0.1
Pierścienie wielomianów
Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z5[X] drugi wielomian określający tę
samą funkcję, co wielomian X2− X + 1. (Odp. np. X5+ X2− 2X + 1).
Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn wielomianów 2X2+3X +2, X4+4X3+
2X2+ 5X + 1 z pierścienia Z6[X]. (Odp. suma: X4+ 4X3+ 4X2+ 2X + 3;
iloczyn: 2X6 + 5X5+ 3X2+ X + 2).
Zadanie 3. Na przykładzie odpowiednio dobranych wielomianów z pier-ścienia Z6[X] wykazać, że stopień iloczynu wielomianów może być mniejszy
od sumy stopni czynników. (Odp. np. (2X2)(3X5) = 0).
Zadanie 4. W pierścieniu Z5[X] wykonać dzielenie (X3+ 2X2+ 4X + 3) :
(3X2+ 2). Uwaga : 3 jest odwracalne w Z
5 i 3−1 = 2. (Odp.: 2X + 4).
Zadanie 5. Wyznaczyć iloraz i resztę z dzielenia wielomianu f przez g, gdy: a) f (X) = 5X3+ 2X2− X − 7, g(X) = X2 + 3X − 1 w Z[X], b) f (X) = 5X3+ 2X2− X − 7, g(X) = X2 + 3X − 1 w Z8[X], c) f (X) = 3X3− 2X + 4, g(X) = X4 + 1 w Z[X]. (Odp. a)5X − 13, 43X − 20; b) 5X + 3, 3X + 4; c) 0, 3X3− 2X + 4).
Zadanie 6. Wielomian o współczynnikach rzeczywistych daje przy dziele-niu przez X − 2 resztę 1, przy dzieledziele-niu zaś przez X − 1 daje resztę 2. Jaką resztę daje ten wielomian przy dzieleniu przez (X − 1)(X − 2)? Wskazówka: reszta przy dzieleniu przez (X − 1)(X − 2) jest wielomianem stopnia < 2, f (X) = (X − 1)(X − 2) · g(X) + aX + b; podstawiając kolejno wartości 1, 2 obliczymy a i b. (Odp. −X + 3).
Zadanie 7. Wielomian o współczynnikach z Z5 daje przy dzieleniu przez
X + 1 resztę 2, przy dzieleniu przez X + 2 — resztę 3, przy dzieleniu przez X + 3 — resztę 1. Jaką resztę daje ten wielomian przy dzieleniu przez (X + 1)(X + 2)(X + 3) ? (Odp. X2+ 2X + 3).
Zadanie 8. Stosując schemat Hornera obliczyć w C[X] iloraz i resztę z dzielenia:
a) X4− 2X3− 4X2− 6X + 8 przez X − 1,
c) 4X3+ X2 przez X + 1 + i,
d) X3− X2− X przez X − 1 + 2i.
(Odp. a) X3 − X2+ 3X − 3, 5, b)2X4 − 6X3+ 13X2− 39X + 109, −327,
c) 4X2− (3 + 4i)X + (−1 + 7i), 8 − 6i, d)X2− 2iX − (5 + 2i), −9 + 8i).
Zadanie 9. Stosując schemat Hornera obliczyć w Z5[X] iloraz i resztę z
dzielenia:
a) 2X4+ 3X3 + X2+ 2X + 4 przez X + 2,
b) 3X5+ 4X2 + 3 przez X + 4.
(Odp. a) 2X3+ 4X2+ 3X + 1, 2, b) 3X4+ 3X3+ 3X2+ 2X + 3, 1).
Zadanie 10. Niech a, b będą dowolnymi elementami pierścienia P . Algo-rytm Euklidesa znajdowania największego wspólnego dzielnika (a, b) polega na wykonywaniu kolejnych dzieleń:
a = bq1+ r1 b = r1q2+ r2 r1 = r2q3+ r3 . . . . rn−2 = rn−1qn+ rn rn−1 = rnqn+1
dopóki nie uzyskamy reszty 0. Ostatnia niezerowa reszta to właśnie (a, b). Ten sam algorytm może służyć do przedstawienia (a, b) explicite przez kombinację sa + tb. Wyznaczyć w pierścieniu R[X] największy wspólny dzielnik d(X) wielomianów f (X) = X5 + X4 + X3 + X2 + X + 1 i g(X) = X4 + X3 +
2X2 + X + 1 i przedstawić go w postaci d(X) = a(X)f (X) + b(X)g(X).
