Współczesna Forma Klasycznych Problemów Teorii Prawdopodobieństwa - ”Operatorowe” Rozkłady Graniczne

13 (1992), 3 -1 2

Współczesna Forma Klasycznych

Problemów Teorii Prawdopodobieństwa

- “Operatorowe” Rozkłady Graniczne

Andrzej Łuczak

1. W s t ę p .

T w ierdzen ia d oty czące zachow ania granicznego ciągu sum nieza­ leżnych zm iennych losow ych m ożn a p od zielić na dwie zasadnicze grupy. K lasycznym i przedstaw icielam i tych grup są: m ocn e (sła be) praw o w iel­ kich liczb i centralne tw ierdzenie graniczne. W ob u przypadkach m am y dany ciąg niezależnych zm iennych losow ych { X n } o jednakow ych roz­ kładach, tw orzym y sum ę Sn = X i + . . .+ A 'n, norm ujem y ją przy p o m o cy stałych an > 0, bn € 3? i p ytam y o zachow anie graniczne ciągu

Z n — dri^n "b

bn-P rzy założeniu, że istnieje w artość oczekiw ana E ( X n) = m i w yborze stałych an = ~, bn = —m , tak że Z n = ^ Sn — m , otrzym u jem y m ocn e (sła be) praw o wielkich liczb m ów iące, że Z n — > 0 z p ra w d op od ob ień ­ stw em 1 (w g p raw d op od obień stw a).

Jeżeli za łoży m y p on a d to istnienie wariancji D 2X n = a 2 > 0 i ob ie­ rzem y stałe

tak, że

_ (S n - E S n)

^/W S ^ ’

otrzym u jem y centralne twierdzenie graniczne m ów iące, że

P ( Z „ < A ') — , —L= £ ^ e x p ( - | ) < f t .

Zauważm y, że twierdzeniu tem u m ożna nadać następującą "m iarow ą ” form ę. D la dw óch miar praw d op od obień stw a /f i 1/ na 3? ich splot /i * z/ jest m iarą praw dopodobień stw a określoną jako

/

fi(E — x ) v ( d x )

-o o

dla borelow skiego p od zbioru E przestrzeni 3?.

Poniew aż rozkładem sum y niezależnych zm iennych losow ych jest splot rozkładów tych zm iennych, zatem przy v o zn a ca ją cy m rozkład zm ien­ nej X n, Sn m a rozkład u * ^~ u {n - krotny splot u ze sobą, ozna­

czany dalej przez un ) i zm ienne losow e anSn + bn m a ją rozkłady

Tanu * 8(bn), gdzie 8(b) jest rozkładem skoncentrow anym w punkcie b (tzn. ń (6) ( {6} ) = 1, Tax = a x przy ustalonym a 6 \ { 0 } , a rozkład

TaA określany jest jako

TaX (E ) = X (T ~ l E ) = X (E )

dla m iary p raw dopodobień stw a A i zbioru borelow skiego E . Jeśli za ło­ żym y teraz, że

/

/

to dla stałych an i bn określonych w zorem (* ) (przy założeniu, że cr2 > 0) otrzym am y centralne tw ierdzenie graniczne m ów iące, że dystrybu an ty rozkładów Tanv n * 8{bn) są zbieżne do dystrybu an ty standaryzow anego rozkładu norm alnego. Ta zbieżn ość dystrybuant jest, jak się okazuje,

szczególną form ą tzw . słabej zbieżności miar zdefiniowanej ja k o A„ =>■ A, jeżeli

/

f ( x ) X n(d x ) -> / f ( x ) X ( d x )

-oo J —oo

dla każdej funkcji ciągłej i ograniczonej / na 3?. Jak w idać zatem , w dw óch rozw ażanych pow yżej twierdzeniach m am y do czynienia z dw om a różnym i rod zajam i zbieżności: w prawie wielkich liczb - ze zbieżn ością ciągu fu n k cyjn ego prawie w szędzie (w g m iary), w central­ nym tw ierdzeniu granicznym - ze słabą zbieżnością ciągu rozkładów . Zagadnienia d oty czą ce słabej zbieżności m iar praw dopodobień stw a (k tó­ rych szczególn ym przypadkiem jest centralne tw ierdzenie graniczne) prow adzą do teorii rozkładów nieskończenie podzielnych. N iektórym aspektom tej teorii, szczególnie w ich w spółczesnej postaci, pośw ięcon y jest niniejszy artykuł.

