Rozdział 8
Ciągi i szeregi funkcyjne
8.1
Zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego
Dla skrócenia zapisu przyjmijmy pewne oznaczenie.
Definicja . Niech X, Y 6= ∅. Przez YX oznaczamy zbiór wszystkich funkcji określonych na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y .
Definicja ciągu funkcyjnego. Niech X ⊂ R, X 6= ∅. Funkcję określoną na zbiorze N o
wartościach w zbiorze funkcji RX nazywamy ciągiem funkcyjnym i oznaczamy (f
n)n∈N lub
(fn)∞n=1 lub fn: X → R, n = 1, 2, ..., piszemy również (fn)n∈N⊂ RX lub (fn)∞n=1 ⊂ RX. Definicja zbieżności ciągu funkcyjnego. Niech (fn)∞n=1 ⊂ RX. Mówimy, że ciąg
funk-cyjny (fn)∞n=1 jest zbieżny, gdy istnieje funkcja f : X → R taka, że dla każdego x ∈ X
za-chodzi f (x) = lim
n→∞fn(x). Funkcję f nazywamy granicą ciągu (fn) ∞
n=1i piszemy f = limn→∞fn.
Ciąg funkcyjny, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym.
Uwaga 8.1.1. Niech (fn)∞n=1, (gn)∞n=1 ⊂ RX bądą ciągami funkcyjnymi zbieżnymi
odpo-wiednio do f, g : X → R. Wprost z własności granic ciągów liczbowych dostajemy, że: suma (fn+ gn)∞n=1, różnica (fn− gn)∞n=1 i iloczyn (fngn)∞n=1 są ciągami zbieżnymi
odpo-wiednio do f + g, f − g i f g. Jeśli ponadto g(x) 6= 0, gn(x) 6= 0 dla x ∈ X oraz n ∈ N, to
ciąg fn gn ∞ n=1 jest zbieżny do f g.
Definicja szeregu funkcyjnego. Niech (fn)∞n=1 ⊂ RX będzie ciągiem funkcyjnym.
Ciąg funkcyjny sn = f1 + · · · + fn, n = 1, 2, ... nazywamy ciągiem sum częściowych
ciągu (fn)∞n=1.
Szeregiem funkcyjnym nazywamy parę uporządkowaną ((fn)∞n=1, (sn)∞n=1) i oznaczamy ∞
P n=1
fn. Wtedy ciąg (sn)∞n=1 nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu ∞ P n=1
fn.
Definicja zbieżności szeregu funkcyjnego. Szereg funkcyjny P∞ n=1
fn, gdzie (fn)∞n=1 ⊂
RXnazywamy zbieżnym, gdy zbieżny jest jego ciąg sum częściowych. Jeśli s : X → R jest 183
granicą ciągu sum częściowych szeregu
∞ P n=1
fn, to mówimy, że szereg ten jest zbieżny do
s, funkcję s zaś nazywamy sumą tego szeregu i piszemy s =
∞ P n=1
fn.
Szereg funkcyjny, który nie jest zbieżny nazywamy rozbieżnym.
Uwaga 8.1.2. Niech fn(x) = xn, x ∈ (−1, 1], n=1,2,... Ciąg ten jest zbieżny do funkcji
g : (−1, 1] → R określonej wzorem g(x) = 0 dla x ∈ (−1, 1) oraz g(1) = 1. Szereg funkcyjny zaś
∞ P n=1
fn(x) jest rozbieżny, gdyż rozbieżny jest w punkcie x = 1. Szereg ten
rozważany w zbiorze (−1, 1) jest zbieżny i jego sumą jest 1−xx .
Uwaga 8.1.3. Przypomnijmy, że dla k ∈ Z oznaczamy Zk = {m ∈ Z : m > k}. Podobnie
jak w przypadku ciągów i szeregów liczbowych, w wielu zagadnieniach wygodnie jest rozwa-żać ciągi i szeregi funkcyjne w nieco ogólniejszym sensie, gdzie wskaźniki przebiegają zbiór
Zk. Dokładniej, niech X ⊂ R, X 6= ∅. Funkcję określoną na zbiorze Zk o wartościach w
zbiorze funkcji RX nazywamy ciągiem funkcyjnym i oznaczamy (fn)n∈Zk lub (fn)
∞ n=k lub
fn : X → R, n = k, k + 1, ... lub fk, fk+1, ..., piszemy również (fn)∞n=k ⊂ RX.
Podobnie postępujemy dla szeregów funkcyjnych. Niech (fn)∞n=k ⊂ RX będzie ciągiem
funkcyjnym. Ciąg funkcyjny sn = fk+ · · · + fn, n = k, k + 1, ... nazywamy ciągiem sum
częściowych ciągu (fn)∞n=k.
Szeregiem funkcyjnym nazywamy parę uporządkowaną ((fn)∞n=k, (sn)∞n=k) i oznaczamy ∞
P n=k
fn. Wtedy ciąg (sn)∞n=k nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu ∞ P n=k
fn.
Podobnie jak wyżej deiniujemy pojęcia zbieżności ciągu i szeregu funkcyjnego. W dal-szym ciągu ograniczymy się głównie do ciągów i szeregów których wskaźniki przebiegają zbiór liczb naturalnych (wyjątek stanowią szeregi potęgowe). Wprowadzone dalej pojęcia i udowodnione twierdzenia przenoszą się łatwo na ogólny przypadek.
8.2
Jednostajna zbieżność ciągu funkcyjnego
Definicja jednostajnej zbieżności ciągu funkcyjnego. Mówimy, że ciąg funkcyjny
(fn)∞n=1 ⊂ RXjest jednostajnie zbieżny, gdy istnieje funkcja f : X → R taka, że dla
każdego ε > 0 istnieje N ∈ R, że dla każdego n ∈ N takiego, że n > N oraz dla każdego
x ∈ X zachodzi |fn(x) − f (x)| < ε. Wtedy mówimy, że ciąg (fn)∞n=1 jest jednostajnie
zbieżny do funkcji f i piszemy fn⇒ f .
Uwaga 8.2.1. Niech (fn)∞n=1⊂ RX oraz niech f : X → R. Z definicji zbieżności mamy
f = lim
n→∞fn ⇔ ∀x∈X∀ε>0∃N ∈R∀n>N |fn(x) − f (x)| < ε
oraz
fn ⇒ f ⇔ ∀ε>0∃N ∈R∀n>N∀x∈X |fn(x) − f (x)| < ε
Różnica między definicją zbieżności ciągu funkcyjnego i zbieżności jednostajną polega na tym, że w pierwszej definicji dobieramy N do x oraz do ε, w drugiej zaś dobieramy N do ε, wspólne dla wszystkich x ∈ X
8.2. JEDNOSTAJNA ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU FUNKCYJNEGO 185 Bezpośrednio z definicji dostajemy następującą własność.
Własność 8.2.2. Jeśli ciąg funkcyjny (fn)∞n=1 ⊂ RX jest jednostajnie zbieżny do funkcji f : X → R, to ciąg ten jest zbieżny do f .
Uwaga 8.2.3. Definicje zbieżności i zbieżności jednostajnej nie są równoważne. Na
przy-kład ciąg funkcyjny fn : R → R, n ∈ N określony wzorem fn(x) = xn, x ∈ R jest zbieżny
do funkcji f (x) = 0 dla x ∈ R. Ciąg ten nie jest jednak zbieżny jednostajnie do funkcji f .
Podobnie jak dla szeregów liczbowych dostajemy
Własność 8.2.4. Niech (fn)∞n=1, (gn)∞n=1 ⊂ RX oraz niech f, g : X → R. Jeśli fn ⇒ f i
gn⇒ g,to (fn+ gn)⇒ (f + g) oraz (fn− gn)⇒ (f − g).
Dowód. Weźmy dowolne ε > 0. Ponieważ fn⇒ f , gn⇒ g, to istnieje N ∈ R, że dla
każdego n > N oraz x ∈ X zachodzi
|fn(x) − f (x)| <
ε
2 oraz |gn(x) − g(x)| <
ε
2. Wówczas dla n > N oraz x ∈ X mamy
|fn(x) + gn(x) − f (x) − g(x)|6 |fn(x) − f (x)| + |gn(x) − g(x)| < ε
oraz
|fn(x) − gn(x) − f (x) + g(x)|6 |fn(x) − f (x)| + |gn(x) − g(x)| < ε.
To daje tezę.
Własność 8.2.5. Niech (fn)∞n=1, (gn)∞n=1 ⊂ RX oraz f, g : X → R. Jeśli fn ⇒ f , gn ⇒ g
oraz istnieje M ∈ R, M > 0, że |fn(x)|, |gn(x)|6 M dla wszystkich x ∈ X oraz n ∈ N, to
(fngn)⇒ (f g).
