Wojciech Maćkowiak 2 lipca 2004 roku
Zagadnienia z analizy I
I Kresy niepustych podzbiorów prostej rzeczywistej. II Granica ciągu.
1. Ciągi zbieżne. Ograniczoność ciągów zbieżnych. Twierdzenie o operacjach algebraicznych na granicy ciągu. Warunek Cauchy’ego.
2. Podciągi ciągu, Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa. 3. Twierdzenie o granicy ciągu monotonicznego. Liczba e. 4. Ciągi rozbieżne do nieskończoności.
5. Zbiór punktów skupienia ciągu, granice górna i dolna, związek z istnieniem granicy ciągu.
III Szeregi liczbowe.
1. Zbieżność szeregu liczbowego. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Warunek Cauchy’ego zbieżności sze-regu. Szereg harmoniczny i anharmoniczny.
2. Kryteria zbieżności: porównawcze, Cauchy’ego, d’Alamberta. 3. Twierdzenie o zagęszczaniu.
4. Szeregi naprzemienne. Twierdzenia Leibniza i Abela. 5. Twierdzenie Cauchy’ego o iloczynie szeregów.
6. Przemienność szeregów bezwzględnie zbieżnych. Twierdzenie Riemanna. 7. Szeregi potęgowe. Promień i przedział zbieżności szeregu potęgowego.
IV Granica funkcji w punkcie.
1. Warunek Heinego a to, by granica funkcji f w punkcie x była równa y. Warunki Cauchy’ego (we wszystkich układach x i y).
2. Granica lewostronna i prawostronna, związek z istnieniem granicy.
3. Zbiór liczb granicznych, granica dolna i górna funkcji w punkcie, związek z istnieniem granicy funkcji w punkcie.
4. Twierdzenia o granicy: sumy, iloczynu i ilorazu funkcji.
V Ciągłość funkcji.
1. Warunki Heinego i Cauchy’ego ciągłości funkcji w punkcie. 2. Ciągłość a istnienie granicy funkcji w punkcie.
3. Twierdzenie o ciągłości złożenia funkcji, ciągłości sumy, iloczynu i ilorazu funkcji.
4. Funkcje ciągłe. Własności funkcji ciągłych określonych na przedziale [a, b]: twierdzenie Weierstrassa (o osiąganiu kresów), własność Darboux, ciągłość funkcji odwrotnej, ciągłość jednostajna.
VI Ciągi i szeregi funkcyjne.
1. Zbieżność punktowa a zbieżność jednostajna ciągu funkcyjnego.
2. Twierdzenie o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych. 3. Warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej ciągu funkcyjnego.
4. Szeregi funkcyjne. Kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. 5. Ciągłość szumy szeregu funkcyjnego na przedziale zbieżności.
