Macierze brzegowe w niektórych metodach wykrywania oraz mierzenia natężenia współliniowości

Elżbieta Maksymiak

Macierze brzegowe w niektórych

metodach wykrywania oraz

mierzenia natężenia współliniowości

Annales Universitatis Mariae Curie-Skłodowska. Sectio H, Oeconomia 24,

311-317

LUBLIN-POLONIA

VOL.XXIV,28_____________SECTIO H______________________ 1990 Zakład Nauk Ekonomicznych

Filii UMCS w Rzeszowie

E lż b ie ta M A K SY M IA K

M acierze brzegowe w niektórych m etodach w ykrywania oraz

mierzenia natężenia współliniowości

The Borderline M atrix in Selected Methods of Detecting and Measuring the Intenity of Collineation

N iech x oraz X o zn a cza ją zbiór zm iennych X i , JC2, Xjc oraz m acierz

(o w y m ia ra c h n x k ) , k tó rej elem en t je s t w arto ścią j - tej zm iennej d la i - tej o b serw acji ( i= l,2 ,...,n ; j = l ,2 ,...,k ) , czyli

x = № ,x2, . . .x *} zas X = *11 X12 Xlk X2 1 X2 2 * • • X2k x n l %n2 ’ ’ ’ %nk

W lite ra tu rz e p rz e d m io tu ro zró żn ia się d w a ro d zaje w spółliniow ości; w spółlinio- w osć a lg e b ra ic z n ą oraz s ta ty sty c z n ą .

D efinicja 1

Z m ienne X \ , X2, ..-X k są w spółliniow e algebraicznie w te d y i ty lk o

3 1 2 Elżbieta Maksymiak

ta je s t rów now ażna stw ierd zen iu , że zjaw isko w spólliniow ości algeb raiczn ej w zbiorze x w ystęp u je w ted y i tylk o w ted y , gdy

k V A = ° fi 6 R k •6{l,21...,n> j = 1 P # 0 gdzie fij je s t j - t ą w spółrzędn ą w e k to ra D efinicja 2 Zm ienne X \ , X2, X ^ są w spółliniow e s ta ty s ty c z n ie w te d y i ty lk o

w tedy, gdy co najm niej je d n a z nich je s t silnie sk o relo w an a z p o zo stały m i. Specyficzny c h a ra k te r zm iennych ekonom icznych sp ra w ia , że w eko­ n o m etrii p rz y d a tn a je s t p rzed e w szy stk im d efinicja w spólliniow ości s t a t y ­ sty czn e j. D ane em piryczne najczęściej m a ją p o s ta ć szeregów czasow ych. D la ta k ic h d anych w spółliniow ość je s t zjaw iskiem ty p o w y m , gdyż często m a ją one ten d en cję do p odo b n eg o k sz ta łto w a n ia się w czasie. W p rz y p a d k u d a ­ n ych przekrojow ych w ystępo w an ie w spólliniow ości tłu m a c z y się najczęściej ten d en c ję do dość p rop o rcjo n aln eg o zm ien ian ia się obserw ow anych wielkości n a sk u tek zm ian je d n o stk i obserw acji.

W n iniejszym a rty k u le p rz ed staw iam y zasto so w an ie m acierzy b rzego ­ w ych w w y b ra n y ch m e to d a c h w spólliniow ości, ja k m e to d a F a rr a ra - G la u b e r a , S ch ip sa-S tiera oraz T heila.

Niech R — [r,y] ( i , j = 1 ,2 ,..., k ) będzie m acie rzą k o relacji d la zm ien ­ nych zbioru { X \ , X2, Xk ) .

D. E. F a rra r i R. R. G la u b e r1 p ro p o n u ją ta k ą m e to d ę w y k ry w an ia w spólliniow ości w któ rej o k re śla ją m iarę 19j p o staci:

~ j+i...k ~ Ro.i...k { j = I» 2, ( l )

gdzie R j.i...j- ij+ i...k o znacza w spółczynnik ko relacji w ielorakiej m iędzy zm ien n ą X j a p o zo stały m i zm iennym i zb io ru x> zaś Ą u ...* j es^ w sp ó łczy n n i­ kiem korelacji w ielorakiej m iędzy z m ien n ą o b ja ś n ia n ą Y a zm ien n y m i o b ja śn ia ją c y m i X i , X2, •••A’*. . J.eżeli

V ; <? < o, j e {1

,

,...,*}

XD.E. F arrar, R.R Glauber: Multicollineary in Regresion Analysis: The Problem Revised "Review of Economics and Statistics 1967, vol. 49; Theil H.: Principles of Econometries North - Holland Publishing Company, Am sterdam - London 1971.

to w zbiorze x n ie w y stęp u je zjaw isko współliniowości. Jeżeli

A * i >. to zm ienn e zbiory \ są współliniow e.