Dowód. Weźmy dowolne ε > 0. Ponieważ fn⇒ f , gn⇒ g, to istnieje N ∈ R, że dla
każdego n > N oraz x ∈ X zachodzi
|fn(x) − f (x)| <
ε
2M oraz |gn(x) − g(x)| <
ε
2M.
Ponieważ |gn(x)| 6 M dla x ∈ X oraz n ∈ N, więc przechodząc do granicy mamy
|g(x)| 6 M dla x ∈ X. W konsekwencji dla n > N oraz x ∈ X mamy |fn(x)gn(x)−f (x)g(x)|6 |fn(x)||gn(x)−g(x)|+|g(x)||fn(x)−f (x)| < M ε 2M+M ε 2M = ε. To daje tezę.
Uwaga 8.2.6. W powyższej własności założenia, że funkcje fn, gn są ograniczone nie
można opuścić. Mianowicie ciągi fn(x) = x, gn(x) = n1, x ∈ R, n ∈ N są jednostajnie
zbieżne lecz ciąg (fngn)∞n=1 nie jest jednostajnie zbieżny. Ponadto ciąg (fn)∞n=1 nie jest
Podobnie jak własność 8.2.5 dowodzimy
Własność 8.2.7. Niech (fn)∞n=1 ⊂ RX oraz fn ⇒ f , gdzie f : X → R. Jeśli g : X → R
jest funkcją ograniczoną, to (fng) ⇒ (f g).
Własność 8.2.8. Niech (fn)∞n=1 ⊂ RX będzie ciągiem funkcyjnym oraz niech f : X → R.
Oznaczmy
Mn= sup{|fn(x) − f (x)| : x ∈ X} dla n ∈ N.
Wówczas następujące warunki są równoważne:
(a) fn ⇒ f .
(b) istnieje m ∈ N, że Mn ∈ R dla n > m oraz limn→∞Mn= 0.
Dowód. Ad. (a)⇒(b) Ponieważ fn ⇒ f , więc istnieje m ∈ N, że dla każdego n > m
oraz x ∈ X mamy |fn(x) − f (x)| < 1. Zatem 06 Mn 6 1, a więc Mn∈ R dla n > m.
Weźmy dowolne ε > 0. Wówczas, wobec (a), istnieje N > m takie, że dla n > N oraz x ∈ X zachodzi |fn(x) − f (x)| < ε2. Stąd i z określenia Mn dla n > N mamy
|Mn− 0| = Mn 6 2ε < ε. To daje, że limn→∞Mn= 0.
Ad. (b)⇒(a) Weźmy dowolne ε > 0. Wówczas, wobec (b), istnieje N > m, że dla
n > N zachodzi Mn < ε. Ponieważ z określenia Mn dostajemy, że dla x ∈ X zachodzi
|fn(x) − f (x)| 6 Mn, więc dla n > N oraz x ∈ X mamy |fn(x) − f (x)| < ε. To daje
jednostajną zbieżność ciągu (fn)∞n=1 do funkcji f . Twierdzenie 8.2.9. (warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej ciągu funk-cyjnego). Niech (fn)∞n=1 będzie ciągiem funkcyjnym, gdzie fn: X → R dla n ∈ N.
Wów-czas ciąg (fn)∞n=1 jest jednostajnie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia następujący
warunek Cauchy’ego:
(8.1) ∀ε>0∃N ∈R∀n,l>N∀x∈X |fn(x) − fl(x)| < ε.
Dowód. Załóżmy najpierw, że ciąg (fn)∞n=1 jest jednostajnie zbieżny, powiedzmy do
funkcji f : X → R. Weźmy dowolne ε > 0. Wtedy istnieje N ∈ R, że dla n > N oraz
x ∈ X mamy |fn(x) − f (x)| < ε2. Zatem dla każdych n, l > N oraz x ∈ X mamy
|fn(x) − fl(x)|6 |fn(x) − f (x)| + |f (x) − fl(x)| <
ε
2 +
ε
2 = ε. To daje, że ciąg (fn)∞n=1 spełnia warunek Cauchy’ego (8.1).
Załóżmy teraz, że ciąg (fn)∞n=1 spełnia warunek Cauchy’ego (8.1). Wówczas dla
każ-dego x ∈ X ciąg liczbowy (fn(x))∞n=1 spełnia warunek Cauchy’ego. Zatem na podstawie
twierdzenia Cauchy’ego 4.7.3 dla każdego x ∈ X istnieje skończona granica lim
n→∞ fn(x).
Oznaczając tę granicę przez f (x) dla x ∈ X mamy określoną funkcję f : X → R do której jest zbieżny ciąg (fn)∞n=1.
Pokażemy, że fn ⇒ f . Weźmy dowolne ε > 0. W myśl (8.1) istnieje N ∈ R, że dla
n, l > N oraz x ∈ X zachodzi |fn(x) − fl(x)| < ε2. Zatem przechodząc do granicy przy
l → ∞ dostajemy, że dla n > N oraz x ∈ X zachodzi |fn(x) − f (x)| 6 ε2 < ε. To daje
8.3. JEDNOSTAJNA ZBIEŻNOŚĆ SZEREGU FUNKCYJNEGO 187
ZADANIA
Zadanie 8.2.1. Niech (fn)∞n=1 (gn)∞n=1 będą ciągami funkcyjnymi, gdzie fn, gn : X → R
dla n ∈ N. Niech fn ⇒ f , gn ⇒ g, gdzie f, g : X → R. Wówczas jeśli istnieją M, K ∈ R,
M, K > 0 że |gn(x)|> M , |f (x)| 6 K dla x ∈ X oraz n ∈ N, to fgn
n ⇒
f g.
8.3
Jednostajna zbieżność szeregu funkcyjnego
Definicja jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego. Mówimy, że szereg
funk-cyjny P∞ n=1
fn, gdzie fn : X → R dla n ∈ N, jest jednostajnie zbieżny, gdy ciąg sum
częściowych tego szeregu jest jednostajnie zbieżny.
Bezpośrednio z definicji dostajemy następującą własność.
Własność 8.3.1. Każdy szereg funkcyjny zbieżny jednostajnie jest zbieżny.
Z własności 8.2.4 i 8.2.7 dostajemy natychmiast
Własność 8.3.2. Niech szeregi ∞ P n=1 fn i ∞ P n=1
gn będą zbieżne jednostajnie, przy czym
(fn)∞n=1, (gn)∞n=1 ⊂ RX. Wówczas (a) szeregi P∞ n=1 (fn+ gn), ∞ P n=1 (fn− gn) są zbieżne jednostajnie.
(b) jeśli funkcja g : X → R jest ograniczona, to szereg P∞ n=1
fng jest zbieżny jednostajnie.
Z warunku Cauchy’ego zbieżności jednostajnej ciągu funkcyjnego 8.2.9 dostajemy
Twierdzenie 8.3.3. (warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej szeregu funk-cyjnego). Niech (fn)∞n=1 ⊂ RX będzie ciągiem funkcyjnym. Wówczas szereg
∞ P n=1
fn jest
jednostajnie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia następujący warunek Cauchy’ego:
(8.2) ∀ε>0∃N ∈R∀m>l>N∀x∈X m X n=l fn(x) < ε.
Udowodnimy kryterium Weierstrassa jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego
Twierdzenie 8.3.4. (kryterium Weierstrassa jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego). Niech (fn)∞n=1 ⊂ RX będzie ciągiem funkcyjnym. Jeśli istnieje ciąg
licz-bowy (Mn)∞n=1 taki, że dla każdego n ∈ N zachodzi |fn(x)| 6 Mn dla x ∈ X oraz szereg
liczbowy P∞ n=1
Mn jest zbieżny, to szereg ∞ P n=1
fn jest jednostajnie zbieżny.
Dowód. Pokażemy, że szereg ∞ P n=1
fn spełnia warunek Cauchy’ego (8.2). Istotnie,
weź-my dowolne ε > 0. Ponieważ szereg liczbowy
∞ P n=1
Cauchy’ego 5.1.6, istnieje N ∈ R, że dla każdych m > l > N mamy |Ml+ · · · + Mm| < ε.
Zatem dla każdego m> l > N oraz x ∈ X mamy
|fl(x) + · · · + fm(x)|6 |fl(x)| + · · · + |fm(x)|6 Ml+ · · · + Mm < ε.
To daje, że szereg
∞ P n=1
fn spełnia warunek Cauchy’ego (8.2). Stąd i z twierdzenia 8.3.3
dostajemy tezę.
Uwaga 8.3.5. Nie zachodzi twierdzenie odwrotne do kryterium Weierstrassa. Na przykład
szereg P∞ n=1
(−1)nx
n jest w przedziale [0, 1] zbieżny jednostajnie (co czytelnik sprawdzi bez
trudu) lecz dla x ∈ (0, 1], szereg ten nie jest zbieżny bezwzględnie.
