Wykad 9

MECHANIKA 2

Wykład Nr 9

Dynamika układu punktów materialnych

Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych

Układ nazwiemy nieswobodnym, jeżeli wystąpią

jakiekolwiek ograniczenia ruchów.

Układem punktów materialnych nazwiemy zbiór

punktów w sensie geometrycznym, którym

przypisane są pewne masy.

Układ nazwiemy swobodnym, gdy nie istnieją

żadne ograniczenia, które krępowałyby ruchy

Szczególnym modelem układu nieswobodnego punktów materialnych jest ciało sztywne (bryła materialna), którego więzy polegają na tym, że wzajemne odległości dwu dowolnych punktów bryły nie ulegają zmianie w czasie ruchu.

Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych

Więzy ograniczające

swobodę ruchów

poszczególnych

punktów

Więzy ograniczające

swobodę ruchów

poszczególnych

punktów

Układ

nieswobodny

Układ

nieswobodny

Siły działające na układ (rys. 1) dzielimy na:

zewnętrzne, wewnętrzne.

Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych

Rys. 1

Siłami wewnętrznymi nazywamy

wzajemne oddziaływania poszczególnych punktów układu na siebie.

Siłami zewnętrznymi nazywamy siły

pochodzące od działania innych ciał, nie wchodzących w skład badanego układu.

Jedna konkretna siła może być zewnętrzna dla jednego, wewnętrzna zaś dla drugiego układu. Na przykład siła ciężkości jest dla punktu materialnego siłą zewnętrzną, natomiast będzie ona siłą wewnętrzną dla układu złożonego z Ziemi i danego punktu.

– wektor przyspieszenia masy m_i – wypadkowa z sił zewnętrznych, działających na punkt

– masa punktu

Dynamiczne równanie ruchu i-tego PUNKTU pod działaniem wypadkowej sił zewnętrznych działających na badany punkt oraz sił wewnętrznych układu ma postać:

(1)

– siła wewnętrzna oddziaływania masy m_k na masę m_i,

przy czym k = 1,...,n.

Układ równań (1) w postaci wektorowej można przedstawić w równoważnej postaci analitycznej np. we współrzędnych kartezjańskich

W przypadku występowania więzów ograniczających ruch układu, obok wzajemnego oddziaływania punktów materialnych na siebie, należałoby wprowadzić po prawej stronie siły reakcji więzów.

Równania (1) możemy zapisać w postaci

Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych

(3)

przedstawiającej zasadę bezwładności d'Alemberta w odniesieniu do układu punktów materialnych.

Wektory nazywamy siłami bezwładności lub siłami d'Alemberta punktów materialnych o masach

Zasada d’Alemberta

Siły działające na poszczególne punkty materialne poruszającego się układu równoważą się w każdej chwili z „pomyślanymi” siłami bezwładności.

i i m – aρ i m

Współrzędne środka masy układu punktów materialnych:

Ruch

ś

rodka masy układu punktów materialnych

a) w postaci wektorowej (4) gdzie – masa całkowita

∑

b) w postaci analitycznej (np. w układzie kartezjańskim)

(5)

gdzie

S S

S

y

z

Różniczkując równanie (4) względem czasu otrzymujemy

(6)

gdzie wektor przedstawia pęd masy punktu mi

– wektor pędu ogólnego układu punktów materialnych.

Pęd ogólny układu punktów materialnych równa się pędowi całej masy układu, skupionej w jego środku masy.

Ruch

ś

rodka masy układu punktów materialnych

Różniczkując po raz drugi równanie (4) napiszemy

(7)

lub ₍₈₎

Suma sił bezwładności punktów materialnych równa się sile bezwładności masy całkowitej, skupionej w środku masy tego układu.

Ruch

ś

rodka masy układu punktów materialnych

Wstawiając wzór do równania (8) otrzymujemy

∑

Zauważmy jednak, że wektor główny sił wewnętrznych układu, występujących tzw. dwójkami zerowymi , jest równy zeru, czyli ki ik –W Wρ = ρ (10) a więc (11)

Ruch

ś

rodka masy układu punktów materialnych

Zasada ruchu

ś

rodka masy układu

punktów materialnych

Środek masy układu punktów materialnych porusza się tak

samo jak punkt, w którym skupiona jest cala masa układu i na który działa suma wszystkich sił zewnętrznych.

