Caªkowanie funkcji wymiernych.

Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej.

Caªkowanie funkcji wymiernych.

Informacje pomocnicze:

Denicja 1. (uªamki proste) Wyra»enia postaci

A

(dx + e)ⁿ, gdzie A, d, e ∈ R, n ∈ N nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju.

Wyra»enia postaci

Bx + C

(ax² + bx + c)^k, gdzie B, C, a, b, c ∈ R, k ∈ N, oraz ∆ = b²− 4ac < 0 nazywamy uªamkami prostymi drugiego rodzaju.

Przypomnijmy znan¡ ju» denicj¦:

Denicja 2. Funkcj¡ wymiern¡nazywamy iloraz dwóch wielomianów:

f (x) = P_n(x) Q_m(x)

gdzie Pn(x)jest wielomianem stopnia n, a Qm(x) to wielomian stopnia m. Ponadto je»eli n < m, to tak¡ funkcj¦ nazywamy funkcj¡ wymiern¡ wªa±ciw¡.

Twierdzenie 3. Ka»d¡ funkcj¦ wymiern¡ wªa±ciw¡ postaci:

W (x) = P_n(x)

Qm(x), gdzie n < m (1)

mo»na w sposób jednoznaczny rozªo»y¢ na sum¦ uªamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju.

Algorytm rozkªadania na uªamki proste funkcji wymiernej wªa±ciwej:

1. Wielomian Q(x) z mianownika wyra»enia wymiernego W (x) = ^{P (x)}_Q(x) zgodnie z wªasno±ci¡:

wielomian rzeczywisty jednej zmiennej mo»na rozªo»y¢ na iloczyn wielomianów rzeczywistych co najwy»ej drugiego stopnia; rozkªadamy do postaci:

Q(x) = qm(x − e1)ⁿ¹(x − e2)ⁿ²· · · (x − el)^nl· (x²+ b1x + c1)^k1. . . (x² + brx + cr)^kr, gdzie δi = b²_i − 4c_i < 0 dla i = 1, 2, ...., r.

2. Wspóªczynnik qm przyjmujemy, »e jest równy 1. Mo»na tak zrobi¢, o ile podzielimy licznik i mianownik wyra»enia W (x) przez qm.

3. Wyra»enie W (x) rozkªadamy w nast¦puj¡cy sposób na sum¦ uªamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju:

W (x) = P (x)

Q(x) = p_nxⁿ+ p_n−1xⁿ⁻¹+ . . . + p₁x + p₀

(x − e₁)ⁿ¹(x − e₂)ⁿ²· · · (x − e_l)^nl· (x²+ b₁x + c₁)^k1. . . (x²+ b_rx + c_r)^kr

= A₁ x − e1

+ A₂

(x − e1)² + · · · + A_n1

(x − e1)ⁿ¹ + . . . + B₁ x − el

+ B₂

(x − el)² + · · · + B_nl (x − el)^nl + C₁x + D₁

x²+ b₁x + c₁ + C₂x + D₂

(x²+ b₁x + c₁)² + · · · + C_k1x + D_k1 (x²+ b₁x + c₁)^k1 + · · · + E₁x + F₁

x²+ b_rx + c_r + E₂x + F₂

(x²+ b_rx + c_r)² + · · · + E_krx + F_kr

(x²+ b_rx + c_r)^kr (2) 4. Aby wyznaczy¢ wspóªczynniki A1, A₂, . . . , B₁, B₂, . . . C₁, D₁, . . . , E_kr, F_krnale»y sprowadzi¢ praw¡

stron¦ (2) do wspólnego mianownika, a nast¦pnie porówna¢ licznik otrzymanego wyra»enia z wielomianem P (x) tzw. metoda wspóªczynników nieoznaczonych.

5. Caªki uªamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju wyliczmy jak poni»ej.

Uwaga 4. Je»eli W (x) = ^{P (x)}_Q(x) oraz stopie« wielomianu P (x) jest niemniejszy od stopnia wielo- mianu Q(x) to najpierw nale»y podzieli¢ wielomian P (x) przez Q(x). Je»eli w wyniku tego dzielenia otrzymamy wielomian Z(x) oraz reszt¦ z dzielenia R(x), to wówczas mo»emy zapisa¢:

P (x)

Q(x) = Z(x) + R(x)

Q(x). (3)

Obliczanie caªki uªamków prostych pierwszego rodzaju

Obliczanie caªek uªamków prostych pierwszego rodzaju wykonujemy przez podstawianie:

Z A

(ax + b)ⁿdx    

ax + b = t adx = dt

= A a

Z 1

tⁿdt = A a

1

1 − nt¹⁻ⁿ = A a

1

1 − n(ax + b)¹⁻ⁿ dla n 6= 1.

