Numeryczna analiza zbieżności rozmytych szeregów czasowych

Pełen tekst

(1)Zeszyty Naukowe nr. 770. Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie. 2009. Jacek Wołoszyn Katedra Informatyki. Wit Urban. Katedra Informatyki. Numeryczna analiza zbieżności rozmytych szeregów czasowych Streszczenie. W artykule przedstawiono zagadnienie zbieżności rozmytych autoszeregów czasowych wygenerowanych za pomocą liniowych równań różnicowych w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych. W tym celu zaprezentowano zarówno teoretyczne, jak też numeryczne aspekty rozważanego zagadnienia. W opracowaniu zostały szczegółowo omówione między innymi kwestie pomiaru stopnia zbieżności elementów rozmytych szeregów czasowych z punktu widzenia analizy przebiegu ich funkcji przynależności, jak też algorytm wyznaczania obserwacji zbieżnych dla takich szeregów przy założeniu wykorzystania wskazanego generatora do ich utworzenia. Słowa kluczowe: arytmetyka rozmyta, rozmyte szeregi czasowe, przetwarzanie danych rozmytych.. 1. Wstęp Równania różnicowe stanowią jedną z ważnych metod matematycznego opisu dynamiki wielkości charakteryzujących różne aspekty świata rzeczywistego, w tym także systemów ekonomiczno-społecznych. Dotyczy to także procedur analizy zjawisk przy uwzględnieniu wspomnianego podejścia badawczego, wykorzystujących teorię zbiorów rozmytych. Równania różnicowe tworzą wówczas swoiste generatory rozmytych autoszeregów czasowych. Jednym z ważnych aspektów ich analizy jest badanie wzajemnej zbieżności takich szeregów. Celem opracowania jest prezentacja metody wyznaczania uwarunkowań takiej zbieżności. W związku z tym zamierzeniem został przyjęty następujący układ artykułu. W części następującej zaraz po wstępie przedstawiono aspekty teoretyczne poruszanego zjawiska.

(2) Jacek Wołoszyn, Wit Urban. 156. wsparte metodologią jego pomiaru. Następnie omówiono aparat pojęciowy arytmetyki rozmytej, którym posłużono się w ostatniej części opracowania w związku z problemem wyznaczenia numeru obserwacji, dla której zachodzi zbieżność rozmytych autoszeregów czasowych generowanych za pomocą różnych liniowych równań różnicowych. 2. Teoretyczne aspekty zbieżności rozmytych autoszeregów czasowych Sformułowanie numerycznych warunków zbieżności dla rozmytych autoszeregów czasowych wiąże się ze zdefiniowaniem modelu matematycznego spełniającego funkcję ich generatora. W wypadku eksperymentów symulacyjnych, których rezultaty prezentuje opracowanie, badania koncentrowały się przede wszystkim wokół liniowych równań różnicowych w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych o postaci zgodnej z poniższym wzorem. xt +1 = axt + b. . xt , a,b ∈ N (R),. (2.1). gdzie N(R) oznacza wspomnianą przestrzeń. W przytoczonej zależności zmienna, jak też ogół parametrów są rozmytymi liczbami rzeczywistymi. Definicja dla takich liczb została sformułowana na bazie pojęcia zbioru rozmytego przez L.A. Zadeha [1965].. Definicja 2.1. Rozmyta liczba rzeczywista jest zbiorem rozmytym w przestrzeni R mającym ciągłą funkcję przynależności μα oraz spełniającym warunek wypukłości:. μ α (y) ≥ μ α (x) ∧ μ α (z). ∀x, y, z ∈ R, y ∈ [x; z] . (2.2). Klasę rozmytych liczb rzeczywistych oznacza się z kolei często, jak już to zostało wcześniej wspomniane, N(R). Konsekwencją wykorzystania w równaniu różnicowym (2.1) wartości rozmytych jest konieczność odwołania się do podstawowych działań arytmetyki rozmytej. Ta część teorii zbiorów rozmytych związana z działaniami arytmetycznymi na liczbach rozmytych została oparta na wykorzystaniu zdefiniowanej przez L.A. Zadeha [1965] zasady rozszerzenia.. Definicja 2.2. Niech f będzie odwzorowaniem X1 × … × X n → Y, takim że y = f(x1, …, xn); y ∈ Y, xi ∈ X i∀ i ∈ Nn oraz niech Ai ∈ P(X)∀ i ∈ Nn. Iloczyn kartezjański A1 × … × An przekształcany jest zgodnie z odwzorowaniem f w zbiór rozmyty B ∈ P(Y) określony funkcją przynależności:.

(3) Numeryczna analiza zbieżności…. ⎧ ⎪⎪ μ B (y) = ⎨ ⎪ ⎪⎩. sup. x1 ∈ X 1 , …, xn ∈ X n y = f ( x1 , …, xn ). (. 157. ). min μ A (x1 ), …,μ A (xn ) dla f −1 (y) ≠ ∅ 1. n. ∀y ∈ Y . (2.3). dla f −1 (y) = ∅. 0. Zasada ta pozwala znajdować rozmyte odpowiedniki nierozmytych odwzorowań poprzez zastąpienie koncepcji skalarnie określonej zmiennej podejściem, w którym występuje zbiór stopni przynależności odpowiadających poszczególnym potencjalnym jej wartościom. Tak więc na bazie powyższej definicji można określić podstawowe operacje arytmetyczne na rzeczywistych liczbach rozmytych [Klir, Pan 1998]. Definicja 2.3. Zakładając, że A i B ∈ N(R), oraz przyjmując:. a) f(x1, x2) = x1 + x2 dla operacji dodawania A + B ∈ N(R),. (. ). μ A+ B (y) = sup min μ A (x1 ), μ B (x2 ). x1 , x2 ∈ R y = x 1 + x2. b) f(x1, x2) = x1 – x2 dla operacji odejmowania A – B ∈ N(R),. (. ). μ A– B (y) = sup min μ A (x1 ), μ B (x2 ). ∀y ∈ R ;. x1 , x2 ∈ R y = x 1 – x2. ∀y ∈ R ;. c) f(x1, x2) = x1·x2 dla operacji mnożenia A·B ∈ N(R),. (. ∀y ∈ R ;. ). μ A ⋅ B (y) = sup min μ A (x1 ), μ B (x2 ). x1 , x2 ∈ R y = x 1 ⋅ x2. d) f(x1, x2) = x1/x2, x2 ≠ 0 dla operacji dzielenia A/B ∈ N(R), μ A /B (y) = sup. min μ A (x1 ), μ B (x2 ). x1∈ R, x2∈ R – {0} y = x 1 /x2. (. ). ∀y ∈ R .. (2.4). (2.5). (2.6). (2.7). Opierając się na przedstawionym aparacie pojęciowym, model (2.1) można wykorzystać do generowania rozmytych autoszeregów czasowych przy zadanych wartościach parametrów oraz określonej wielkości początkowej zmiennej. W badaniu zbieżności otrzymanych w ten sposób szeregów czasowych pomocna okazuje się definicja relacji równości dla rzeczywistych liczb rozmytych.. Definicja 2.4. Liczby rozmyte a i b ∈ N(R) są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy:. ∀ μ a (x) = μ b (x).. x ∈R. (2.8).

