych rozwaa wynikaj nastpujce wnioski:

x Jednowymiarowe grafy skierowane oddziaywa (G) stosujemy do analizy dodatnich ukadów jednowymiarowych opisanych równaniami (D1).

x Dwuwymiarowe grafy skierowane oddziaywa (D(2)

) stosujemy do analizy dodatnich ukadów jednowymiarowych z jednym opónieniem (p = 1, q = 1) opisanych równa-niem (D2) oraz do analizy ukadów dwuwymiarowych opisanych pierwszym i drugim modelem Fornasiniego-Marchesiniego (przypadki szczególne ukadu 2D opisanego modelem ogólnym D3).

x Wielowymiarowe grafy skierowane oddziaywa (D(n)

) stosujemy do analizy ukadów 1D z wieloma opónieniami opisanych równaniem (D2), oraz ukadów D2 opisanych modelem ogólnym bez opónie (D3) i z opónieniami (D4).

3.2. Podstawowe wasnoci wielowymiarowych grafów skierowanych oddziaywa Do podstawowych wasnoci grafów nieskierowanych nale: suma prosta (Definicja 4), ilo-czyn (Definicja 5) oraz rónica symetryczna (Definicja 6). Wasnoci te zostay

(7)

przedsta-Jako, e wielowymiarowe grafy skierowane od-dziaywa s odpowiednim zoeniem grafów jednowymiarowych zatem definicje sumy prostej, iloczynu oraz rónicy symetrycznej s dualne i przyjmuj nastpujc posta.

Definicja 9. Sum prost dwóch

wielowymiaro-wych grafów skierowanych oddziaywa

D(n)

1 = ( 1; 1;A11;A21,…;B11;B21,…;) oraz

D(n)

2 = ( 2; 2;A21;A22,…; B21;B22,..;) nazywamy wielowymiarowy graf skierowany oddziaywa

D(n)

= ( ; ;A1;A2,…;B1;B2,…;), gdzie = 1 2,

= 1 2, A1 = A11A21,

A2 = A12A22,B1 = B11B21,B2 = B12B22 i ozna-czamyD(n) = D(n)1D(n)2.

Definicja 10. Iloczynem dwóch

wielowymiaro-wych grafów skierowanych oddziaywa

D(n)

1 = ( 1; 1;A11;A21,…;B11;B21,…;) oraz

D(n)

D(n) = ( ; ;A1;A2,…;B1;B2,…;), gdzie = 1 2, = 1 2, A1 = A11A21, A2 = A12A22, B1 = B11B21, B2 = B12B22 i oznaczamy D(n) = D(n)1D(n)2.

Definicja 11. Rónic symetryczn dwóch

wielo-wymiarowych grafów skierowanych oddziaywa

D(n)

1 = ( 1; 1;A11;A21,…;B11;B21,…;) oraz

D(n)

= ( ; ;A1;A2,…;B1;B2,…;), gdzie = 1\ 2,

= 1\ 2, A1 = A11\A21, A2 = A12\A22, B1 = B11\B21,

B2 = B12\B22i oznaczamyD(n) = D(n)1\D(n)2.

Rys. 6. (a), (b) przykadowe grafy skiero-wane oddziaywa, (c) suma, (d) iloczyn, (e) rónica symetryczna

Sposób konstruowania sumy prostej, iloczynu oraz rónicy symetrycznej jest analogiczny jak dla grafów klasycznych z t rónic, e w grafach skierowanych naley zwraca uwag na kierunek uku oraz na fakt istnienia uku odpowiedniego koloru.

Z powyszych rozwaa wynika, i kady graf mona w dowolny sposób zdekomponowa na wiele podgrafów bez utraty informacji na temat struktury takiego grafu. Uwaga ta tyczy si zarówno jednowymiarowych grafów skierowanych oddziaywa jak równie wielowymiaro-wych grafów skierowanych oddziaywa.