Udowodnimy kryterium Abela jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego.
Twierdzenie 8.3.6. (kryterium Abela jednostajnej zbieżności szeregu funkcyj-nego). Niech (fn)∞n=1, (gn)∞n=1 ⊂ RX będą ciągami funkcyjnymi. Jeśli
(i) istnieje M ∈ R, M > 0, że dla każdego n ∈ N oraz x ∈ X zachodzi |fn(x)|6 M ,
(ii) dla każdego x ∈ X ciąg (fn(x))∞n=1 jest malejący,
(iii) szereg P∞ n=1
gn jest jednostajnie zbieżny,
to szereg P∞ n=1
fngn jest zbieżny jednostajnie.
Dowód. Weźmy dowolne ε > 0. Ponieważ, wobec (iii), szereg ∞ P n=1
gnjest zbieżny
jedno-stajnie, więc z warunku Cauchy’ego 8.3.3 istnieje N ∈ N, że dla każdego
m > l > N oraz x ∈ X zachodzi m X n=l gn(x) < ε 4M. Ustalmy l> N . Zatem, oznaczając
An(x) = n X j=l gj(x) dla x ∈ X, n = l, l + 1, ..., mamy (8.3) |An(x)| < ε 4M dla n = l, l + 1, ...
Stosując przekształcenie Abela (patrz dowód kryterium Dirichleta 5.4.1) i uwzględnia-jąc (8.3), (i) oraz (ii) dla m > l oraz x ∈ X dostajemy
m P n=l fn(x)gn(x) = m−1 P n=l An(x)(fn(x) − fn+1(x)) + Am(x)fm(x) 6 m−1P n=l |An(x)||fn(x) − fn+1(x)| + |Am(x)||fm(x)| 6 m−1P n=l ε 4M(fn(x) − fn+1(x)) + ε 4M|fm(x)| = 4Mε fl(x) − 4Mε fm(x) + 4Mε |fm(x)|6 4Mε M +4Mε M +4Mε M < ε.
8.4. ZBIEŻNOŚĆ JEDNOSTAJNA A CIĄGŁOŚĆ 189 Dla m = l zaś mamy
m X n=l fn(x)gn(x) = |fl||gl| 6 M ε 4M < ε. Reasumując szereg ∞ P n=k
fngn spełnia warunek Cauchyego zbieżności jednostajnej szeregów
8.3.3, więc jest to szereg zbieżny jednostajnie. To kończy dowód. Powtarzając dowód kryterium Dirichleta zbieżności szeregu liczbowego 5.4.1 dostaje-my
Twierdzenie 8.3.7. (kryterium Dirichleta jednostajnej zbieżności szeregu funk-cyjnego). Niech (fn)∞n=1, (gn)∞n=1 ⊂ RX będą ciągami funkcyjnymi. Jeśli
(i) istnieje M ∈ R, że dla każdego m ∈ N oraz x ∈ X zachodzi | Pm n=1
fn(x)|6 M ,
(ii) dla każdego x ∈ X ciąg (gn(x))∞n=1 jest malejący,
(iii) Ciąg (gn)∞n=1 jest jednostajnie zbieżny do funkcji tożsamościowo równej zeru,
to szereg P∞ n=1
fngn jest zbieżny jednostajnie.
8.4
Zbieżność jednostajna a ciągłość
Twierdzenie 8.4.1. Niech ciąg funkcyjny (fn)∞n=1 ⊂ RX, gdzie X ⊂ R, będzie zbieżny
jednostajnie do funkcji f : X → R. Jeśli wszystkie funkcje fn, n ∈ N, są ciągłe w punkcie
x0 ∈ X, to f jest funkcją ciągłą w punkcie x0.
Dowód. Weźmy dowolne ε > 0. Ponieważ fn ⇒ f , więc istnieje N ∈ N, że dla każdego
n > N oraz x ∈ X zachodzi |fn(x) − f (x)| < ε3. W szczególności dla n = N mamy
(8.4) |fN(x) − f (x)| <
ε
3 dla x ∈ X.
Ponieważ fN jest funkcją ciągłą, więc istnieje δ > 0, że dla każdego x ∈ X takiego, że
|x − x0| < δ mamy
(8.5) |fN(x) − fN(x0)| <
ε
3.
Reasumując z (8.4) i (8.5) dla każdego x ∈ X takiego, że |x − x0| < δ mamy
|f (x) − f (x0)|6 |f (x) − fN(x)| + |fN(x) − fN(x0)| + |fN(x0) − f (x0)| < ε 3+ ε 3+ ε 3 = ε.
To daje ciągłość funkcji f w punkcie x0.
Z twierdzenia 8.4.1 dostajemy natychmiast
Twierdzenie 8.4.2. Jeśli ciąg (fn)∞n=1⊂ RX, gdzie X ⊂ R, funkcji ciągłych jest zbieżny
Analogicznie jak twierdzenia 8.4.1 dowodzimy
Twierdzenie 8.4.3. Jeśli ciąg (fn)∞n=1 ⊂ RX, gdzie X ⊂ R, funkcji jednostajnie ciągłych
jest zbieżny jednostajnie do funkcji f : X → R, to f jest funkcją jednostajnie ciągłą.
Z twierdzenia 8.4.1 dostajemy
Twierdzenie 8.4.4. Niech (fn)∞n=1 ⊂ RX, gdzie X ⊂ R, będzie ciągiem funkcyjnym
zbieżnym jednostajnie do funkcji f : X → R. Niech x0 będzie punktem skupienia zbioru X
oraz dla każdego n ∈ N istnieje skończona granica an= limx→x
0
fn(x). Wówczas ciąg (an)∞n=1
jest zbieżny, funkcja f ma granicę skończoną w punkcie x0 oraz
lim
x→x0
f (x) = lim
n→∞an (
1).
Dowód. Dla n ∈ N określmy funkcje hn : X ∪ {x0} → R wzorami hn(x) = fn(x)
dla x ∈ X \ {x0} oraz hn(x0) = an. Wtedy z założenia, że an = lim x→x0
fn(x) dostajemy, że
funkcje hn są ciągłe w punkcie x0.
Pokażemy, że ciąg funkcyjny (hn)∞n=1jest jednostajnie zbieżny. Istotnie, weźmy dowolne
ε > 0. Ponieważ ciąg (fn)∞n=1 jest jednostajnie zbieżny, więc z warunku Cauchy’ego
zbież-ności jednostajnej ciągu funkcyjnego 8.2.9 dostajemy, że istnieje N ∈ R, że dla każdych
m, l > N oraz x ∈ X zachodzi
|fm(x) − fl(x)| <
ε
2.
Przechodząc w powyższej nierówności do granicy przy x → x0 dostajemy
|hm(x0) − hl(x0)|6 ε2 < ε dla m, l > N . Stąd mamy
|hm(x) − hl(x)| < ε dla x ∈ X ∪ {x0}, m, l > N.
Zatem z twierdzenia 8.2.9 dostajemy jednostajną zbieżność ciągu (hn)∞n=1. W szczególności
ciąg (an)∞n=1 jest zbieżny. Niech a = limn→∞an.
Określmy funkcję h : X ∪ {x0} → R wzorami h(x) = f(x) dla x ∈ X \ {x0} oraz
h(x0) = a. Wówczas ciąg (hn)∞n=1 jest zbieżny do h. Ponieważ ciąg ten jest jednostajnie
zbieżny, więc jest on jednostajnie zbieżny do h. W konsekwencji z twierdzenia 8.4.1 wynika ciągłość funkcji h w punkcie x0. Ponadto
lim
x→x0 f (x) = limx→x0 h(x) = h(x0) = a.
To kończy dowód.
Z twierdzenia 8.4.1 dostajemy
Wniosek 8.4.5. Jeśli szereg funkcyjny ∞ P n=1
fn, gdzie (fn)∞n=1 ⊂ RX, X ⊂ R, jest
jedno-stajnie zbieżny i wszystkie funkcje fn, n ∈ N, są ciągłe w punkcie x0 ∈ X, to suma tego
szeregu jest funkcją ciągłą w punkcie x0.
1inaczej lim
x→x0
( lim
n→∞fn(x)) = limn→∞( limx→x0
8.5. ZBIEŻNOŚĆ JEDNOSTAJNA A RÓŻNICZKOWALNOŚĆ 191
Dowód. Istotnie, sumy częściowe szeregu ∞ P n=1
fn są funkcjami ciągłymi w punkcie
x0, jako sumy skończonej ilości funkcji ciągłych w punkcie x0. Zatem z twierdzenia 8.4.1
dostajemy tezę.
Z wniosku 8.4.5 dostajemy
Wniosek 8.4.6. Jeśli szereg funkcyjny P∞ n=1
fn, gdzie (fn)∞n=1 ⊂ RX, X ⊂ R, jest
jedno-stajnie zbieżny i wszystkie funkcje fn, n ∈ N, są ciągłe, to suma tego szeregu jest funkcją
ciągłą.
