Wojciech Maćkowiak 6 czerwca 2005 roku
Teoria miary i całki
1. Definicja σ-ciała zbiorów, σ-ciała zbiorów borelowskich, miary, miary skończonej, σ-skończonej, unormowanej, zupełnej, przestrzeni mierzalnej i funkcji mierzalnej.
2. Jeżeli f, g : A → ¯R mierzalne, to f ± g, f · g, max{f, g}, |f | są też mierzalne. 3. Jeżeli fn, f : A → ¯R, A ∈ M, fn→ f , fn mierzalne, to f też jest funkcją mierzalną.
4. Definicja zbieżności punktowej, jednostajnej i µ-prawie wszędzie. fn ⇒ f ⇒ fn → f ⇒ fn→ f µ-p.w.. 5. Twierdzenie Jegorowa.
6. Definicja zbieżności niemalże jednostajnej.
7. Jeżeli fn→ f µ-niemal jednostajnie, to fn→ f µ-p.w.. 8. Definicja zbieżności względem miary i jej własności. 9. Jeżeli fn→ f µ-niemal jednostajnie, to fn→µf . 10. Definicja warunku zbieżności Cauchy’ego według miary.
11. Jeżeli fn→µf , to (fn)n spełnia warunek Cauchy’ego według miary µ.
12. Jeżeli (fn)n spełnia warunek Cauchy’ego według miary µ, oraz istnieje podciąg (fkn)n ciągu (fn)n zbieżny wg.
miary µ do pewnej funkcji f , to fn→µ f .
13. Jeżeli (fn)n spełnia warunek Cauchy’ego według miary µ, to istnieje podciąg (fkn)n ciągu (fn)n, który zbiega
do pewnej funkcji f µ-niemal jednostajnie. 14. Twierdzenie Riesza.
15. Definicja σ-addytywnej funkcji zbioru.
16. Jeżeli µ jest σ-addytywną funkcją zbioru, E ∈ M i |µ(E)| < +∞, to ∀F ⊂MF ⊂ E ⇒ |µ(F )| < +∞. 17. Definicja zbioru µ-dodatniego i µ-ujemnego.
18. Jeżeli {An}n jest ciągiem zbiorów µ-dodatnich (ujemnych), toSnAn też jest zbiorem µ-dodatnim (ujemnym). 19. Definicja rozkładu Hahna i twierdzenie o istnieniu rozkładu Hahna funkcji µ.
20. Definicja wahania górnego, dolnego i bezwzględnego funkcji µ.
21. Dla dowolnej funkcji µ funkcje µ+, µ−, |µ| są określone jednoznacznie, tzn. nie zależą od wyboru rozkładu Hahna hA, Bi, są miarami na M, oraz przynajmniej jedna z miar µ+, µ− jest skończona.
22. Definicja bezwzględnej ciągłości i osobliwości σ-addytywnych funkcji zbioru.
23. Jeżeli µ, ν : M → ¯R są σ-addytywnymi funkcjami zbioru, to warunki: (1) µ ν, (2) µ+ ν ∧ µ− ν, (3) |µ| |ν|; są równoważne.
24. Jeżeli µ jest σ-addytywną funkcją zbioru na M, a ν jest skończoną σ-addytywną funkcją zbioru na M, µ ν, to ∀>0∃δ>0∀E∈M|µ|(E) ⇒ ν(E) < .
25. Załóżmy, że µ, ν są miarami skończonymi na M, oraz ν 6= 0. Wtedy, jeżeli µ ν, to ∃>0∃A∈M[µ(A) > 0 ∧ A jest (µ − ν)-dodatni].
26. Twierdzenie Radona-Nikodyna.
27. Definicja pochodnej Radona-Nikodyna.
28. Załóżmy, że µ, λ są miarami skończonymi na M, ν jest σ-skończoną, σ-addytywną funkcją zbioru na M, oraz ν µ λ. Wtedy dνdλ = dνdµ· dµdλ µ-p.w..
29. Załóżmy, że µ, λ są miarami skończonymi na M, f : X → R jest funkcją, dla której istniejeR f dλ, oraz µ λ. WtedyR f dµ = R fdµdλdλ.