(8)

3.3. Topologia grafów skierowanych oddziaywa

Definicja 13. Tras w danym wielowymiarowym grafie skierowanym oddziaywa D(n) nazy-wamy skoczony cig uków, w którym kade dwa kolejne wierzchoki vi, i = 1,2,…, s albo

ssiednie albo identyczne co zapisujemy (vi, vi+1)K, gdzie vi jest pocztkiem uku, vi+1 jest

kocem uku a K jest (A1,A2,…;B1,B2,…;)-ukiem.

Definicja 14. Trasa, w której wszystkie uki s róne nazywamy ciek

cieka dugoci k z wierzchoka u do wierzchoka u’ w wielowymiarowym grafie skierowa-nym oddziaywa jest cigiem wierzchoków <v1,v2,…,vk> takich, e u = v1, u = vk dla

i = 1,2,…,k. Dugo cieki jest liczb jej krawdzi. Jeeli istnieje cieka p z wierzchoka u

do wierzchoka u’ to mówimy e wierzchoek u’ jest osigalny z wierzchoka u po ciece p co zapisujemy uo u’.

Definicja 15. Trasa, nazywamy drog lub ciek prost, jeeli wszystkie wierzchoki s

ró-ne.

Definicja 16. Drog <v1,v2,…,vk> nazywamy cyklem, jeeli pocztkowy i kocowy

wierzcho-ek w drodze jest taki sam v1 = vk i droga zawiera co najmniej jedn krawd.

Definicja 17. Cykl nazywamy prostym, jeeli wierzchoki <v1,v2,…,vk> s rone.

4. PODSUMOWANIE

W pracy zaprezentowano podstawy klasycznej teorii grafów. Wprowadzono podstawowe definicje oraz omówiono podstawowe wasnoci. Nastpnie zaprezentowano podstawy jed-nowymiarowych grafów skierowanych oraz zaproponowano uogólnienie tych grafów na wie-lowymiarowe grafy skierowane oddziaywa. Nastpnie pokazano sposób powizanie wielo-wymiarowych grafów skierowanych oddziaywa z ukadami jedno- i dwuwymiarowymi. Wielowymiarowe grafy skierowane oddziaywa mog by wykorzystywane w analizie za-równo dodatnich ukadów jednowymiarowych jak równie do analizy dodatnich ukadów wielowymiarowych. Stanowi one alternatywne narzdzie do oblicze analitycznych przy tak trudnych problemach jak:

x Problem wyznaczanie indeksów osigalnoci oraz obszaru indeksów osigalnoci, x Problem wyznaczania realizacji dodatniej ukadów jedno- i wielowymiarowych bez

opónie jak i z opónieniami

x Problem wyznaczania realizacji minimalnej dodatnich ukadów jedno- i wielowymia-rowych bez opónie jak i z opónieniami

Aby pokaza metodologi rozwizywania wyej wymienionych problemów przedstawiono w pracy autorsk koncepcj wielowymiarowych grafów skierowanych oddziaywa.

Do najwaniejszych osigni zwizanych z autorsk koncepcj wielowymiarowych grafów skierowanych oddziaywa autor zalicza:

x Rozszerzenie teorii dwuwymiarowych grafów skierowanych oddziaywa oraz wpro-wadzenie wielowymiarowych grafów skierowanych oddziaywa.

x Podanie koncepcji wyznaczania elementów macierzy stanu ukadów jednowymiaro-wych i dwuwymiarojednowymiaro-wych opisanych modelem ogólnym, pierwszym i drugim modelem Fornasiniego-Marchesiniego bez opónie i z opónieniami oraz ukadów trójwymia-rowych bez opónie opartej na teorii jedno-, dwu- i wielowymiatrójwymia-rowych grafów skie-rowanych oddziaywa.