Wobec faktu, że suma funkcji jednostajnie ciągłych jest jednostajnie ciągła, z twier-dzenia 8.4.3 dostajemy
Wniosek 8.4.7. Jeśli szereg funkcyjny P∞ n=1
fn, gdzie (fn)∞n=1 ⊂ RX, X ⊂ R, jest
jedno-stajnie zbieżny i wszystkie funkcje fn, n ∈ N, są jednostajnie ciągłe, to suma tego szeregu
jest funkcją jednostajnie ciągłą.
8.5
Zbieżność jednostajna a różniczkowalność
Twierdzenie 8.5.1. Niech (fn)∞n=1 będzie ciągiem funkcji różniczkowalnych na przedziale
[a, b]. Jeśli ciąg (fn0)∞n=1 jest jednostajnie zbieżny (na [a, b]) oraz dla pewnego x0 ∈ [a, b]
ciąg (fn(x0))∞n=1 jest zbieżny, to
(a) ciąg (fn)∞n=1jest jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji różniczkowalnej f : [a, b] → R,
(b) f0 = lim n→∞f 0 n, to znaczy f 0(x) = lim n→∞f 0 n(x) dla x ∈ [a, b].
Dowód. Ponieważ ciąg (fn0)∞n=1 jest zbieżny jednostajnie oraz ciąg (fn(x0))∞n=1 jest
zbieżny, więc z warunku Cauchy’ego dostajemy, że dla każdego ε > 0 istnieje Nε∈ R, że
(8.6) |fm0 (x) − fl0(x)| < ε
2(b − a) dla każdych m, l > Nε oraz x ∈ [a, b],
(8.7) |fm(x0) − fl(x0)| <
ε
2 dla każdych m, l > Nε.
Pokażemy, że ciąg (fn)∞n=1 jest zbieżny jednostajnie w [a, b]. Istotnie, wystarczy
poka-zać, że ciąg ten spełnia warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej. Weźmy więc dowolne
ε > 0 i niech N = Nε. Zauważmy, że
(8.8) |fm(x) − fl(x)| < ε dla każdych m, l > N oraz x ∈ [a, b].
Istotnie, niech m, l > N . Dla x = x0(8.8) wynika z (8.7). Dla x ∈ [a, b]\{x0} z twierdzenia
Lagrange’a o wartości średniej 7.3.7 istnieje c leżący między x i x0, że
(fm(x) − fl(x)) − (fm(x0) − fl(x0)) = (fm0 (c) − f 0
więc z (8.6), |fm(x) − fl(x) − fm(x0) + fl(x0)| < ε 2(b − a)|x − x0| 6 ε 2. Stąd i z (8.7) mamy |fm(x) − fl(x)|6 |fm(x) − fl(x) − fm(x0) + fl(x0)| + |fm(x0) − fl(x0)| < ε 2+ ε 2 = ε. To daje (8.8). Z dowolności ε > 0 oraz z (8.8) wynika, że ciąg (fn)∞n=1 spełnia warunek
Cauchy’ego zbieżności jednostajnej ciągów funkcyjnych, więc z twierdzenia 8.2.9 jest to ciąg zbieżny jednostajnie. Niech więc f : [a, b] → R będzie granicą ciągu (fn)∞n=1.
Pokażemy teraz, że
(8.9) f0(x) = lim
n→∞f 0
n(x) dla x ∈ [a, b].
Istotnie, weźmy dowolny x1 ∈ [a, b] i rozważmy ilorazy różnicowe
ϕn(x) = fn(x) − fn(x1) x − x1 , ϕ(x) = f (x) − f (x1) x − x1 , x ∈ [a, b] \ {x1}, n ∈ N.
Z określenia funkcji f dostajemy, że
(8.10) lim
n→∞ϕn(x) = ϕ(x) dla x ∈ [a, b] \ {x1}.
Ponadto z założenia o różniczkowalności funkcji fn dla n ∈ N mamy
(8.11) lim
x→x1
ϕn(x) = fn0(x1) dla n ∈ N.
Pokażemy, że ciąg (ϕn)∞n=1 jest zbieżny jednostajnie. Istotnie, weźmy dowolne η > 0 i
niech ε > 0 będzie takie, że
ε
2(b − a) < η.
Niech N = Nε, gdzie Nε jest dobrane na początku dowodu tak, że zachodzi (8.6). Niech
m, l > N . Wówczas, z twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej, dla dowolnego x ∈
[a, b] \ {x1} istnieje c leżący między x i x1 taki, że
|fm(x) − fl(x) − fm(x1) + fl(x1)| = |fm0 (c) − f 0 l(c)||x − x1| < ε 2(b − a)|x − x1| < η|x − x1|, więc |ϕm(x) − ϕl(x)| = fm(x) − fl(x) − fm(x1) + fl(x1) x − x1 < η|x − x1| |x − x1| = η.
To daje, że ciąg (ϕn)∞n=1 spełnia warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej ciągu
funk-cyjnego i w konsekwencji jest to ciąg jednostajnie zbieżny. To, wraz z (8.10) daje, że ciąg (ϕn)∞n=1 jest jednostajnie zbieżny do ϕ. Stąd, wobec (8.11), mamy spełnione wszystkie
założenia twierdzenia 8.4.4. Zatem istnieje skończona granica lim
n→∞f 0 n(x1) oraz f0(x1) = limx→x 1 ϕ(x) = lim n→∞ f 0 n(x1).
To daje, że funkcja f jest różniczkowalna oraz zachodzi (b). W konsekwencji, wobec jednostajnej zbieżności ciągu (fn)∞n=1 do f , mamy (a). To kończy dowód.
8.6. SZEREGI POTĘGOWE 193
Uwaga 8.5.2. W twierdzeniu 8.5.1 nie można opuścić założenia o jednostajnej zbieżności
ciągu (fn0)∞n=1, nawet kosztem wzmocnienia założenia o zbieżności ciągu (fn)∞n=1. Istotnie,
rozważmy ciąg funkcyjny fn: R → R, n ∈ N określony wzorami
fn(x) = 2|x| dla |x| > 1 n oraz fn(x) = n2x2+ 1 n dla |x| < 1 n. Można pokazać, że
(a) ciąg (fn)∞n=1 jest jednostajnie zbieżny do funkcji f (x) = 2|x|, x ∈ R, która nie jest
różniczkowalna,
(b) ciąg pochodnych jest zbieżny do funkcji g : R → R określonej wzorami g(x) = −2
dla x < 0, g(0) = 0 oraz g(x) = 2 dla x > 0.
Wniosek 8.5.3. Niech ∞ P n=1
fn będzie szeregiem funkcji różniczkowalnych na przedziale
[a, b]. Jeśli szereg
∞ P n=1
fn0 jest jednostajnie zbieżny (na [a, b]) oraz dla pewnego x0 ∈ [a, b]
szereg P∞ n=1 fn(x0) jest zbieżny, to (a) szereg ∞ P n=1
fn jest jednostajnie zbieżny i jego suma s : [a, b] → R jest funkcją
różniczkowalną, (b) s0 =P∞ n=1 fn0, to znaczy s0(x) =P∞ n=1 fn0(x) dla x ∈ [a, b].
8.6
Szeregi potęgowe
W punkcie 5.9 wprowadziliśmy pojęcie szeregu potęgowego. W świetle wprowadzonych w tym rozdziale pojąć, jest to szereg funkcyjny postaci
(8.12)
∞ X
n=0
an(x − x0)n, x ∈ R
gdzie (an)∞n=0 jest ustalonym ciągiem
liczbowym oraz x0 ustalonym punktem.
Biorąc % =lim sup
n→∞
n q
|an|, zgodnie z (5.10), promieniem zbieżności szeregu (8.12) jest
R = 0 dla % = +∞, 1/% dla 0 < % < +∞, +∞ dla % = 0.
Z twierdzenia Cauchy’ego-Hadamarda 5.9.1 wiadomo, że szereg (8.12) jest zbieżny bez-względnie w przedziale {x ∈ R : |x − x0| < R} (zwanym przedziałem zbieżności szeregu
potęgowego) oraz rozbieżny dla x ∈ R takich, że |x − x0| > R.
Twierdzenie 8.6.1. Niech R > 0 będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego (8.12).
Wówczas dla każdego r ∈ R takiego, że 0 < r < R, szereg (8.12) jest jednostajnie zbieżny w przedziale {x ∈ R : |x − x0| 6 r}.