30. Jeżeli ν µ oraz ν⊥µ, to ν ≡ 0. 31. Twierdzenie o rozkładzie Lebesgue’a.
32. Definicja ciała podzbiorów, rodziny monotonicznej i rodziny monotonicznej generowanej przez A. 33. Jeżeli R jest ciałem zbiorów, to M(R) = σ(R).
34. Definicja prostokątu mierzalnego i zbioru elementarnego w X × Y , produktu σ-ciał. 35. Definicja Ax, Ay. Gdy A ∈ M × N to Ax∈ N, Ay∈ M.
36. Definicja fx, fy. Gdy f ∈ M × N to fx∈ N, fy ∈ M.
37. Jeżeli (X, M, µ),(Y, N, ν) są przestrzeniami z miarą σ-skończoną, A ∈ M × N oraz ϕ : X → ¯R+, ϕ(x) = ν(Ax), ψ : Y → ¯R+, ψ(x) = µ(Ay), toR ϕ(x)dµ(x) = R ψ(y)dψ(y), ϕ ∈ N, ψ ∈ M.
38. Definicja µ × ν. µ × ν jest miarą σ-skończoną na M × N, jest to jedyna miara określona na M × N taka, że ∀A×B∈M×N(µ × ν)(A × B) = µ(A) · ν(B).
39. Jeżeli E ∈ M × N, (µ × ν)(E) = 0, to ν(Ex) = 0 µ-p.w. ⇒ µ({x ∈ X; ν(Ex) 6= 0}) = 0, µ(Ey) = 0 ν-p.w. ⇒ ν({y ∈ Y ; µ(Ey) 6= 0}) = 0.
40. Twierdzenie Fubiniego 1 i 2.
41. Definicja skończonego produktu miar. Istnieje dokładnie jedna miara µ określona na M1× . . . × Mn taka, że µ(A1× . . . × An) = µ1(A1) · . . . · µn(An) dla Ai∈ Mi.
42. Definicja prostokątu mierzalnego w przeliczalnym produkcie przestrzeni, J -zgodności, J -cylindrów. 43. J ∈ [N]<∞, E ⊂ X :=Q∞
i=1Xi, E jest J -cylindrem ⇐⇒ ∃A⊂Q
i∈JXiE = A ×
Q
i∈JXi. Ponadto E ∈ M ⇐⇒ A ∈Q
i∈JMi.
44. Rodzina C wszystkich J -cylindrów mierzalnych J ∈ [N]<∞ tworzy ciało zbiorów. Jeżeli E jest J -cylindrem mierzlanym postaci E = A × X(J ), A ∈Q
i∈JMi, to funkcja µ(E) =Qi∈Jµi(Ai) jest poprawnie określona, addytywna, skończona.
45. σ-ciało generowane przez ciało C jest równe σ-ciału produktowemu M. 46. Funkcja µ jest ciągła z góry w 0 i σ-addytywna na C.
47. Twierdzenie o istnieniu miary produktowej.
48. µ∗ jest miarą zewnętrzną na P(X) taka, że ∀E∈Cµ∗(E) = µ(E).
49. Niech N będzie σ-ciałem zbiorów µ∗mierzalnych oraz niech ¯µ = µ∗|N. Wtedy niech C ∈ N, a więc M ⊂ N oraz ∀E∈Cµ = µ¯ ∗(E) = µ(E).
50. Definicja prostokątu mierzalnego w nieprzeliczalnym produkcie przestrzeni, rodziny Cω, funkcji µ : Cω→ [0, 1]. Cω jest σ-ciałem, µ jest miarą na Cω.
51. Twierdzenie o istnieniu miary.
52. Definicja przestrzeni lokalnie zwartej, K(X), CK(X).
53. Jeżeli (X, τ ) jest lokalnie zwarta, K ∈ K(X) oraz U ∈ τ taki, że K ⊂ U , to ∃V ∈τK ⊂ V ⊂ ¯V ⊂ U oraz ¯
V ∈ K(X). 54. Lemat Urysohna.
55. Twierdzenie o rozkładzie jedności. 56. Twierdzenie Riesza.
57. Jeżeli K ∈ K(X), f ∈ CK(X), 1K6 f , to µ(K) ≤ Λ(f ). 58. Definicja miary regularnej.