(9)

x Podanie koncepcji wyznaczania dodatniej realizacji opartej na teorii jedno-, dwu- i wielowymiarowych grafów skierowanych oddziaywa.

x Podanie algorytmu wyznaczania dróg skoczonych w wielowymiarowym grafie skie-rowanym oddziaywa.

x Podanie metody wyznaczania obszaru indeksów osigalnoci dla ukadów dwu- wy-miarowych bez opónie bazujc na teorii dwuwywy-miarowych grafów skierowanych oddziaywa

Dalsze prace nad problemem wyznaczania elementów macierzy stanu czy wreszcie proble-mem realizacji, zdaniem autora naleaoby przede wszystkim prowadzi w kierunku ukadów sabododatnich jednowymiarowych i dwuwymiarowych. Zasadne wydaje si take skonstru-owanie oprogramowania do analizy i syntezy wielowymiarowych grafów skierowanych od-dziaywa.

Problemem otwartym jest:

x Moliwo przeniesienia proponowanych metod na ukady dwuwymiarowe opisane modelem Roessera

x Moliwo przeniesienia proponowanych metod na jednowymiarowe i dwuwymiarowe dyskretne ukady uamkowego rzdu,

x Moliwo przeniesienia proponowanych metod na dodatnie ukady hybrydowe,

x Moliwo zastosowania wielowymiarowych grafów skierowanych oddziaywa do wyznaczania sterowalnoci oraz dodatniej realizacji przy zaoeniu, e jest ona stero-walna a nastpnie przy zaoeniu e jest ona sterostero-walna i obserwostero-walna.

LITERATURA

1. Bang- Jensen J. and Gut in, Digraphs: Theory, Algorithms and Applications. Springer-Verlag, London 2001.

2. Chartrand G., Lesniak L. Graphs & Digraphs. Chapman & Hall/CRC.

3. Cormen Thomas H. [et al.] Wprowadzenie do algorytmów WNTechniczne, Warszawa 2007. 4. Farina L. and Rinaldi S., Positive linear systems: theory and applications. Wiley, New York, 2000. 5. Fornasini E. and Marchesini G, Double indexed dynamical systems. Math. Sys. Theory, 12:59-72,

1978.

6. Fornasini E. and Valcher M.E., Directed Graphs, 2D State Models, and Characteristic

Polynomi-als of Irreducible Matrix Pairs. Linear Algebra and Its Applications, 263:275-310 (1997).

7. Fornasini E. and Valcher M.E., On the positive reachability of 2D positive systems. Positive Sys-tems, LCNIS (2003), 297-304.

8. Fornasini E. and Valcher M.E., Controllability and reachability of 2D positive systems: a graph

theoretic approach. IEEE Transaction on Circuits and Systems I.

9. Foulds L. R. Graph theory applications. Springer-Verlag,New York 1992. 10. Kaczorek T., Positive Systems. Springer-Verlag London 1980.

11. Kaczorek T., Positive 1D and 2D Systems. Springer-Verlag London 2002.

12. Kaczorek T. and Busowicz M., Recent developments in theory of positive discrete-time linear

sys-tems with delays - reachability, minimum energy control and realization problem. Pomiary,

Auto-matyka, Kontrola, Nr 10, 2004, pp. 12-15.

13. Kaczorek T. Positive 2D systems with delays. 11th IEEE Intern. Conf. on Methods and Models in Automation and Robottics (CD), Midzyzdroje 2005.

14. Kaczorek T. Wybrane zagadnienia dodatnich ukadów z opónieniami. Konferencja Naukowo-Techniczna Automatyzacja Nowoci i Perspektywy. Automation 2006, Warszawa, pp. 10-33. 15. Korzan B. Elementy teorii grafów i sieci: metody i zastosowania. WNT, Warszawa 1978.

(10)

16. Markowski K. Wyznaczanie macierzy stanu dodatniego ukadu 2D na podstawie wielomianu

cha-rakterystycznego. Przegld Elektrotechniczny Luty 2007.

