Metody obliczania granic ciągów

ciągów

Autorzy:

Katarzyna Czyżewska

Metody obliczania granic ciągów

Metody obliczania granic ciągów

Autor: Katarzyna Czyżewska

Obliczanie granic ciągów, w najbardziej ogólnym rozumieniu, polega na wyznaczeniu symbolu granicznego i jeżeli otrzymujemy symbol oznaczony, to stosujemy odpowiednie twierdzenie podając wartość tego symbolu. Jeżeli otrzymujemy symbol nieoznaczony, to do wyrazu ciągu stosujemy odpowiednie przekształcenia algebraiczne tak, aby powstał symbol oznaczony. Do przekształcania konkretnych symboli nieoznaczonych można stosować szereg metod, które pozwalają wyliczać granice ciągów. Należy zauważyć że podane poniżej metody mają swoje zastosowanie w przypadku ściśle określonych typów ciągów dających w granicy symbol nieoznaczony, jednak są to najczęściej spotykane sytuacje, dlatego warto metody te poznać.

UWAGA

Uwaga 1: Metoda usuwania symbolu

Uwaga 1: Metoda usuwania symbolu

Metoda usuwania symbolu nieoznaczonego polega na wyłączeniu przed nawias w liczniku i mianowniku ułamka możliwie największego wyrażenia w nich występującego, które jest rozbieżne do . W praktyce, jeżeli mamy do czynienia z wielomianami zmiennej naturalnej , wyłączamy przed nawias możliwie największą potęgę zmiennej , jeżeli mamy wyrażenia wykładnicze zmiennej o podstawach większych od jedynki, wyłączamy przed nawias wyrażenie o możliwie największej podstawie itp.

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Oblicz granicę Rozwiązanie:

Obliczamy symbol graniczny otrzymując =

Wyłączamy przed nawias w liczniku i mianowniku zmienną n w możliwie największej potędze, czyli otrzymując

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przykład 2:

Oblicz granicę Rozwiązanie:

Obliczmy symbol graniczny otrzymując

Wyłączamy przed nawias w liczniku , a w mianowniku otrzymując

[ ]

∞

∞

[ ]

∞ ∞

∞

n

n

n

lim

n→∞ 2 +3 −4n+1n3_4(n+3)n2 3

lim

n→∞ 2 +3 −4n+1n 3 _n2 4(n+3)3

[ ]

∞_∞

n

3

=

= [

] =

lim

n→∞ 2 +3 −4n+1n 3 _n2 4(n+3)3

lim

n→∞ (2+ − + ) n3 3 n _n24 _n31 4n3_{(1+ )}3 n 3 2+0−0+0₄₍₁₊₀₎ 1₂

lim

n→∞ (2n−3)( −2n+2)n 2 (3 +1n2 ₎2

=

lim

n→∞ (2n−3)( −2n+2)n 2 (3 +1n2 ₎2

[ ]

∞_∞

n

3

_n

4

=

=

⋅

= [0 ⋅ ] = 0

lim

n→∞ (2n−3)( −2n+2)n 2 (3 +1n2 ₎2

lim

n→∞ (2− )(1− + ) n3 3 n n2 _n22 n4_{(3+ )}1 n2 2

lim

n→∞ 1_n (2− )(1− + )3 n n2 _n22 (3+ )1 n2 2 2⋅1₉

Oblicz granicę Rozwiązanie

Rozpisujemy potęgi pozbywając się sum i różnic w wykładnikach i obliczamy symbol graniczny

Wyłączamy przed nawias w liczniku i mianowniku wyrażenie wykładnicze , otrzymując

PRZYKŁAD

Przykład 4:

Przykład 4:

Oblicz granice

Rozpisujemy potęgi i wyliczamy symbol graniczny

Wyłączamy przed nawias w liczniku , a w mianowniku , otrzymując

PRZYKŁAD

Przykład 5:

Przykład 5:

Oblicz granicę Rozwiązanie:

