Reguła de l'Hospitala

Reguła de l'Hospitala

Autorzy:

Tomasz Zabawa

UWAGA

Uwaga 1:

Uwaga 1:

Reguła de l'Hospitala dotyczy granicy funkcji i w jej sformułowaniu pojawia się pojęcie sąsiedztwa punktu . Przypomnijmy to pojęcie. Sąsiedztwem punktu Sąsiedztwem punktu o promieniu o promieniu nazywamy zbiór i oznaczamy przez . Gdy promień sąsiedztwa nie jest istotny (czyli może być dowolną liczbą dodatnią), sąsiedztwo

punktu oznaczamy przez . Jeżeli oznacza otoczenie punktu , to .

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1: Reguła de l'Hospitala dla symbolu nieoznaczonego

Twierdzenie 1: Reguła de l'Hospitala dla symbolu nieoznaczonego

Jeżeli funkcje i określone i różniczkowalne w spełniają warunki:

1. i , przy czym dla każdego ,

2. istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa), to

UWAGA

Uwaga 2:

Uwaga 2:

Reguła de l'Hospitala dla symbolu nieoznaczonego jest również prawdziwa dla granic jednostronnych w oraz granic przy zmierzającym do lub .

UWAGA

Uwaga 3:

Uwaga 3:

Z nieistnienia granicy nie wynika nieistnienie granicy , ponieważ aby zastosować regułę de l'Hospitala z założenia musi istnieć granica .

∈ R

x

0

x

0

ε > 0

( − ε, ) ∪ ( , + ε)

x

0

x

0

x

0

x

0

S( , ε)

x

0

x

0

S( )

x

0

O( )

x

0

x

0

∈ R

S( ) = O( ) ∖ { }

x

0

x

0

x

0

[ ]

0

0

f g

S( )

x

0

f(x) = 0

lim

x→x0 x→x

lim

0

g(x) = 0

x ∈ S( )

x

0

g(x) ≠ 0

lim

x→x0 (x) f′ (x) g′

istnieje

lim

i

=

.

x→x0 f(x) g(x) _x→x

lim

₀f(x)g(x) _x→x

lim

₀ f(x) ′ (x) g′

[ ]

0 0

x

0

x

−∞

+∞

lim

x→x0 (x) f′ (x) g′ _x→x

lim

0 f(x) g(x)

lim

x→x0 (x) f′ (x) g′

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Obliczmy granicę

dającą symbol nieoznaczony . Jeżeli istnieje właściwa lub niewłaściwa granica , to będziemy mogli zastosować regułę de l'Hospitala do jej obliczenia.

Litera nad znakiem równości oznacza, że w tym miejscu zostanie zastosowana reguła de l'Hospitala, gdy sprawdzimy, że istnieje. Zatem obliczenia po znaku są hipotezą do momentu, gdy zostaną spełnione wszystkie założenia reguły de l'Hospitala. Pierwsze założenie już sprawdziliśmy, więc znak stanie się znakiem równości, gdy okaże się, że istnieje właściwa lub niewłaściwa granica . Natomiast równość należy odrzucić jako niepewną w przypadku, gdy granica nie istnieje. Ale

czyli istnieje. W tym momencie możemy zastosować regułę de l'Hospitala i otrzymujemy, że

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przykład 2:

Obliczmy również granicę

Zauważamy, że i ta granica daje symbol nieoznaczony , zatem:

Skoro istnieje, to z reguły de l'Hospitala wynika, że i wyjściowa granica jest równa 0. Równość jest skutkiem reguły de l'Hospitala.

Regułę de l'Hospitala możemy również zastosować, gdy szacując granicę ilorazu funkcji otrzymamy symbol nieoznaczony .

