5. Twierdzenia graniczne

Wstęp do statystycznej analizy danych

5. Twierdzenia graniczne

Zad. 5.1 Niech X₁, X₂, . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach N (0, 1). Oblicz granicę prawie wszędzie ciągu

Y_n = X₁²+ . . . + X_n²

n .

Zad. 5.2 Niech X₁, X₂, . . . oraz Y₁, Y₂, . . . będą dwoma ciągami niezależnych zmiennych losowych o rozkładach odpowiednio E(2) i dyskretnym zadanym następująco:

P (Y_i = −1) = 1/2, P (Y_i = 0) = 1/3. P (Y_i = 1) = 1/6.

Dodatkowo dla każdego i zmienne X_i, Y_i są niezależne. Wyznacz granicę P -prawie wszędzie ciągu

Z_n =

n

P

i=1

X_iY_i

n

P

i=1

(X_i²+ Y_i²) .

Zad. 5.3 Niech X₁, X₂, . . . będą i.i.d. o rozkładzie jednostajnym na odcinku (0,1). Zna- leźć granicę według rozkładu ciągu

X₁+ . . . + X_n− ⁿ₂

√n .

Zad. 5.4 Wydział Matematyki chciałby przyjąć nie więcej niż 130 kandydatów. Zdają- cych jest 400, a szansa zaliczenia egzaminu wstępnego wynosi 0,3. Jakie jest praw- dopodobieństwo, że wydział będzie miał kłopoty z nadmiarem studentów?

Zad. 5.5 Rzucamy 10000 razy rzetelną monetą. Jakie jest przybliżone prawdopodobień- stwo, że liczba uzyskanych orłów znajdzie się między 4900 a 5100?

1

Wstęp do statystycznej analizy danych

5’. Twierdzenia graniczne - zadania do samodzielnego rozwiązania.

Zad. 5’.1 Niech X1, X2, . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednako- wym rozkładzie wykładniczym E(2). Oblicz granicę prawie wszędzie ciągu

Y_n =

n

P

i=1

X_i²

n

P

i=1

X_i .

Zad. 5’.2 Niech X₁, X₂, . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym roz- kładzie jednostajnym na odcinku (0, π). Zbadaj zbieżność prawie wszędzie ciągu

Y_n =

n

P

i=1

X_i

n

P

i=1

sin(X_i) .

Zad. 5’.3 Niech X₁, X₂, . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym roz- kładzie jednostajnym na odcinku (−^π₂,^π₂]. Zbadaj zbieżność prawie wszędzie ciągu

Y_n=

n

P

i=1

(X_i+ 1)²

n

P

i=1

cos(X_i) .

Zad. 5’.4 Niech X₁, X₂, . . . będą i.i.d. o rozkładzie Poissona z parametrem λ. Zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu

X₁+ . . . + X_n− nλ

√

nλ .

Zad. 5’.5 Linie lotnicze odnotowały po latach doświadczeń, że 1/10 pasażerów, którzy mają rezerwację na dany lot, nie zgłasza się do odprawy. Linie te na pewien lot sprze- dały 441 rezerwacji przy 420 miejscach w samolocie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dla co najmniej 1 pasażera zabraknie miejsca?

Zad. 5’.6 Na partię A głosowało 20% wyborców. Jakie jest prawdopodobieństwo, że sondażu przeprowadzonym na losowo wybranej próbce 100 osób popularność partii A przekroczy 22%?

Zad. 5’.7 Prawdopodobieństwo urodzenia się chłopca wynosi 0,517. Jakie jest praw- dopodobieństwo, że wśród n = 10000 noworodków liczba chłopców nie przewyższy liczby dziewcząt?

2