W dalszym ciągu przedm iotem naszych rozważań będą m iary (tj rozk ła d y) p raw d op od obień stw a określone na borelow skich p od zbiora ch przestrzeni euklidesowej 3?". K ażda taka m iara fi jest w sposób je d n o ­ znaczny w yzn aczon a przez sw oją funkcję charakterystyczną fi zdefinio­ waną w zorem

j l(x ) = e x p { i ( x , y ) } f i ( d y ) , x £ 3?^,

J$łn

gdzie (•, •) ozn acza standardow y iloczyn skalarny w . P on ad to, dla op eratora liniow ego A na i m iary fi, m iara A fi określona jest jako

A fi(E ) = fi(A ~ 1( E ) ) , E — zbiór borelow ski.

N ietrudno spraw dzić, że

( A B ) f i = A ( B f i ), A fi( x ) = fl(A * x ), A (fi * u) = A fi * Ais,

gdzie A , B są operatoram i liniow ym i w dłN , a fi, u - m iaram i praw­ d opodobień stw a; A* - ja k zw ykle ozn acza operator sprzężony do A . Ze w zględu na charakter rozw ażanych zagadnień będziem y konsekwentnie stosow ać term in ologię odn oszą cą się do miar praw dopodobień stw a, a nie do zm iennych losow ych. C zytelnik p rzy zw y czajon y do bardziej tra­ d y cy jn eg o u jęcia pow inien pam iętać, że splot fii * . . . * fin jest niczym innym jak rozkładem sum y zm iennych losow ych X\ + . . . + X n takich,

że zm iena X i m a rozkład p,-, i = 1, . . . , n, a m iara A u jest rozkładem zm iennej losowej A o X , gdzie X jest zm ienną losow ą o w artościach w

$łN i rozkładzie y .

2. R o z k ła d y nieskończenie p o d zieln e.

Niech {nnk ■ k = 1 , . . . , k n, n = 1 ,2 . . . } będzie trójk ą tn ą m acierzą m iar praw d op od obień stw a na IRN . M acierz ta nazyw a się jed n osta jn ie infinitezym alna, jeżeli dla dow olnego otoczen ia zera U w $łN spełniony jest warunek

lim m ax y nk ( ^ N \ U ) = 0, n— ►oo 1 <k<kn

O znaczam y

M n = M n l * • • • * h n k n ■

P oniższe tw ierdzenie stanowi fundam ent całej teorii rozkładów granicz­ nych.

T w ie rd ze n ie 1 N astępujące warunki są rów now ażne:

(i) y je s t rozkładem granicznym dla ciągu m iar y n * S [h n) p rzy pewnym

ciągu { h n} z $ł.N ;

(ii) dla każdej liczby naturalnej p istn ieje rozkład prawdopodobieństwa

Xm na dłN taki, że y = Am;

(iii) funkcja charakterystyczna y ma p osta ć

(1)

y (x ) = e x p { i ( m , x ) — - ( D x , x ) +

+

_J*N\{o)

I - 1 - ,N’g)|

_{i+ II y II2}

|2M<W},

gdzie m 6 $łN, D je s t operatorem n ieujem nym na IR.N , a M je s t

m iarą borelowską na 1R.N \ {0} taką, że

[ m in (l, || y ||2) ■ M (d y ) < oo.

J?RN\{ 0}

M iary fi, o k tórych m ów i pow yższe twierdzenie nazywane są m ia­ rami nieskończenie pod zieln ym i (nazw a ta jest konsekw encją warunku (ii)). W z ó r (1) nazyw any jest w zorem L e v y ’ego-C h in czyn a, a m iara M m iarą spektralną L e v y ’ ego. Ze w zględu na w zajem nie jed n ozn aczn ą od- pow iedn iość m ięd zy m iarą fi, a trójk ą m , D , M stosuje się zazw yczaj zapis fi = [m, D , M ] na oznaczenie m iary nieskończenie podzielnej /z, której funkcja charakterystyczna dana jest w zorem (1).