Obliczany symbol graniczny

Wyłączamy najwyższą potęgę liczby w liczniku i mianowniku

lim

n→∞ ₄n_+3⋅22n+1₂1−n+2⋅_+4⋅3n−1₃n+1

lim

n→∞ ₄n_+3⋅22n+1₂1−n+2⋅_+4⋅3n−1₃n+1

= lim

n→∞ 2⋅ + ⋅4n 2 33n +6⋅ +12⋅ 4n _{( )}1 2 n 3n

= [ ]

∞ ∞

4

n

lim

n→∞ 2⋅ + ⋅4 n 2 33n +6⋅ +12⋅ 4n _{( )}1 2 n 3n

= lim

n→∞ (2+ ⋅ ) 4n 2 3( )34 n (1+6⋅ +12⋅ ) 4n _{( )}1 8 n ( )3 4 n

= [

₁₊₀₊₀2+0

] = 2

lim

n→∞ 5n−1+2⋅3 2n+1 +3⋅ +4⋅ 3n+1 ₄1−2n ₅n+1

=

lim

n→∞ ⋅ +6⋅ 1 55n 9n 3⋅ +12⋅3n _{( )}1 +20⋅ 16 n 5n

[ ]

∞ ∞

9

n

₅

n

=

=

⋅

= ∞

lim

n→∞ ⋅ +6⋅ 1 55n 9n 3⋅ +12⋅3n _{( )}1 +20⋅ 16 n 5n

lim

n→∞ ( ⋅ +6) 9n 1 5( )59 n (3⋅ +12⋅ +20) 5n _{( )}3 5 n ( )1 80 n

lim

n→∞

( )

9₅ n ₆ 20

lim

n→∞ 2 − +1n − 5 _n3 √3 _n2 −2 +3 n6 _n2 √5

= [ ]

lim

n→∞ 2 − +1n − 5 _n3 √3 _n2 −2 +3 n6 _n2 √5 ∞_∞

n

=

=

⋅

= [+∞ ⋅

] = −∞

lim

n→∞ 2 − +1n − 5 _n3 √3 _n2 −2 +3 n6 _n2 √5

lim

n→∞ ( −1) n2 2_{− +} n _n31 _n61 √3 ( ) n65 _{1− +}2 n4 3 n6 √5

lim

n→∞

n

4 5 −1 − + 2 n _n31 _n61 √3 1− +2 n4 3 n6 √5 −1 0 √3 1 √5

UWAGA

Uwaga 2: Metoda usuwania symbolu nieoznaczonego

Uwaga 2: Metoda usuwania symbolu nieoznaczonego

Metoda usuwania symbolu nieoznaczonego polega na zamianie tego wyrażenia na iloczyn lub iloraz, w zależności od charakteru wyrażeń, które od siebie odejmujemy. Jeżeli wyrażenia są różnej mocy, tzn. jedno jest rozbieżne do

dużo szybciej niż drugie, wystarczy dominujące wyrażenie wyłączyć przed nawias otrzymując symbol oznaczony. Jeżeli odejmujemy wyrażenia mocy porównywalnej np. wyrażenia pierwiastkowe, (których nie da się bezpośrednio odjąć od siebie), to rozszerzamy wyrażenie mnożąc i dzieląc przez wyrażenie, które pomnożone przez badaną różnicę daje wzór skróconego mnożenia pozwalający wykonać odejmowanie.

PRZYKŁAD

Przykład 6:

Przykład 6:

Oblicz granicę Rozwiązanie:

Wyrażenia w nawiasie są róznej mocy i najszybciej do zmierza . Wyłączamy to wyrażenie przed nawias, otrzymując

PRZYKŁAD

Przykład 7:

Przykład 7:

Oblicz granice Rozwiązanie:

Zauważamy, że odejmowane wyrażenia są tej samej mocy i zmierzają do tak jak . Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia , aby pozbyć się pierwiastka kwadratowego w pierwszym wyrażeniu

[∞ − ∞]

[∞ − ∞]

+∞

(4 + 2 ⋅

−

).