Dowód. Weźmy dowolne r ∈ R takie, że 0 < r < R. Wówczas x0+ r należy do
prze-działu zbieżności szeregu (8.12). Ponieważ szereg potęgowy jest zbieżny bezwzględnie w swoim przedziale zbieżności, więc szereg P∞
n=0
|an|rnjest zbieżny. Ponadto dla x ∈ R takich,
że |x − x0| 6 r mamy |an(x − x0)n| 6 |an|rn dla n > 0. Zatem z kryterium Weierstrassa
zbieżności jednostajnej szeregów 8.3.4 dostajemy zbieżność jednostajną szeregu (8.12) w
{x ∈ R : |x − x0| 6 r}. To daje tezę.
Definicja . Szeregiem pochodnych szeregu (8.12) nazywamy szereg P∞ n=1
nan(x − x0)n−1.
Uwaga 8.6.2. Szereg pochodnych szeregu potęgowego można traktować jako szereg
potę-gowy, bowiem można go zapisać w postaci
∞ P n=0
(n + 1)an+1(x − x0)n.
Własność 8.6.3. Promienie zbieżności szeregu potęgowego (8.12) i szeregu pochodnych ∞
P n=1
nan(x − x0)n−1 są równe.
Dowód. Ponieważ lim n→∞ n √ n = 1, więc lim sup n→∞ n q |an| =lim sup n→∞ n q |nan|.
Zatem promienie zbieżności szeregu (8.12) i szeregu P∞ n=0 nan(x − x0)n są równe. Dla x 6= x0 szereg ∞ P n=0
nan(x − x0)n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg
pochodnych ∞ P n=0 nan(x − x0)n−1 = ∞ P n=1
nan(x − x0)n−1. Reasumując mamy tezę.
Twierdzenie 8.6.4. Niech R > 0 będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego (8.12)
oraz niech f będzie sumą tego szeregu w przedziale zbieżności P = {x ∈ R : |x − x0| < R}.
Wówczas funkcja f jest klasy C∞ w P oraz
(8.13) f(k)(x) = ∞ X n=k n!an (n − k)!(x − x0) n−k dla x ∈ P.
Dowód. W myśl własności 8.6.3, promienie zbieżności szeregu (8.12) i szeregu
po-chodnych P∞ n=1
nan(x − x0)n−1 są równe. Pokażemy (8.13) dla k = 1. Istotnie, weźmy
dowolny x1 ∈ P i niech r ∈ R będzie takie, że |x1 − x0| < r < R. Wobec twierdzenia
8.6.1, szereg (8.12) i jego szereg pochodnych są jednostajnie zbieżne w przedziale otwar-tym {x ∈ R : |x − x0| < r}. Zatem z wniosku 8.5.3 dostajemy (8.13) dla k = 1. Postępując
dalej indukcyjnie dostajemy (8.13) dla wszystkich k ∈ N. W konsekwencji f jest funkcją
klasy C∞. To daje tezę.
Z twierdzenia 8.6.4 dostajemy natychmiast
Wniosek 8.6.5. Niech R > 0 będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego (8.12)
oraz niech f będzie sumą tego szeregu w przedziale zbieżności P = {x ∈ R : |x − x0| < R}.
8.6. SZEREGI POTĘGOWE 195
Definicja rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy. Jeśli funkcja f w pewnym
otocze-niu punktu x0 ∈ R jest sumą szeregu potęgowego o środku x0 postaci,
(8.14) f (x) =
∞ X
n=0
an(x − x0)n w pewnym otoczeniu punktu x0,
to mówimy, że funkcja f rozwija się w otoczeniu punktu x0 w szereg potęgowy lub w szereg
Taylora. Wtedy szereg w (8.14) nazywamy rozwinięciem funkcji f w szereg potęgowy w otoczeniu punktu x0 lub rozwinięciem w szereg Taylora.
Twierdzenie 8.6.6. Jeśli funkcja f rozwija się w pewnym otoczeniu punktu x0 w szereg
potęgowy f (x) =P∞ n=0
an(x − x0)n, to rozwinięcie to jest określone jednoznacznie, ponadto
(8.15) an =
f(n)(x 0)
n! dla n = 0, 1, ...
W szczególności rozwinięcie funkcji f w szereg Taylora jest szeregiem Taylora tej funkcji.
Dowód. W myśl twierdzenia 8.6.4 mamy, że f jest funkcją klasy C∞ w pewnym otoczeniu punktu x0, ponadto, z (8.13) mamy f(k)(x0) = k!ak dla k ∈ N i oczywi˙scie
f (x0) = a0. To daje (8.15) i, że współczynniki rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy są
określone jednoznacznie, a więc rozwinięcie jest określone jednoznacznie.
Uwaga 8.6.7. Funkcja f : R → R określona wzorami f (x) = e−1x dla x > 0 oraz f (x) = 0
dla x6 0 jest klasy C∞, ponadto f(n)(0) = 0 dla n = 0, 1, ..., więc suma szeregu Taylora
tej funkcji znika tożsamościowo. Zatem, wobec twierdzenia 8.6.6 funkcja ta nie rozwija się w szereg potęgowy w otoczeniu punktu 0
Twierdzenie 8.6.8. Rozwinięciem funkcji f (x) = ln(1 + x), x ∈ (−1, 1), w szereg
potę-gowy w otoczeniu zera jest
(8.16) ln(1 + x) = ∞ X n=1 (−1)n+1 n x n dla x ∈ (−1, 1).
Dowód. Ponieważ lim n→∞ n r (−1)n+1 n
= 1, więc z twierdzenia Cauchy’ego-Hadamarda
5.9.1 dostajemy, że szereg potęgowy po prawej stronie (8.16) jest zbieżny w (−1, 1). Zatem z twierdzenia 8.6.4, suma g : (−1, 1) → R tego szeregu jest różniczkowalna oraz
g0(x) = ∞ X n=1 (−1)n+1xn−1 = 1 1 + x dla x ∈ (−1, 1).
Z drugiej strony f0(x) = 1+x1 dla x ∈ (−1, 1), więc f0 = g0. Stąd i z wniosku 7.3.11, funkcja
f − g jest stała w (−1, 1). Ponieważ f (0) = 0 i g(0) = 0, więc f = g. To daje tezę.
Definicja funkcji analitycznej. Niech X ⊂ R będzie zbiorem otwartym oraz f : X →
R. Mówimy, że f jest funkcją analityczną w punkcie x0 ∈ X, gdy f rozwija się w szereg
potęgowy w otoczeniu punktu x0. Mówimy, że f jest funkcją analityczną, gdy f jest
Uwaga 8.6.9. Wprost z definicji funkcji sinus i cosinus mamy, sin x = ∞ X n=0 (−1)n (2n + 1)!x 2n+1, cos x = ∞ X n=0 (−1)n (2n)!x 2n dla x ∈ R. Zatem dla każdego x0 ∈ R mamy
sin x = sin(x − x0) cos x0 + cos(x − x0) sin x0 =
∞ X n=0 an(x − x0)n, x ∈ R gdzie a2n+1 = (−1) ncos x 0 (2n+1)! oraz a2n = (−1)nsin x 0
(2n)! dla n = 0, 1, ... Stąd wynika, że funkcja
sinus jest analityczna. Analogicznie pokazujemy, że funkcja cosinus jest analityczna.
Uwaga 8.6.10. Z twierdzenia 5.9.5 mamy ex =
∞ P n=0
xn
n! dla x ∈ R. Zatem dla każdego
x0 ∈ R mamy ex = ex−x0ex0 = ∞ X n=0 ex0 n! (x − x0) n, x ∈ R. W konsekwencji funkcja f (x) = ex, x ∈ R jest analityczna.
Uwaga 8.6.11. W uwagach 8.6.9 i 8.6.10 funkcje analityczne w R rozwijały się w szereg
potęgowy zbieżny w całym zbiorze R. Nie musi to zachodzić dla każdej funkcji analitycznej. Na przykład można sprawdzić, że funkcja f (x) = 1+x1 2, x ∈ R, jest analityczna lecz jej
rozwinięcie w otoczeniu punktu 0 jest postaci
1 x2+ 1 = ∞ X n=0 (−1)nx2n x ∈ (−1, 1).
Promieniem zbieżności powyższego szeregu potęgowego jest 1, więc szereg ten nie jest zbież-ny w całym zbiorze R.
8.7
Rozwinięcie funkcji potęgowej w szereg potęgowy
Definicja ciągu reszt we wzorze Taylora. Niech f : (a, b) → R będzie funkcją klasy
C∞ oraz x0 ∈ (a, b). Dla n ∈ N, funkcję Rn: (a, b) → R taką, że
(8.17) f (x) = n−1 X k=0 f(k)(x 0) k! (x − x0) k+ R n(x) dla x ∈ (a, b)
nazywamy n-tę resztą we wzorze Taylora. Ciąg funkcyjny (Rn)∞n=1nazywamy ciągiem reszt
we wzorze Taylora.