(4) Jacek Wołoszyn, Wit Urban. 158. Wynika ona z podstawowej idei tych liczb, dla których relacje porównania muszą być odnoszone do przebiegów ich funkcji przynależności. Takie samo podejście należy zastosować do rozważanego zjawiska zbieżności rozmytych szeregów czasowych. Nie można go jednak sprowadzać wyłącznie do zachodzenia równości pomiędzy określonymi elementami pochodzącymi z badanych szeregów. Zbieżność powinna być bowiem rozważana także w przypadku spełniającym poniższe założenia.. {xt ∈ N (R)} ∧ {yt ∈ N(R)} ∧. ∃ μ x (z) = μ y (z).. ∃. xτ ∈ {xt }∧ yτ ∈ {yt } z ∈ R. τ. τ. (2.9). Tego typu sytuacja może zachodzić także wówczas, gdy pomiędzy dwoma wielkościami będącymi rozmytymi liczbami rzeczywistymi nie stwierdza się równości. Tak więc przedstawiony przypadek pozwala stwierdzić, że kwestii zbieżności rozmytych szeregów czasowych nie należy ograniczać wyłącznie do równości funkcji przynależności dla całej przestrzeni liczb rzeczywistych lub dla określonych jej podzbiorów. Można jednak w odniesieniu do tego problemu odwołać się do interpretacji funkcji przynależności na gruncie teorii zbiorów rozmytych. Na tej podstawie badanie zbieżności rozmytych szeregów czasowych sprowadza się do porównywania zgodności stopnia, w jakim wartości przestrzeni liczb rzeczywistych należą do poszczególnych rozmytych elementów składowych odpowiadających kolejnym momentom czasu. Tym samym w odniesieniu do przypadku spełnienia zależności (2.8) poziom przynależności wszystkich wartości rzeczywistych do wielkości rozmytych jest taki sam dla każdej z nich. Zgodność w zakresie rozważanej przynależności jest wówczas największa. Podobne rozumowanie można zastosować do pozostałych sytuacji, gdy:. {xt ∈ N (R)} ∧ {yt ∈ N (R)} ∧ ∃ ∃ μ x (z) > μ y (z) ∨ μ x (z) < μ y (z) . xτ ∈{xt }∧ yτ ∈{yt } z ∈ R. (. τ. τ. τ. τ. ). (2.10). Z przedstawionych założeń wynika, że dla określonej pary elementów rozmytych szeregów czasowych istnieją wartości rzeczywiste przynależne w różnym stopniu do obu wspomnianych wielkości. Nie można jednak w odniesieniu do nich stwierdzić, że dla tych obserwacji porównywane szeregi nie są zbieżne. Wynika to ze wspomnianej interpretacji funkcji przynależności. Z tego, że dla wymienionych powyżej liczb rozmytych xτ oraz yτ zachodzi dla dowolnego z ∈ R np. dokładnie zależność:. μ x (z) < μ y (z), τ. τ. (2.11). wynika, że przynależność z do obu wielkości jest nie mniejsza niż. (. ). min μ x (z), μ y (z) . τ. τ. (2.12).

(5) Numeryczna analiza zbieżności…. 159. Tym samym można mówić o zgodności funkcji przynależności na poziomie określonym wzorem (2.12) dla tej wartości. Z tego zaś wynika, że elementy rozmytych szeregów czasowych są w takim znaczeniu zawsze zbieżne w pewnym stopniu, jeśli chodzi o przynależność do nich przestrzeni liczb rzeczywistych. Do opisu, na jakim poziomie funkcji przynależności kształtuje się ta zbieżność, można wykorzystać odpowiednią funkcję T-normy. Definicja 2.5. [Biocybernetyka…, 2000]. Funkcję T dwóch zmiennych. T : [0,1] × [0,1] → [0,1]. (2.13). T(a, c) ≤ T(b, d) dla a ≤ b, c ≤ d,. (2.14). T(a, b) = T(b, a),. (2.15). T (T(a, b), c) = T (a, T(b, c)),. (2.16). T(a, 0) = 0, T(a, 1) = a.. (2.17). nazywamy T-normą, jeżeli dla a, b, c, d ∈ [0,1]: – jest to funkcja niemalejąca względem obu parametrów, to znaczy:. – spełnia warunek przemienności: – spełnia warunek łączności: – spełnia warunki brzegowe:. Dla rozważanego przypadku odwzorowanie T w powyższej definicji należy zastąpić przez funkcję min. Tak określone przekształcenie dla podkreślenia związku z T-normą można oznaczyć za pomocą symbolu Τ . Wówczas wspomin mniany poziom zbieżności funkcji przynależności dwóch argumentów należących do przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych wyznacza następujący wzór.. (. ). (. ). x, y ∈ N (R) ⇒ Τ μ x (z),μ y (z) = min μ x (z),μ y (z) , min. z ∈ R. (2.18). Otrzymana w ten sposób funkcja nie jest jednak miernikiem stopnia zbieżności elementów rozmytych szeregów czasowych. Dla konstrukcji takiego wskaźnika należy dysponować odpowiednim poziomem odniesienia. W omawianym wypadku można dla jego otrzymania zastosować dobraną do przekształcenia Τ min funkcję S-normy. Definicja 2.6. [Biocybernetyka…, 2000]. Funkcję S dwóch zmiennych:. S : [0,1] × [0,1] → [0,1]. (2.19). nazywamy S-normą, jeżeli podobnie jak w przypadku T-normy jest niemalejącą względem obu argumentów, spełnia warunek przemienności i łączności, oraz następujące warunki brzegowe:.