lim

n→∞

n

2

√

3

8 ⋅

−

−−−−−−

n

7

+ 1

−

∞

_√

3

−−

n

7

(4 + 2 ⋅

−

) =

(

+

−

) =

lim

n→∞

n

2

√

3

−

8 ⋅

−−−−−−

n

7

+ 1

−

lim

n→∞

√

3

−−

n

7 _√34_n7 _√32_n

8 +

_n17

− −

−−−

√

3

[+∞ ⋅ (0 + 0 −

√

3

− −

8 + 0

−−

)] = −∞

(

− 2n)

lim

n→∞

√

−

4 − 3n + 2

−−−−−−−−

n

2

−

∞

2n

(a − b)(a + b) = −

a

2

_b

2

(

− 2n) =

=

=

lim

n→∞

√

−

4 − 3n + 2

−−−−−−−−

n

2

−

lim

n→∞ ( 4 −3n+2−2n)⋅( +2n) n2 √ _√4 −3n+2n2 (_√4 −3n+2n2 +2n)

lim

n→∞ 4 −3n+2−4n2 _n2 +2n 4 −3n+2n2 √

= −

lim

n→∞ n(−3+ )2 n n( 4− +3 +2) n _n22 √ 3 4

Oblicz granicę Rozwiązanie:

Zauważamy, że odejmowane wyrażenia są tej samej mocy i zmierzają do tak jak . Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia , aby pozbyć się pierwiastków stopnia trzeciego

UWAGA

Uwaga 3: Metoda usuwania symbolu nieoznaczonego

Uwaga 3: Metoda usuwania symbolu nieoznaczonego

Metoda usuwania symbolu nieoznaczonego w przypadku wyrażeń zawierających pierwiastki stopnia n-tego polega na zastosowaniu twierdzenia o trzech ciągach oraz znanych granic i . Można również zastosować twierdzenie pomocnicze, którego dowodzi się wykorzystując powyższą metodę, a które pozwala uniknąć oszacowań prowadzących do wyniku.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: pomocnicze przy usuwaniu symbolu

pomocnicze przy usuwaniu symbolu

Jeżeli ciąg jest zbiezny do liczby dodatniej to

(

−

)

lim

n→∞

√

3

−

n

−−−−−

3

+ 2

n

−

2

√

3

−

n

−−−−

3

+ 2n

−

∞

n

(a − b)( + ab + ) = −

a

2

_b

2

_a

3

_b

3

(

−

) =

=

lim

n→∞

√

3

n

−

−−−−−

3

+ 2

n

−

2

√

3

n

−

−−−−

3

+ 2n

−

lim

n→∞ (_√3n3+2_n2−_√3_n3_+2n)(_√3_n3_+2n22+ ₊₂ ⋅ + ) n3 _n2 √3 _√3_n3_{+2n √}3_n3_+2n2 + ⋅ + +2 n3 _n2 √3 2 ₊₂ n3 _n2 √3 _√3_n3_{+2n √}3_n3_+2n2

=

=

lim

n→∞ n+2 − −2n 3 _n2 _n3 + ⋅ + +2 n3 _n2 √3 2 ₊₂ n3 _n2 √3 _√3_n3_{+2n √}3_n3_+2n2

lim

n→∞ (2− ) n2 2 n ( + ⋅ + ) n2 ₁₊2 n √3 2 ₁₊2 n √3 ₁₊2 n2 √3 ₁₊2 n2 √3 2 2 3

[[ ]

∞

0

[[

∞

0

]

= 1

lim

n→∞

√

n

q

lim

n→∞

√

n

n

= 1

[[ ]

∞

0

( )

a

n

lim

n→∞

√

n

−−

a

n

= 1

PRZYKŁAD

Przykład 9:

Przykład 9:

Oblicz granicę Rozwiazanie: Sposób I: Zauwazmy, że

Rozpisujemy potęgi pojawiające się pod pierwiastkiem

Skorzystamy z twierdzenia o trzech ciągach, ograniczając wyraz ciągu od góry i zastępując potęgi o niższych podstawach potęgą o podstawie największej, przy czym liczbę traktujemy jako . Przy ograniczaniu od dołu zostawiamy z całej sumy pod pierwiastkiem tylko wyrażenie zawierające potęgę o największej podstawie