Uwaga 8.7.1. Niech f : (a, b) → R będzie funkcją klasy C∞ oraz x0 ∈ (a, b). Ze wzoru
Taylora I, II, III (twierdzenia 7.5.4, 7.5.10, 7.5.11) mamy istnienie reszt Rn. Ponadto
można przyjąć Rn(x0) = 0 oraz dla x 6= x0 reszta w postaci Lagrange’a ma postać
Rn(x) =
f(n)(c)
n! (x − x0)
n, gdzie c jest pewnym punktem leżącym między x i x
8.7. ROZWINIĘCIE FUNKCJI POTĘGOWEJ W SZEREG POTĘGOWY 197
reszta w postaci Cauchy’ego ma zaś postać
Rn(x) =
f(n)(c)(1 − θ)n−1
(n − 1)! (x − x0)
n, gdzie c jest pewnym punktem leżącym między
x i x0 oraz θ = x−xc−x00,
Bezpośrednio z definicji (8.17) dostajemy
Twierdzenie 8.7.2. Niech f : (a, b) → R będzie funkcją klasy C∞, x0 ∈ (a, b) oraz
(Rn)∞n=1 będzie ciągiem reszt we wzorze Taylora. Wówczas funkcja f rozwija się w
otocze-niu Ω ⊂ (a, b) punktu x0 w szereg potęgowy wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x ∈ Ω
zachodzi lim
n→∞Rn(x) = 0.
Definicja . Niech α ∈ R. Wówczas przyjmujemy
α n ! = α(α − 1) · · · (α − n + 1) n! dla n ∈ N oraz α 0 ! = 1.
Uwaga 8.7.3. Dla α ∈ R oraz n ∈ Z, n > 0, symbol αn jest naturalnym uogólnieniem symbolu Newtona.
Naturalnym uogólnieniem wzoru dwumiennego Newtona jest następujące
Twierdzenie 8.7.4. Niech α ∈ R. Wówczas
(8.18) (1 + x)α = ∞ X n=0 α n ! xn dla x ∈ (−1, 1).
Dowód. Niech f (x) = (1 + x)α, x ∈ (−1, 1). Dla x = 0 równość (8.18) jest oczywista.
Pokażemy (8.18) dla x ∈ (−1, 1) \ {0}.
Jeśli α ∈ Z, α > 0, to teza wynika ze wzoru dwumiennego Newtona, gdyż wtedy
α n
= 0 dla n > α. Załóżmy więc, że α ∈ R nie jest liczbą całkowitę nieujemną. Wtedy
α n
6= 0 dla n ∈ Z, n > 0.
Stosując kryterium d’Alemberta zbieżności szeregów dostajemy, że szereg P∞ n=0
α n
nxn
jest zbieżny dla x ∈ (−1, 1). Zatem z warunku koniecznego zbieżności szeregów mamy
(8.19) lim n→∞ α n ! nxn = 0 dla x ∈ (−1, 1).
Indukcyjnie pokazujemy, że dla x ∈ (−1, 1) mamy
f(n)(x) = α(α − 1) · · · (α − n + 1)(1 + x)α−n, n ∈ N,
więc na mocy wzoru Taylora III 7.5.11 dla n ∈ N mamy
(8.20) f (x) = n−1 X k=0 α k ! xk+ Rn(x) dla x ∈ (−1, 1) \ {0},
gdzie Rn jest resztą w postaci Cauchy’ego. Weźmy dowolny x ∈ (−1, 1) \ {0}. Wówczas
dla każdego n ∈ N istnieje cn∈ R leżący między x i 0, że kładąc
θn= cn x, mamy 0 < θn< 1 oraz (8.21) Rn(x) = f(n)(c n)(1 − θn)n−1 (n − 1)! x n = α n ! nxn(1 − θn)n−1(1 + cn)α−n.
Jeśli x ∈ (0, 1), to cn∈ (0, 1), więc 1 + cn> 1 i dla n > α mamy 0 < (1 + cn)α−n6 1.
Ponadto 0 < (1 − θn)n−1 6 1, więc
0 < (1 − θn)n−1(1 + cn)α−n 6 1 dla n > α.
Zatem wobec (8.19) mamy lim
n→∞Rn(x) = 0. Stąd i z (8.20) dostajemy (8.18) dla x ∈ (0, 1).
Załóżmy, że x ∈ (−1, 0). Ponieważ x < cn < 0, więc 0 < 1−θ1+cnn 6 1, zatem
|(1 − θn)n−1(1 + cn)α−n| = 1 − θn 1 + cn !n−1 (1 + cn)α−1 6 (1 + cn)α−1. W konsekwencju |(1 − θn)n−1(1 + cn)α−n| 6 1, gdy α > 1, |(1 − θn)n−1(1 + cn)α−n| 6 (1 + x)α−1, gdy α 6 1.
Reasumując z (8.21) i (8.19) dostajemy lim
n→∞Rn(x) = 0. Stąd i z (8.20) dostajemy (8.18)
dla x ∈ (−1, 0). To kończy dowód.
8.8
Twierdzenie Weierstrassa o aproksymacji
Każda funkcja analityczna jest lokalnie sumą szeregu potęgowego, więc lokalnie jest gra-nicą jednostajnie zbieżnego ciągu wielomianów. W punkcie tym udowodnimy twierdzenie Weierstrassa mówiące o tym, że każda funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest gra-nicą jednostajnie zbieżnego ciągu wielomianów. Jest to uogólnienie wspomnianego fak-tu. Jednak pojęcie analityczności niesie znacznie większe konsekwencje niż zapowiadane twierdzenie Weierstrassa.
Twierdzenie 8.8.1. (nierówność Schwarza). Jeśli a0, ..., an, b0, ..., bn ∈ R, to
(8.22) n X i=0 aibi 2 6 n X i=0 a2i n X i=0 b2i. Dowód. Niech A =Pn i=0 a2 i, B = n P i=0 b2 i, C = n P i=0 aibi. Wówczas mamy n X i=0 (Bai− Cbi)2 = B2 n X i=0 a2i − 2BC n X i=0 aibi + C2 n X i=0 b2i = B2A − BC2 = B(AB − C2).
8.8. TWIERDZENIE WEIERSTRASSA O APROKSYMACJI 199 Ponieważ pierwsza suma w powyższym wzorze jest nieujemna, więc B(AB − C2) > 0.
Jeśli B = 0, to b0 = · · · = bn = 0, więc C = 0 i teza jest oczywista. Jeśli zaś B > 0, to
AB − C2 > 0, co daje (8.22) i kończy dowód.
Lemat 8.8.2. Dla każdego n ∈ N oraz x ∈ [0, 1] zachodzi nierówność
(8.23) √n n X i=0 n i ! i n − x x i (1 − x)n−i 6 1 2.
Dowód. Ze wzoru dwumiennego Newtona mamy
(8.24) n X i=0 n i ! xi(1 − x)n−i= 1 dla x ∈ R oraz (8.25) n X i=0 n i ! eiy(1 − x)n−i= (ey + (1 − x))n dla x, y ∈ R.
Różniczkując dwukrotnie względem y równość (8.25), otrzymujemy
n P i=0 n i ieiy(1 − x)n−i = ney(ey + (1 − x))n−1, n P i=0 n i i2eiy(1 − x)n−i = ney(ey + (1 − x))n−1+ n(n − 1)e2y(ey + (1 − x))n−2.
Stąd dla x = ey, a więc dla x > 0 mamy
(8.26) n X i=0 n i ! ixi(1 − x)n−i= nx, n X i=0 n i ! i2xi(1 − x)n−i = nx + n(n − 1)x2.
Powyższe równości zachodzą również dla x = 0. Z (8.26) i (8.24) dla x> 0 dostajemy
n P i=0 n i (i − nx)2xi(1 − x)n−i = Pn i=0 n i i2xi(1 − x)n−i− 2nx Pn i=0 n i ixi(1 − x)n−i+ n2x2 Pn i=0 n i xi(1 − x)n−i = nx + n(n − 1)x2 − 2nxnx + n2x2 = nx(1 − x).
Dzieląc tę równość przez n2 dostajemy
n X i=0 n i ! (i n − x) 2xi (1 − x)n−i = 1 nx(1 − x).
Stąd i z nierówności x(1 − x)6 14 dla x ∈ [0, 1], mamy
(8.27) n X i=0 n i ! i n − x 2 xi(1 − x)n−i 6 1 4n, x ∈ [0, 1].
Oznaczając ai = i n − x v u u t n i ! xi(1 − x)n−i, b i = v u u t n i ! xi(1 − x)n−i, i = 0, ..., n,
z nierówności Schwarza 8.8.1 dostajemy
n X i=0 n i ! i n − x x i (1 − x)n−i6 v u u t n X i=0 i n − x 2 xi(1 − x)n−i v u u t n X i=0 n i ! xi(1 − x)n−i.
Stąd, z (8.24) i (8.27) wynika (8.23). To kończy dowód.