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2: Reguła de l'Hospitala dla symbolu nieoznaczonego

Twierdzenie 2: Reguła de l'Hospitala dla symbolu nieoznaczonego

Jeżeli funkcje i określone i różniczkowalne w spełniają warunki:

1. i ,

2. istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa), to

lim

x→0 − ex _e−x x

[ ]

0 0

lim

_x→0( −e x _e−x₎′ (x)′

.

lim

x→0 − ex _e−x x

=

H

lim

_x→0( −e x _e−x₎′ (x)′

H

lim

x→0 ( −ex _e−x₎′ (x)′

=

H

[ ]

0 0

=

H

lim

x→x0 (x) f′ (x) g′

=

H

lim

x→x0 (x) f′ (x) g′

=

=

= 2,

lim

x→0 ( −ex _e−x₎′ (x)′

lim

x→0 + ex _e−x 1 1+11

lim

x→x0 (x) f′ (x) g′

= 2.

lim

x→0 − ex _e−x x

.

lim

x→1+ ln x −1 x2 √

[ ]

0 0

=

=

= 0.

lim

x→1+ ln x −1 x2 √

=

H _x→1

lim

+ (ln x)′ (_√x2−1₎′

lim

x→1+ 1 x 2x 2√x2−1

lim

x→1+ −1 x2 √ x2

lim

x→1+ (ln x)′ (_√x2−1₎′

=

H

[ ]

∞ ∞

[ ]

∞

∞

f g

S( )

x

0

f(x) = +∞

lim

x→x0 x→x

lim

0

g(x) = +∞

lim

x→x0 (x) f′ (x) g′

istnieje

lim

i

=

.

x→x0 f(x) g(x) _x→x

lim

₀f(x)g(x) _x→x

lim

₀ f(x) ′ (x) g′

Reguła de l'Hospitala dla symbolu nieoznaczonego jest prawdziwa również, gdy w założeniu 1. jedna lub obie granice są równe , zamiast . O symbolu nieoznaczonym mówimy, gdy otrzymamy którykolwiek z symboli: ,

, , .

UWAGA

Uwaga 5:

Uwaga 5:

Podobnie jak w przypadku reguły de l'Hospitala dla symbolu nieoznaczonego , również i w przypadku reguły de l'Hospitala dla symbolu nieoznaczonego prawdziwe są uwagi:

Reguła de l'Hospitala dla symbolu nieoznaczonego jest również prawdziwa dla granic jednostronnych w oraz granic przy zmierzającym do lub .

Z nieistnienia granicy nie wynika nieistnienie granicy .

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Przykład 3:

Granica

daje symbol nieoznaczony , zatem:

Stąd na mocy reguły de l'Hospitala:

UWAGA

Uwaga 6:

Uwaga 6:

Regułę de l'Hospitala możemy wykorzystać wielokrotnie w trakcie obliczania jednej granicy.

[ ]

∞ ∞

−∞

+∞

[ ]

∞ ∞

[

+∞+∞

]

[

+∞

]

−∞

[

−∞+∞

]

[

−∞−∞

]

[ ]

0 0

[ ]

∞ ∞

[ ]

∞ ∞

x

0

x

−∞

+∞

lim

x→x0 (x) f′ (x) g′ _x→x

lim

0 f(x) g(x)

lim

x→+∞ ln x x

[ ]

∞ ∞

=

=

= 0

lim

x→+∞ ln x x

=

H_x→+∞

lim

(ln x) ′ (x)′ _x→+∞

lim

1 x 1 _x→+∞

lim

x1

= 0.

lim

x→+∞ ln x x

PRZYKŁAD

Przykład 4:

Przykład 4:

Obliczmy granicę

zatem stosując dwukrotnie regułę de l'Hospitala otrzymujemy, że również wynikiem wyjściowej granicy jest .

PRZYKŁAD

Przykład 5:

Przykład 5:

Obliczmy granicę

Zatem, korzystając dwukrotnie z reguły de l'Hospitala, możemy stwierdzić, że

Zwróćmy uwagę, że w czasie obliczania granicy funkcji stosując regułę de l'Hospitala, warto po obliczeniu ilorazu pochodnych uprościć otrzymane wyrażenie przed kolejnym zastosowaniu reguły.

