Wst¦p do statystycznej analizy danych (3 inf, 2016/2017)
5. Twierdzenia graniczne
Zad. 5.1 Niech X1, X2, . . .b¦dzie ci¡giem niezale»nych zmiennych losowych o rozkªadach N (0, 1). Oblicz granic¦ prawie wsz¦dzie ci¡gu
Yn = X12+ . . . + Xn2
n .
Zad. 5.2 Niech X1, X2, . . . oraz Y1, Y2, . . . b¦d¡ dwoma ci¡gami niezale»nych zmiennych losowych o rozkªadach odpowiednio E(2) i dyskretnym zadanym nast¦puj¡co:
P (Yi = −1) = 1/2, P (Yi = 0) = 1/3. P (Yi = 1) = 1/6.
Dodatkowo dla ka»dego i zmienne Xi, Yi s¡ niezale»ne. Wyznacz granic¦ P -prawie wsz¦dzie ci¡gu
Zn =
n
P
i=1
XiYi
n
P
i=1
(Xi2+ Yi2) .
Zad. 5.3 Niech X1, X2, . . . b¦d¡ i.i.d. o rozkªadzie jednostajnym na odcinku (0,1). Zna- le¹¢ granic¦ wedªug rozkªadu ci¡gu
X1+ . . . + Xn− n2
√n .
Zad. 5.4 Wydziaª Matematyki chciaªby przyj¡¢ nie wi¦cej ni» 130 kandydatów. Zdaj¡- cych jest 400, a szansa zaliczenia egzaminu wst¦pnego wynosi 0,3. Jakie jest praw- dopodobie«stwo, »e wydziaª b¦dzie miaª kªopoty z nadmiarem studentów?
Zad. 5.5 Rzucamy 10000 razy rzeteln¡ monet¡. Jakie jest przybli»one prawdopodobie«- stwo, »e liczba uzyskanych orªów znajdzie si¦ mi¦dzy 4900 a 5100?
1
Wst¦p do statystycznej analizy danych (3 inf, 2016/2017)
5'. Twierdzenia graniczne - zadania do samodzielnego rozwi¡zania.
Zad. 5'.1 Niech X1, X2, . . . b¦dzie ci¡giem niezale»nych zmiennych losowych o jednako- wym rozkªadzie wykªadniczym E(2). Oblicz granic¦ prawie wsz¦dzie ci¡gu
Yn =
n
P
i=1
Xi2
n
P
i=1
Xi .
Zad. 5'.2 Niech X1, X2, . . . b¦d¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o jednakowym roz- kªadzie jednostajnym na odcinku (0, π). Zbadaj zbie»no±¢ prawie wsz¦dzie ci¡gu
Yn =
n
P
i=1
Xi
n
P
i=1
sin(Xi) .
Zad. 5'.3 Niech X1, X2, . . . b¦d¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o jednakowym roz- kªadzie jednostajnym na odcinku (−π2,π2]. Zbadaj zbie»no±¢ prawie wsz¦dzie ci¡gu
Yn=
n
P
i=1
(Xi+ 1)2
n
P
i=1
cos(Xi) .
Zad. 5'.4 Niech X1, X2, . . . b¦d¡ i.i.d. o rozkªadzie Poissona z parametrem λ. Zbadaj zbie»no±¢ wedªug rozkªadu ci¡gu
X1+ . . . + Xn− nλ
√
nλ .
Zad. 5'.5 Linie lotnicze odnotowaªy po latach do±wiadcze«, »e 1/10 pasa»erów, którzy maj¡ rezerwacj¦ na dany lot, nie zgªasza si¦ do odprawy. Linie te na pewien lot sprze- daªy 441 rezerwacji przy 420 miejscach w samolocie. Jakie jest prawdopodobie«stwo,
»e dla co najmniej 1 pasa»era zabraknie miejsca?
Zad. 5'.6 Na parti¦ A gªosowaªo 20% wyborców. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e sonda»u przeprowadzonym na losowo wybranej próbce 100 osób popularno±¢ partii A przekroczy 22%?
Zad. 5'.7 Prawdopodobie«stwo urodzenia si¦ chªopca wynosi 0,517. Jakie jest praw- dopodobie«stwo, »e w±ród n = 10000 noworodków liczba chªopców nie przewy»szy liczby dziewcz¡t?
2