3. R o z k ła d y sta b iln e , L e v y ’ ego i p ó łsta b iln e.

W klasycznej teorii rozkładów nieskończenie podzielnych szczególną rolę o d g ry w a ją rozkład y graniczne dla ciągów splotów miar "n orm ow a ­ n ych ” pew n ym i stałym i liczbow ym i. M ów iąc dokładniej, m iary fink w y ­ stępujące w definicji rozkładów nieskończenie podzielnych m a ją postać

f^rik

gdzie an > 0, a { u „ } jest pew nym ciągiem rozkładów p ra w d op od ob ień ­ stwa na $łN . Tak w ięc

(2) fin * S(hn) = Tan(i/i * . . . * vkn) * S(hn)

i problem d o ty cz y charakteryzacji rozkładów b ęd ących granicam i ciągu (2). W następu jących trzech przypadkach zagadnienie to zostało roz­ wiązane:

<i) hn — ^ '

b ) kn = n, vn — dow olne, { T avk : k = 1 , . . . , n, n = 1 , 2 , . . . } —

jed n osta jn ie inhnitezym alna;

c) ciąg { kn} spełnia warunek — > r , 1 < r < oo , vn = v.

R ozk ła d y graniczne w pow yższych przypadkach n azyw ają się o d ­ p ow iedn io rozkładam i stabilnym i, L ev y ’ ego i półstabiln ym i. Okazuje się, że każda z tych klas rozkładów m oże b y ć scharakteryzow ana przez pew ne rów nanie, które sp ełn iają m iary należące do danej klasy. A b y przedstaw ić te rów nania, zdefiniujem y dla m iary nieskończenie p od ziel­ nej fi = [m, D , M ] i i > 0 m iarę fi1 jako m iarę nieskończenie p odzieln ą daną przez fi1 = [ t m ,t D ,t M ] , tzn taką, dla której fi4 = (p-Y- (Z a ­ uważmy, że definicja pow yższa jest zgod n a z naszym w cześniejszym określeniem m iary fin ja k o n-krotn ego splotu fi ze sob ą). M am y w tedy:

T w ie rd ze n ie 2 y je s t rozkładem stabilnym wtedy i tylko wtedy, gdy

istn ieją: a E (0 ,2 ] , h t E 3łN,d la t > 0 takie, że

(3) y* = Ttc./j, * 8 (h t).

T w ie rd ze n ie 3 y je s t rozkładem L e v y ’ego wtedy i tylko wtedy, gdy dla

każdego c 6 (0 ,1 ) istn ieje miara prawdopodobieństwa Ac taka, że (4) y = Tcy * Ac.

T w ie rd zen ie 4 y je s t rozkładem półstabilnym wtedy i tylko wtedy, gdy

istnieją a, 6 G (0 ,1 ) i h E 3?^ takie, że (5) y a = Tby * 6 (h ).

Okazuje się, że pow yższe wyniki m a ją naturalne uogólnienia prow a­ dzące do klas rozkładów zaw ierających od p ow ied n io rozkłady stabilne, L e v y ’ego i półstabilne.

4 . "O p e r a t o r o w e ” ro zk ła d y graniczne.

Idea uogólnienia w spom nianego na końcu p oprzedn iego paragrafu jest bardzo prosta i naturalna: m ianow icie, p olega ona na zastąpie­ niu operatorów m nożenia Tan w (2) dow olnym i operatoram i liniow ym i, odw racalnym i A n działającym i w $łN. Tak w ięc rozpatruje się m iary b ęd ące granicam i ciągów

(

)

R ozk ła d y graniczne w przypadkach a), b ) i c) n azyw ają się teraz o d ­ p ow iedn io rozkładam i operatorow o-stabiln ym i, op era to ro w o -L e v y ’ego i operatorow o-p ółstabiln ym i. (O d n otu jm y, że w przypadkach a) i c) jed n osta jn a infinitezym alność { A n^yt} wynika z sam ego faktu istnienia granicy ciągu (6).) Okazuje się, że również i w tych ogóln iejszych p rzy­ padkach rozkłady graniczne m ogą b y ć scharakteryzow ane przez rów na­ nia analogiczne do równań (3 ), (4) i (5 ), przy założeniu, że m iara gra­ niczna jest "istotn ie ./V-wy mi arowa” , innym i słow y-p ełn a , gdzie przez m iarę p ełn ą w rozum iem y m iarę, która nie jest skoncentrow ana na żadnej ( N — l)-w ym ia row ej hiperpłaszczyzn ie w IR.N . M am y za­ tem następujące charakteryzacje pełn ych m iar operatorow o-stabiln ych , o p era torow o-L ev y ’ ego i op era torow o-p ółsta b iln ych :