UWAGA

Uwaga 7:

Uwaga 7:

Regułę de l'Hospitala można zastosować tylkotylko w przypadku, gdy przy szacowaniu granicy otrzymamy symbol nieoznaczony lub symbol nieoznaczony (czyli lub lub lub ).

Jednak w przypadku innych symboli nieoznaczonych możemy tak przekształcić wyrażenie, którego granicę liczymy, aby móc zastosować regułę de l'Hospitala, czyli tak, aby otrzymać symbol nieoznaczony lub .

.

lim

x→+∞ −3 2x 3 +4x+1x2

= +∞,

lim

x→+∞ −3 2x 3 +4x+1x2

=

H_{[ ]}∞_∞

lim

x→+∞ ln 2 2x 6x+4

=

H[ ]∞ ∞ _x→+∞

lim

(ln 2 2x ₎2 6

+∞

.

lim

x→0 sin x−x cos x x3

lim

x→0

sin x − xcos x

x

3 _{[ ]}

=

H0 0

=

=

=

lim

x→0

cos x − cos x + xsin x

3x

2

lim

x→0

xsin x

3x

2

= .

lim

x→0

sin x

3x =

[ ]H0 0

lim

x→0

cos x

3

1

3

= .

lim

x→0 sin x−x cos x x3 1₃

[ ]

0 0

[ ]

∞∞

[

+∞+∞

]

[

−∞+∞

]

[

−∞+∞

]

[

−∞−∞

]

[ ]

0 0

[ ]

∞∞

Tożsamości zmieniające symbole nieoznaczone na symbol

Tożsamości zmieniające symbole nieoznaczone na symbol lub lub : 1. Dla symbolu :

2. Dla symbolu :

lub jeżeli wyrażenie jest różnicą ułamków, to często wystarcza sprowadzenie wyrażenia do postaci jednego ułamka. 3. Dla symboli , , :

W wyniku tego przekształcenia w wykładniku pojawia się symbol nieoznaczony , do którego możemy użyć jednej z tożsamości z podpunktu 1.

PRZYKŁAD

Przykład 6:

Przykład 6:

Obliczmy granicę

Mogliśmy wykorzystać regułę de l'Hospitala, bo .

PRZYKŁAD

Przykład 7:

Przykład 7:

Obliczmy granicę

Z ciągłości funkcji mamy:

Obliczmy granicę znajdującą się w wykładniku

Wracając do wyjściowego przykładu otrzymujemy:

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne

[ ]

0 0

[ ]

∞∞

[0 ⋅ ∞]

f(x) ⋅ g(x) =

f(x)1

lub f(x) ⋅ g(x) =

.

g(x) g(x) 1 f(x)

[∞ − ∞]

f(x) − g(x) =

g(x)1 − 1 f(x) 1 f(x)g(x)

[ ]

1

∞

_[

_∞

0

_]

_{[ ]}

₀

0

[f(x)

]

g(x)

=

_e

g(x) ln f(x)

.

[0 ⋅ ∞]

xln x.

lim

x→0+

xln x =

=

=

(−x) = 0

lim

x→0+ _x→0

lim

+ ln x 1 x

=

H

_lim

x→0+ 1 x −1 x2

lim

x→0+ −x2 x _x→0

lim

+

= [

]

lim

x→0+ ln x1 x −∞ +∞

.

lim

x→0+

x

sin x

=

=

lim

x→0+

x

sin x _x→0

lim

+

e

sin x ln x

f(x) = e

x

=

e

limx→0+sin x ln x

=. . .

sin xln x =

lim

x→0+

=

=

=

lim

x→0+

ln x

1 sin x

=

H [ ]∞ ∞ x→0

lim

+ 1 x

−

1

cos x

x sin2

lim

x→0+

x

sin

2

−xcos x

(−

tg x) = −1 ⋅ 0 = 0

lim

x→0+

sin x

x

. . . = = 1.

e

0

prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:17:27

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=ebb1d627749eb79ed7d3c6f726350c3e