6.3.DZIAŁANIA NA WYRAśENIACH WYMIERNYCH
Działania na wyraŜeniach wymiernych wykonujemy analogicznie jak działania na
ułamkach.
Dodawanie i odejmowanie wyraŜeń wymiernych polega na sprowadzeniu ich do wspólnego
mianownika , a następnie dodaniu lub odjęciu liczników i przepisaniu wspólnego
mianownika.
Przykład 6.3.1 Wykonaj działania:
a)
2
4
4
+
−
−
−
x
x
x
x
Rozwiązanie
Komentarz
4 / 2 /2
4
4
− ⋅ + ⋅+
−
−
−
xx
xx
x
x
=
=(
)
(
)(
)
(
4
(
)(
)
2
)
4
2
4
2
4
+
−
−
−
−
+
−
+
x
x
x
x
x
x
x
x
=WyraŜenia sprowadzamy do wspólnego mianownika. Najmniejszym wspólnym mianownikiem jest
(
x
−
4
)(
x
+
2
)
. Dlatego wyraŜenie4
4
−
x
x
rozszerzamy przez
x
+
2
, natomiast wyraŜenie2
+
−
x
x
przezx
−
4
. =(
) (
)
(
4
)(
2
)
4
2
4
+
−
−
+
+
x
x
x
x
x
x
= =(
4
)(
2
)
4
8
4
2 2+
−
−
+
+
x
x
x
x
x
x
= =(
4
)(
2
)
4
5
2+
−
+
x
x
x
x
Odejmujemy liczniki, wspólny mianownik przepisujemy.
b)
x
x
x
x
−
+
+
2 24
3
Rozwiązanie
Komentarz
(
1
)
2+
=
+
x
x
x
x
(
1
)
2−
=
−
x
x
x
x
(
)
/ 1(
1
)
/ 14
1
3
+ ⋅ − ⋅+
−
+
xx
x
xx
x
=
=
(
)
(
)(
)
(
(
1
)(
)
1
)
1
4
1
1
1
3
+
−
+
+
+
−
−
x
x
x
x
x
x
x
x
=
WyraŜenia sprowadzamy do wspólnego mianownika. Aby znaleźć najmniejszy wspólny mianownik rozkładamy oba mianowniki na czynniki.
Najmniejszym wspólnym mianownikiem jest
(
x
−
1
)(
x
+
1
)
x
. Dlatego wyraŜenie(
1
)
3
+
x
x
rozszerzamyprzez
x
−
1
, natomiast wyraŜenie(
1
)
4
−
x
x
przezx
+
1
. =(
) (
)
(
1
)(
1
)
1
4
1
3
+
−
+
+
−
x
x
x
x
x
=(
1
)(
1
)
4
4
3
3
+
−
+
+
−
x
x
x
x
x
=(
1
)(
1
)
1
7
+
−
+
x
x
x
x
Odejmujemy liczniki, wspólny mianownik przepisujemy.
Upraszczamy licznik
c)
2
1
2
1
1
1
2 2−
+
x
+
x
+
−
x
Rozwiązanie
Komentarz
(
1
)(
1
)
1
2−
=
x
−
x
+
x
(
)
2 2+
2
x
+
1
=
x
+
1
x
(
)(
)
(
)
( )( )
2 1 1 / 1 / 2 1 /1
2
1
1
1
1
1
+ − ⋅ − ⋅ + ⋅+
+
−
+
−
x
xx
x x xx
=
=
(
)
(
)(
)
(
(
)(
)
)
(
(
)(
)(
)
)
2 2 2 21
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
+
−
+
−
−
+
−
−
+
+
−
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
WyraŜenia sprowadzamy do wspólnego mianownika.Aby znaleźć najmniejszy wspólny mianownik rozkładamy oba mianowniki na czynniki. Najmniejszym wspólnym mianownikiem jest
(
x
−
1
)(
x
+
1
)
2. Dlatego wyraŜenie(
1
)(
1
)
1
+
−
x
x
rozszerzamy przez
x
+
1
, wyraŜenie(
)
21
1
+
x
przezx
−
1
.,natomiast wyraŜenie1
2
przez(
x
−
1
)(
x
+
1
)
2.(
)(
)
(
)(
)
(
(
−
)(
)
(
+
)
)
=
+
+
−
−
=
+
−
+
−
−
−
+
+
2 2 2 21
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(
−
)(
+
)
=
+
+
+
−
−
−
2 2 2 31
1
2
4
2
2
4
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
(
)(
)
2 2 31
1
2
4
2
2
+
−
+
+
−
−
x
x
x
x
x
Wykonujemy działania na licznikach, wspólny mianownik przepisujemy.
MnoŜenie wyraŜeń wymiernych wykonujemy mnoŜąc przez siebie liczniki oraz mnoŜąc
przez siebie mianowniki.
