Szeregi liczbowe

(1)

WICZENIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ ZADANIA SZEREGI LICZBOWE

1. Zbada¢ zbie»no±¢ nast¦puj¡cych szeregów: I (bez stosowania kryteriów zbie»no±ci)

a) P+∞ n=1q n_{, b)} P+∞ n=1 1 n(n+1), c) P+∞ n=1 1 √ n. II (z denicji) a) _1·41 + _4·71 + . . . +_{(3n−2)(3n+1)}1 + . . . , b) P+∞ n=1( √ n + 2 − 2√n + 1 +√n). III (szereg harmoniczny uogólniony)

a) P+∞ n=1 1 2n−1, b) P+∞ n=1 1 n√n+1, c) P+∞ n=1 1 √ (2n−1)(2n+1). IV (tw. Cauchy'ego) a) P+∞ n=1 cos nx−cos(n+1)x n , b) P+∞ n=1 cos xn n2 , c) P+∞ n=1 1 n, d) P+∞ n=1(−1) n 1 n, e) P+∞ n=1 1 √ n(n+1). V (kryteria zbie»no±ci) a) P+∞ n=1 1+(−1)n 2n , b) P+∞ n=1 2+(−1)n 2n , c) P+∞ n=1 n3₍√₂₊₍₋₁₎n₎n 3n , d) P+∞ n=1 (n!)2 2n2 , e) P+∞ n=1 nx (1+x2₎n, f ) P+∞ n=1 nn+ 1n (n+_n1)n, g) P+∞ n=1sin 1 ntg 1 n, h) P+∞ n=1( 2n+1 3n+1) 1 2n, i) P+∞ n=1 1 n( 3 5) n_, j) P+∞ n=1ln( n2₊₁ n2 ), k) P+∞ n=1an,

gdzie an = _n1 dla n = m2 i an = _n12 dla n 6= m2.

VI (zbie»no±¢ warunkowa i bezwzgl¦dna) a) P+∞ n=1(−1) n+1 1 2n−1, b) P+∞ n=1(−1) n 1 (2n−1)2, c) P+∞ n=1(−1) n+1 1 ln(n+1), d) P+∞ n=1(−1) n+1 2n2 n! , e) P+∞ n=1(−1) n+1 2n (n−1_n )n2.

2. Wykaza¢, »e je±li szeregi P+∞

n=1an i P +∞

n=1bn s¡ zbie»ne, to dla α, β ∈ R

zbie»ny jest szereg P+∞

n=1(αan+ βbn) oraz +∞ X n=1 (αan+ βbn) = α +∞ X n=1 an+ β +∞ X n=1 bn).

Czy twierdzenie odwrotne jest prawdziwe? 3. Wykaza¢, »e je±li szereg P+∞

n=1|an|jest zbie»ny, to zbie»ny jest te» szereg

P+∞

n=1an.

(2)

4. Pokaza¢, »e je±li szeregi P+∞ n=1a 2 n i P +∞ n=1b 2

n s¡ zbie»ne, to zbie»ne s¡ te»

szeregi: a) P+∞ n=1|anbn|, b) P +∞ n=1(an+ bn) 2_{, c) P}+∞ n=1 |an| n . 5. Pokaza¢, »e: ∞ X n=0 xn n! · ∞ X n=0 yn n! = ∞ X n=0 (x + y)n n! . 6. Zbada¢ zbie»no±¢ szeregów:

a) 1 + 1₂ +1₃ − 1 4 − 1 5 − 1 6 + 1 7 + 1 8 + 1 9 − . . . , b) P+∞ n=1 (−1) n(n−1) 2 2n c) P+∞ n=1 ln100n n sin πn 4 , d) P+∞ n=1 cosπn2 n+1 ln2n , e) P+∞ n=1sin(π √ n2_{+ k}2_).

7. Znale¹¢ kwadrat szeregu P+∞ n=1

(−1)n+1

√

n . Czy jest to szereg zbie»ny?

8. Pokaza¢, »e: a) P+∞ n=0q n2 =P+∞ n=0(n + 1)q n b) P+∞ n=0 1 n! P+∞ n=0 (−1)n n! = 1.

CIGI I SZEREGI FUNKCYJNE 9. Zbada¢ jednostajn¡ zbie»no±¢ ci¡gu:

a) fn(x) = xn(1 − xn), 0 ≤ x ≤ 1

b) fn(x) = _nx1 , 0 < x ≤ 1

c) gn(x) = _x12, 0 < x < 1

d) hn(x) = x(1 − 1_n), 0 < x < 1

e) gnhn, gn jak w c), hn jak w d).

10. Dany jest ci¡g fn : [a; b] −→ R zbie»ny jednostajnie do f . Pokaza¢, »e

ci¡g {|fn|} zbiega jednostajnie do |f|.

11. Czy je±li ci¡g {|fn|} jest zbie»ny jednostajnie to ci¡g {fn} jest zbie»ny

jednostajnie lub punktowo?

12. Dany jest ci¡g fn : [a; b] −→ R funkcji ci¡gªych zbie»ny jednostajnie do

f. Pokaza¢, »e

∀x0∈[a;b] ∀{xn}⊂[a;b] lim

n→+∞xn= x0 ⇒ limn→+∞(fn(xn)) = f (x0).

13. Poda¢ przykªad ci¡gu funkcyjnego funkcji ci¡gªych zbie»nego punktowo do f i ci¡gu xn→ x0 takiego, »e limn→+∞(fn(xn)) 6= f (x0).

(3)

14. Zbada¢ zbie»no±¢ i zbie»no±¢ jednostajn¡ ci¡gów funkcyjnych: a) fn(x) = n( q x + 1_n−√x), x ∈ (0; +∞) b) fn(x) =arctan nx, x ∈ R c) fn(x) = n √ 1 + xn, x ∈ [0; +∞) d) fn(x) = nx(1 − x)n, x ∈ [0; 1] e) fn(x) = √ x + n + 1 −√x + n, x ∈ R+ f) fn(x) = xn(1 − xn), x ∈ [0; 1]

15. Zbada¢ zbie»no±¢ i zbie»no±¢ jednostajn¡ szeregów: a) P+∞ n=1 1 x2_+n2, x ∈ R b) P+∞ n=1 (−1)n x+2n, x ∈ (−2; +∞) c) P+∞ n=1 sin(nx) n√n , x ∈ R d) P+∞ n=0(1 − x)x n_{, x ∈ [0; 1]} e) P+∞ n=1 x2 n4_+x4, x ∈ R f) P+∞ n=1 xn n, x ∈ [0; 1) g) P+∞ n=1 1 x2_−n2, x ∈ R

16. Pokaza¢, »e je±li fn : (a; b) −→ R,P+∞_n=1|fn(x)|jest zbie»ny jednostajnie,

to P+∞

n=1fn(x) jest zbie»ny jednostajnie.

17. Wyznaczy¢ promie« zbie»no±ci szeregu pot¦gowego, zbada¢ zbie»no±¢ na ko«cach przedziaªu: a) P+∞ n=1 xn n b) P+∞ n=1(2 + (−1) n₎n_xn c) P+∞ n=1 xn n2 d) P+∞ n=1(n − 1)3 n−1_xn−1 3