Definicja modułu ciągłości funkcji. Niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale [a, b].
Modułem ciągłości funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy funkcję ω : (0, +∞) → R
określoną wzorem:
ω(δ) = sup{|f (x0) − f (x00)| : x0, x00∈ [a, b], |x0 − x00| < δ}, gdzie δ > 0.
Uwaga 8.8.3. Definicja modułu ciągłości jest poprawna, bowiem funkcja ciągła na zbiorze
zwartym jest ograniczona.
Własność 8.8.4. Niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale [a, b] oraz ω będzie modułem
ciągłości funkcji f na przedziale [a, b]. Wówczas lim
δ→0ω(δ) = 0.
Dowód. Weźmy dowolne ε > 0. Ponieważ f jest funkcją ciągłą na zbiorze zwartym
[a, b], więc jest to funkcja jednostajnie ciągła, a więc istnieje δ0 > 0 taka, że dla każdego
0 < δ < δ0 i każdych x0, x00 ∈ [a, b] takich, że |x0− x00| < δ zachodzi |f (x0) − f (x00)| < ε2.
Zatem, z definicji modułu ciągłości mamy |ω(δ) − 0|6 ε
2 < ε dla 0 < δ < δ0. To daje tezę.
Lemat 8.8.5. Niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale [a, b] oraz ω będzie modułem
ciągłości funkcji f na przedziale [a, b]. Wówczas dla każdych x1, x2 ∈ [a, b] mamy
(8.28) |f (x1) − f (x2)|6 (|x1− x2|
1
δ + 1)ω(δ) dla każdego δ > 0.
Dowód. Weźmy dowolne x1, x2 ∈ [a, b]. Jeśli x1 = x2, to (8.28) jest oczywiste. Zatem,
bez zmniejszenia ogólności możemy założyć, że x1 < x2. Weźmy dowolne δ > 0 i niech
n ∈ N będzie takie, że
(8.29) (x2− x1)
1
δ < n 6 (x2− x1)
1
δ + 1.
Oczywiście taka liczba n istnieje. Połóżmy ai = x1+ni(x2− x1) dla i = 0, ..., n. Wówczas
x1 = a0 < a1 < · · · < an= x2 i z (8.29) mamy |ai−ai+1| < δ, więc |f (ai)−f (ai+1)|6 ω(δ)
dla i = 0, ..., n − 1. Zatem,
|f (x1) − f (x2)| = |(f (a0) − f (a1)) + (f (a1) − f (a2)) + · · · + (f (an−1) − f (an))|
8.8. TWIERDZENIE WEIERSTRASSA O APROKSYMACJI 201 Stąd i z (8.29) dostajemy |f (x1) − f (x2)|6 (|x1− x2|1δ + 1)ω(δ), czyli mamy (8.28).
Definicja wielomianów Bernsteina. Niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale [0, 1].
Wielomian Bn(x) = n X i=0 n i ! f i n xi(1 − x)n−i nazywamy n-tym wielomianem Bernsteina dla funkcji f (2).
Twierdzenie 8.8.6. Niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale [0, 1]. Wówczas ciąg
{Bn}∞n=1 wielomianów Bernsteina dla funkcji f jest jednostajnie zbieżny do funkcji f w
przedziale [0, 1]. Ponadto (8.30) |Bn(x) − f (x)|6 3 2ω 1 √ n ! dla x ∈ [0, 1],
gdzie ω jest modułem ciągłości funkcji f na przedziale [0, 1].
Dowód. Wobec własności 8.8.4 i 8.2.8, wystarczy wykazać nierówność (8.30). Ze
wzo-ru dwumiennego Newtona mamy
n X i=0 n i ! xi(1 − x)n−i = 1 dla x ∈ [0, 1].
Zatem z lematu 8.8.5 dla x ∈ [0, 1], dostajemy
|Bn(x) − f (x)| = n P i=0 n i h fni− f (x)ixi(1 − x)n−i 6 ω√1 n 1 +√n Pn i=0 n i i n − x x i(1 − x)n−i .
Ponieważ z lematu 8.8.2 mamy
√ n n X i=0 n i ! i n − x xi(1 − x)n−i 6 1 2 dla x ∈ [0, 1], więc dostajemy (8.30).
Udowodnimy teraz tytułowe twierdzenie tego punktu
Twierdzenie 8.8.7. (Weierstrassa). Każda funkcja f ciągła w przedziale domkniętym
[a, b] jest granicą pewnego jednostajnie zbieżnego w [a, b] ciągu wielomianów.
Dowód. Niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale domkniętym [a, b]. Weźmy funkcję
ϕ : [0, 1] → [a, b] określoną wzorem
ϕ(t) = a + t(b − a) dla t ∈ [0, 1].
Łatwo sprawdzamy, że ϕ jest homeomorfizmem i funkcją odwrotną do ϕ jest wielomian
ϕ−1(x) = 1
b − ax − a
b − a, x ∈ [a, b].
Zatem f ◦ ϕ jest funkcją ciągłą w przedziale [0, 1] i z twierdzenia 8.8.6 istnieje ciąg wie-lomianów {Bn}∞n=1 zbieżny jednostajnie w przedziale [0, 1] do funkcji f ◦ ϕ. Oznaczmy
Mn= sup{|Bn(t) − f ◦ ϕ(t)| : t ∈ [0, 1]} dla n ∈ N.
Wówczas z własności 8.2.8 mamy
(8.31) lim n→∞Mn = 0. Funkcje Wn(x) = Bn( 1 b − ax − a b − a), x ∈ R,
są wielomianami, ponadto Wn(ϕ(t)) = Bn(t) dla t ∈ [0, 1]. Zatem
sup{|Wn(x) − f (x)| : x ∈ [a, b]} = sup{|Bn(t) − f ◦ ϕ(t)| : t ∈ [0, 1]} = Mn dla n ∈ N.
Stąd, z (8.31) i własności 8.2.8 dostajemy, że ciąg wielomianów {Wn}∞n=1 jest jednostajnie
zbieżny w [a, b] do funkcji f . To kończy dowód.
Uwaga 8.8.8. Można pokazać, że jeśli funkcja f : [0, 1] → R jest klasy Cp, to dla ciągu
i-tych pochodnych, i 6 p, wielomianów Bernsteina, mamy B(i)
n ⇒ f(i) w [0, 1].
8.9
Twierdzenie Ascoliego-Arzeli
Definicja ograniczonej rodziny funkcji. Niech X ⊂ R, X 6= ∅ oraz niech R będzie
rodziną funkcji rzeczywistych określonych na zbiorze X.
Mówimy, że rodzina R jest ograniczona w punkcie x0 ∈ X, gdy istnieje M ∈ R, że dla
każdej funkcji f ∈ R zachodzi |f (x0)|6 M .
Mówimy, że rodzina R jest ograniczona, gdy istnieje M ∈ R, że dla każdej funkcji
f ∈ R oraz każdego x ∈ X zachodzi |f (x)| 6 M .
Definicja jednakowo ciągłej rodziny funkcji. Niech X ⊂ R, X 6= ∅ oraz niech R
będzie rodziną funkcji rzeczywistych określonych na zbiorze X. Mówimy, że rodzina R ⊂ RX jest jednakowo ciągła, gdy dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0, że dla każdej funkcji
f ∈ R oraz każdych x0, x00 ∈ X takich, że |x0 − x00| < δ zachodzi |f (x0
) − f (x00)| < ε. Udowodnimy twierdzenie Ascoliego-Arzeli. Zacznijmy od dwóch lematów.
Lemat 8.9.1. Niech R będzie rodziną funkcji rzeczywistych określonych na przedziale
ograniczonym P o końcach a, b ∈ R, a < b. Jeśli R jest rodziną jednakowo ciągłą, to dla każdego ε > 0 istnieją l ∈ N, l > 2, liczby a0, ..., al∈ R, że a = a0 < a1 < · · · < al = b
oraz dla każdej funkcji f ∈ R i
8.9. TWIERDZENIE ASCOLIEGO-ARZELI 203
Dowód. Weźmy dowolny ε > 0. Ponieważ R jest rodziną jednakowo ciągłą, więc
istnieje δ > 0, że dla każdej funkcji f ∈ R oraz
dla każdych x0, x00 ∈ P takich, że |x0− x00| < δ zachodzi |f (x0) − f (x00)| < ε. Niech, wobec zasady Archimedesa, l ∈ N będzie taką liczbą, że
b − a l < δ. Połóżmy ai = a + (b − a)i l , i = 0, ..., l. Wtedy a = a0 < a1 < · · · < al= b oraz |ai−1− ai| < δ dla i = 1, ..., l.