Dla n = 1 stosujemy wzór R _ax+b¹ dx = ¹_aln |ax + b| + c.

Obliczanie caªki uªamków prostych drugiego rodzaju

Z Ax + B

(ax²+ bx + c)ⁿdx, (4 = b²− 4ac < 0).

Powy»sz¡ caªk¦ przedstawiamy w postaci:

Z Ax + B

(ax²+ bx + c)ⁿdx = C

Z 2ax + b

(ax²+ bx + c)ⁿdx +

Z D

(ax²+ bx + c)ⁿdx.

Pierwsz¡ caªk¦ liczymy stosuj¡c podstawienie ax² + bx + c = t, a drug¡ sprowadzamy do postaci kanonicznej

Z D

[a(x − p)²+ q]ⁿdx,



p = − b

2a, q = −4 4a



; nast¦pnie wykonuj¡c podstawienie x − p = p|^q_a| · t, mamy

Z D

(t²+ 1)ⁿdt.

T¡ caªk¦ (dla n ≥ 2) liczymy stosuj¡c wzór indukcyjny (patrz Przykªad 6):

Z 1

(t²+ 1)ⁿdt = 1

2n − 2 · t

(t²+ 1)ⁿ⁻¹ + 2n − 3 2n − 2

Z 1

(t²+ 1)ⁿ⁻¹dt.

Przykªad 5. Wyprowadzimy tzw. wzory redukcyjne na R cosⁿxdx oraz R sinⁿxdx :

R cosⁿxdx =R cosⁿ⁻¹x cos xdx =    

f = cosⁿ⁻¹x g⁰ = cos x f⁰ = −(n − 1) cosⁿ⁻²x · sin x g = sin x

=

= sin x cosⁿ⁻¹x+(n−1)R cosⁿ⁻²x sin²xdx = sin x cosⁿ⁻¹x+(n−1)R cosⁿ⁻²x(1−cos²x)dx,

zatem Z

cosⁿxdx = sin x cosⁿ⁻¹x + (n − 1) Z

cosⁿ⁻²xdx − (n − 1) Z

cosⁿxdx, wi¦c

n Z

cosⁿxdx = sin x cosⁿ⁻¹x + (n − 1) Z

cosⁿ⁻²xdx, ostatecznie

Z

cosⁿxdx = 1

nsin x cosⁿ⁻¹x +n − 1 n

Z

cosⁿ⁻²xdx, Post¦puj¡c analogicznie otrzymamy:

Z

sinⁿxdx = −1

ncos x sinⁿ⁻¹x +n − 1 n

Z

sinⁿ⁻²xdx.

Przykªad 6. Wyprowadzimy wzór indukcyjny na obliczenie caªkiR _(x2^dx+1)ⁿ. R _dx

(x²+1)ⁿ =    

x = tg t dx = _cos¹2tdt

=R ₁

(tg²t+1)ⁿ ·_cos¹2tdt =R cos²ⁿ⁻²tdt =

= Z

cosⁿxdx = 1

nsin x cosⁿ⁻¹x +n − 1 n

Z

cosⁿ⁻²xdx =

= _2n−2¹ sin t cos²ⁿ⁻³t + ²ⁿ⁻³_2n−2R cos²ⁿ⁻⁴tdt =

= _2n−2¹ cos²ⁿ⁻²t tg t +²ⁿ⁻³_2n−2 R cos²ⁿ⁻⁴tdt =

= _2n−2¹ _(1+tg2¹t)ⁿ⁻¹ tg t +²ⁿ⁻³_2n−2 R ₁

(1+tg²t)ⁿ⁻¹ 1 cos²tdt =

= _2n−2¹ _(1+x^x2)ⁿ⁻¹ +²ⁿ⁻³_2n−2R ₁

(1+x²)ⁿ⁻¹dx.

Z dx

(x²+ 1)ⁿ = 1 2n − 2

x

(1 + x²)ⁿ⁻¹ +2n − 3 2n − 2

Z 1

(1 + x²)ⁿ⁻¹dx, n ≥ 2 .

Otrzymali±my tutaj tzw. wzor indukcyjny za pomoc¡ którego sprowadzimy obliczenia z pot¦gi n do n − 1. Post¦pujemy tak, a» otrzymamy potg¦ 1. Wówczas stosujemy wzór R _1+x¹²dx = arctg x + c.

W obliczeniach skorzystali±my z: tg²t + 1 = ^sin_cos²2^tt+ 1 = ^sin2_cos^t+cos2t ^2t = _cos¹2t.

Przykªad 7. Oblicz: R ^x_x^+x3+x⁺¹² dx.

