Całka z pierwiastkami
dowolnego stopnia z funkcji
liniowej lub homograficznej
Autorzy:
Tomasz Drwięga
(1)
(2)
(3)
(4)
Całka z pierwiastkami dowolnego stopnia z funkcji liniowej lub homograficznej
Całka z pierwiastkami dowolnego stopnia z funkcji liniowej lub homograficznej
Autor: Tomasz Drwięga
TWIERDZENIE
Twierdzenie 1:
Twierdzenie 1: o całkowaniu funkcji niewymiernej z pierwiastkiem dowolnych
o całkowaniu funkcji niewymiernej z pierwiastkiem dowolnych
stopni z tej samej funkcji liniowej
stopni z tej samej funkcji liniowej
Całkę postaci
gdzie jest funkcją wymierną wielu zmiennych, sprowadzamy do całki z funkcji wymiernej zmiennej , stosując podstawienie
gdzie
TWIERDZENIE
Twierdzenie 2:
Twierdzenie 2: o całkowaniu funkcji niewymiernej z pierwiastkiem dowolnych
o całkowaniu funkcji niewymiernej z pierwiastkiem dowolnych
stopni z tej samej funkcji homograficznej
stopni z tej samej funkcji homograficznej
Całkę postaci
gdzie oraz jest funkcją wymierną wielu zmiennych, sprowadzamy do całki z funkcji wymiernej zmiennej , stosując podstawienie
gdzie
Głównym celem podstawienia w całce z pierwiastkiem z funkcji homograficznej jest to, aby zamiast rozwiązywać całkę z funkcji niewymiernej mieć do rozwiązywania całkę z funkcji wymiernej. Poniższe przykłady przybliżą nam w jaki sposób należy postępować w obliczaniu całki, w której występuje pierwiastek z funkcji liniowej albo homograficznej.
∫ R (x,
√
n1ax + b
− −
−−−
,
n2√
− −
ax + b
−−−
, …,
nk√
− −
ax + b
−−−
) dx,
R
t
t =
√
Nax + b
− −
−−−
,
N = NWW( , , …, ).
n
1n
2n
k∫ R (x,
ax+b,
, …,
) dx,
cx+d− −
−−
√
n1 ax+b cx+d− −
−−
√
n2 ax+b cx+d− −
−−
√
nk≠ 0
∣
∣∣
a
c
b
d
∣
∣∣
R
t
t =
ax+b,
cx+d− −
−−
√
NN = NWW( , , …, ).
n
1n
2n
k(5) (6) (7) (8)
PRZYKŁAD
Przykład 1:
Przykład 1:
Obliczmy całkęZauważmy, że w powyższej całce występują pierwiastki różnych stopni z tej samej funkcji liniowej Zatem w rozwiązaniu całki zastosujemy podstawienie
ponieważ
Przekształcając stronami powyższe podstawienie otrzymujemy
a następnie licząc różniczkę stronami mamy
Stąd
Następnie wykonując dzielenie wielomianów z resztą, otrzymujemy
Zatem mamy
Wracając do całki mamy
Następnie wracając poprzez podstawienie do otrzymujemy
∫
dx + 1−x √ √31−x1 − x.
t =
√
6− −
1 − x
−−−
,
6 = NWW(2, 3).
t
6x
1 − x
− −
−−−
√
1 − x
− −
−−−
√
[3= 1 − x,
= 1 − ,
t
6=
√
−−
t
6= ,
t
3=
√
[3−−
t
6= ,
t
2dx = −6 dt.
t
5.
I = ∫
dx
= −6 ∫
dt
+
1 − x
− −
−−−
√
√
[31 − x
− −
−−−
t
5+
t
6−−
√
√
[3−−
t
6= −6 ∫
t
3t
+
5t
2dt = −6 ∫
t
3t
+
5t
2dt = −6 ∫
t + 1
t
3dt.