17. Markowski K. Wyznaczanie elementów macierzy stanu na podstawie wielomianu

charakterystycz-nego. Automation 2006

18. Markowski K. Algorithm for Determination Entries of the State Matrices of the Positive Second

Fornasini-Marchesini Model. MMAR 2006

19. Markowski K. Wyznaczanie obszaru osigalnoci dodatnich ukadów dwuwymiarowych opisanych

modelem ogólnym zawierajcych wiele wej. XXVIII IC-SPETO, 11-14. V. 2005, Ustro.

20. Markowski K., Kaczorek T. New method of determination reachability index set of 2D systems. XIII International Symposium on Theoretical Electrical Engineering ISTET 2005, Lwów

21. Markowski K. Obszar indeksów osigalnoci dodatnich ukadów 2D. Midzynarodowe Warsztaty Doktoranckie OWD, 22-25. X. 2005, Wisa

22. Nowak A. Grafy - teoria i zadania. Wydawnictwo Politechniki lskiej, Gliwice 2006. 23. Ross Kenneth A., Wright Charles R. B. Matematyka dyskretna. PWN, Warszawa 2006 DODATEK

Ukad 1D. Ukad jednowymiarowy bez opónie dany jest równaniem

1 ;

i i i i i i

x Ax Bu y Cx Du (D1)

przy czym xi n jest wektorem stanu w chwili dyskretnej i +, uij m jest wektorem wymusze,

yi p jest wektorem odpowiedzi, A nun, B num, C pun, D pum.

Ukad 1D z opónieniami. Ukad jednowymiarowy z q opónieniami w wektorze stanu oraz p opónieniami w wektorze wymuszenia dany jest równaniami

1 0 1 1 0 1 1 ; i i i q i q i i p i p i i i i x x x x u u u u y x u A A A B B B B C D ! ! (D2) Ukad 2D. Ukad dwuwymiarowy opisany modelem ogólnym dany jest równaniami

1, 1 0 1 1, 2 , 1 0 1 1, 2 , 1; i j ij i j i j ij i j i j ij ij ij x x x x u u u y x u A A A B B B C D (D3)

przy czym xij n jest wektorem stanu w punkcie (i,j), uij m i yij p s odpowiednio wektorem wy-musze (sterowa) i wektorem odpowiedzi, a Ak nun, Bk num, k = 0,1,2; C pun, D pum.

Istniej dwa przypadki szczególne modelu ogólnego. Podstawiajc:

x B1 = B2 = 0 oraz B0 = B do równania (D3) otrzymujemy pierwszy model

Fornasiniego-Marchesiniego;

x A0 = 0 oraz B0 = 0 do równania (D3) otrzymujemy drugi model Fornasiniego-Marchesiniego.

Ukad 2D z opónieniami. Ukad dwuwymiarowy z opónieniami opisany modelem ogólnym dany jest równaniami

1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 0 1 2 0 1 2 1, 1 , 1, , 1 , 1, , 1 0 0 0 0 ; q q p p i j k l i k j l k l i k j l k l i k j l k l i k j l k l i k j l k l i k j l k l k l ij ij ij x x x x u u u y x u

¦¦

A A A

¦ ¦

B B B C D (D4)

gdzie xij n, uij m, yij p jest wektorem stanu, wymuszenia i odpowiedzi Atk1l1 nun, Btk2l2 num,

t = 0,1,2; k1 = 0,1,…,q1; l1 = 0,1,…,q2; k2 = 0,1,…,p1; l2 = 0,1,…,p2; C pun, D pum.

Istniej dwa przypadki szczególne modelu ogólnego z opónieniami. Podstawiajc: x B1

k2l2 = B2k2l2 = 0 oraz B0k2l2 = B do równania (D4) otrzymujemy pierwszy model Fornasiniego-Marchesiniego;

x A0

k1l1 = 0 oraz B0k2l2= 0 do równania (D4) otrzymujemy drugi model Fornasiniego-Marchesiniego.