Rozwi¡zanie: Tutaj stopie« wielomianu w liczniku jest wi¦kszy od stopnia wielomianu w mianowniku, wi¦c zgodnie z uwag¡ ze strony 2 najpierw nale»y podzieli¢ (x⁴+ x³+ 1) : (x³ + x²) = x i reszty 1.

Zatem mo»na zapisa¢:

x⁴+ x³+ 1

x³+ x² = x + 1 x³+ x², wi¦c R ^x4_x^+x3_+x³⁺¹² dx =R x dx + R _x3+x^{1 2}dx = ¹₂x²+R ₁

x³+x²dx.

Obliczymy teraz caªk¦ R _x3+x^{1 2}dx.W tym celu rozkªadamy mianownik na czynniki x³ + x² = x²(x + 1), a funkcj¦ podcaªkow¡ na uªamki proste:

1

x³+x² = ^A_x + _x^B2 +_x+1^C = Ax(x+1)+B(x+1)+Cx²

x²(x+1) = ^(A+C)x_x²2^+(A+B)x+B(x+1) . St¡d x² : 0 = A + C

x¹ : 0 = A + B, x⁰ : 1 = B.

Rozwi¡zuj¡c powstaªy ukªad mamy: B = 1, A = −1, C = 1, wi¦c R _x3+x^{1 2}dx = R ₋₁

x dx +R ₁

x²dx + R ₁

x+1dx = − ln |x| − _x¹ + ln |x + 1| + c.

Wobec tego, ostatecznie:

Z x⁴+ x³+ 1

x³+ x² dx = 1

2x²− ln |x| − 1

x + ln |x + 1| + c.

Przykªad 8. Oblicz caªk¦ R _x2^x+2x+5²⁻⁵ dx.

Rozwi¡zanie: Poniewa» stopnie« licznika jest wi¦kszy równy (tutaj oczywi±cie równy) stopniowi mianownika najpierw dzielimy x²− 5 przez x²+ 2x + 5 otrzymuj¡c:

Z x²− 5

x²+ 2x + 5dx = Z

1 − 2x + 10

x²+ 2x + 5dx = x −

Z 2x + 10 x²+ 2x + 5dx.

Nast¦pnie, poniewa» ∆ < 0, dokonujemy przeksztaªce« w taki sposób aby w liczniku otrzyma¢ po- chodn¡ mianownika plus pewna liczba (w otrzymanej caªce):

Z 2x + 10

x²+ 2x + 5dx =

Z 2x + 2 + 8 x²+ 2x + 5dx =

Z 2x + 2

x²+ 2x + 5dx +

Z 8dx

x²+ 2x + 5 = I₁ + I₂.

Pierwsz¡ caªk¦ liczymy z wykorzystaniem wzoru R ^f_{f (x)}^0(x)dx = ln |f (x)| + c, a drug¡ zgodnie z metod¡

opisan¡ wcze±niej dla uªamka prostego drugiego rodzaju:

I₁ =R _2x+2

x²+2x+5dx = ln |x²+ 2x + 5| + c;

I2 = 8R _dx

x²+2x+5 = 8R _dx

(x+1)²+4 =    

x + 1 =√

4t ⇒ t = ^x+1₂ dx = 2dt

=

= 8R _2dt

4t²+4 = 4R _dt

t²+1 = 4 arctg t + c = 4 arctg^x+1₂ + c.

Ostatecznie sumuj¡c wyniki, mamy:

Z x²− 5

x²+ 2x + 5dx = x − ln |x²+ 2x + 5| − 4 arctgx + 1 2 + c.

Metoda Ostrogradskiego

Rozwa»my caªk¦ rzeczywistego wyra»enia wymiernego wªa±ciwego postaci R ^{P (x)}_Q(x)dx. Metod¦ Ostro- gradskiego stosujemy w przypadku, gdy wielomian Q(x) posiada w rozkªadzie na czynniki skªadniki (niekoniecznie musz¡ to by¢ pierwiastki) wielokrotne. Wówczas mo»emy zapisa¢:

Z P (x)

Q(x)dx = P₁(x) Q1(x)+

Z P₂(x)

Q2(x)dx, (4)

gdzie Q1(x) jest najwi¦kszym wspólnym dzielnikiem wielomianu Q(x) oraz wielomianu pochodnej Q⁰(x),natomiast wielomian Q2(x)wyznaczamy z:

Q₂(x) := Q(x) Q₁(x).

Wielomiany P1(x), P₂(x)o wspóªczynnikach nieoznaczonych, których stopnie s¡ o jeden mniejsze odpowiednio od wielomianów Q1(x) i Q2(x) wyznaczamy ró»niczkuj¡c równanie (4).

