Wst¦p do statystycznej analizy danych (3 inf, 2010/2011)
5. Mocne Prawo Wielkich Liczb, Centralne Twierdzenie Graniczne
Zad. 5.1 Niech X1, X2. . .b¦dzie ci¡giem niezale»nych zmiennych losowych o jednakowych rozkªadach geometrycznych G(p). Zbadaj zbie»no±¢ P -p.w. ci¡gu
∑n i=1
1 nXi2.
Zad. 5.2 Niech X1, X2, . . .b¦dzie ci¡giem niezale»nych zmiennych losowych o rozkªadzie wykªadniczym z parametrem 1. Zbadaj zbie»no±¢ P -p.w. ci¡gu
∑n i=1
e−Xi
∑n i=1
Xi .
Zad. 5.3 Niech X1, X2, . . .b¦dzie ci¡giem niezale»nych zmiennych losowych o rozkªadzie jednostajnym na odcinku (0, 1). Zbadaj zbie»no±¢ P -p.w. ci¡gu
Yn = (X1X2. . . Xn)n1.
Zad. 5.4 Niech X1, X2, . . .b¦dzie ci¡giem niezale»nych zmiennych losowych o rozkªadzie jednostajnym na odcinku (0, 1). Znale¹¢ granic¦ wedªug rozkªadu ci¡gu
X1+ . . . + X√ n− n2
n .
Zad. 5.5 Rzucamy 2000 razy nieprawidªow¡ monet¡, dla której prawdopodobie«stwo wyrzucenia orªa wynosi 34 a reszki 14. Jakie jest przybli»one prawdopodobie«stwo,
»e liczba wyrzuconych orªów b¦dzie:
a) nie wi¦ksza ni» 1475, b) wynosi¢ conajmniej 1510, c) zawarta pomi¦dzy 1465 a 1535?
Zad. 5.6 Prawdopodobie«stwo wizualnego spostrze»enia sputnika ziemi z okre±lonego punktu obserwacyjnego jest równe 0,1 przy ka»dym locie nad punktem obserwa- cyjnym. Znale¹¢ liczb¦ lotów, jak¡ powinien wykona¢ nad punktem obserwacyjnym sputnik, aby z prawdopodobie«stwem 0,9 liczba spostrze»e« wizualnych sputnika byªa nie mniejsza ni» 10.
1
