–
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego
Inżynieria Środowiska
w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”
Projekt „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość” jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Ciągłość funkcji
14. Ciągłość funkcji
Niech f : D → R, D ⊂ R, a x
0∈ D. Mówimy, że funkcja f jest ciągła w x
0wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
ε>0∃
δ>0∀
x∈D|x − x
0| < δ =⇒ |f(x) − f(x
0) | < ε.
Niech dana będzie funkcja f : D → R, D ⊂ R, x
0∈ D. Funkcja f jest ciągła w punkcie x
0wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
(xn)∞n=1⊂Dx
n→ x
0= ⇒ f(x
n) → f(x
0).
Mówimy, że funkcja f : D → R, D ⊂ R jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie x
0∈ D.
Wszystkie funkcje elementarne: wielomiany, funkcje wymierne, funkcje wykładnicze, funkcje logaryt- miczne, funkcje trygonometryczne, funkcje cyklometryczne są funkcjami ciągłymi.
Przykładowe zadania
1. Zbadać ciągłość funkcji
f (x) =
x
2+ 1 dla x 6 0,
1
x
dla 0 < x 6 1, x dla x > 1.
Rozwiązanie:
Poza punktami x
1= 0 i x
2= 1 funkcja jest ciągła, gdyż jest zawężeniem funkcji elementarnych.
Należy zatem zbadać ciągłość funkcji f w punktach x
1= 0 i x
2= 1. W tym celu policzymy granice obustronne w obu punktach.
lim
x→0−
f (x) = lim
x→0−
(x
2+ 1) = 1, lim
x→0+
f (x) = lim
x→0+ 1
x
= + ∞, zatem lim
x→0−
f (x) ̸= lim
x→0+
f (x), czyli nie istnieje lim
x→0
f (x), zatem f jest nieciągła w punkcie x
1= 0
x→1
lim
−f (x) = lim
x→1− 1
x
= 1, lim
x→1+
f (x) = lim
x→1+
x = 1, zatem lim
x→1
f (x) = 1 = f (1), zatem f jest ciągła w punkcie x
2= 1
Odpowiedź: Funkcja f nie jest ciągła w punkcie x = 0. Natomiast jest ciągła w zbiorze R \ {0}.
Zadania
Zbadać ciągłość funkcji f : R → R określonej następująco:
1. f (x) =
x2−4
x−2
dla x ̸= 2, 4 dla x = 2.
2. f (x) =
0 dla x 6 −1,
x
2− 2x + 3 dla −1 < x 6 2, x + 1 dla x > 2.
3. f (x) =
{
cos(2x) dla x < 0, 1 + 2 sin x dla x > 0.
4. f (x) =
{ 1−x
x2−5x+4
dla x < 1, x
2−
103x +
83dla x > 1.
5. f (x) =
x2−1
x3+1
dla x < −1, x
2+ 1 dla − 1 6 x 6 1,
2
x3
dla x > 1.
6. f (x) =
cos x dla x 6 −
π4,
√ − sin x dla −
π4< x < 0, e
x− 1 dla x > 0.
72
Ciągłość funkcji
7. Na podstawie rysunku, który przedstawia wykres funkcji f , ocenić, czy następujące zdania są praw- dziwe:
a) D
f= R.
b) f (x) > 0 dla x ∈ (−1, 1).
c) Funkcja f jest ciągła w przedziale ( −∞, −1).
d) lim
x→+∞
f (x) = f (0).
e) Prosta x = −1 jest asymptotą pionową wykresu funkcji f.
f) Funkcja f ma co najmniej dwa miejsca zerowe.
g) lim
x→−2−
f (x) = f (
32) − 2.
8. Na podstawie rysunku, który przedstawia wykres funkcji f , ocenić, czy następujące zdania są praw- dziwe:
a) D
f= R \ {−1, 1}.
b) f (x) < 0 dla x ∈ (1, 3).
c) Funkcja f jest rosnąca w przedziale (−1, 0).
d) lim
x→−1+
f (x) = f (2).
e) Prosta y = 0 jest asymptotą poziomą wykresu funkcji f . f) Funkcja f jest ciągła dla x ∈ R \ {−1, 1, 3}.
g) lim
x→+∞
f (x) ̸= −f(3).
9. Na podstawie rysunku, który przedstawia wykres funkcji f , ocenić, czy następujące zdania są praw- dziwe:
a) Funkcja f jest malejąca w zbiorze ( −2, −1) ∪ (2, +∞).
b) f (x) > 0 dla x ∈ (2, +∞).
c) Funkcja f jest ciągła.
d) f (x) < 0 dla x ∈ (−∞, −3).
e) lim
x→+∞
f (x) = lim
x→−3−
f (x).
f) f ( −2) = f(−3) + f(0).
10. Na podstawie rysunku, który przedstawia wykres funkcji f , ocenić, czy następujące zdania są praw- dziwe:
a) Funkcja f jest rosnąca w zbiorze ( −3, −2) ∪ (0, 1).
b) f (x) < 0 dla x ∈ (−2, 0).
c) Prosta y = −2 jest asymptotą poziomą wykresu funkcji f w + ∞.
d) Funkcja f jest ciągła w ( −∞, −3].
e) lim
x→−3+
f (x) = −f(0).
f) f (1) = 1 − f(−3).
73
Ciągłość funkcji
11. Na podstawie rysunku, który przedstawia wykres funkcji f , ocenić, czy następujące zdania są praw- dziwe:
a) Prosta x = −2 jest asymptotą pionową wykresu funkcji f .
b) lim
x→1−
f (x) = f (2).
c) f (x) < 0 dla x ∈ (−1, 1].
d) lim
x→+∞
f (x) = f (0) − 1.
e) Funkcja f nie jest ciągła w dokładnie dwóch punktach.
f) f (x) > 0 dla x ∈ (−∞, −3].
74
