Zajecia

Wykład 1

𝛺 – zbiór zdarzeń elementarnych (może być skończony lub nieskończony) Dowolne podzbiory 𝛺 nazywamy zdarzeniami.

𝜔𝜖𝐴: „Zaszło zdarzenie A”

𝜔 ∉ 𝐴: „Zaszło zdarzenie przeciwne do A czyli zdarzenie 𝐴′ _{= 𝛺 ∖ 𝐴”}

Przykład:

Rzucamy kostką do gry.

𝐴 – „wypadła parzysta liczba oczek” 𝐴 = {2,4,6}

𝐴′ = {1,3,5} 𝐴′ = 𝛺 ∖ 𝐴

B – „wypadła liczba oczek < 4” 𝐵 = {1,2,3}

𝐴 ∩ 𝐵 – zaszło A i zaszło B 𝐴 ∩ 𝐵 = {2}

𝐴 ∪ 𝐵 – zaszło A lub zaszło B 𝐴 ∪ 𝐵 = {1,2,3,4,6}

𝐴 ∖ 𝐵 – zaszło A i nie zaszło B 𝐴 ∖ 𝐵 = {4,6}

𝐵 ∖ 𝐴 – zaszło B i nie zaszło A 𝐵 ∖ 𝐴 = {1,3}

Definicja:

Rodziną zdarzeń ℱ (𝛿 – ciałem zdarzeń) nazywamy rodzinę podzbiorów 𝛺, spełniającą warunki:

1. 𝛺𝜖ℱ

2. Jeśli 𝐴₁𝜖ℱ to 𝐴′𝜖ℱ

3. Jeśli 𝐴₁, 𝐴₂, 𝐴₃… 𝜖ℱ to ⋃∞_𝑖=1𝐴_𝑖𝜖ℱ

Uwaga:

Jeśli 𝛺 jest zbiorem skończonym lub nieskończonym przeliczalnym to ℱ jest rodziną wszystkich podzbiorów 𝛺.

Oznaczenie: ℱ = 2𝛺 Przykład: Rzut monetą 𝛺 = {𝑂, 𝑅} ℱ = {𝛺, ∅, {𝑂}, {𝑅}} Definicja

Prawdopodobieństwem określonym na (𝛺, ℱ) nazywamy funkcję ℙ: ℱ → ℝ przyporządkowującą każdemu zdarzeniu A liczbę ℙ(𝐴) zwaną

prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A tak że spełnione są następujące warunki:

1. ℙ(𝐴) ≥ 0 dla każdego A 2. ℙ(𝛺) = 1

3. Jeśli 𝐴₁, 𝐴₂, 𝐴₃… 𝜖ℱ oraz 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅ dla i≠ 𝑗 (𝑖, 𝑗 = 1,2,3, … ) to ℙ(⋃∞_𝑖=1𝐴_𝑖) = ∑∞_𝑖=1ℙ(𝐴_𝑖)

Definicja:

Przestrzeń probabilistyczna – matematyczny model doświadczenia losowego, trójka (𝛺, ℱ, ℙ)

Podstawowe właściwości prawdopodobieństwa: 1. ℙ(∅) = 0

2. Jeśli 𝐴₁, … , 𝐴_𝑛 wykluczają się parami tzn. 𝐴_𝑖 ∩ 𝐴_𝑗 = ∅ dla i≠ 𝑗 to ℙ(⋃𝑛_𝑖=1𝐴_𝑖) = ∑𝑛_𝑖=1ℙ(𝐴_𝑖) 3. ℙ(𝐴′) = 1 − ℙ(𝐴) 4. Jeśli 𝐴 ⊂ 𝐵, to ℙ(𝐵\𝐴) = ℙ(𝐵) − ℙ(𝐴) 5. Jeśli 𝐴 ⊂ 𝐵, to ℙ(𝐴) ≤ ℙ(𝐵) 6. ℙ(𝐴) ≤ 1 dla każdego A 7. ℙ(𝐴 ∪ 𝐵) = ℙ(𝐴) + ℙ(𝐵) − ℙ(𝐴 ∩ 𝐵) (własność ta działa rekurencyjnie dla większej ilości zdarzeń)

