Pola elektryczne w materii (pdf),

Elektrodynamika

Część 3

Pola elektryczne w materii

Ryszard Tanaś

Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Spis treści

4

Pola elektryczne w materii

3

4.1

Polaryzacja elektryczna . . . .

3

4.2

Pole ciała spolaryzowanego . . . .

9

4.3

Pole indukcji elektrycznej . . . .

19

4 Pola elektryczne w materii

4.1 Polaryzacja elektryczna

4.1.2 Indukowany moment dipolowy

Co się dzieje z atomem jeśli umieścimy go w polu elektrycznym E?

p

= αE,

α

— polaryzowalność atomowa

Przykład:

Przyjmijmy, że atom to punktowe jądro (+q) otoczone chmurą ładunku w kształcie jednorodnie naładowanej kuli o promieniu a i całkowitym ładunku −q. Obliczyć polaryzowalność atomową dla takiego modelu.

a +q −q E d +q −q

E

= E

=

1

4π

qd

a

,

pole przesuniętych ładunków

równoważy pole zewnętrzne

O O C

p

= α

E

+ α

E

,

cząsteczka anizotropowa

α

= 2 · 10

α

= 4.5 · 10

p

= α

E

+ α

E

+ α

E

p

= α

E

+ α

E

+ α

E

p

= α

E

+ α

E

+ α

E

,

α

współrzędne tensora

polaryzowalności

4.1.3 Zmiana orientacji momentów dipolowych cząsteczek

polarnych

cząsteczka polarna

F

= qE = −F

siły się równoważą

N

= (r

× F

) + (r

× F

)

=

(d/2) × (qE)

+

(−d/2) × (−qE)

= qd × E moment siły

N

= p × E

F

= F

+ F

= q(E

− E

) = q(δE)

pole niejednorodne

δE

= (d · ∇)E

F

= (p · ∇)E

siła działająca na dipol w polu niejednorodnym

U

= −p · E

energia dipola w polu

U

=

1

4π

1

r

p

· p

− 3(p

· ˆr)(p

· ˆr)

energia oddziaływania

dwóch dipoli

4.1.4 Polaryzacja elektryczna

Co się dzieje z dielektrykiem umieszczonym w polu?

Materiał zostaje spolaryzowany.

P

≡ moment dipolowy na jednostkę objętości

4.2 Pole ciała spolaryzowanego

4.2.1 Ładunki związane

Jakie pole wytwarza spolaryzowane ciało?

P p R

V

(r) =

1

4π

ˆ

R

· p

R

dla pojedynczego dipola

V

(r) =

1

4π

ˆ

R

· P (r

)

R

dτ

dla objętości

V

∇0  1 R  = Rˆ R2 V (r) = 1 4π0 Z V P · ∇0  1 R  dτ0_, korzystamy z ∇ · (fA) = f(∇ · A) + A · (∇f) V (r) = 1 4π0    Z V ∇0 _·  P R  dτ0 ₋ Z V 1 R(∇0 · P ) dτ0    V (r) = 1 4π0 I S 1 RP · ˆnda0 − 1 4π0 Z V 1 R(∇0 · P ) dτ0

σ_zw ≡ P · ˆn gęstość powierzchniowa ładunków związanych

V

(r) =

1

4π

σ

R

da

+

1

4π

ρ

R

dτ

Znaleźć natężenie pola elektrycznego wytwarzanego przez jednorodnie spolaryzowaną kulę o promieniu R.

ˆn P R θ z

σ

= P · ˆ

n

= P cos θ

Szukamy pola wytworzonego przez rozkład powierzchniowy ładunku

P

cos θ. To już obliczyliśmy!

V

(r, θ) =

r

cos θ

dla r

≤ R

cos θ

dla r

≥ R

E

= −∇V = −

P

3

ˆ

z

= −

1

3

P

dla r < R,

pole jednorodne

V

=

1

4π

p

· ˆr

r

dla r

≥ R,

potencjał od dipola

umieszczonego w środku

kuli

p

=

4

3

πR

P ,

wartość dipola

E

(r, θ) =

1

4π

p

4.2.2 Fizyczna interpretacja ładunków związanych

Spolaryzowany walec

P

(Ad) = (P A)d = qd moment dipolowy wycinka

σ

=

q

− + − + − + − + − + − + − + − +

polaryzacja niejednorodna

ρ

dτ = −

P

· da = −

(∇ · P ) dτ

ρ

= −∇ · P

4.2.3 Pole w dielektryku

R r

chcemy obliczyć pole

makroskopowe w punkcie r;

rozważmy kulę o promieniu R wokół

punktu r

E

= E

+ E

E

=?. jakie jest pole od ładunków wewnątrz kuli?

