Szeregi liczbowe

(1)

Analiza Matematyczna. Szeregi liczbowe

Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

(2)

Szeregi liczbowe

•Szeregi liczbowe •Zbie˙zno´s´c •Szeregi o wyrazach nieujemnych •Zbie˙zno´s´c warunkowa i bezwzgl ˛edna

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

(3)

Szeregi zbie˙zne i rozbie˙zne

Definicja 1. 1. Szeregiem liczbowym nazywa si ˛e formalna suma

u

₁

+ u

₂

_{+ · · · + u}

k

+ · · · =

∞

X

k₌₁

u

k

,

(1) gdzie

u

k

∈ R

dla

k = 1, 2, . . .

. 2. Suma

S

n

= u

₁

+ u

₂

+ · · · + u

n

=

n

P

k₌₁

u

k nazywa si ˛e sum ˛a

cz ˛e´sciow ˛a szeregu 1.

3. Szereg 1 nazywa si ˛e zbie˙znym, je˙zeli istnieje granica

S = lim

_n→∞

S

n ci ˛agu sum cz ˛e´sciowych przy

n → ∞

.

4. Granica ta nazywa si ˛e sum ˛a szeregu 1, oznaczenie

S =

P

∞

k₌₁

u

k.

(4)

Przykłady szeregów

•Szeregi liczbowe •Zbie˙zno´s´c •Szeregi o wyrazach nieujemnych •Zbie˙zno´s´c warunkowa i bezwzgl ˛edna Przykład 2. 1.

P

∞ k₌₁

q

k. 2.

P

∞ k₌₁ xk−1 (k−1)!. 3. ∞

P

k₌₁ (−1)k−1x2k−1 (2k−1)! . 4. Szereg harmoniczny: ∞

P

k₌₁ 1 k.

(5)

Własno ´sci szeregów zbie˙znych

Twierdzenie 3. Niech dane b ˛ed ˛a dwa zbie˙zne szeregi

P

∞

k₌₁

u

k oraz ∞

P

k₌₁

v

k. Wtedy

1. Suma i ró˙znica ci ˛agów jest zbie˙zn ˛a, przy czym

∞

P

k₌₁

(u

k

± v

k

) =

∞

P

k₌₁

u

k

±

∞

P

k₌₁

v

k. 2.

∀λ ∈ R

szereg ∞

P

k₌₁

λu

k jest zbie˙znym oraz ∞

P

k₌₁

λu

k

= λ

∞

P

k₌₁

u

k.

3. Szereg, otrzymany z szeregu

∞

P

k₌₁

u

k zamian ˛a sko ´nczonej ilo´sci

(6)

Kryterium Cauchy’ego zbie˙zno ´sci szeregów

Twierdzenie 4 (Kryterium Cauchy’ego). Szereg

P

∞

k₌₁

u

k jest

zbie˙znym wtedy i tylko wtedy, gdy

∀ε > 0 ∃N ∈ N

takie, ˙ze

∀n

1

> n

2

> N

spełnia si ˛e nierówno´s´c

n₁

P

k_=n₂

u

k

< ε

.

Wniosek 5 (Konieczny warunek zbie˙zno´sci szeregu). Niech szereg

∞

P

k₌₁

u

k b ˛edzie zbie˙znym. Wtedy

u

k

= o(1)

przy

k → ∞

.

Przykład 6. Szereg ∞

P

k₌₁ 1−k2 1+20k+400k2 jest rozbie˙znym.

Uwaga 7. Warunek 5 nie jest dostatecznym warunkiem zbie˙zno´sci szeregu, patrz, na przykład, szereg harmoniczny.

(7)

Szeregi o wyrazach nieujemnych

Twierdzenie 8. Szereg o wyrazach nieujemnych jest zbie˙znym

wtedy i tylko wtedy, gdy ci ˛ag sum cz ˛e´sciowych jest ograniczonym

Twierdzenie 9 (Kryterium porównawcze zbie˙zno´sci szeregu

o wyrazach nieujemnych). Niech, poczynaj ˛ac z pewnego

k

, zachodzi nierówno´s´c

0 6 u

k

6 v

k. Wtedy

1. Je˙zeli szereg

P

∞ k₌₁

v

k jest zbie˙znym, to ∞

P

k₌₁

u

k te˙z jest zbie˙znym.

2. Je˙zeli szereg

P

∞ k₌₁

u

k jest rozbie˙znym, to ∞

P

k₌₁

v

k te˙z jest rozbie˙znym. Przykład 10. 1. Szereg

P

∞ k₌₁ 1

2+bk, gdzie

b > 0

jest zbie˙znym dla

b > 1

oraz rozbie˙znym dla

0 < b 6 1

.

2. Szereg

P

∞

k₌₁ 1

(8)

Kryterium d’Alemberta

Twierdzenie 11 (Kryterium d’Alemberta zbie˙zno´sci szeregu

o wyrazach nieujemnych). Niech b ˛edzie

u

k

> 0

oraz

lim

_k→∞ uk+1 u_k

= L

. Wtedy 1. Je˙zeli

L < 1

, to ∞

P

k₌₁

u

k jest zbie˙znym. 2. Je˙zeli

L > 1

, to

P

∞ k₌₁

u

k jest rozbie˙znym. Przykład 12.