(Odp. d(X) = 2(X2+ X + 1) i d(X) = (X + 1)f (X) + (−X2− X + 1)g(X)). Zadanie 11. Wyznaczyć w pierścieniu R[X] największy wspólny dzielnik d(X) wielomianów:
a) f (X) = X4+ X3+ 2X2+ X + 1 i g(X) = X3− 1, b) f (X) = X33− 1 i g(X) = X18− 1
i przedstawić go w postaci d(X) = a(X)f (X) + b(X)g(X). (Odp. a) d(X) = 2(X2+ X + 1) i d(X) = f (X) − (X + 1)g(X); b) d(X) = X3− 1 i d(X) = −X3f (X) + (X18+ 1)g(X) ).
Zadanie 12. Dowieść, że każdy skończony zbiór wielomianów nad ciałem ma największy wspólny dzielnik będący ich kombinacją liniową.
0.2
Pierwiastki wielomianów, rozkład wielomianu
Zadanie 1. Wykazać, że wielomian X2−1 ∈ Z15[X] ma cztery pierwiastki.(Odp. 1, 4, 11, 14).
Zadanie 2. Co trzeba założyć o pierścieniu P aby prawdziwe było poniższe twierdzenie.
Twierdzenie 1 . Jeżeli a1, . . . , ansą różnymi pierwiastkami wielomianu f ∈
P [X] o krotnościach odpowiednio m1, . . . , mn , to m1+ · · · + mn¬ m, gdzie
m = deg f .
Zadanie 3. Przedstawić wielomian X4 + 3X3 + X2 + X + 2 ∈ Z
4[X] w
postaci iloczynu wielomianów stopnia pierwszego. (Odp. (X − 1)(X − 2)(X − 3)2 = (X − 1)3(X − 2) — rozkład niejednoznaczny!).
Zadanie 4. Udowodnić poniższe twierdzenie.
Twierdzenie 2 . Jeśli ułamek nieskracalny p/q jest pierwiastkiem
wielo-mianu
f (X) = a0+ a1X + · · · + anXn,
gdzie liczby a0, a1, . . . , an są całkowite, to p|a0 i q|an.
Uwaga. Często stosuje się następujący wniosek z tego twierdzenia: jeśli
an = 1, to każdy wymierny pierwiastek wielomianu f jest liczbą
całkowi-tą, która dzieli wyraz wolny a0. Mniej znane jest twierdzenie ”pokrewne”:
jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych daje się przedstawić jako ilo-czyn dwu wielomianów o współilo-czynnikach wymiernych, to daje się on też przedstawić jako iloczyn dwu wielomianów o współczynnikach całkowitych. To twierdzenie pochodzi od Gaussa i dowód jego jest trudniejszy, niż się to wydaje na pierwszy rzut oka.
Zadanie 5. Wykazać, że wielomian f (X) = X4−2X3+8X +1 ∈ Q[X] jest
nierozkładalny nad Q. Wskazówka: wykorzystać zadanie poprzednie; udowod-nić, że f (X) nie może mieć czynnika liniowego, ani też nie może mieć dwu czynników kwadratowych.
Zadanie 6. Czy: a) Q[X]/(X2− 5X + 6); b) Q[X]/(X2− 6X + 6), jest
cia-łem? (Odp. a) nie, bo wielomian jest rozkładalny nad Q; b) tak, bo wielomian jest nierozkładalny nad Q).
0.3
Rozszerzenia ciał
Zadanie 1. Które z następujących liczb są algebraiczne? (w przypadku liczb algebraicznych określić stopień):
a) 1 +√2 +√3, b) √6 3 +√3, c) 1 +√π, d) 1 +√2 +√4 +√8 + · · · +√2n−1, e) √4 5 +√5.
Przykładowo dla b: niech y = √6
3 +√3. Wtedy y −√3 = √6
3; po pod-niesieniu do potęgi trzeciej i uporządkowaniu y3 + 9y = 3√3y2 + 4√3, a po podniesieniu do kwadratu i uporządkowaniu y6− 9y4+ 9y2− 48. Jest to
wielomian minimalny liczby y.
Zadanie 2. Ciałem rozkładu wielomianu f nad ciałem K nazywamy naj-mniejsze rozszerzenie ciała K zawierające wszystkie pierwiastki wielomianu f . Znaleźć rozszerzenie ciała Q będące ciałem rozkładu wielomianu:
a) X2− 2,
b) X3− 2,
c) X4− 2, d) X4+ 2,
e) X4+ X2+ 1.
Ustalić stopień każdego z tych rozszerzeń nad Q. Przykładowo dla b : liczba √3
2 jest pierwiastkiem wielomianu X3 − 2,
który rozkłada się nad ciałem Q(√3
2) : X3− 2 = (X −√3
2)(X2+√3
2X +√3
4). Ostatni czynnik pozostaje nierozkładalny nad Q(√3
2), gdyż jego pierwiastki nie są liczbami rzeczywistymi. Są to liczby
ε√32 i ε2√3 2 , gdzie ε = −1 + i √
3
Najmniejszym ciałem, nad którym wielomian X3−2 rozkłada się na czynniki
liniowe, jest ciało
Q(3 √
2, ε√3 2) = Q(√32, ε),
będące rozszerzeniem stopnia szóstego ciała Q, gdyż powstaje przez dołącze-nie elementu algebraicznego stopnia drugiego do rozszerzenia Q(√3
2) mają-cego stopień trzeci nad Q.