(6) Jacek Wołoszyn, Wit Urban. 160. S(a, 0) = a, S(a, 1) = 1.. (2.20). Jak to już zostało zauważone, przekształcenie dane wzorem (2.18) określa zbieżność przynależności przestrzeni liczb rzeczywistych do rozmytych wielkości rzeczywistych na poziomie, który gwarantują funkcje przynależności takich argumentów. Jest to więc minimalny poziom związany z przebiegiem tych funkcji. Uwzględniając interpretację funkcji przynależności, należy go zatem odnosić do potencjalnie największego możliwego, wynikającego z następującego przekształcenia zgodnego z definicją S-normy: x, y ∈ N (R) ⇒ S (μ x (z),μ y (z)) = max(μ x (z),μ y (z)) ,. max. z ∈ R. (2.21). Porównanie wartości funkcji Τ oraz S wymaga wykorzystania metod min max analizy wielowymiarowej. Problem ten można jednak rozwiązać także poprzez konstrukcję odpowiedniego wskaźnika mierzącego stopień zbieżności rozmytych szeregów czasowych w zakresie przynależności do nich wartości rzeczywistych oraz wykorzystującego procedury skalaryzacji obu przekształceń. W tym celu można wykorzystać np. pole pod wykresem funkcji przynależności. Wówczas wspomniany wskaźnik powinien przyjąć postać zgodną z poniższym wzorem:. Ponieważ. x, y ∈ N(R) ⇒ wzbx, y =. Τ (μx (z),μ y (z)) dz ∫ min . S (μ x (z),μ y (z)) dz ∫ max. Τ (μ x (z),μ y (z)) dz ≤ ∫ S ( μ x (z),μ y (z)) dz ∀ ∫ min max. x, y∈N ( R). (2.22). (2.23). zmienność zaproponowanego wskaźnika zbieżności wygląda następująco:. wzbx, y ∈ [0, 1].. (2.24). Łatwo zauważyć, że w sytuacji, gdy dwie rozmyte liczby rzeczywiste są sobie równe, a więc spełniona jest dla nich zależność (2.8), to prawdziwe jest wówczas także twierdzenie: x, y ∈ N(R) ∧ x = y ⇒ S (μ x (z),μ y (z)) = Τ (μ x (z),μ y (z)), z ∈ R min. max. (2.25). Oznacza ono także dla pary takich liczb, że. wzbx, y = 1.. (2.26). Gdy twierdzenie zdefiniowane formułą (2.25) spełnione jest dla odpowiadających sobie elementów porównywanych rozmytych szeregów czasowych, zachodzi.

(7) Numeryczna analiza zbieżności…. 161. wówczas pomiędzy nimi pełna zbieżność. Przy czym można zauważyć, że w takiej sytuacji zjawisko to utożsamiane z równością obserwacji w takich szeregach pokrywa się ze zbieżnością maksymalną w zakresie przynależności przestrzeni liczb rzeczywistych do tych wielkości rozmytych. Konsekwencją takiego rozumowania jest także numeryczne uzasadnienie za pomocą wzorów (2.24), (2.25) i (2.26) tezy postawionej wcześniej w tej części opracowania, a odnoszącej się do wzajemnej relacji dwóch sposobów podejścia do rozważanego zjawiska. Tym samym analiza warunków numerycznych dla zbieżności dwóch lub więcej rozmytych szeregów czasowych jest w swoich założeniach taka sama bez względu na wybrany schemat jej modelowania. Potwierdza to także prezentowana w artykule koncepcja związana z ustalaniem tych warunków, która odwołuje się także do założeń arytmetyki rozmytej zaproponowanych w pracy: [Kaufmann, Gupta 1985]. 3. Podstawy numerycznego przetwarzania działań arytmetyki rozmytej Podstawowym elementem podejścia zaproponowanego przez A. Kaufmanna do problemu numerycznego przetwarzania działań arytmetyki rozmytej jest założenie o spełnianiu przez ich argumenty warunków wypukłości oraz normalności. Jeśli chodzi o pierwszy z nich, to został on już sformułowany przy okazji definicji rzeczywistej liczby rozmytej. Normalność zaś jest określana w stosunku do zbiorów rozmytych w następujący sposób. Definicja 3.1. [Kaufmann, Gupta 1985]. Zbiór rozmyty A ∈ P(X) (gdzie P(X) oznacza klasę wszystkich zbiorów rozmytych w przestrzeni X) nazywamy normalnym, jeżeli. natomiast jeżeli. ∃x ∈ X μ (x) = 1,. (3.1). ∀x ∈ X μ (x) < 1,. (3.2). A. A. to zbiór A nazywamy podnormalnym, subnormalnym. W takim wypadku można dla liczby rozmytej x wyznaczyć tzw. przedziały pewności związane z poziomami dopuszczalności α wartości funkcji przynależności, tej liczby.. Definicja 3.2. [Kaufmann, Gupta 1985]. Jeżeli x ∈ N(R) to poziom dopuszczalności wartości funkcji przynależności x, nazywany krótko poziomem dopuszczalności, α ∈ [0;1] pozwala wyznaczyć przedział pewności. xα = [a1(α ) ; a2(α ) ] = { x x ∈ R | μ x (x x ) ≥ α }.. (3.3).

(8) Jacek Wołoszyn, Wit Urban. 162. Uwzględniając własność wypukłości liczby rozmytej x, można stwierdzić, że przedział pewności xα jest malejącą funkcją poziomu dopuszczalności α. Wynika z tego definicja 3.3.. Definicja 3.3. [Kaufmann, Gupta 1985]. Jeżeli x ∈ N(R) oraz x spełnia warunek wypukłości to dla każdych α, α’ ∈ [0;1] takich, że α’ > α jeżeli. xα = [a1(α ) ; a2(α ) ] = {x x ∈ R | μ x (x x ) ≥ α},. (3.4). xα’ = [a1(α’) ; a2(α’) ] = {x x ∈ R | μ x (x x ) ≥ α’},. (3.5). xα’ ⊂ xα. (3.6). wówczas. lub inaczej. [a1(α’) ; a2(α’) ] ⊂ [a1(α ) ; a2(α ) ].. . (3.7). Opierając się na dwóch przedstawionych definicjach, można podać określenia podstawowych działań na liczbach rozmytych.. Definicja 3.4. [Kaufmann, Gupta 1985]. Jeżeli liczby rozmyte x i y ∈ N(R) oraz xα i yα oznaczają przedziały pewności przy dopuszczalnym poziomie α dla tych liczb wyznaczone wzorami. xα = [a1(α ) ; a2(α ) ] = {x x ∈ R | μ x (x x ) ≥ α},. (3.8). yα = [b1(α ) ;b2(α ) ] = {x y ∈ R | μ y (x y ) ≥ α},. (3.9). xα + yα = [a1(α ) ; a2(α ) ] + [b1(α ) ;b2(α ) ] = [a1(α ) + b1(α ) ; a2(α ) + b2(α ) ]. (3.10). xα − yα = [a1(α ) ; a2(α ) ] − [b1(α ) ;b2(α ) ] = [a1(α ) − b1(α ) ; a2(α ) − b2(α ) ].. (3.11). wówczas ∀α ∈ [0;1] oraz Ze względu na problemy z jednoznacznym zdefiniowaniem dwóch pozostałych działań, tj. mnożenia i dzielenia za pomocą podejścia opartego na przedziałach pewności, przestrzeń, w której są określane argumenty tych operacji, została + zawężona do rzeczywistych liczb dodatnich R . +. Definicja 3.5. [Kaufmann, Gupta 1985]. Jeżeli liczby rozmyte x i y ∈ N(R ) oraz xα i yα oznaczają przedziały pewności przy dopuszczalnym poziomie α dla tych liczb wyznaczone wzorami.