E

= −

1

4π

p

R

uśrednione pole od ładunków znajdujących

się wewnątrz kuli o promieniu R; p jest

całkowitym momentem dipolowym

R R

q r

dτ

obliczamy średnie pole od ładunku q

umieszczonego w punkcie r

pole w punkcie r od równomiernie

naładowanej kuli, które łatwo policzyć

E_śred = E_ρ jeśli ρ = − ₄ q 3πR3 E_ρ = 1 30 ρr = − 1 4π0 qr R3 = − 1 4π0 p R3 E_wew = E_śred = − 1 4π0 p R3

uśrednione pole od ładunków

wewnątrz kuli  V_zew = 1 4π0 Z na zewnątrz kuli ˆ R · P (r0) R2 dτ 0 potencjał od ładunków zewnętrznych

E_wew = − 1 4π0 p R3 , p =  4 3πR3  P E_wew = − 1 30 P

Uśrednione po dowolnej kuli pole pochodzące od ładunków wewnątrz kuli jest takie samo jak pole w środku jednorodnie spolaryzowanej kuli Potencjał pola makroskopowego:

V (r) = 1

4π0

Z _Rˆ · P (r0)

R2 dτ

0 całka obejmuje całą

4.3 Pole indukcji elektrycznej

4.3.1 Prawo Gaussa w obecności dielektryka

ρ

= ρ

+ ρ

gęstość ładunków związanych i swobodnych



∇ · E = ρ = ρ

+ ρ

= −∇ · P + ρ

prawo Gaussa

∇ · (

E

+ P ) = ρ

D

≡ 

E

+ P

wektor indukcji elektrycznej

∇ · D = ρ

prawo Gaussa

I

D

· da = Q

Długi prosty drut, naładowany jednorodnie z gęstością liniową λ, otoczony jest gumową izolacją. Promień warstwy izolacji wynosi a. Znaleźć indukcję elektryczną w tym układzie.

s a λ L D(2πsL) = λL z prawa Gaussa D = λ

2πs ˆs, wzór słuszny wewnątrz i na zewnątrz izolacji E = 1

₀ D =

λ

2π0s

ˆs dla s > a (P = 0) Wewnątrz izolacji nie znamy P !

4.3.2 Zwodnicze podobieństwo

D

(r) 6=

1

4π

R

ˆ

R

ρ

(r

_{) dτ}

,

dla

D

nie ma „prawa Coulomba”

∇ × D = 

(∇ × E) + (∇ × P ) = ∇ × P

Do wyznaczenia pola wektorowego nie wystarczy znajomość

dywergencji. Trzeba jeszcze znać rotację.

∇ × D 6= 0,

D nie jest gradientem skalara,

D nie ma potencjału!

4.3.3 Warunki brzegowe

I

D

· da = Q

D

− D

= σ

skok składowej prostopadłej

D

− D

= P

− P

,

skok składowej równoległej

W obecności dielektyka te warunki są często bardziej

użyteczne niż warunki dla pola.

E

− E

=

1



σ

E

− E

= 0

4.4 Dielektryki liniowe

4.4.1 Podatność elektryczna i przenikalność elektryczna

P

= 

χ

E

dla niezbyt silnych pól

χ

jest podatnością elektryczną ośrodka

D

= 

E

+ P = 

E

+ 

χ

E

= 

(1 + χ

)E,

w ośrodkach

liniowych

D

= E,

D

jest proporcjonalne do

E



≡ 

(1 + χ

) przenikalność elektryczna ośrodka



≡ 1 + χ

=





,

względna przenikalność elektryczna

Metalowa kula o promieniu a naładowana została ładunkiem Q. Kula otoczona jest powłoką z dielektryka o przenikalności elektrycznej ; promień powłoki wynosi b. Znaleźć różnicę potencjałów między

środkiem kuli i punktem w nieskończoności.

a Q b

D

=

Q

E

= P = D = 0, wewnątrz metalowej kuli

E

=

ˆr

dla a < r < b

ˆr

dla r > b

Nie musieliśmy obliczać polaryzacji ani gęstości ładunków związanych! Chociaż w tym przypadku nie jest to trudne.

P = ₀χ_eE = 0χeQ 4πr2 ˆr ρ_zw = −∇ · P = 0 σ_zw = P · ˆn =    0χeQ 4πb2 na powierzchni zewnętrznej −0χeQ

4πa2 na powierzchni wewnętrznej

Znak minus wynika z tego, że wektor n jest skierowany na zewnątrzˆ dielektryka (+ ˆr dla r = b i − ˆr dla r = a).

P = 0 P 6= 0 próżnia dielektryk H

P

· dl 6= 0, ∇ × P 6= 0,



χ

różne po obu stronach

Także dla dielektryków liniowych podobieństwo D i E jest

zwodnicze.