( )
t
3− −
t
3t
2−
−−−−−
−
−t
2+ t
t
2− −
−−−
t
−t − 1
−
−−−−
−
−1
: (t + 1) = − t + 1
t
2= − t + 1 −
.
t3 t+1t
2 t+11I = −6 ∫ ( − t + 1 −
t
2t + 1
1
) dt = −6 ∫ ( − t + 1) dt + 6 ∫
t
2t + 1
dt
=
= −6 ( −
t
3
3t
2
2+ t) + 6 ln |t + 1| + C = −2 + 3 − 6t + 6 ln |t + 1| + C.
t
3t
2x
I = −2
√
− −
1 − x
−−−
+ 3
√
[3− −
1 − x
−−−
− 6
√
[6− −
1 − x
−−−
+ 6 ln
+ 1 + C.
∣∣ 1 − x
√
[6− −
−−−
∣∣
(9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16)
PRZYKŁAD
Przykład 2:
Przykład 2:
Obliczmy całkęW rozwiązaniu całki zastosujemy podstawienie
Przekształcając stronami powyższe podstawienie, otrzymujemy
a następnie różniczkując równanie stronami, mamy
Stąd
Rozkład funkcji podcałkowej na ułamki proste ma wówczas postać:
Mnożąc powyższe równanie obustronnie przez otrzymujemy
Aby wyznaczyć nieznane współczynniki grupujemy wyrazy podobne
i porównując współczynniki przy poszczególnych potęgach otrzymujemy układ równań
Stąd , , i .
Wracając do całki mamy
Wracając do podstawienia otrzymujemy
ZADANIE
∫
x1√
− −
1+x1−x−
dx.
t =
1+x.
1−x− −
−
√
t
2x
=
1 + x
1 − x
,
=
t
2− 1
+ 1
,
t
2dx =
( +1t24t)2dt.
I = ∫
1dx = ∫
⋅ t ⋅
dt = ∫
dt.
x 1+x1−x− −
−
√
1 −1 t2 +1 t2 4t ( +1t2 )2 4t 2 ( −1)( +1)t2 t2=
+
+
.
4t2 (t+1)(t−1)( +1)t2 t+1A t−1B Ct+Dt2+1( − 1)( + 1)
t
2t
24 = A(t − 1)( + 1) + B(t + 1)( + 1) + (Ct + D)( − 1).
t
2t
2t
2t
24 = (A + B + C) + (−A + B + D) + (A + B − C)t − A + B − D
t
2t
3t
2⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
A + B + C = 0
−A + B + D = 4
A + B − C = 0
−A + B − D = 0.
A = −1 B = 1 C = 0 D = 2
I = ∫ (
t + 1
−1
+
t − 1
1
+
t
2+ 1
2
) dt = − ∫
t + 1
dt
+ ∫
t − 1
dt
+ 2 ∫
t
2dt
+ 1
= − ln |t + 1| + ln |t − 1| + 2 arctg t + C = ln
∣
∣∣
t − 1
t + 1
∣
∣∣
+ 2 arctg t + C.
I = ln
∣
+ 2 arctg
+ C.
∣
∣
√1+x1−x−1 +1 1+x 1−x √∣
∣
∣
1+x 1−x− −
−
√
(17) (18) (19) (20) (21)
Zadanie 1:
Zadanie 1:
Treść zadania: Treść zadania: Oblicz całkę Rozwiązanie: Rozwiązanie: Zastosujmy podstawieniez którego po przekształceniach mamy
a następnie różniczkując równanie stronami
Wówczas
Wówczas rozkład na ułamki proste ma postać
i stąd po przemnożeniu równania przez mianownik lewej strony oraz pogrupowaniu wyrazów podobnych otrzymujemy zależność
Zatem szukane liczby spełniają układ równań
Stąd , i i wracając do całki mamy
∫
√
3− −
3x+41−x−−
dx.
t =
3x+4,
1−x− −
−−
√
3t
3x
3x + 4
1 − x
−
−−−−
−
√
[3=
3x + 4
1 − x
,
=
t
t
33− 4
+ 3
,
=
√
[3−−
t
3= t,
dx =
21t2dt.