(9) Numeryczna analiza zbieżności…. 163. xα = [a1(α ) ; a2(α ) ] = {x x ∈ R + | μ x (x x ) ≥ α},. (3.12). yα = [b1(α ) ;b2(α ) ] = {x y ∈R + | μ y (x y ) ≥ α},. (3.13). xα · yα = [a1(α ) ; a2(α ) ]· [b1(α ) ;b2(α ) ] = [a1(α ) · b1(α ) ; a2(α ) · b2(α ) ] . (3.14). xα / yα = [a1(α ) ; a2(α ) ] / [b1(α ) ;b2(α ) ] = [a1(α ) / b1(α ) ; a2(α ) / b2(α ) ].. (3.15). wówczas ∀α ∈ [0;1]] oraz. Zastosowane w definicjach 3.4 i 3.5 podejście do działań arytmetycznych na liczbach rozmytych poprzez potraktowanie przestrzeni, w której zdefiniowany jest wynik operacji jako funkcji kolejnych poziomów dopuszczalności α określonych dla jej argumentów, stanowi odwrócenie zasady rozszerzenia L.A. Zadeha. Zaletą takiego określenia operacji arytmetycznych na liczbach rozmytych jest względna łatwość numerycznego wyznaczenia wyników tych działań. Wadą takiego podejścia jest ograniczenie arytmetyki rozmytej do klasy liczb rozmytych legitymujących się własnością wypukłości funkcji przynależności, a w wypadku iloczynu i ilorazu także zawężeniem przestrzeni zdefiniowania argumentów. Innym aspektem przedstawionych definicji jest możliwość zastosowania wynikających z nich wniosków w odniesieniu do badania zbieżności autoszeregów czasowych. 4. Numeryczne uwarunkowania zbieżności rozmytych autoszeregów czasowych Przedstawione w poprzedniej części zagadnienia numerycznej realizacji działań arytmetycznych w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych wskazują konieczność zawężenia rozważań odnośnie do zbieżności rozmytych szeregów czasowych. Ograniczenia te, wynikające z przyjętych założeń, narzucają na elementy takich szeregów konieczność spełnienia warunków wypukłości i normalności przez związane z nimi funkcje przynależności. Przyjęty w tym zakresie kompromis zasadniczo nie jest istotny z punktu widzenia praktycznego. Większość charakterystyk rozmytych, jakie daje się określić w odniesieniu do zjawisk świata rzeczywistego, wypełnia tak postawione warunki. Ponadto w takim wypadku stosunkowo łatwo jest wyprowadzić zależności określające od strony numerycznej uwarunkowania zbieżności rozważanej klasy autoszeregów. W tym celu niezbędne jest jeszcze przyjęcie dodatkowych założeń o aproksymacji funkcji przynależności elementów rozmytych szeregów czasowych.

(10) Jacek Wołoszyn, Wit Urban. 164. wygenerowanych za pomocą modelu (2.1) przez złożenie funkcji liniowych oraz zawężeniu analizy zmienności danych rozmytych do takich przedziałów liczbowych zawartych w dziedzinie zdefiniowania funkcji przynależności, poza którymi przyjmuje ona wyłącznie wartości zerowe. Założenia te należy odnieść także do parametrów wymienionego modelu. Wówczas zapis funkcji przynależności dla rozmytych wartości rzeczywistych przyjmuje postać odpowiadającą następującemu wzorowi: ( X ∈ N (R ) ∧. ∃. < x1 ;x n >. ( x i ∉ < x1 ; x n. >⇒ μ X (x i ) = 0)) ⇒. ⎧ x i ∈ < x1 ; x 2 >⇒ a1 x i + b1 ⎪ x i ∈ < x 2 ; x 3 >⇒ a 2 x i + b2 ⎪ ∀ μ X (x i ) = ⎨ x ∈< x ;x > (4.1) … ⎪ ⎪ x ∈ < x ; x >⇒ a x + b n−1 n n−1 i n−1 ⎩ i (< x1 ; x 2 > ∪ … ∪ < x n−1 ; x n >=< x1 ; x n >) ∧ ∀ < x i ; x i+1 > ∩ < x i+1 ; i. 1. n. i=1,...,n−2. x i+2 >= {x i+1 }. Przyjęte założenia, podobnie jak wcześniejsze, nie są także istotne z punktu widzenia zastosowań praktycznych, a przy tym pozwalają na odejście od porównywania przebiegów wskazanej funkcji w całej przestrzeni liczb rzeczywistych. Opierając się na przedstawionych w poprzedniej części definicjach odnoszących się do operacji arytmetycznych w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych, można stwierdzić, że w wypadku rozważanego modelu (2.1) ∀. f. x xt +1∈R x x xt +1 t. ( x xt +1 ). f xt +1 ( x xt +1 ) b. = fb (x. ∃. f (x ) f (x ) ,x a xt +1 xt +1 ,x b xt +1 xt +1 ∈R. )) ∧ x x. =x. f xt +1 ( x xt +1 ). ( f x (x x ) = f x (x x. f xt +1 ( x xt +1 ) z. t +1. *x. t +1. f xt +1 ( x xt +1 ) xt. t. +x. t. f xt +1 ( x xt +1 ) b. f xt +1 ( x xt +1 ). ) = fa (xa. )=. (4.2). zbiór rozważanych wartości rzeczywistych zmiennej rozmytej można zgodnie z przyjętym założeniem zawęzić do rzędnych wierzchołków liniowej aproksymacji jej funkcji przynależności. W ten sposób rozmyte równanie różnicowe ulega przekształceniu na zbiór podobnych działań na wartościach skalarnych. Ich liczba zależy od liczby wierzchołków wspomnianej aproksymacji. Tak więc jeżeli {x1x , x x2 , …, x xn } jest ciągiem rzędnych takich wierzchołków, to model (2.1) dla zmiennej rozmytej xt można zapisać także jako układ następujących równań w przestrzeni liczb rzeczywistych: t. t. t. t +1.