Zatem dla każdego x ∈ P , takiego, że ai−16 x 6 ai+1 mamy |x − ai| < δ i w konsekwencji
|f (x) − f (ai)| < ε. Reasumując mamy (8.32). Lemat 8.9.2. Niech R będzie rodziną funkcji rzeczywistych określonych na przedziale
ograniczonym P . Jeśli R jest rodziną jednakowo ciągłą i ograniczoną w pewnym punk-cie x0 przedziału P , to R jest rodziną ograniczoną.
Dowód. Z założenia, że rodzina R jest ograniczona w punkcie x0, istnieje M ∈ R, że
(8.33) dla każdej funkcji f ∈ R zachodzi |f (x0)|6 M .
Weźmy ε = 12 i niech a, b ∈ R, a < b będą końcami przedziału P . W myśl lematu 8.9.1 istnieje l ∈ N, l > 2, liczby a0, ..., al∈ R, że a = a0 < a1 < · · · < al= b oraz
(8.34) dla każdego x ∈ P , jeśli ai−16 x 6 ai+1, to |f (x) − f (ai)| <
1 2. Weźmy dowolną funkcję f ∈ R. Z (8.34) dostajemy, że
(8.35) |f (ai)|6 M +
l
2 dla i = 0, ..., l.
Istotnie, z wyboru liczb a0, ..., anmamy, że istnieje i0 ∈ {1, ..., l −1}, że ai0−1 6 x0 6 ai0+1.
Jeśli i> i0, to z (8.34) i (8.33) dostajemy
|f (ai)|6 |f (ai) − f (ai−1)| + · · · + |f (ai0) − f (x0)| + |f (x0)|6
l
2 + M. jeśli i < i0, to analogicznie dostajemy
|f (ai)|6 |f (ai) − f (ai+1)| + · · · + |f (ai0) − f (x0)| + |f (x0)|6
l
2 + M.
Zatem udowodniliśmy (8.35). Weźmy dowolny x ∈ P . Wówczas istnieje i ∈ {1, ..., l − 1}, że ai−1 6 x 6 ai. Wówczas z (8.34) (8.35) wynika, że
|f (x)| 6 |f(x) − f(ai)| + |f (ai)|6 1 2 + M + l 2. To daje tezę.
Twierdzenie 8.9.3. (Ascoliego-Arzeli). Niech R będzie rodziną funkcji rzeczywistych
określonych na przedziale ograniczonym P . Jeśli R jest rodziną jednakowo ciągłą i ogra-niczoną w pewnym punkcie x0 ∈ P , to z każdego ciągu (fn)∞n=1 ⊂ R tej rodziny można
wybrać podciąg jednostajnie zbieżny.
Dowód. Ponieważ P jest przedziałem ograniczonym i R rodziną jednakowo ciągłą i
ograniczoną w punkcie x0 ∈ P , więc z lematu 8.9.2, rodzina R jest ograniczona.
Niech E = P ∩ Q. E jest zbiorem gęstym w P i przeliczalnym. Istnieje więc bijekcja
σ : N → E. Oznaczając em = σ(m) dla m ∈ N, mamy E = {em : m ∈ N}.
Weźmy dowolny ciąg (fn)∞n=1 ⊂ R.
Pokażemy, że istnieje rodzina podciągów (fnk,j)
∞
k=1, j ∈ N, ciągu (fn)∞n=1 takich, że
(8.36) każdy ciąg (fnk,j)
∞
k=1 jest podciągiem ciągu (fnk,j−1)
∞
k=1 dla j > 1,
(8.37) każdy ciąg (fnk,j(em))
∞
k=1 jest zbieżny dla j > m.
Istotnie, ponieważ (fn(e1))∞n=1 jest ciągiem ograniczonym, więc z twierdzenia
Bolzano-Weierstrassa 4.6.4 istnieje podciąg (fnk,1)
∞
k=1 ciągu (fn)∞n=1 taki, że ciąg (fnk,1(e1))
∞ k=1 jest
zbieżny. Analogicznie istnieje podciąg (fnk,2)
∞
k=1 ciągu (fnk,1)
∞
k=1taki, że ciąg (fnk,2(e2))
∞ k=1
jest zbieżny. Wtedy również ciąg (fnk,2(e1))
∞
n=1 jest zbieżny. Postępujęc dalej indukcyjnie,
dostajemy (8.36) i (8.37) (3).
Weźmy podciąg (fnk)
∞
k=1 ciągu (fn)∞n=1 określony wzorem fnk = fnk,k dla k ∈ N.
Po-każemy, że podciąg (fnk)
∞
k=1 jest jednostajnie zbieżny. Wystarczy pokazać, że podciąg ten
spełnia warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej ciągu funkcyjnego (patrz twierdzenie 8.2.9). Weźmy dowolne ε > 0 i niech a, b ∈ R, a < b będą końcami przedziału P . Z lematu 8.9.1 istnieje l ∈ N, l > 2 oraz liczby a0, ..., al ∈ R takie, że a = a0 < a1 < · · · < al = b
oraz
dla każdego x ∈ P, jeśli ai−16 x 6 ai+1, to |f (x) − f (ai)| <
ε
6 dla wszystkich f ∈ R. Zatem dla każdej funkcji f ∈ R oraz każdych x0, x00 ∈ P ,
(8.38) jeśli x0, x00∈ [ai−1, ai+1], to |f (x0) − f (x00)| <
ε
3.
Zbiór E jest gęsty w P , więc w każdym przedziale (ai−1, ai+1), gdzie i ∈ {1, ..., l−1} istnieje
element bi zbioru E. W konsekwencji ciąg (fnk(bi))
∞
k=1 jest zbieżny, więc z własności 4.7.2
jest ciągiem Cauchy’ego. Zatem istnieje N ∈ N, że (8.39) |fnp(bi) − fnr(bi)| <
ε
3 dla p, r ∈ N, p, r > N oraz i = 1, ..., l − 1. Weźmy dowolny x ∈ P . Wówczas istnieje i ∈ {1, ..., l − 1}, że ai−1 6 x 6 ai+1, zatem z
(8.39) i (8.38) dla p, r> N mamy |fnp(x)−fnr(x)|6 |fnp(x)−fnp(bi)|+|fnp(bi)−fnr(bi)|+|fnr(bi)−fnr(x)| < ε 3+ ε 3+ ε 3 = ε. To daje tezę.
3Zakładając, że istnieje podciąg (f
nk,j)
∞
k=1 ciągu (fnk,j−1)
∞
k=1 zbieżny w punktach e1, ..., ej, wobec
ograniczoności ciągu (fnk,j) ∞ k=1, znajdziemy podciąg (fnk,j+1) ∞ k=1 ciągu (fnk,j) ∞ k=1, zbieżny w punktach
e1, ..., ej+1. W ten sposób określimy rodzinę ciągów (fnk,j)
∞
k=1 dla j ∈ N takich, że każdy następny jest
podciągiem poprzedniego oraz każdy ciąg (fnk,j(em))
∞
8.9. TWIERDZENIE ASCOLIEGO-ARZELI 205
Uwaga 8.9.4. W twierdzeniu Ascoliego-Arzeli 8.9.3 założenia o ograniczoności przedziału
P nie można opuścić. Istotnie, ciąg (fn)∞n=1 określony wzorami fn(x) = 0 dla x 6 n,
fn(x) = x − n dla x ∈ (n, n + 1) oraz fn(x) = 1 dla x > n jest rodziną ograniczoną i
jednakowo ciągłą (dla każdego ε > 0 wystarczy przyjąć δ = ε). Ponadto lim
n→∞ fn(x) = 0
dla x ∈ R oraz Mn = sup{|fn(x) − 0| : x ∈ R} = 1. Zatem wobec własności 8.2.8 ciąg
(fn)∞n=1 nie jest jednostajnie zbieżny w R.
Wprowadza się również pojęcie jednakowej ciągłości w punkcie rodziny funkcji.
Definicja jednakowo ciągłej w punkcie rodziny funkcji. Niech X ⊂ R, X 6= ∅
oraz niech R będzie rodziną funkcji rzeczywistych określonych na zbiorze X. Mówimy, że
rodzina R ⊂ RX jest jednakowo ciągła w punkcie x0 ∈ X, gdy dla każdego ε > 0 istnieje
δ > 0, że dla każdej funkcji f ∈ R oraz każdego x ∈ X takiego, że |x − x0| < δ zachodzi
|f (x) − f (x0)| < ε.
Uwaga 8.9.5. Można pokazać, następującą ogólniejszą wersję twierdzenia Ascoliego-Arzeli: (Ascoliego-Arzeli). Niech R będzie rodziną funkcji rzeczywistych określonych na
zbiorze zwartym X ⊂ R. Wówczas z każdego ciągu (fn)∞n=1⊂ R tej rodziny można wybrać
podciąg jednostajnie zbieżny, wtedy i tylko wtedy, gdy rodzina ta jest jednakowo ciągłą w każdym punkcie zbioru X i jest ograniczona w każdym punkcie zbioru X.