( +3t3 )2I = ∫
√
[3−
3x + 4
1 − x
−−−−
−
dx = ∫ t ⋅
21t
2dt
( + 3
t
3)
2= ∫ 7t ⋅
( + 3
3t
2dt =
t
3)
2∣
∣
∣
∣
g
′=
f = 7t
3t2dt
( +3t3 )2= 7dt
f
′g =
−1 +3 t3∣
∣
∣
∣
= −
7t
+ 3
+ 7 ∫
= −
+ 7 ∫
.
t
3t
3dt
+ 3
t
37t
+ 3
(t +
√
[33
)( −
dt
t +
)
t
2√
[33
√
[39
=
+
1 (t+ )( − t+ )√33 t2 √33 √39 t+ 3A√3 t2− t+Bt+C√33 √391 = (A + B) + (− A +
t
2√
33
√
33
B + C)t +
√
39
A +
√
33
C.
⎧
⎩
⎨
A + B = 0
− A +
√
[33
√
[33
B + C = 0
A +
C = 1.
9
√
[3√
[33
A =
√393B = −
√393C =
2 9√39= −
+ 7 ∫
⎛
+
dt
⎝
⎜
− t +
2⎞
⎠
⎟
(22)
(23)
(24)
(25) Następnie z podstawienia mamy
ZADANIE
Zadanie 2:
Zadanie 2:
Treść zadania: Treść zadania: Oblicz całkę Rozwiązanie: Rozwiązanie: Zastosujmy podstawienie ponieważ Po przekształceniach mamya następnie różniczkując stronami otrzymujemy
Wówczas
I = −
7t
+ 3
+ 7 ∫
+
dt
t
3⎛
⎝
⎜
3 √ [3 9t + 3
√
[3− t +
√[393 2 9√[39−
t +
t
2√
[33
√
[39
⎞
⎠
⎟
=
7t
+ 3
+
∫
−
∫
dt
t
37 3
√
[39
t + 3
dt
√
[37 3
√
[39
t − 2 3
√
[3−
t +
t
2√
[33
√
[39
=
7t
+ 3
+
ln t +
−
∫
dt +
∫
t
37 3
√
[39
∣∣
√
[33
∣∣ 7 3
√
[318
2t − 3
√
[3−
t +
t
2√
[33
√
[39
7 9
√
[36
t
2−
√
[3dt
3
t +
√
[39
=
t
37t
+ 3
+
7 3
√
9
[3ln t +
∣∣
√
[33
−
ln −
t +
+
∫
∣∣
7 3
18
√
[3∣∣t
2√
[33
√
[39
∣∣ 7 9
√
[36
dt
+
(t −
√[33)
2 2 3 9√[3 4=
t
37t
+ 3
+
7 3
√
[39
ln t +
∣∣
√
[33
−
ln −
t +
+
⋅ arctg
+ C
∣∣
7 3
18
√
[3∣∣t
2√
[33
√
[39
∣∣ 7 3
√
[33 3
√
2t − 3
√
[3⋅
3
√
√
[33
t =
√
3− −
3x+41−x−−
I = (1 − x)
3x+4+
ln
+
⋅ arctg (
) + C.
1−x− −
−−
√
3 7 3√3 18 ( 3x+4+ ) 1−x √3 √33 2 − + ∣ ∣ ∣ (3x+4) 1−x 2 √3 9x+12 1−x √3 √39∣ ∣ ∣ 7 3√3 3 3√ 2 3x+4− 1−x √3 √33 ⋅ 3 √ √33∫
dx.
− 1+1 x √ 1+1 x √4t =
1 +
1,
x− −
−−−
√
44 = NWW(2, 4).
t
4x
1 + 1
x
− −
−−−
√
1 + 1
x
− −
−−−
√
[4= 1 + ,
1
x
=
t
41
− 1
,
=
√
t
−−
4= ,
t
2=
√
[4t
−−
4= t,
dx =
−4t3dt.