(11) Numeryczna analiza zbieżności…. 165. ⎧ 1, f ( x ) 1, f ( x ) 1, f ( x ) = xa · x1x + xb ⎪ xx ⎪ 2, f ( x ) 2, f ( x ) 2, f ( x ) ⎪x x = xa · x x2 + xb ⎨ ⎪ ..................................................... ⎪ n, f ( x ) n, f ( x ) n, f ( x ) = xa · x xn + xb ⎪x x ⎩ 1 xt. xt. xt. 1 xt. xt. 1 xt. xt. t. t +1. 1 xt. xt. xt. 1 xt. xt. 1 xt. (4.3). t. t +1. 1 xt. 1 xt. xt. xt. 1 xt. t. t +1. Każde takie równanie tworzy osobny skalarny autoszereg czasowy {x xi t } przy zadanych wartościach początkowych dla zmiennych. Wartości stanowiące elementy takich szeregów mogą być następnie aproksymowane względem osi czasu przy wykorzystaniu funkcji wykładniczej. Należy w tym celu wykorzystać prostą procedurę iteracyjną. Opiera się ona na wykorzystaniu wartości pierwszych pochodnych obliczonych dla elementów rozważanego szeregu czasowego t. {x xi 0 , x xi 1 , x xi 2 , …, x xi n }. . (4.4). ⎧⎪ dx xi 1 dx xi 2 dx xi 3 dx xi n −1 ⎫⎪ , , , …, ⎨ ⎬. dt dt dt ⎭⎪ ⎩⎪ dt . (4.5). t. t. t. W ten sposób powstaje odpowiadający mu ciąg pochodnych: t. t. t. t. t. Wartości tego ciągu można z reguły aproksymować za pomocą następującego przekształcenia opartego na funkcji wykładniczej: fdx. i xt. / dt. (t) ≈ eα t +β . i. (4.6). i. Powyższe stwierdzenie należy traktować w kategoriach pewnej tezy, która wymaga weryfikacji w odniesieniu do każdego przypadku oddzielnie. Dowód w drodze analitycznej wymaga dalszych badań. Przeprowadzone eksperymenty symulacyjne wykazały jednak, że była ona zawsze dla nich prawdziwa. Swego rodzaju prostym testem dla możliwości wykorzystania przekształcenia (4.6) do aproksymacji przebiegu wartości ciągu (4.5) jest ich logarytmizacja. ⎧⎪ dx xi 0 dx xi 1 dx xi 2 dx xi n ⎫⎪ , ln , ln , …, ln ⎬. ⎨ln dt dt dt dt ⎭⎪ ⎩⎪ t. t. t. t. (4.7). Dla ujemnych wielkości pierwszych pochodnych należy jego elementy przemnożyć przez –1, pamiętając o tym jednak przy dalszych przekształceniach..

(12) Jacek Wołoszyn, Wit Urban. 166. Gdy spełniona jest zależność (4.7) ln. dx xi t. (t) ≈ α i t + βi ,. t. dt. (4.8). . której parametry można wyznaczyć za pomocą metody najmniejszych kwadratów, wówczas prawdopodobnie przyjęta procedura postępowania jest w danym przypadku prawidłowa. W kolejnym jej kroku należy wykorzystać fakt, że przekształcenie (4.6) stanowi podstawę dla wstępnej aproksymacji ciągu (4.4) zgodnie ze wzorem: (Fx (t) = {x xi t ,t = 0,1, 2,..., n : t → x xi t } ∧ fdx i xt. t. t. = 0,1, 2,..., n : t →. dx xi t t. dt. (t) = { / dt. i xt. ) ⇒ Fx (t) ≈ fx (t) = ∫ fdx i xt. i xt. i xt. dx xi t. / dt. t. dt. ,t =. (t)dt .. (4.9) . Wykorzystując powyższe twierdzenie, można uzyskać notację funkcji dającej przybliżenie przebiegu jego wartości. fx (t) = ∫ eα t +β dt i. i xt. Fx (t) ≈ i xt. i. 1 α t +β e +C αi i. (4.10). i. . Dla wyznaczenia stałej C występującej w powyższym wzorze należy wyznaczyć ciąg wartości teoretycznych dla fx (t)−C. Stanowi on następnie podstawę dla obliczenia błędów szacunku za pomocą zależności i xt. δ ix t = x xi t − ( f x (t ) − C ) t. lub. δ ixt t. i xt t. t. =(f. (t ) − C ) −. (4.11). x xi t t. x. tak, aby wyznaczonemu ich przebiegowi odpowiadały dodatnie wielkości empirycznych pierwszych pochodnych. Gdy dla otrzymanego ciągu błędów średnia wartość pokrywa się z jego medianą, wówczas ona stanowi stałą uzupełniającą ostateczną postać poszukiwanej funkcji aproksymacyjnej. W przeciwnym wypadku w stosunku do tego ciągu należy powtórzyć przedstawianą procedurę. Jego elementy stanowią, jak potwierdziły to przeprowadzone eksperymenty symulacyjne wartości funkcji błędów szacunku δ ix (t), którą również można aproksymować za pomocą przekształcenia wykładniczego. Wskazaną procedurę i xt t. t.

(13) Numeryczna analiza zbieżności…. 167. należy powtarzać aż do momentu, w którym ciąg wyznaczony za pomocą zmodyfikowanego wzoru (4.11) δ ix t = x xi t − ( f x (t ) − C ) − K δ (t ) t. i xt. i xt t. t. lub. δ ix t = ( f x (t ) − C ) − x xi t − K δ (t ) ,. i xt t. t. i xt. t. (4.12) . gdzie symbol K δ (t) oznacza złożenie aproksymacji funkcji błędów szacunku uzyskanych w wyniku kolejnych iteracji, składa się z wielkości równych sobie. Spełnienie tego warunku jest niezbędne do wyznaczenia stałej wspólnej dla poszukiwanej funkcji aproksymacyjnej danej wzorem (4.10) jak też wspomnianego złożenia przekształceń. W rezultacie kolejnych przebiegów procedury aproksymacji wykładniczej uzyskuje się poszukiwaną postać przekształcenia opisującego ciąg wartości (4.4). i xt. gdzie. Fx (t) ≈ i xt. 1 α e α i0. 0 i. t +β i0. +. [. fx (t) − C = i xt t. K δ (t) = i xt. Cf. xi xt t. (t ), K. δi xt. 1 i. 1 i. 1 α e α i0. 0 i. t +β i0. 1 α t +β e + ... α1i 1 i. (t ). ]. 1 α t +β e + ... + δ ix , 1 αi t. ,. (4.13). 1 i. = δ ix . t. W ten sposób także układ równań (4.3) można zastąpić równoważnym mu.. [ [ [. ] ] ]. 0 0 1 1 ⎧ 1, fxt ( x1xt ) 1 1 = 0 e α1 t +β1 + 1 e α1 t +β1 + ... + δ 1xt ⎪ x xt +1 α1 α1 ⎪ ⎪ 1 1 1 1 α 02 t +β 02 1 ⎪ x x2, fxt ( xxt ) = e + 1 e α 2 t +β 2 + ... + δ 2x2 0 t +1 ⎨ α2 α2 ⎪ ..................................................... ⎪ 0 0 1 1 1 1 ⎪ n, fxt ( x1xt ) = 0 e α n t +β n + 1 e α n t +β n + ... + δ nxn ⎪ x xt +1 αn αn ⎩. (4.14). . Przeprowadzone eksperymenty symulacyjne wykazały występowanie we wzorze (4.13) zależności, której ewentualne potwierdzenie w drodze analitycznej wymaga również dalszych badań. Dotyczy ona współczynników kierunkowych.