Obliczamy granice ciągów skrajnych oraz

Ciągi skrajne mają takie same granice, czyli Sposób II:

Przekształcamy wyraz ciągu

Zauważmy, że , czyli z twierdzenia pomocniczego przy usuwaniu symboli Zatem

lim

n→∞

√

n

−

3 +

−−−−−−−−−−−−−−

2

n+1

4

2−n

+

3

2n−4

−

=

= [ ]

lim

n→∞

√

n

−

3 +

−−−−−−−−−−−−−−−−−

2

n+1

+

4

2−n

+

3

2n−4

−

lim

n→∞

(3 +

2

n+1

+

4

2−n

+

3

2n−4

)

1 n

∞

0

=

3 +

2

n+1

+

₄

2−n

+

₃

2n−4

−

−−−−−−−−−−−−−−−−−

−

√

n

_{3 + 2 ⋅ + 16 ⋅ + ⋅}

₂

_{n 1} 4n ₃14

9

n

−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−

√

n

3

3 ⋅ 1

n

≤

≤

⋅

1 34

9

n

− −

−−−

√

n

3 + 2 ⋅ + 16 ⋅ + ⋅

2

n 1 4n ₃14

9

n

−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−

√

n

3 ⋅ + 2 ⋅ + 16 ⋅ + ⋅

9

n

9

n

9

n 1 34

9

n

−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−

√

n

⋅ 9 = [1 ⋅ 9] = 9

lim

n→∞ ₃14

−−

√

n

=

=

⋅ 9 = [1 ⋅ 9] = 9

lim

n→∞

3 ⋅ + 2 ⋅ + 16 ⋅ + ⋅

9

n

9

n

9

n ₃14

9

n

−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−

√

n

lim

_n→∞

(21 + ) ⋅

1 34

9

n

−

−−−−−−−−−

−

√

n

lim

n→∞

(21 + )

₃14

−

−−−−−−

−

√

n

= 9

lim

n→∞

√

n

−

3 +

−−−−−−−−−−−−−−

2

n+1

4

2−n

+

3

2n−4

−

=

=

3 +

2

n+1

+

₄

2−n

+

₃

2n−4

−

−−−−−−−−−−−−−−−−−

−

√

n

_{3 + 2 ⋅ + 16 ⋅ + ⋅}

₂

_{n 1} 4n ₃14

9

n

−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−

√

n

9

n

(3 ⋅

( )

1

+ 2 ⋅

+ 16 ⋅

+ )

9 n

( )

29 n

( )

361 n 314

−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−

√

n

(3 ⋅

+ 2 ⋅

+ 16 ⋅

+ ) = 1

lim

n→∞

( )

1₉ n

( )

2₉ n

( )

₃₆1 n ₃₄1

u[

∞

0

]

_lim

_{= 1}

n→∞

√

n

−

3 ⋅

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

( )

1₉ n

+ 2 ⋅

( )

2₉ n

+ 16 ⋅

( )

₃₆1 n

+

₃₄1

−

= 9

lim

n→∞

√

n

3 +

−

−−−−−−−−−−−−−−

2

n+1

4

2−n

+

3

2n−4

−

Oblicz granicę Rozwiązanie: Sposób I: Zauważmy, że

Skorzystamy z twierdzenia o trzech ciągach i ograniczamy wyraz ciągu od góry zgodnie z nierównościami

oraz , traktując liczbę 4 jako . Od dołu całą sumę pod pierwiastkiem zastępujemy jednym składnikiem, który jest stały

Obliczamy granicę ciągów skrajnych. Poniewaz ciąg ma takie same wyrazy jak ciąg od pewnego miejsca, to Analogicznie

ponieważ ciągi i są podciągami ciągów i Zatem

Sposób II:

Przekształcamy wyraz ciągu

Ponieważ ,

czyli

i z twierdzenia pomocniczego przy usuwaniu symbolu

. Wiemy również, że Zatem

lim

n→∞n+1

√

−

2 + 5n + 4

−−−−−−−−

n

2

−

=

= [

]

lim

n→∞n+1

√

−

2 + 5n + 4

n

−−−−−−−−

2

−

lim

n→∞

(2 + 5n + 4)

n

2 1 n+1

∞

0

< (n + 1 , n < (n + 1

n

2

₎

2

₎

2

_{1 < (n + 1)}

2

_{4 ⋅ 1}

≤

≤

4

√

n+1 n+1

_√

−

_{2 + 5n + 4}

−−−−−−−−

_n

₂

−

n+1

_√

−

_{2(n + 1 + 5(n + 1 + 4(n + 1}

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

₎

₂

₎

₂

₎

₂

−

4

√

n+1

_√

n

₄

= 1

lim

n→∞n+1

√

4

=

⋅

=

lim

n→∞n+1

√

−

2(n + 1 + 5(n + 1 + 4(n + 1

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

)

2

)

2

)

2

−

lim

n→∞n+1

√

−−

11

n+1

√

−

(n + 1)

−−−−−

−

2

⋅

= [1 ⋅ 1] = 1

lim

n→∞n+1

√

−−

11

n+1

√

n + 1

− −

−−−

2 n+1

√

−−

11

n+1

√

− −

n + 1

−−−

√

n

11

−−

√

n

n

= 1

lim

n→∞n+1

√

2 + 5n + 4

−

−−−−−−−−

n

2

−

=

=

2 + 5n + 4

n

2

−

−−−−−−−−

−

√

n+1

_{(n + 1 (2}

₎

₂ n2

_{+ 5}

₊

₎

(n+1)2 _(n+1)n 2 _(n+1)4 2

−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−

√

n+1

(

n+1

√

− −

n + 1

−−−

2

)

₍

₍

n

₎

_{+ 5 ⋅}

₊

₎

=

n+1 2 _n (n+1)2 _(n+1)4 2

−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−

√

n+1

= 1,

=

= 0

lim

n→∞ _n+1n

lim

n→∞ _(n+1)n 2

lim

n→∞ _(n+1)4 2

2 ⋅

+ 5 ⋅

+

= 2

lim

n→∞

(

_n+1n

)

2 _n (n+1)2 _(n+1)4 2

[

∞

0

]

= 1

lim

n→∞

2 ⋅

(

_n+1n

)

+ 5 ⋅

+

2 _n (n+1)2 _(n+1)4 2

−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−

√

n+1

lim

= 1

n→∞n+1

√

n + 1

− −

−−−

= 1

lim

n→∞n+1

√

2 + 5n + 4

−

−−−−−−−−

n

2

−

PRZYKŁAD

Przykład 11:

Przykład 11:

Oblicz granicę Rozwiązanie: Zauważmy, że

Skorzystamy z twierdzenia o trzech ciągach, gdzie przy ograniczaniu od góry zastępujemy wszystkie wyrażenia wykładnicze o podstawach mniejszych wyrażeniem o podstawie największej i wszystkie potęgi zmiennej o wykładnikach mniejszych potęgą o wykładniku największym. Wyrażenia i traktujemy jako i .

Ograniczając wyrazy ciągu od dołu z całej sumy pod pierwiastkiem zostawiamy tylko wyrażenie zawierające potęgę . Obliczamy granice ciągów skrajnych oraz

Ciągi skrajne mają takie same granice, zatem

UWAGA

Uwaga 4: Metoda usuwania symbolu nieoznaczonego

Uwaga 4: Metoda usuwania symbolu nieoznaczonego

Metoda usuwania symbolu nieoznaczonego polega na wykorzystaniu twierdzenia pomocniczego pozwalającego obliczać granicę , gdzie ciąg jest rozbieżny do albo do . Aby można było zastosować to twierdzenie, należy podstawę wyrażenia potęgowego, które jest wyrazem badanego ciągu przekształcić tak, aby wyodrębnić w niej jedynkę, a następnie do wykładnika wprowadzić odwrotność wyrażenia, które dodajemy do jedynki w podstawie.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2:

Twierdzenie 2: pomocnicze przy usuwaniu symbolu nieoznaczonego

pomocnicze przy usuwaniu symbolu nieoznaczonego

Jeżeli , albo , to

lim

n→∞

√

n

−

2n + + 4

−−−−−−−−−

3

n

n

−

2

=

= [

]

lim

n→∞

√

n

−

2n + + 4

−−−−−−−−−

3

n

n

−

2

lim

n→∞

(2n + + 4 )

3

n

n

2 1 n

∞

0

n

2n, 3

n

_4n

2

_{2 ⋅ ⋅ , ⋅}

₁

n

_n

1

₃

n

_n

0

_{4 ⋅ ⋅}

₁

n

_n

2

3

n

≤

≤

3

n

−−

√

n

_√

n

−

_{2n + + 4}

−−−−−−−−−

₃

_n

_n

−

₂

_√

n

−

_{2 ⋅ ⋅}

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

₃

_n

_n

₂

_{+ ⋅}

₃

_n

_n

₂

_{+ 4 ⋅ ⋅}

₃

_n

_n

₂

−

=

3 = 3

lim

n→∞

√

n

3

−−

n

lim

n→∞

=

=

3 ⋅

⋅

= [3 ⋅ 1 ⋅ 1] = 3

lim

n→∞

√

n

−

2 ⋅ ⋅

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

3

n

n

2

+ ⋅

3

n

n

2

+ 4 ⋅ ⋅

3

n

n

2

−

lim

n→∞

√

n

7 ⋅ ⋅

−

−−−−−−

3

n

n

−

2

lim

n→∞

√

n

7

(

√

n

n

)

2

= 3

lim

n→∞

√

n

−

2n + + 4

−−−−−−−−−

3

n

n

−

2

[ ]

1

∞

[ ]

1

∞

lim

n→∞

(1 + )

_a1_n an

a

n

+∞

−∞

[ ]

1

∞

= +∞

lim

n→∞

a

n

lim

n→∞

a

n

= −∞

lim

n→∞

(1 + )

_a1_n

= e

an

Oblicz granicę Rozwiązanie: Zauważmy, że

Przekształcamy podstawę wyrażenia potęgowego, aby otrzymać jedynkę

Do wykładnika wprowadzamy odwrotność wyrażenia dodawanego do jedynki w podstawie

Ponieważ wiemy, że oraz , obliczamy granice korzystając z twierdzenia pomocniczego przy usuwaniu symbolu nieoznaczonego

Zatem

PRZYKŁAD

Przykład 13:

Przykład 13:

Oblicz granicę Rozwiązanie: Zauważmy, że

Przekształcamy podstawę wyrażenia potęgowego, aby wyodrębnic jedynkę

Do wykładnika wprowadzamy odwrotność wyrażenia dodawanego do jedynki w podstawie

Ponieważ oraz wiemy, że to wykorzystując pomocnie twierdzenie przy usuwaniu symbolu nieoznaczonego obliczamy

Zatem

lim

n→∞

(

4n−2_4n+3

)

3n−1

= [ ]

lim

n→∞

(

4n−2_4n+3

)

3n−1

1

∞

=

=

=

(

4n−2

)

4n+3 3n−1

(

4n+3−5

)

4n+3 3n−1

(1 −

5

)

4n+3 3n−1

(1 −

1

)

4n+3 5 3n−1

=

=

(1 +

1

)

−4n+3 5 −4n+3(− )(3n−1) 5 4n+35

(1 +

1

)

−4n+3 5 −4n+3(− ) 5 5(3n−1) 4n+3

[

(1 +

1

)

]

−4n+3 5 −4n+3 5 − 5(3n−1) 4n+3

−

= −∞

lim

n→∞ 4n+3₅

lim

n→∞

−

5(3n−1)_4n+3

= −

15₄

1

∞

=

lim

n→∞

[

(1 +

₋4n+31

)

]

5 −4n+3 5 − 5(3n−1) 4n+3

e

−15 4

=

lim

n→∞

(

4n−2_4n+3

)

3n−1

e

−154

lim

n→∞

(

3n+6_3n+2

)

n−1

= [ ]

lim

n→∞

(

3n+6_3n+2

)

n−1

1

∞

=

=

=

(

3n+6

)