Metody wyznaczania prawdopodobieństwa: 1. Schemat klasyczny: 𝛺 – zbiór skończony

2. Uogólnienie schematu klasycznego: 𝛺 – zbiór nieskończony przeliczalny 3. Prawdopodobieństwo geometryczne

Schemat klasyczny: 𝛺 – zbiór skończony ℱ = 2𝛺

Zakładamy, że wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. Wówczas dla dowolnego 𝐴𝜖ℱ:

ℙ(𝐴) = 𝐴̅̅ 𝛺̅̅

Przykład: 𝛺 = {1,2,3,4,5,6} 𝛺̅̅ = 6 𝐴 = {2,4,6} 𝐴̅̅ = 3 ℙ(𝐴) = 3 6= 1 2

Uogólnienie schematu klasycznego: 𝛺 – zbiór nieskończony przeliczalny 𝛺 = {𝜔₁, 𝜔₂, 𝜔₃, … , 𝜔_𝑖, … }

ℱ = 2𝛺

Niech ℙ({𝜔𝑖}) = 𝑝𝑖 – prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia elementarnego 𝜔_𝑖. Wówczas prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia 𝐴𝜖ℱ:

ℙ(𝐴) = ∑_{𝑖:𝜔𝑖𝜖𝐴}𝑝_𝑖 – suma wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu zdarzenia A.

Przykład:

Rzut monetą do momentu wyrzucenia orła: 𝛺 = {𝑜, 𝑅𝑂, 𝑅𝑅𝑂, … , 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑂, … } ℙ({𝜔_𝑖}) = 𝑝_𝑖 = ? 𝑝₁ = ℙ({𝜔₁}) = 1 2 𝑝₂ = ℙ({𝜔₂}) = 1 4 = ( 1 2) 2

⋮

∑ (1 2) 𝑖 ∞ 𝑖=1 = 1

A – „Orzeł wypadł w pierwszym rzucie” ℙ(𝐴) = ℙ({𝜔₂}) = 𝑝₂ = (1

2) 2

= 1 4 B – „Wykonano mniej niż 3 rzuty” 𝐵 = {𝑂, 𝑅𝑂} ℙ(𝐵) = 𝑝₁+ 𝑝₂ =1 2+ 1 4= 3 4 Prawdopodobieństwo geometryczne 𝛺 – zbiór nieskończony, nieprzeliczalny.

Zakładamy, że 𝛺 podzbiór ℝ𝑛 (prosta ℝ płaszczyzny ℝ2, ….) który ma skończoną miarę (czyli długość, pole, objętość, …)

ℱ - rodzina zdarzeń to 𝛿-ciało podzbiorów 𝛺

Wówczas prawdopodobieństwo zajścia dowolnego zdarzenia 𝐴𝜖ℱ wyznacza się ze wzoru ℙ(𝐴) = 𝑚𝑖𝑎𝑟𝑎(𝐴)

𝑚𝑖𝑎𝑟𝑎(𝛺)

Miara punktu jest równa zero! Zatem dla każdego zdarzenia elementarnego 𝜔 ∈ 𝛺 mamy ℙ({𝜔}) = 0.

Przykład

Wybieramy losowo punkt z odcinka [0,1].

Jakie jest prawdopodobieństwo, że odległość tego punktu od środka jest mniejsza niż 1₄?