Chyba, że przestrzeń jest całkowicie wypełniona

jednorodnym dielektrykiem.

∇ · D = ρ

,

∇ × D = 0, znając

ρ

można obliczyć

D

D

= 

E

,

E

jest natężeniem pola elektrycznego jakie

dany rozkład ładunków wytworzyłby w próżni

E

=

1



D

=

1

− + − + − + − + − + − + − + − + q

ładunek swobodny q umieszczony w dużym kawałku dielektryka jest

ekranowany przez ładunki związane

E

=

1

4π

1

r

ˆr, we wzorze występuje



a nie



P

= 

χ

E

+ χ

E

+ χ

E

P

= 

χ

E

+ χ

E

+ χ

E

P

= 

χ

E

+ χ

E

+ χ

E

dla kryształów tensor

podatności

elektrycznej

4.4.2 Zagadnienia brzegowe w obecności dielektryków liniowych

ρ

= −∇ · P = −∇ ·



χ

D



= −



χ



(1 + χ

)

∇ · D = −

χ

1 + χ

ρ

W jednorodnym dielektryku liniowym gęstość ładunku

związanego ρ

jest proporcjonalna do gęstości ładunku

swobodnego ρ

.

Jeśli w dielektryku nie ma ładunków swobodnych ρ_sw = 0, to nieznikająca gęstość ładunku może wystąpić jedynie na

powierzchni.



∂V

∂n

− 

∂V

∂n

= −σ

,

w języku potencjału

V

= V

,

potencjał jest ciągły

Przykład:

Kula wykonana z jednorodnego dielektryka liniowego została umieszczona w jednorodnym zewnętrznym polu elektrycznym o

natężeniu E₀. Znaleźć natężenie pola elektrycznego wewnątrz i na zewnątrz kuli.

E

Należy rozwiązać równanie Laplace’a przy następujących warunkach brzegowych:

(i) V_wew = V_zew gdy r = R (ii) ∂Vwew

∂r = 0

∂Vzew

∂r gdy r = R (nie ma ładunków swobodnych)

(iii) V_zew → −E₀r cos θ gdy r  R

V_wew(r, θ) =

∞

X

l=0

A_lrlP_l(cos θ)

V_zew(r, θ) = −E₀r cos θ +

∞

X

l=0

B_l

∞

X

l=0

A_lRlP_l(cos θ) = −E₀R cos θ +

∞ X l=0 B_l Rl+1 Pl(cos θ), (i)    A_lRl = Bl Rl+1 dla l 6= 1 A₁R = −E₀R + B1 R2 dla l = 1 _r ∞ X l=0

lA_lRl−1P_l(cos θ) = −E₀ cos θ −

∞ X l=0 (l + 1)Bl Rl+2 Pl(cos θ), (ii)    _rlA_l = −(l+1)Bl Rl+2 , dla l 6= 1 _rA₁ = −E₀ − 2B1 R3 , dla l = 1    A_l = B_l = 0 dla l 6= 1 A₁ = −_ 3 r+2E0, B1 = _r−1 _r+2R 3_E 0, dla l = 1

V_wew(r, θ) = − 3E0

_r + 2r cos θ = −

3E0

_r + 2z

E_wew = 3

_r + 2E0, pole wewnątrz kuli jest jednorodne V_zew(r, θ) = −E₀r cos θ + r − 1

_r + 2 R3 r2 E0 cos θ E_zew = E₀ + 1 4π0 p

r3 (2 cos θ ˆr + sin θ ˆθ), pole E0 plus pole dipola p = 4π₀ r − 1

_r + 2R

3

4.4.3 Energia w układach z dielektrykami

W

=



2

Z

E

dτ, energia zmagazynowana w polu

W

=



2



E

dτ =

1

2

D

· E dτ,

w układach z

dielektrykami

δW = Z ∇ · [(δD)V ] dτ + Z (δD) · E dτ Z ∇ · [(δD)V ] dτ = Z S (δD)V · da = 0 całkujemy po całej przestrzeni δW = Z (δD) · E dτ

D = E, dla dielektryków liniowych 1 2δ(D · E) = 1 2δ(E 2_{) = (δE) · E = (δD) · E} δW = δ  1 2 Z D · E dτ 

W

=

1

2

Z

D

· E dτ

Energia układu to praca konieczna do utworzenia danego układu.

Dwa sposoby „tworzenia układu”:

(i) Wprowadzamy małymi porcjami ładunki swobodne i związane i umieszczamy je w ich położeniach

W = W_sw + W_zw

(ii) Wprowadzamy małymi porcjami ładunki swobodne pozwalając dielektrykowi dostosować się do ich obecności