( −1t4 )2= ∫
= −4 ∫
dt
= −4 ∫
dt
3(26)
(27) Wówczas rozkład na ułamki proste pierwszego i drugiego rodzaju ma postać:
Mnożąc powyższą równość przez otrzymujemy
Zatem szukane liczby spełniają układ równań
Stąd
Wracając do całki mamy
Wyliczając pozostałe całki
I = ∫
dx
= −4 ∫
= −4 ∫
dt
−
1 +
1 x− −
−−−
√
1 +
1 x− −
−−−
√
[4dt
t3 ( −1t4 )2− t
t
2t
2(t − 1)( − 1
t
4)
2= −4 ∫
(t − 1)( − 1 ( + 1
t
2dt = −4 ∫
dt
t
2)
2t
2)
2t
2(t − 1)(t − 1 (t + 1 ( + 1
)
2)
2t
2)
2= −4 ∫
(t − 1 (t + 1 ( + 1
)
3t
2)
2dt
t
2)
2=
+
+
+
+
+
+
.
t2 (t−1 (t+1 ( +1)3 )2t2 )2 t−1A (t−1)B2 (t−1)C 3 t+1D (t+1)E 2 Ft+Gt2+1 ( +1Ht+Kt2 )2(t − 1 (t + 1 ( + 1
)
3)
2t
2)
2t
2= A(t − 1 (t + 1 ( + 1
)
2)
2t
2)
2+ B(t − 1)(t + 1 ( + 1 + C(t + 1 ( + 1 +
)
2t
2)
2)
2t
2)
2+ D(t − 1 (t + 1)( + 1 + E(t − 1 ( + 1 +
)
3t
2)
2)
3t
2)
2+ (Ft + G)(t − 1 (t + 1 ( + 1) + (Ht + K)(t − 1 (t + 1 .
)
3)
2t
2)
3)
2⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
A + D + F = 0
B − 2D + E − F + G = 0
B + C + 2D − 3E − F − G + H = 0
B + 2C − 2D + 5E + F − G − H + K = 0
−2A + B + 3C − 7E − F + G − 2H − K = 0
−B + 4C + 2D + 7E + F − G + 2H − 2K = 0
−B + 3C − 2D − 5E + F + G + H + 2K = 1
−B + 2C + 2D + 3E − F + G − H + K = 0
A − B + C − D − E − G − K = 0.
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
A = −
641B = −
1 16C =
1 16D = −
3 64E = −
1 32F =
1 16G =
1 16H =
1 8K = .
1 8I = −4 ∫ (
−
641+
+
+
+
+
+
) dt
t − 1
−
1 16(t − 1)
2 1 16(t − 1)
3−
3 64t + 1
−
1 32(t + 1)
2t +
1 16 161+ 1
t
2t +
1 8 18( + 1
t
2)
2= −
64
4
∫ (
t − 1
−1
+
(t − 1)
−4
2+
(t − 1)
4
3+
t + 1
−3
+
(t + 1)
−2
2+
4t + 4
t
2+ 1
+
( + 1
t
8t + 8
2)
2) dt
= − (− ln |t − 1| +
16
1
t − 1
4
−
(t − 1)
2
2− 3 ln |t + 1| +
t + 1
2
+ ∫
4t + 4
+ 1
dt + ∫
dt)
t
28t + 8
( + 1
t
2)
2= − (− ln |(t − 1)(t + 1 | +
16
1
)
36t + 2
−
+ ∫
dt + ∫
dt)
− 1
t
2(t − 1)
2
24t + 4
t
2+ 1
( + 1
t
8t + 8
2)
2∫
4t+4dt = 2 ∫
dt + 4 ∫
= 2 ln | + 1| + 4 arctg t + C
+1 t2 t22t+1 t2dt+1t
2∫
8t + 8
dt
= 4 ∫
2t
dt + 8 ∫
dt
otrzymujemy
Następnie z podstawienia mamy
.
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Data generacji dokumentu: 2019-04-16 01:18:31
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=a4819cd8c72ded67cab8ea236f96bd4b
Autor: Tomasz Drwięga