𝛺 = [0,1]

Miara (𝛺) = długość (𝛺) = 1

𝐴 – „Odległość tego punktu od środka odcinka jest < 1₄” 𝐴 = (1 4, 3 4) Miara (𝐴) = długość (𝐴) = 1 2 ℙ(𝐴) = 𝑚𝑖𝑎𝑟𝑎(𝐴) 𝑚𝑖𝑎𝑟𝑎(𝛺) = 1 2 1 = 1 2 Przykład

Rzucamy strzałką do tarczy. Wynik doświadczenia to punkt trafienia w tarczę. Jeżeli tarcza jest kołem o promieniu r to 𝛺 = {(𝑥, 𝑦): 𝑥2+ 𝑦2 ≤ 𝑟2}

Miara (𝛺) = pole (𝛺) = 𝜋𝑟2

A – „trafienie w dziesiątkę tzn. trafienie w kropkę na tarczy o promieniu 𝑟 10.” Miara(A) = pole (A) = 𝜋 (𝑟

10) 2 ℙ(𝐴) = 𝑚𝑖𝑎𝑟𝑎(𝐴) 𝑚𝑖𝑎𝑟𝑎(𝛺)= 𝜋(𝑟 10) 2 𝜋𝑟2 = 1 100

Prawdopodobieństwo warunkowe (𝛺, ℱ, ℙ) – przestrzeń probabilistyczna

Jeśli 𝐴, 𝐵𝜖ℱ oraz ℙ(𝐵) > 0 to prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B nazywamy

ℙ(𝐴|𝐵) = ℙ(𝐴∩𝐵) ℙ(𝐵) Przykład

Rzucamy 3 razy monetą

𝛺 = {𝑂𝑂𝑂, 𝑂𝑂𝑅, 𝑂𝑅𝑂, 𝑅𝑂𝑂, 𝑅𝑅𝑂, 𝑅𝑂𝑅, 𝑂𝑅𝑅, 𝑅𝑅𝑅} 𝛺̅̅ = 23 = 8

Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadły 3 orły, jeżeli wiadomo, że wyrzucono nieparzystą liczbę orłów?

A = „wypadły 3 orły”

B – „wyrzucono nieparzystą liczbę orłów” 𝐴 = {𝑂𝑂𝑂} 𝐵 = {𝑂𝑂𝑂, 𝑂𝑅𝑅, 𝑅𝑂𝑅, 𝑅𝑅𝑂} ℙ(𝐴) = 1 8 ℙ(𝐴|𝐵) = ℙ(𝐴∩𝐵) ℙ(𝐵) ℙ(𝐵) = 4 8= 1 2 > 0 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑂𝑂𝑂} ℙ(𝐴 ∩ 𝐵) = 1 8 ℙ(𝐴|𝐵) = 1 8 1 2 = 1 4 Uwaga ze wzoru ℙ(𝐴|𝐵) = ℙ(𝐴∩𝐵)

ℙ(𝐵) o ile ℙ(𝐵) > 0 wynika natychmiast ℙ(𝐴 ∩ 𝐵) = ℙ(𝐴|𝐵) ℙ(𝐵) co można łatwo uogólnić dla iloczynu n zdarzeń.

Wzór łańcuchowy:

Jeśli 𝐴₁, 𝐴₂, … , 𝐴_𝑛 ∈ ℱ przy czym ℙ(𝐴1∩ … ∩ 𝐴𝑛−1) > 0, to

ℙ(𝐴₁∩ 𝐴₂ ∩ … ∩ 𝐴_𝑛) = ℙ(𝐴₁)ℙ(𝐴₂|𝐴₁)ℙ(𝐴₃|𝐴₁∩ 𝐴₂) ℙ(𝐴_𝑛|𝐴₁∩ … ∩ 𝐴_𝑛−1)

Przykład

W urnie jest 5 kul białych i 15 kul czarnych. Wyciągamy kolejno, bez zwracania, 3 kule. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania 3 kul białych?