(14) Jacek Wołoszyn, Wit Urban. 168. prostych występujących w wykładnikach potęg funkcji wykładniczej. W badanych przypadkach okazało się, że: α i0 = α1i = α i2 = .... = α in .. (4.15). . Oznacza to możliwość dalszego przekształcenia wskazanej funkcji aproksymacyjnej. α i0 = α1i = α i2 = .... = α in = κ i ⇒ 1 κ t +β 1 Fx (t) ≈ eκ t +β + e + ... + δ ix = κi κi i xt. [. [. 0 i. i. ]. 1 i. i. ]. 1 κt β 1 κt β e e + e e + ... + δ ix = κi κi i. ∑ eβ l. 0 i. l i. i. eκ t + δ ix. 1 i. t. (4.16). t. i. κi. t. . W takim wypadku układ równań (4.14) również ulega pewnemu uproszczeniu. ⎧ eβ ∑ ⎪ 1, f ( x ) xx = l eκ t + δ1x ⎪ κ1 ⎪ ⎪ ∑ eβ ⎪ 2, f ( x ) ⎪ x = l eκ t + δ 2x x ⎨ κ2 ⎪ ⎪..................................................... ⎪ eβ ∑ ⎪ ⎪ x xn, f ( x ) = l eκ t + δ nx κn ⎪⎩ l 1. xt. 1 xt. 1. t. t +1. l 2. xt. 1 xt. 2. 2. t +1. (4.17). l n. xt. 1 xt. n. n. t +1. Przedstawione zależności mogą zostać wykorzystane w analizie zbieżności rozmytych szeregów czasowych. Tak też, gdy obok procesu rozmytego modelowanego za pomocą równania (2.1) badana jest także dynamika w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych autoszeregu wygenerowanego za pomocą poniższego wzoru: yt +1 = cyt + d. yt , c, d ∈ N (R)’ . (4.18).

(15) Numeryczna analiza zbieżności…. 169. podobne układy należy wyprowadzić dla rzędnych wierzchołków aproksymacji liniowej funkcji przynależności ich zmiennych. Dla rozwiązania problemu zbieżności rozmytych szeregów czasowych otrzymanych w ten sposób wystarczy wówczas wyznaczyć wartości zmiennej t dla wszystkich par wierzchołków pochodzących ze zmiennych związanych z różnymi badanymi procesami, ale odpowiadających sobie ze względu na wartość funkcji przynależności. Sprowadza się to do rozwiązywania równości w jednej z poniższych postaci: 1 α e α i0. 0 i. t +β i0. ⎤ ⎡1 1 α + ⎢ 1 eα t +β + ...⎥ + δ ix = 0 e αj ⎦ ⎣ αi 1 i. 1 i. 0 j. ⎡ 1 α t +β ⎤ +⎢ 1 e + ...⎥ + δ yj , ⎢⎣ α j ⎦⎥ . t +β 0j. 1 j. t. ∑ eβ l. eκ t + δ ix = i. κi. l i. t. 1 j. (4.19). t. ∑ eβ. j i. l. κj. e. κ jt. + δ yj . . (4.20). t. Dokonanie tego w drodze analitycznej nie jest łatwe. Pomoc upraszczającą w tym zakresie daje jednak dalsza aproksymacja w odniesieniu do części wykładniczej zależności. W tym celu w powyższych równościach należy dokonać odpowiedniego grupowania jej elementów po każdej ze stron zgodnie ze wzorem: 1 α e α i0. 0 i. t +β i0. ⎡1 ⎤ ⎛ 1 α + ⎢ 1 eα t +β + ...⎥ − ⎜ 0 e ⎣ αi ⎦ ⎝ αj 1 i. 1 i. 0 j. t +β 0j. ⎡ 1 α t +β ⎤⎞ +⎢ 1 e + ...⎥⎟ = δ yj − δ ix . ⎢⎣ α j ⎦⎥⎠ 1 j. 1 j. t. (4.21). t. Następnie lewą stronę tej zależności należy aproksymować na podstawie danych pochodzących z eksperymentu symulacyjnego za pomocą funkcji wykładniczej na podobnej zasadzie, jak w wypadku wcześniej opisanej procedury. Można w tym celu wykorzystać wartości empiryczne pierwszej pochodnej. Wówczas 1 α e α i0. stąd. t +β i0. ⎡1 ⎤ ⎛ 1 α + ⎢ 1 eα t +β + ...⎥ − ⎜ 0 e ⎣ αi ⎦ ⎝ αj 1 i. 1 i. 0 j. ⎤⎞ ⎡ 1 α t +β +⎢ 1 e + ...⎥⎟ ≈ ⎥⎦⎠ ⎢⎣ α j. t +β 0j. 1 j. 1 ≈ e Αt + Β + Χ . Α. W ten sposób. 0 i. 1 j. (4.22) . 1 Αt + Β e + Χ ≈ δ yj − δ ix , Α t. t. (4.23).

(16) Jacek Wołoszyn, Wit Urban. 170. t≈. (. ). ln Α(δ yj − δ ix ) − Χ) −Β t. t. Α. (4.24). , . Przykładem wykorzystania prezentowanego podejścia odnośnie do analizy zbieżności skalarnych autoszeregów czasowych mogą być dwa równania różnicowe, rozpatrywane w przestrzeni liczb rzeczywistych: xt +1 = 0, 2xt + 0,1 , x0 = 1 , yt +1 = 0, 5yt + 0,1 ,. (4.25). y0 = 0,1 .. Dla każdego z równań wyznaczono aproksymacje wykładnicze, uzyskując zależności. fx (t) =. 1 1 e–1,60944t + 0,741937 − e–1,60944t + 0,031041 + 0,125003 = 1,60944 1,60944. (4.26). (e0,741937 − e0,031041 ) –1,60944 t e + 0,125003 = 0,663879e–1,60944 t + 0,125003 , 1,60944 fy (t) = − −. 1 1 – 0,69315t – 2,59027 – 0,69315t – 5,09104 e + e + 0,19999 = 0,69315 0,69315. (4.27). (e–2,59027 − e–5,09104 ) –0,69315t e + 0,19999 = – 0,09933e– 0,69315t + 0,19999 . 0,69315 . Posłużyły one następnie do zdefiniowania równości (4.20) dla prezentowanego przykładu.. 0,663879e–1,60944t + 0,125003 = – 0,09933e– 0,69315t + 0,19999 (4.28). Zgodnie z przedstawioną procedurą można w niej dokonać podstawienia. – 0,09933e – 0,69315t – 0,663879e –1,60944t = –. + 2,91588E – 06. 1 e – 0,83698t – 1,17618 + 0,83698 (4.29). Ze wzoru (4.24) wynika, że. t ≈ 1,902221 ≈ 2.. (4.30).