T w i e r d z e n i e 5 ([9]) Niech p będzie pełna, p je s t rozkładem operatoro-

w o-stabiłnym wtedy i tylko wtedy, gdy istn ieją: operator liniowy odwra­ calny B działający w śłN i h t G , t > 0 takie, że

(7) p* — e BĄntp * 6 ( h t).

T w i e r d z e n i e 6 ([10]) N iech p będzie pełna, p je s t rozkładem operato-

ro w o -L ev y ’ego wtedy i tylko wtedy, gdy istn ieje operator liniowy odwra­ calny Q działający w taki, że wszystkie jeg o w artości własne mają ujem ne części rzeczyw iste oraz m iary prawdopodobieństwa \t, t > 0

takie, że

(8) p = e tQp * Xt .

T w i e r d z e n i e 7 ([3]) Niech p będzie pełna, p je s t rozkładem operato-row o-półstabilnym ictedy i tylko wtedy, gdy istn ieją: operator liniowy odwracalny A działający w $ł.N , a G (0, 1) i h G takie, że

(9) p a = A p * 6 ( h ) .

Zauważm y, że pow yższe rozw ażania prow adzą do jeszcze jedn ej inte­ resującej klasy rozkładów . Ponieważ rozkłady operatorow o-stabiln e są zawarte zarów no w klasie rozkładów op era torow o-L ev y ’ego jak i w kla­ sie rozkładów op era torow o-p ółsta b iln y ch , zatem naturalne w y d a je się znalezienie opisu ich ” n ajbliższych krew nych” , a m ianow icie klasy roz­ kładów op era to ro w o -L e v y ’ego będących jedn ocześn ie op era torow o-p ół- stabilnym i. O pis taki dany jest przez

T w i e r d z e n i e 8 ([7]) N iech p będzie pełna, p je s t operatorow o-półsta-

bilnym rozkładem o p era torow o-L ev y’ego wtedy i tylko wtedy, gdy p sp eł­ nia równanie (8 ) z operatorem Q ja k w twierdzeniu 6, a \t są pełnym i rozkładam i operatorow o-pólstabilnym i dla każdego t > 0.

C zytelnikow i św iadom em u wielkiej roli funkcji charakterystycznych w teorii pra w d op od ob ień stw a nasuwa się niew ątpliw ie zasadnicze pytanie: czy przedstaw ione w yżej klasy rozkładów granicznych d a ją się scharak­ teryzow ać w języku tych funkcji, tzn. czy m ożn a p o d a ć konkretną p o ­ stać funkcji charakterystycznej dla rozkładów należących do p oszcze­ gólnych klas, tak jak to b y ło m ożliw e dla całej klasy rozkładów nie­ skończenie podzieln ych (tw ierdzenie 1, w zór (1) )? O kazuje się, że opis

taki jest m ożliwy. Ze względu na znaczny stopień kom plikacji nie b ę­ dziem y p rzytaczać tutaj konkretnych w zorów , ograniczając się jed y n ie do wskazówek bibliograficznych. Funkcje charakterystyczne rozkładów operatorow o-stabiln ych om aw iane są w [1], [2], [4], [5], [8], rozkładów operatorow o-p ółstabiln ych — w [6], a op era torow o-p ółsta b iln ych roz­ kładów o p e ra torow o-L ev y ’ego — w [7]. Na zakończenie tego paragrafu zatrzym ajm y się jeszcze nad dw om a p od staw ow ym i problem am i d o­ tyczącym i rozkładów praw dopodobień stw a w 3?^, a m ian ow icie nad istnieniem gęstości i m om entów om awianych miar. Jak się okazuje, za­ rów no rozkłady op era torow o-L ev y ’ ego jak i op era torow o-p ółsta b iln e (a zatem i operatorow o-stabiln e) są absolutnie ciągle w zględem m iary Le- besgu e’ a w 3?A (patrz [1 1] dla rozkładów o p e ra to ro w o -L e v y ’ego i [6] dla rozkładów opera torow o-p ółsta b iln ych ). Zagadnienie istnienia m om en ­ tów zostało rozstrzygnięte dla rozkładów op era torow o-p ółsta b iln y ch (a zatem i op eratorow o-stabiln ych ): rozkłady te m a ją m om en ty rzędu 7

skończone dla 7 < 8 i nieskończone dla 7 > ń, gdzie 6 jest liczbą zw ią­ zana z w łasnościam i spektralnym i op eratora A w równaniu (9) (patrz [6