Jeśli to moŜliwe przed przystąpieniem do mnoŜenia, moŜemy skracać liczniki z
mianownikami
Przykład 6.3.2. Wykonaj działanie:
9
2
6
3
3
2 2−
+
⋅
+
−
x
x
x
x
x
Rozwiązanie
Komentarz
(
3
)
3
2−
=
−
x
x
x
x
(
2
)
3
6
3
x
+
=
x
+
(
3
)(
3
)
9
2−
=
−
+
x
x
x
Aby skrócić wyraŜenie, liczniki i mianowniki rozkładamy na czynniki
9
2
6
3
3
2 2−
+
⋅
+
−
x
x
x
x
x
=
(
)
(
) (
3
)(
3
)
2
2
3
3
+
−
+
⋅
+
−
x
x
x
x
x
x
=
=
9
3
3
1
3
⋅
+
=
x
+
x
x
x
Skracamy wyraŜeniax
+
2
ix
−
3
. MnoŜymy licznik przez licznik oraz mianownik przez mianownikDzielenie wyraŜeń wymiernych zastępujemy mnoŜeniem pierwszego wyraŜenia przez
odwrotność drugiego.
Przykład 6.3.3. Wykonaj działanie:
4
2
2
6
:
2
2
2 3 3 2+
−
+
+
+
x
x
x
x
x
x
x
Rozwiązanie
Komentarz
3 2 3 26
4
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
⋅
−
+
Zamieniamy dzielenie na mnoŜenie pierwszego wyraŜenia przez odwrotność drugiego.
2
2+
−
x
x
2
;
1
;
1
=
=
−
=
b
c
a
( )
2
9
1
4
1
2−
⋅
⋅
−
=
=
∆
2
2
4
1
2
9
1
1=
−
−
=
⋅
−
−
=
x
1
2
2
1
2
9
1
1⋅
=
=
+
−
=
x
(
2
)(
1
)
2
2+
−
=
+
−
x
x
x
x
Aby skrócić wyraŜenie, liczniki i mianowniki rozkładamy na czynniki.
Do rozkładu
x
2+
x
−
2
stosujemy wzory∆
=
b
2−
4
⋅
a
⋅
c
a
b
x
a
b
x
2
;
2
2 1∆
+
−
=
∆
−
−
=
(
x
x
1)(
x
x
2)
a
−
−
(
2
) (
2
2
) (
2
)
( )
2
4
2
2
2 2 2 3+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
Do rozkładux
3+
2
x
2+
2
x
+
4
stosujemy metodę grupowania wyrazów
3 2 3 2
6
4
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
⋅
+
+
+
−
+
=
=
(
)(
)
(
x
)
( )
x
x
x
x
x
x
2
3
2
2
1
2
2
2 2⋅
+
+
⋅
−
+
=
=
2 23
2
1
1
x
x
x
+
⋅
−
=
3 2 23
3
2
x
x
x
−
+
Skracamy wyraŜeniax
+
2
i2
x
. MnoŜymy licznik przez licznik oraz mianownik przez mianownikWykonując
działania łączne na wyraŜeniach wymiernych musimy pamiętać o kolejności
wykonywania działań.
Przykład 6.3.4.Wykonaj działanie:
+
−
−
24
1
:
2
3
2
x
x
x
x
Rozwiązanie
Komentarz
+
−
−
⋅ ⋅ − ⋅ / 2 / 2 /4
1
:
2
3
2
x
x
x
x
x x x=
=
(
)
(
) (
)
+
−
−
−
−
2 24
:
2
3
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
=
(
)
(
−
)
+
=
−
−
24
:
2
3
2
2
x
x
x
x
x
x
=
(
−
)
+
=
−
−
24
:
2
3
4
2
x
x
x
x
x
x
=
(
−
)
+
=
−
−
24
:
2
4
x
x
x
x
x
Wykonujemy działania w nawiasach. Wspólnym mianownikiem wyraŜeń
2
3
;
2
−
x
x
jestx
(
x
−
2
)
.Wspólnym mianownikiem wyraŜeń
2
4
;
1
x
x
jest 2x
.=
(
)
(
)
+
=
⋅
⋅
−
+
−
4
2
4
x
x
x
x
x
x
=
1
2
1
x
x
−
⋅
−
=
=
2
−
−
x
x
Zamieniamy dzielenie na mnoŜenie pierwszego wyraŜenia przez odwrotność drugiego.
Skracamy wyraŜenia
x
+
4
ix
MnoŜymy licznik przez licznik oraz mianownik przez mianownikĆWICZENIA
Ćwiczenie 6.3.1. (2pkt.)Wykonaj działanie:
2
2
1
3
3
5
+
−
+
+
x
x
x
x
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Ustalenie najmniejszego wspólnego mianownika.
1
2 Wykonanie działania
1
Ćwiczenie 6.3.2. (2pkt.) Wykonaj działanie:
2
3
2
2
2
x
x
x
+
−
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Ustalenie najmniejszego wspólnego mianownika.
1
2 Wykonanie działania
1
Ćwiczenie 6.3.3. (2pkt.) Wykonaj działanie:
18
12
2
6
2
9
6
6
2
2 2+
+
−
⋅
+
−
+
x
x
x
x
x
x
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 RozłoŜenia liczników i mianowników na czynniki.
1
2 Wykonanie działania i przedstawienie wyniku wnajprostszej postaci.
1
Ćwiczenie 6.3.4. (2pkt.) Wykonaj działanie:
2 2 2
2
4
:
12
32
2
x
x
x
x
x
−
−
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 RozłoŜenia liczników na czynniki.
1
2 Wykonanie działania i przedstawienie wyniku w
Ćwiczenie 6.3.5. (3pkt.) Wykonaj działanie:
−
−
−
+
+
+
+
−
1
2
1
1
:
1
1
4
2x
x
x
x
x
x
x
x
x
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Wykonanie działania w pierwszym nawiasie.