𝐴₁ – „w pierwszym losowaniu wyciągnięto kulę białą” ℙ(𝐴₁) = 5

20

𝐴₂ – „w drugim losowaniu wyciągnięto kulę białą” ℙ(𝐴₂|𝐴₁) = 4

19

𝐴₂ – „w trzecim losowaniu wyciągnięto kulę białą” ℙ(𝐴₃|𝐴₁∩ 𝐴₂) = 3 18 ℙ(𝐴₁∩ 𝐴₂∩ 𝐴₃) = ℙ(𝐴₁)ℙ(𝐴₂|𝐴₁)ℙ(𝐴₃|𝐴₁ ∩ 𝐴₂) = 5 20⋅ 4 19⋅ 3 18 ≈ 0,09 Prawdopodobieństwo całkowite

Niech zdarzenia 𝐻1, 𝐻2, … , 𝐻𝑛 będą rozbiciem przestrzeni 𝛺 tzn. 𝐻𝑖𝜖 ℱ, 𝑖 = 1, … , 𝑛

𝐻_𝑖 ∩ 𝐻_𝑗 ≠ ∅ 𝑑𝑙𝑎 𝑖 ≠ 𝑗 ⋃𝑛 𝐻_𝑖

𝑖=1 = 𝛺

Niech ℙ(𝐻_𝑖) > 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Wtedy dla dowolnego zdarzenia 𝐴𝜖 ℱ ℙ(𝐴) = ∑𝑛𝑖=1ℙ(𝐴₂|𝐻𝑖)ℙ(𝐻𝑖)

Przykład:

Przypuśćmy, że 1 osoba na 1000 choruję na pewną chorobę, która nie ma jednoznacznie określonych objawów. Test wykrywa tą chorobę w 100% a błędne wykrycie zdarza się w 0,5% przypadków. Jakie jest

prawdopodobieństwo, że jeśli zgłosimy się na badanie to będziemy mieć pozytywny wynik testu?

𝐻₁ – jesteśmy chorzy 𝐻₂ – jesteśmy zdrowi (𝐻₂ = 𝐻₁′) 𝐻₁∪ 𝐻₂ = 𝛺 𝐻₁∩ 𝐻₂ = ∅ ℙ(𝐻₁) = 1 1000 > 0 ℙ(𝐻₂) = 1 − 1 1000 > 0 A – pozytywny wynik testu ℙ(𝐴|𝐻₁) = 1 ℙ(𝐴|𝐻₂) = 0,005 ℙ(𝐴) = ℙ(𝐴|𝐻₁)ℙ(𝐻₁) + ℙ(𝐴|𝐻₂)ℙ(𝐻₂) = 1 ⋅ 0,001 + 0,005 ⋅ 0,999 ≈ 0,006 = 0,6% Wzór Bayesa ℙ(𝐻_𝑘|𝐴) = ℙ(𝐴|𝐻𝑘)ℙ(𝐻𝑘) ∑𝑛𝑖=1ℙ(𝐴|𝐻𝑖)ℙ(𝐻𝑖) ℙ(𝐵|𝐴)ℙ(𝐴) = ℙ(𝐴 ∩ 𝐵) = ℙ(𝐴|𝐵)ℙ(𝐵) o ile ℙ(𝐴) > 0 oraz ℙ(𝐵) > 0

Przykład:

Jakie jest prawdopodobieństwo, że jesteśmy chorzy, jeśli test dał wynik pozytywny? ℙ(𝐻₁|𝐴) = ℙ(𝐴|𝐻1)ℙ(𝐻1) ℙ(𝐴) = 1⋅0,001 1⋅0,001+0,005⋅0,999 ≈ 0,17 Niezależność

Mówimy, że zdarzenia A i B są niezależne, jeżeli ℙ(𝐴 ∩ 𝐵) = ℙ(𝐴)ℙ(𝐵). Zauważamy, że wówczas ℙ(𝐴|𝐵) = ℙ(𝐴∩𝐵)

ℙ(𝐵) =

ℙ(𝐴)ℙ(𝐵)

ℙ(𝐵) = ℙ(𝐴) o ile ℙ(𝐵) > 0 Przykład:

Rzucamy dwa razy monetą 𝛺 = {𝑃𝑃, 𝑃𝑅, 𝑅𝑂, 𝑅𝑅} 𝛺̅̅ = 4

A – „Orzeł wypadł w pierwszym rzucie” B – „Orzeł wypadł w drugim rzucie” 𝐴 − {𝑂𝑂, 𝑂𝑅} 𝐵 − {𝑂𝑂, 𝑅𝑂} 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑂𝑂} ℙ(𝐴) = 2 4= 1 2= ℙ(𝐵) ℙ(𝐴 ∩ 𝐵) = 1 4= ℙ(𝐴)ℙ(𝐵) Czyli A i B są niezależne

C – „Reszka wypadła w pierwszym rzucie” 𝐶 − {𝑅𝑂, 𝑅𝑅}

𝐴 ∩ 𝐶 = ∅

ℙ(𝐴 ∩ 𝐶) = 0 ≠ ℙ(𝐴)ℙ(𝐶)

Stwierdzenie

Jeśli A i B są niezależne, to niezależne są również: 1. 𝐴 𝑖 𝐵′

2. 𝐴′ 𝑖 𝐵 3. 𝐴′ 𝑖 𝐵′

W przypadku większej liczby zdarzeń niezależność definiujemy następująco: Zdarzenia 𝐴1, … , 𝐴𝑛 są niezależne (łączne niezależne) jeżeli dla dowolnego 𝑘 = 2, … , 𝑛 oraz dowolnych, różnych indeksów 𝑖1, 𝑖2, … , 𝑖𝑘 ze zbioru 1, … , 𝑛

ℙ(𝐴_𝑖1 ∩ 𝐴_𝑖2 ∩ … ∩ 𝐴_𝑖𝑘) = ℙ(𝐴_𝑖1)ℙ(𝐴_𝑖2) ⋅ … ⋅ ℙ(𝐴_𝑖𝑘)

Np. dla n = 3 mamy następujący warunek niezależności zdarzeń 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3: ℙ(𝐴₁∩ 𝐴₂) = ℙ(𝐴₁)ℙ(𝐴₂)

ℙ(𝐴₁∩ 𝐴₃) = ℙ(𝐴₁)ℙ(𝐴₃) ℙ(𝐴₂∩ 𝐴₃) = ℙ(𝐴₂)ℙ(𝐴₃)

ℙ(𝐴₁∩ 𝐴₂∩ 𝐴₃) = ℙ(𝐴₁)ℙ(𝐴₂)ℙ(𝐴₃)

Uwaga: Z niezależności zdarzeń parami tzn. z warunku, że

ℙ(𝐴_𝑖 ∩ 𝐴_𝑗) = ℙ(𝐴_𝑖)ℙ(𝐴_𝑗) dla wszystkich 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑖1𝑗 = 1, … , 𝑛 nie wynika niezależność (łączna niezależność) 𝐴1, … 𝐴𝑛!

Przykład

Rzucamy czworościanem foremnym o bokach kolorów: czerwonym, zielonym, białym, czerwono zielonobiałym.

C – „czworościan upadł na ścianę, na której jest kolor czerwony (1,4)” B – „czworościan upadł na ścianę, na której jest kolor biały (2,4)” Z – „czworościan upadł na ścianę, na której jest kolor zielony (3,4)” ℙ(𝐶) = 2 4= 1 2= ℙ(𝐵)ℙ(𝑍) ℙ(𝐶 ∩ 𝐵) = 1 4= ℙ(𝐶)ℙ(𝐵) ℙ(𝐶 ∩ 𝑍) = 1 4 = ℙ(𝐶)ℙ(𝑍)

ℙ(𝐵 ∩ 𝑍) = 1

4 = ℙ(𝐶)ℙ(𝑍)

C, B i Z są niezależne w parach, ale ℙ(𝐶 ∩ 𝐵 ∩ 𝑍) = 1₄≠ ℙ(𝐶)ℙ(𝐵)ℙ(𝑍) = 1 8 Zatem C, B i Z nie są niezależne!