])-5. U w agi końcowe.

N aszkicowana wyżej teoria "o p e ra to ro w y ch ” rozkładów granicznych jest dziedziną stosunkowo m ło d ą - zapoczątkow ana została on a pracą

[9] w 1969r. Po dokonaniu opisu poszczególn ych klas m iar w języ k u rów ­ nań spełnianych przez od p ow ied n ie rozkłady oraz w języ k u funkcji cha­ rakterystycznych skoncentrow ano się na badaniu konkretnych własności odp ow ied n ich klas rozkładów . Jako przykłady takich w łasności m ożna w ym ienić - p oza przykładam i przedstaw ionym i na końcu poprzedn iego paragrafu - sym etrię rozkładów , istnienie niezależnych rozkładów brze­ gow ych , przedstaw ienia całkow e, związki z procesam i o przyrostach nie­ zależnych, zagadnienia d otyczące ” przyciągan ia” itcl. T eoria ta znala­ zła rów nież dalsze uogólnienia na przypadek nieskończenie w ym iarowy. O m ów ienie ch ociażby części tej problem atyki w artykule takim , jak ni­ niejszy, m a ją cy m przede w szystkim in form a cy jn o-p og lą d ow y charakter, jest zarów no niem ożliw e, jak i niecelowe. A u tor chciał jed y n ie zw rócić uwagę na to, w jaki sposób klasyczne zagadnienia teorii rozkładów nie­ skończenie p od zieln ych prow adzą - p o ich naturalnym uogólnieniu - do* now ych, interesujących rezultatów .

B ibliog rafia

[1] H udson W . N ., Jurek Z. J., Veeh J. A ., The sym m etry group and

exponents o f opera tor stable probability m easures, A nn. P robab.

14 (1986), 1014-1023,

[2] H udson W . N ., M ason J. D ., O perator stable laws, J. M ultivariate Anal. 11 (1981), 434-447,

[3] J aite R ., Sem i-stable probability m easures on , Studia M ath. 61 (1977), 29-30,

[4] Jurek Z. J., R em arks on operator stable probability m easures,

C om m . M ath. 21 (1979), 71-74,

[5] K ucharczak J., R em arks on operator stable m easures, C olloą.

M ath. 34 (1975), 109-119,

[6] Łuczak A ., O perator sem i-stable probability m easures on ,

C olloą . M ath. 45 (1981), 287-300, C orrigenda to "O p e ra to r se­ m i-stable p rob a bility measures on ” ibidem 52 (1987), 167-169,

[7] Łuczak A ., O perator-sem istable operator L e v y ’s m easures on fi-

nite dim ensional v ector spaces, P robab. T h eory R elated Fields 90

(1991), 317-340

[8] Schm idt K ., Stable probability m easures on IRN , Z. W ahrsch. Verw. G ebiete 33 (1975), 19-31,

[9] Sharpe M ., O perator stable probability distributions on uector gro-

ups, Trans. A m er. M ath. Soc. 136 (1969), 51-65,

[10] U rbanik K ., L e v y ’s probability m easures on Euclidean spaces, Stu­ dia M ath. 44 (1972), 119-148,

[11] Y am azato M ., OL distributions on Euclidean spaces, Teor. Vero- ja tn ost. i Prim en. 29 (1984), 3-18.

UN IW E R S Y T E T ŁÓDZKI W Y Ż S Z A SZKOŁA PE D A G O G IC Z N A IN S T Y T U T M A T E M A T Y K I IN S T Y T U T M A T E M A T Y K I

Banacha 22 Chodkiewicza 30 90-238 Łódź, Poland 85-064 B ydgoszcz, Poland