Zadanie 3. Wyznaczyć ciało rozkładu wielomianu X2+ 1 nad Z 3.
Rozwiązanie. W poprzednim zadaniu znaliśmy pierwiastki wielomianów. Tutaj ich nie znamy. Niech więc a oznacza pierwiastek wielomianu X2+ 1.
Rozszerzenie o ten pierwiastek jest ciałem 9-elementowym: {0, 1, 2, a, a+1, a+ 2, 2a, 2a + 1, 2a + 2}, gdzie a2 = 2. Łatwo sprawdzić, że drugim pierwiastkiem
jest 2a.
Zadanie 4. Wyznaczyć ciało rozkładu wielomianu X3+ X + 1 nad Z 2.
Zadanie 5. Dowieść, że ciało rozkładu wielomianu stopnia n ma stopień co najwyżej n!. Zadanie 6. Przedstawić 1/(√3 4+√3 2−1) w postaci b0+b1 3 √ 2+b2 3 √ 4. Wska-zówka:posłużyć się metodą współczynników nieoznaczonych. ( Odp. b0 =
−1/11, b1 = 3/11, b2 = 2/11).
Zadanie 7.i) Rozważmy wielomian X3− 6X2+ 9X + 3 nierozkładalny nad
Q. Niech a oznacza pierwiastek tego wielomianu. Wtedy elementy 1, a, a2 tworzą bazę rozszerzenia Q(a). Wyrazić w tej bazie element a4 . Wskazówka:
podzielić X4 przez X3− 6X2+ 9X + 3; (odp. 27a2− 57a − 18).
ii) Wyrazić w tej samej bazie elementy a) a5, b)3a5− a4+ 2, c)1/(a + 1),
d)1/(a2− 6a + 8). Wskazówka do c): wielomiany X + 1, X3− 6X2+ 9X + 3 są
względnie pierwsze. Za pomocą algorytmu Euklidesa znajdujemy r(X), s(X) takie, że r(X)(X + 1) + s(X)(X3− 6X2+ 9X + 3) = 1. Podstawiając X = a
wywnioskujemy, że 1/(a + 1) = r(a).
0.4
Ciała skończone
Zadanie 1. Dowieść, że liczba elementów ciała skończonego o charaktery-styce p jest potęgą liczby p. Wskazówka: uzasadnić, że jeśli K jest podciałem ciała skończonego L, to rząd ciała L jest potęgą rzędu ciała K.
Zadanie 2.a) Dowieść, że istnieje dokładnie (p2− p)/2 wielomianów
policzyć wszystkie wielomiany oraz wielomiany, które mają jeden pierwiastek i wielomiany, które mają dwa pierwiastki.
b) Dowieść, że dla każdego p istnieje ciało o charakterystyce p mające p2 elementów.
Zadanie 3. Skonstruować ciało GF (16) = GF (24) następująco:
a) znaleźć wielomian nierozkładalny stopnia 4; (można to zrobić wypi-sując kolejno wielomiany stopnia 1, 2, 3 i obliczając ich iloczyny; wielomian, który nie da się otrzymać w ten sposób, jest nierozkładalny;
b) wybrać dowolny z tych wielomianów; oznaczmy go p(X);
c) ciało GF (16) można reprezentować przez klasy reszt wielomianów modulo p(X); mnożeniu elementów ciała odpowiada mnożenie wielomianów, po którym następuje redukcja iloczynu modulo p(X).
0.5
Pierwiastki z jedności
Zadanie 1. Udowodnić, że jeśli Un jest zbiorem pierwiastków z jedności
stopnia n należących do ciała K, to (Un, ·) jest grupą. Jej rząd nie przekracza
n, gdy ch(K)=0, i nie przekracza największego dzielnika liczby n względnie pierwszego z p, gdy ch(K)= p 6= 0.
Zadanie 2. Prawdziwe jest twierdzenie: Grupa Un pierwiastków z jedności
stopnia n należących do ciała K jest cykliczna. Wykorzystując to wykazać, że grupa multyplikatywna ciała skończonego jest cykliczna. Wywnioskować następnie,że jeśli K jest ciałem skończonej charakterystyki p, to istnieje takie c ∈ K, że K = Zp(c).
!["Nauka prawa kanonicznego w Polsce w XVIII i XIX wieku", Aleksy Petrani, Lublin 1961 : [recenzja]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)