W iad o m o , że w spółczynniki Rj . i . . . j -i j+i...,k ~ Rq.i...k w y ra ż a ją się o d ­

pow ied n io w zoram i:

«0.1...* = <J(RP)T R - l R° , (3)

gdzie R j j je s t p o d m acie rzą m acierzy R p o w stałą przez skreślenie j-te g o w ier­ sza oraz j-te j kolum ny,

(i?) = [ +

( R ° ) T - [rYX i r Y X 2 - r Y X k}

zaś r y X j o zn acza w spółczynnik korelacji m iędzy zm ien ną o b ja śn ia ją c ą Y i z m ien n ą X j .

O blicznie w spółczynnika -fty.i...y-i y+i...* oraz Rq.i...Ic o d p o w ied n io ze w zorów (2), (3) sp ro w a d za się przede w szystkim do w y znaczenia m acierzy o d w ro tn y c h (.Ryj)-1 i i?- 1 .

A by tego u n ik n ąć w spółczynniki te m ożn a w p ro sty sposób w yznaczyć k o rz y sta ją c z m acierzy brzegow ych w op arciu o n a stę p u ją c e d w a tw ierd z en ia.

T w ierd zen ie l 2

Jeżeli m acierz w e w n ętrzn a A m acierzy brzegow ej A i zdefiniow anej n a s tę p u ją c o

M = \ A f \ , (4)

O Z

J ( k + l ) z ( A : + l ) gdzie

A - {ai,} (itj

k),

9 [9i,92,

"'ły/c]*

/ T = [ / l , / 2 , •..,/* ],

z

R

detA\

-dTt.A= Z ~ gA f ■

(5)

2M. Kolupa: Macierze brzegowe w badaniach ekonometrycznych, PW E W ar­ szawa 1982.

3 1 4 Elżbieta Maksymiak

T w ierd zen ie 23

Jeżeli m acierz brzegow ą A \ d a n ą w zorem (4 ), której m acierz w ew n ę­ trzn a A je s t n ieosob liw a, sp row ad zam y d o górnej m acierzy trójk ątn ej D , to

d e t A l - A ( r t

* ł A ~ d ' (6)

gdzie d jest elementem macierzy D stojącym w jej prawym dolnym rogu. Na mocy twierdzenia 1 oraz wzorów (2) i (3) współczynniki:

j| ...jfc, Ro.i...* wyrażają się wzorami:

(V

10

,

y

V

2. W tym celu należy sprowadzić macierze i?11, R1 do górnych macierzy trójkątnych wykonując odpowiednie przekształcenia elementarne. Wówczas elementy stojące w prawych dolnych rogach tak otrzymanych macierzy są równe wspomnianym wyżej ilorazom, czyli współczynnikowi R?A

o r a z * 0 .1 ...*

-B. Schips i W. Stier4 jako miarę natężenia współliniowości proponują współczynnik A określony wzorem

^ ~ R%.l...k ~ r Y X j -

3=1

11

3 Ibidem.

4B. Scips, W. Stier: Bestimmung der Answirkung von M ultikollinearität zwi­ schen den erklärenden Variablen in linearen Regressionsmodellen auf Kleinst - Qu­ adrate Schätzwerte durch Simulation, "Statistische Hefte” 1971, nr 2.

W spółczynnik te n p rz y jm u je w arto ści z przedziału < - k -f 1 ,0 > . S chips i S tie r tw ie rd z ą , że jeżeli A = 0, to zm ienne X i , X2, ..., X]ę nie są skorelow ane.