(17) Numeryczna analiza zbieżności…. 171. Po analizie danych wygenerowanych za pomocą układu równań (4.25) można zauważyć, że otrzymany wynik jest prawidłowy. Problem zbieżności rozmytych szeregów czasowych wygenerowanych za pomocą równań różnicowych, postaci (2.1) w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych podlega zgodnie z zaproponowanym podejściem dekompozycji na badanie tej kwestii, ale w odniesieniu do autoszeregów skalarnych odpowiadających współrzędnym na osi X odpowiednio dobranych par wierzchołków aproksymacji liniowej funkcji przynależności zmiennych rozważanego układu. W takiej sytuacji stopień zbieżności szeregów rozmytych będzie tym większy dla określonego momentu czasu im dla większej liczby takich par będzie zachodziła wówczas zgodność. Ilustrację dla takiej analizy stanowi przykład układu równań różnicowych w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych. Dla uproszczenia rozważań wykorzystano w nim trójkątne liczby rozmyte. xt +1 = ( ~ 0 / 0, 2 + ~ 1 / 0, 3 + ~ 0 / 0, 4)xt + ( ~ 0 / 0,1 + ~ 1 / 0, 2 + ~ 0 / 0, 3) , x0 = ~ 0 /1 + ~ 1 /1,1 + ~ 0 /1, 2 ,. . yt +1 = ( ~ 0 / 0, 5 + ~ 1 / 0, 6 + ~ 0 / 0, 7)yt + ( ~ 0 / 0,1 + ~ 1 / 0, 2 + ~ 0 / 0, 3) , y0 = ~ 0 / 0,1 + ~ 1 / 0, 2 + ~ 0 / 0, 3 .. . (4.31). (4.32). Zgodnie z zasadami zaproponowanej metody oba procesy rozmyte można dekomponować z punktu widzenia badania uwarunkowań numerycznych ich zbieżności na odpowiednio dobrane modele dynamiki w przestrzeni liczb rzeczywistych. W ten sposób rozmyte równanie różnicowe (4.31) można przedstawić za pomocą równoważnego układu równań: ⎧ x 1,0 = 0, 2 x 1,0 + 0,1 x ⎪ x ⎪ 2,1 2,1 ⎨ x x = 0, 3x x + 0, 2 ⎪ 3,0 3,0 ⎪⎩ x x = 0, 4 x x + 0, 3 t +1. t. t +1. t. t +1. x 1,0 x0. =. (4.33). t. 1, x x2,1 0. = 1,1, x x3,0 = 1, 2 0. . Podobna sytuacja występuje w odniesieniu do modelu (4.32). ⎧ y1,0 = 0, 5 y1,0 y y + 0,1 ⎪ ⎪ 2,1 2,1 ⎨ y y = 0, 6 y y + 0, 2 ⎪ 3,0 3,0 ⎪⎩ y y = 0, 7 y y + 0, 3 t +1. t. t +1. t. t +1. y1,0 y0. =. (4.34). t. 0,1, y y2,1 0. = 0, 2, y y3,0 = 0, 3 0. .

(18) Jacek Wołoszyn, Wit Urban. 172. Oba otrzymane w taki sposób układy skalarnych równań różnicowych należy następnie zastąpić równoważnymi aproksymacjami wykładniczymi względem czasu dla poszczególnych wierzchołków zmiennych xt oraz yt. ⎧ 1 1 ⎪ x1,0 e– 1,60944t+0,741937 − e–1,60944t+0,031041 + 0,125003 x (t) = 1,60944 1,60944 ⎪ ⎪ 1 1 1 ⎪ x x2,1 (t) = e– 1,20397t+0,211071 − e– 1,20397t – 1,13709+ e–1,20397t – 2,48524 + 1,20397 1,20397 1,20397 ⎪ ⎪ (4.35) 0,285711 ⎨ ⎪ 1 1 1 ⎪ x 3,0 (t) = e– 0,91629t – 0,30788− e– 0,91629t – 2,23255+ e– 0,91629t – 4,15722− x ⎪ 0,91629 0,91629 0,91629 ⎪ 1 ⎪ e– 0,91629t – 6,08188+ 0,500001 ⎪ 0,91629 ⎩ t +1. t +1. t +1. . 1 1 ⎧ 1,0 – 0,69315t – 2,59027 + e– 0,69315t – 5,09104 + 0,19999 ⎪ yy (t) = − 0,69315 e 0,69315 ⎪ 1 1 ⎪ y 2,1 = − e– 0,51083t – 1,83258+ e– 0,51083t – 4,95475+ 0,49998 ⎪ y 0,51083 0,51083 ⎪ (4.36) ⎨ 3,0 1 1 e– 0,35667t – 1,36649 + e– 0,35667t – 5,21375 − ⎪ yy = − 0,35667 0,35667 ⎪ ⎪ 1 ⎪ e– 0,35667t – 9,06101+ 1 0,35667 ⎪⎩ t +1. t +1. t +1. Spełnienie warunku (4.16) umożliwia dalsze przekształcenia funkcji aproksymacyjnych. (4.37). –1,60944t ⎧ x1,0 + 0,125003 x (t) = – 0,66388e ⎪⎪ 2,1 –1,20397t + 0,285711 ⎨ x x (t) = – 0,82855e ⎪ 3,0 – 0,91629t + 0,500001 ⎪⎩ x x (t) = – 0,69968e . (4.38). – 0,69315t ⎧ y1,0 + 0,19999 y (t) = 0,099327e ⎪⎪ 2,1 – 0,51083t + 0,49998 ⎨ yy (t) = 0,299418e ⎪ 3,0 – 0,35667t +1 ⎪⎩ yy (t) = 0,700007e . t +1. t +1. t +1. t +1. t +1. t +1.