3n+2 n−1

(

3n+2+4

)

3n+2 n−1

(1 +

4

)

3n+2 n−1

(1 +

1

)

3n+2 4 n−1

=

=

(1 +

1

)

3n+2 4 n−1

(1 +

1

)

3n+2 4 (n−1) 3n+2 4 3n+24

[

(1 +

1

)

]

3n+2 4 3n+2 4 4n−4 3n+2

= +∞

lim

n→∞ 3n+2₄

lim

n→∞ 4n−4_3n+2

=

4₃

1

∞

=

lim

n→∞

[

(1 +

3n+21

)

]

4 3n+2 4 4n−4 3n+2

e

43

=

lim

n→∞

(

3n+6_3n+2

)

n−1

e

43

PRZYKŁAD

Przykład 14:

Przykład 14:

Oblicz granicę Rozwiązanie: Zauważmy,że

Przekształcamy wyrażenie potęgowe tak, aby w podstawie uzyskać jedynkę Do wykładnika wprowadzamy odwrotność wyrażenia dodawanego do jedynki

Ponieważ i wiemy, że , to korzystając z

twierdzenia pomocniczego przy usuwaniu symbolu nieoznaczonego mamy

Zatem

PRZYKŁAD

Przykład 15:

Przykład 15:

Oblicz granicę Rozwiązanie:

Przekształcamy wyraz badanego ciągu, wykorzystując własności logarytmów

Obliczymy granicę

W podstawie wyodrębniamy jedynkę i do wykładnika wprowadzamy odwrotność wyrażenia dodawanego do jedynki

Ponieważ oraz , to wykorzystując twierdzenie pomocnicze przy usuwaniu symbolu nieoznaczonego mamy

Zatem

lim

n→∞

(

(2n+1)

)

2 4 +9n2 n

= [[ ]

lim

n→∞

(

(2n+1)

)

2 4 +9n2 n

1

∞

(

(2n+1)_{4 +9n}2 2

)

n

= (

4 +4n+1n2

)

4 +9n2 n

= (1 +

4n−8

)

4 +9n2 n

=

=

(1 +

4n−8

)

4 +9n2 n

(1 +

1

)

4 +9n2 4n−8 n 4 +9n2 4n−8 _{4 +9}4n−8_n2

⎡

⎣

⎢(1 +

1

)

4 +9n2 4n−8 4 +9n2 4n−8

⎤

⎦

⎥

4 −8nn2 4 +9n2

=

= +∞

lim

n→∞ 4 +9_4n−8n2

lim

n→∞ n(4+ )9 n2 4−8 n

lim

n→∞

=

= 1

4 −8nn2 4 +9n2

lim

n→∞ 4−8 n 4+9 n2

1

∞

= e

[

⎡

⎣

⎢ (1 +

1

)

4 +9n2 4n−8 4 +9n2 4n−8

⎤

⎦

⎥

4 −8nn2 4 +9n2

= e

lim

n→∞

(

(2n+1)

)

2 4 +9n2 n

n (ln (n + 2) − ln (n + 4))

lim

n→∞

n (ln (n + 2) − ln (n + 4)) = n ln (

n+2

) = ln [

].

n+4

(

n+2n+4

)

n

= [ ]

lim

n→∞

(

n+2n+4

)

n

1

∞

=

=

=

(

n+2

)

n+4 n

(1 −

2

)

n+4 n

(1 −

2

)

n+4 n+4 −2 −2nn+4

_[

_{(1 −}

₂

₎

_]

n+4 n+4 −2 −2n n+4

= −∞

lim

n→∞ n+4₋₂

lim

n→∞ −2n_n+4

= −2

[ ]

1

∞

=

lim

n→∞

[

(1 −

_n+42

)

]

n+4 −2 −2n n+4

e

−2

n (ln (n + 2) − ln (n + 4)) = ln

= −2

lim

n→∞

e

−2

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 05:07:01

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=f90c12dd1f75727c8e845f8b531742d9