W p rzeciw n y m w y p a d k u , gdy A ^ 0 zm ienne X \ t X 2} -■■,X]e s ą skorelow ane. N a tę żen ie w spółliniow ości w zbiorze x j es^ ty m w iększe, im bard ziej A różni się od zera. W pow yższej m eto d zie w spółcznnik R o.\...k rów nież m o żn a obli­ czyć n a p o d sta w ie w zoru (8) i tw ierd z en ia 2.

W p ra c a c h G ru szczyńskiego5 i T h eila, ja k o m iarę n a tę ż e n ia w spóllinio- wosci p ro p o n u je się w spółczynnik

k

& — ^ 0 .1 ...* ~ £ ( * o2.i...* ~ ^ 0 . 1 . . . y l / + l . . . * ) -3= 1

W sp ó łczy n n ik t? p o d o b n ie A je s t m ia rą należącą do p rzedziału < — k + 1 ,0 > i je g o m a ła w a rto ść św iadczy o silnej współliniow ości w zbiorze x • D ° o bli­ c z a n ia w sp ó łczy n n ik a t? m o żn a rów nież w ykorzy stać tw ierd zen ie 1 i 2.

W iad o m o , że

= ( j = 1 , 2 ,

s tą d n a m ocy tw ie rd z e n ia 1 w spółczynnik w y ra ża się w zorem

gdzie

p rz y czy m Rfj o zn a cza w e k to r p o staci

[ r Y X i + l ~ r Y X

k]-Z kolei a b y w yznaczyć iloraz należy w y k o rzy stać tw ierd z en ie 2

d e t R j j

i sp ro w a d zić m acierz R!^ (w ykonując p rz ek ształce n ia e le m e n ta rn e ) do p o sta c i górnej m acierzy tró jk ą tn e j. E lem en t sto jący w p ra w y m d o ln y m ro g u ta k o trz y m a n e j m acierzy będzie rów ny k w a d rato w i w sp ó łczy n n ik a -Rb.i...j'-li+i...Jb* W spółczynnik R o.i...k m o żn a rów nież obliczyć k o rz y s ta ją c z w zoru (8) i tw ie rd z e n ia 2.

5H. Gruszczyński: Współliniowość zmiennych i jej wpływ na estymację modeli ekonometrycznych. Praca doktorska, maszynopis, SGPiS, Warszawa 1977.

316 Elżbieta Maksymiak

Poniżej p rz ed staw iam y p rzy k ład liczbow y ilu s tru ją c y zasto so w an ie m acierzy brzegow ych w m eto d zie F a rra ra -G la u b e ra .

P rzykład:

Niech x — { ^ i > ^ 2 > ^3} oraz

(

)

^ 2 = # 2 . 1 3 ~ # 0 .1 2 3

A by w yznaczyć #2.13 i R q .123 przy pom ocy w zorów (2) i (3) należy obliczyć { R22

^

W ted y

czyli (t?2 = \/o !6 5 - v/0 3 6 - 0.8 - 0.6 = 0.2

Z kolei obliczam y t?2 w y k orzy stując m acierze brzegow e.

K o rz y sta ją c z wzorów (9), (10) i (12) o trz y m u je m y m acie rze R u , R 1 n astęp u ją cej p o staci:

Z godnie z tw ierd zen iem 2 przek ształcam y m acierz R 11 oraz R ' do p o staci górnej m acierzy tró jk ą tn e j. W w yniku tych p rzek ształceń o trzy m u jem y :

czyli i?2.i3 = \/0 .6 5 ~ 0.8 oraz Rq.u s = \/0 .3 6 ~ 0.6. S tą d t?2 = 0.2.

P o d su m o w u ją c należy stw ierdzić, że m acierze brzegow e w y k o rzy ­ s ta n e w wyżej o m aw iany ch m e to d a c h b a d a n ia współliniow ości zm ien ny ch o b ja śn ia ją c y c h w zn aczn y m s to p n iu u ła tw ia ją obliczenie w y stęp u jąc y ch w n ich w spółczynników .

SUM M ARY

T he present article is devoted to the application of the borderline m atrix in three m ethods of stu d yin g collineation; the m ethods of Farrar-Glauber, Schips-Stier and T heil. C ertain properties of these m atrixes make it possible to calculate the values of different coefficient applied in these m ethods.