(19) Numeryczna analiza zbieżności…. 173. W następnym kroku przedstawionej wcześniej procedury należy zestawić równości warunkujące zbieżność par wierzchołków pochodzących z różnych zmiennych, ale odpowiadających sobie ze względu na wartości funkcji przynależności. ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩. (x (x (x (x (x. ) (t )) – 0,82855e (t )) – 0,69968e (t )) – 0,66388e (t )) – 0,69968e. 1,0 xt + 1. –1,60944t –0,69315t (t ), y 1,0 + 0,125003 = 0,099327e + 0,19999 y (t ) – 0,66388e. 2,1 xt + 1. (t ), y y2,1. 3,0 xt + 1. (t ), y y3,0. 1,0 xt + 1. (t ), y y3,0. 3,0 xt + 1. (t ), y 1,0 y. t +1. t +1. t +1. t +1. t +1. –1,20397t. + 0,285711 = 0,299418e –0,51083t + 0,49998. –0,91629t. + 0,500001 = 0,700007e. –1,60944t. + 0,125003 = 0,700007e –0,35667t + 1. –0,91629t. + 0,500001 = 0,099327e –0,69315t + 0,19999. –0,35667t. (4.39). +1. . Po zgrupowaniu funkcji wykładniczych z jednej strony każdego z równań, a wyrazów wolnych z drugiej powyższy układ ulega transformacji do postaci: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩. (x (x (x (x (x. ) (t )) (t )) (t )) (t )). 1,0 xt + 1. (t ), y 1,0 y (t ). 2,1 xt + 1. (t ), y y. 3,0 xt + 1. (t ), y y3,0. 1,0 xt + 1. (t ), y y. 3,0 xt + 1. (t ), y 1,0 y. t +1. 2,1 t +1. t +1. 3,0 t +1. t +1. 0,125003 − 0,19999 = 0,099327e. –0,69315t. + 0,66388e. –1,60944t. 0,285711 − 0,49998 = 0,299418e –0,51083t + 0,82855e –1,20397t 0,500001 − 1, 00000 = 0,700007e –0,35667t + 0,69968e –0,91629t (4.39) 0,125003 − 1, 00000 = 0,700007e –0,35667t + 0,66388e –1,60944t 0,500001 − 0,19999 = 0,099327e. –0,69315t. + 0,69968e. –0,91629t. . Każdą ze stron zawierającą złożenie funkcji wykładniczych można zastąpić aproksymacją za pomocą takiego samego, ale pojedynczego przekształcenia zgodnie ze wzorem (4.22).. ⎧( x 1,0 (t ), y1,0 (t )) y ⎪ x ⎪ x 2,1 (t ), y 2,1 (t ) ) y ⎪( x ⎪ 3,0 3,0 ⎨( x x (t ), y y (t )) ⎪ 3,0 ⎪( x 1,0 x (t ), y y (t )) ⎪ ⎪( x 3,0 (t ), y1,0 (t )) y ⎩ x. – 0,83698t – 1,17618. t +1. t +1. – 0,07499 = –1,19478e. t +1. t +1. – 0,21427 = –1,61969e – 0,6174t – 0,76354. t +1. t +1. – 0,50000 = –2,36802e – 0,42229t – 0,69789 – 0,40557t – 0,89881. t +1. t +1. – 0,87500 = –2,46564e. t +1. t +1. 0,300006 = –1,18991e – 0,8404t – 0,37101. . (4.41).

(20) Jacek Wołoszyn, Wit Urban. 174. W rezultacie rozwiązania otrzymanego prostego układu równań można wyznaczyć momenty zbieżności dla poszczególnych par wierzchołków. ⎧t ⎪ (x ⎪t ⎪ (x ⎪ ⎨t ( x ⎪ ⎪t ( x ⎪ ⎪⎩t( x. 1,0 xt +1 (t ),. y1,0 yt +1 (t )). 2 ,1 xt +1 (t ),. y y2t,1+1 (t )). 3,0 xt +1 (t ),. y y3,0 (t )) t +1. 1,0 xt +1 (t ),. y y3,0 (t )) t +1. 3,0 xt +1 (t ),. y1,0 yt +1 (t )). = 1,902221 ≈ 2 = 2,040278 ≈ 2 = 2,027167 ≈ 2. (4.42). = 0,334763 ≈ 0 ∈∅. . Łatwo zauważyć, że ze względu na aproksymację liniową, jeżeli zachodzi zbieżność dla par sąsiadujących ze sobą wierzchołków dla tego samego momentu podobna zależność musi dotyczyć także punktów wykresów funkcji przynależności pomiędzy nimi. W ten sposób można także dalej stwierdzić, że zbieżność rozmytych autoszeregów czasowych będzie tym większa dla określonej pary odpowiadających sobie obserwacji wtedy, gdy wykresy takich ich funkcji będą miały jak największą liczbę zbieżnych wierzchołków aproksymacji uzyskanych przez złożenie funkcji liniowych. W prezentowanym przykładzie dla momentu czasu numer dwa autoszeregi wygenerowane za pomocą rozmytych równań różnicowych (4.31) oraz (4.32) osiągają najwyższy poziom zbieżności. Potwierdzają 0,9. wartość wskaźnika wzbx, y. 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0. 0. 5. 10. oś czasu. 15. 20. 25. Rys. 2. Wykres przebiegu wartości wskaźnika wzbx, y dla rozmytych szeregów czasowych wygenerowanych za pomocą modeli (4.31) i (4.32) Źródło: opracowanie własne..

(21) Numeryczna analiza zbieżności…. 175. to także wartości współczynnika wzbx, y zdefiniowanego wzorem (2.22). Ilustracją tego może być wykres jego przebiegu na rys. 1. 5. Wnioski Przedstawiona procedura analizy uwarunkowań numerycznych zbieżności rozmytych autoszeregów czasowych ma charakter iteracyjny. Uzyskane za jej pomocą wyniki są tym dokładniejsze, im lepsze dopasowania do danych kolejnych aproksymacji przede wszystkim wykładniczych zostaną uzyskane w następujących po sobie jej etapach. Innym jej ograniczeniem może być także wspomniany w treści artykułu problem z wyprowadzeniem teoretycznym zależności, na których się ona opiera. Przeprowadzone eksperymenty symulacyjne potwierdziły jednak jej przydatność, tym samym wskazując możliwe dalsze kierunki badań. Literatura Biocybernetyka i inżynieria biomedyczna [2000], red. T. Nałęcz, W. Duch, Exit, Warszawa. Anile A.M., Deodato S., Privitera G. [1994], Implementing Fuzzy Arithmetic, Dipartimento Di Matematica, Universit’a Degli Studi Di Catania, Italy. Inteligentne systemy w zarządzaniu. Teoria i praktyka [2000], red. J.S. Zieliński, PWN, Warszawa. Kaufmann A., Gupta M.M. [1985], Introduction to Fuzzy Arithmetic: Theory and Applications, New York, Van Nostrand. Klir G.J., Pan Y. [1998], Constrained Fuzzy Arithmetic: Basic Questions and Some Answers, Soft Computing 2, nr 2. Zadeh L.A. [1965], Fuzzy Sets, Information and Control, nr 8. Numerical Analysis of Fuzzy Time Series Convergence The article presents issues concerning convergence of fuzzy time auto-series that are generated by linear differential equations in the space of fuzzy real numbers. Therefore, both theoretical and numerical aspects of a considered problem have been submitted. The paper discusses in detail, among others, problems of convergence degree measurement for fuzzy time series elements with consideration of their membership function analysis, and also an algorithm of convergent observations determination for such series, with assumption of application of a selected generator for their creation. Key words: fuzzy arithmetic, fuzzy time series, fuzzy data processing..

(22)