Przykªad 9. Oblicz caªk¦

Z 4x⁴+ 4x³+ 16x²+ 12x + 12 (x + 1)²(x²+ 1)² dx.

Rozwi¡zanie: Poniewa» Q(x) = (x + 1)²(x²+ 1)²,wi¦c Q⁰(x) = 2(x + 1)(x²+ 1)²+ (x + 1)²(x²+ 1)4x.

Zatem najwi¦kszym wspólnym dzielnikiem Q(x) i Q⁰(x) jest Q1(x) = (x + 1)(x²+ 1), natomiast Q₂(x) = (x + 1)(x²+ 1).

Wówczas ze wzoru (4) mamy:

Z 4x⁴+ 4x³ + 16x²+ 12x + 12

(x + 1)²(x² + 1)² dx = Ax² + Bx + C (x + 1)(x²+ 1) +

Z Dx²+ Ex + F

(x + 1)(x²+ 1)dx. (5) W celu wyznaczenia staªych A, ..., F ró»niczkujemy:

4x⁴+ 4x³+ 16x²+ 12x + 12

(x + 1)²(x² + 1)² = (2Ax + B)(x + 1)(x²+ 1) − (Ax²+ Bx + C)(3x²+ 2x + 1)

(x + 1)²(x²+ 1)² +Dx²+ Ex + F (x + 1)(x²+ 1). Porównuj¡c liczniki dostajemy:

4x⁴+4x³+16x²+12x+12 = (2Ax+B)(x³+x²+x+1)−(Ax²+Bx+C)(3x²+2x+1)+(Dx²+Ex+F )(x³+x²+x+1).

St¡d z przyrównania wspóªczynników przy odpowiednich pot¦gach prawej i lewej strony otrzymujemy ukªad:























D = 0;

−A + D + E = 4;

−2B + D + E + F = 4;

A − B − 3C + D + E + F = 16;

2A − 2C + E + F = 12;

B − C + F = 12,

=⇒























A = −2, B = 2, C = −4, D = 0, E = 2, F = 6.

Zatem z (5) mamy:

Z 4x⁴+ 4x³ + 16x²+ 12x + 12

(x + 1)²(x² + 1)² dx = −2x²+ 2x − 4 (x + 1)(x²+ 1) +

Z 2x + 6

(x + 1)(x²+ 1)dx. (6)

Obliczamy R _(x+1)(x^2x+62+1)dxrozkªadaj¡c na uªamki proste _(x+1)(x^2x+62+1) = _x+1^a +_x^bx+c2+1 = ^(a+b)x +(b+c)x+a+c (x+1)(x²+1) . Porównuj¡c wspóªczynniki otrzymujemy a = 2, b = −2, c = 4, wi¦c

Z 2x + 6

(x + 1)(x²+ 1)dx =

Z 2

x + 1dx +

Z −2x + 4

x²+ 1 dx = 2 ln |x + 1| −

Z 2x

x²+ 1dx + 4

Z dx x²+ 1 = 2 ln |x + 1| − 2 ln |x²+ 1| + 4 arctg x + c. (7) Ostatecznie z (6)-(7) wynika:

Z 4x⁴+ 4x³+ 16x²+ 12x + 12

(x + 1)²(x²+ 1)² dx = −2x²+ 2x − 4

(x + 1)(x²+ 1) + 2 ln |x + 1| − 2 ln |x²+ 1| + 4 arctg x + c

Zadania

1. Oblicz caªki z funkcji wymiernych:

(a) R _2x

x+1dx; (b) R _x+2

x²−2xdx; (c) R ₁

x(x+1)²dx;

(d) R _x²

x²+2x−3dx; (e) R ₃

x²+4x+7dx; (f ) R _8x+2

2x²+4x+3dx;

(g) R x(x+2)

x²+2x+3dx; (h) R _2x⁵_+6x³₊₆

x⁴+3x² dx; (i) R _2x²_+x−4

x³−x²−2xdx;

(j) R _x²

(x+2)²(x+4)²dx; (k) R _3x²_−8x+3

x³−9x²+6x−54dx; (l) R _7x²_+7x−176

x³−9x²+6x+56dx;

(m) R _x²_+x−1

(x²+4x+4)²dx; (n) R _2x⁴_−2x²_+4x−1

2x³−x−1 dx; (o) R _2x³_+x²_+5x+1

(x²+3)(x²−x+1)dx;

(p) R _4x³_−7x²_+4x+72

x⁴+64 dx; (r) R _x²₊₁

x⁴−5x²+4dx; (s) R _x³_−6x²_+11x−5

(x−2)⁴ dx;

(t) R _6x+4

(x²+10x+29)³dx; (u) R _2x⁴_+4x³_−3x²_+2x−2

(x³+1)² dx.