P

∞ k₌₁ (√k₎k k_! .

Uwaga 13. Je˙zeli w warunkach twierdzenia 11

lim

_k→∞ uk+1_u

k

= 1

,

co szereg

P

∞

k₌₁

u

k mo˙ze by´c zarówno zbie˙znym ( ∞

P

k₌₁

1/k

2, dowód b ˛edzie podany pó´zniej) jak i rozbie˙znym (

P

∞

k₌₁

(9)

Kryterium Cauchy’ego

Twierdzenie 14 (Kryterium Cauchy’ego zbie˙zno´sci szeregu

o wyrazach nieujemnych). Niech b ˛edzie

u

k

>

0

oraz

lim

_k→∞

√

k

_u

k

= L

. Wtedy 1. Je˙zeli

L < 1

, to ∞

P

k₌₁

u

k jest zbie˙znym. 2. Je˙zeli

L > 1

, to

P

∞ k₌₁

u

k jest rozbie˙znym. Przykład 15. ∞

P

k₌₁ k 2k.

(10)

Całkowe kryterium Cauchy’ego-Maclaurina

Twierdzenie 16 (Całkowe kryterium Cauchy’ego-Maclaurina

zbie˙zno´sci szeregu o wyrazach nieujemnych). Niech dana b ˛edzie

funkcja

f (x)

: nieujemna i niemalej ˛aca na półprostej

[m, +∞)

, gdzie

m ∈ Z

. Wtedy szereg

∞

P

k_=m

f (k) = f (m) + f (m + 1) + f (m + 2) + . . .

jest zbie˙znym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica ci ˛agu

lim

n→∞ n

R

m

f (x) dx

.

Dowód.

∀k > n

,

∀x ∈ [k, k + 1]

zachodzi nierówno´s´c

f (k) 6 f (x) 6 f (k + 1)

. Wynika st ˛ad, ˙ze

k₊₁

Z

k

f (k) dx 6

k₊₁

Z

k

f (x) dx 6

k₊₁

Z

k

f (k + 1) dx.

(11)

Całkowe kryterium Cauchy’ego-Maclaurina. Przykład

P

∞ k₌₁ 1 kα, 2.

P

∞ k₌₂ 1 k_lnβ k.

(12)

Zbie˙zno ´s ´c warunkowa i bezwzgl ˛edna

•Szeregi liczbowe •Zbie˙zno´s´c •Szeregi o wyrazach nieujemnych •Zbie˙zno´s´c warunkowa i bezwzgl ˛edna Definicja 18. 1. Szereg

P

∞ k₌₁

u

k nazywa si ˛e zbie˙znym

bezwzgl ˛ednie (bezwarunkowo), je˙zeli zbie˙znym jest szereg

∞

P

k₌₁

|u

k

|

. 2. Zbie˙zny szereg

P

∞ k₌₁

u

k nazywa si ˛e zbie˙znym

warunkowo,zbie˙zno´s´c warunkowa je˙zeli szereg

∞

P

k₌₁

|u

k

|

jest

rozbie˙znym.

Twierdzenie 19. Je˙zeli szereg

P

∞

k₌₁

|u

k

|

jest zbie˙znym, to szereg ∞

P

k₌₁

(13)

Zbie˙zno ´s ´c warunkowa i bezwzgl ˛edna. Przykłady

P

∞ k₌₁ (−1)k−1 k2 , 2.

P

∞ k₌₁ (−1)k−1 k .

Twierdzenie 21 (Riemann). Niech szereg

P

∞

k₌₁

u

k b ˛edzie zbie˙znym

warunkowo. Wtedy

∀L ∈ R

mo˙zna tak przestawi´c wyrazy szeregu, ˙ze szereg przekształcony zostanie zbie˙znym do

L

.

Twierdzenie 22 (Cauchy). Niech szereg

∞

P

k₌₁

u

k b ˛edzie zbie˙znym

bezwarunkowo. Wtedy dowolny szereg otrzymany poprzez przestawienie wyrazów z istotnego szeregu b ˛edzie zbie˙znym bezwarunkowo do tej samej sumy.

(14)

Szeregi przemienne

•Szeregi liczbowe •Zbie˙zno´s´c •Szeregi o wyrazach nieujemnych •Zbie˙zno´s´c warunkowa i bezwzgl ˛edna Definicja 23. Szereg

P

∞ k₌₁

u

k nazywamy przemiennym, je´sli jego

wyrazy s ˛a naprzemian dodatnie i ujemne.

Twierdzenie 24 (Leibniz). Je´sli

1.

0 6 u

k₊₁

6 u

k dla

k = 1, 2, . . .

, 2.

lim

_k→∞

u

k

= 0

, to szereg ∞

P

k₌₁

(−1)

k

u

k jest zbie˙znym. Przykład 25.

P

∞ k₌₁ (−1)k k