Zasadę ruchu środka masy układu punktów materialnych, przedstawioną w postaci wektorowej wzorem (11), możemy też opisać analitycznie

(12)

Ruch

ś

rodka masy układu punktów materialnych

Przykład 1

Wskutek sił wewnętrznych pocisk rozrywa się na części.

Siły te nie mogą zmienić ruchu środka ciężkości C.

Przykład 2

Na końcu łódki o masie m₁ i długości b stojącej nieruchomo na wodzie stoi człowiek o masie m. Obliczyć, o jaką odległość x przesunie się łódka, gdy człowiek przejdzie na jej drugi koniec. Opór wody pominąć.

Rozwi

ą

zanie

Wyznaczamy położenie środka masy przed rozpoczęciem ruchu:

Natomiast położenie środka masy na końcu ruchu wynosi:

gdzie x – odległość, o jaką

przesunęła się łódka.

Ponieważ siły zewnętrzne działające na układ się równoważą

(ciężar człowieka równoważy się z jego naciskiem na łódkę, a

ciężar łódki równoważy się z siłą wyporu łódki), środek masy

układu pozostaje w spoczynku, zatem:

Przykład 3

Klin o masie m

spoczywa na gładkiej powierzchni. Na klinie

spoczywają dwa bloki o masach odpowiednio m

i m

, połączone

nierozciągliwą, nieważką liną przerzuconą przez nieważki

krążek. Blok o masie m

doznał przesunięcia względem klina o

wielkość d. Obliczyć poziome przesunięcie klina.

Rozwi

ą

zanie

Niech x

, x

, x

– współrzędne środków masy klina i ciężarków o

masach m

i m

przed rozpoczęciem ruchu. Wtedy, po

przesunięciu się klina o s, środki masy tych punktów wynoszą:

Ś

rodek masy układu przed rozpoczęciem ruchu:

Ś

rodek masy układu po przesunięciu klina:

Ponieważ na układ nie działają siły zewnętrzne, środek masy

układu nie zmieni położenia:

Po podstawieniu x’

, x’

, x’

:

Przykład 4

oraz jego nacisk na płaszczyznę. W chwili początkowej t = 0 wózek znajdował się w spoczynku. Środek ciężkości wózka znajduje się w punkcie C₁ na wysokości b. Opory toczenia pominąć

.

Dane: m

, m

,

, b

Szukane: x(t), N

, N

Do wózka o masie m₁ przyczepiono nieważki pręt o długości l, na którego końcu zawieszono kulkę o masie m₂. Ruch obrotowy pręta opisany jest równaniem φ = φ₀sin(ωt). Znaleźć równanie ruchu wózka

Rozwi

ą

zanie

Współrzędna środka masy układu w dowolnej chwili t:

Współrzędna środka masy układu przed rozpoczęciem ruchu:

Zgodnie z zasadą ruchu środka masy układu:

Podobnie:

Naciski wyznaczymy z drugiej zasady dynamiki:

Uwzględniając wzory oraz możemy napisać:

Zasada p

ę

du układu punktów materialnych

lub też zgodnie z oznaczeniem pędu:

(13)

(14)

Pęd układu punktów materialnych wynosi:

Zauważmy, że w przypadku gdy wektor główny sił zewnętrznych będzie równy zeru, wówczas pęd układu będzie wektorem stałym (co do modułu i co do kierunku). Jest to tzw. zasada zachowania pędu układu punktów materialnych.

Pochodna względem czasu wektora ogólnego pędu układu punktów materialnych jest równa wektorowi głównemu sił zewnętrznych, działających na dany układ.

Wzór

(16)

możemy przedstawić za pomocą równoważnych trzech równań analitycznych

Jeżeli część układu punktów materialnych zmienia w

pewnej chwili swój pęd pod wpływem tylko sił

wewnętrznych, wówczas pęd pozostałej części układu

ulega odpowiedniej zmianie, zgodnie z warunkami

gdyż

Zasada p

ę

du układu punktów materialnych

Przykład 5

Ciało o masie m spada na Ziemię z

wysokości h.

Brak sił zewnętrznych.

Siły

wewnętrzne

–

siły

wzajemnego przyciągania – nie mogą

zmienić położenia środka masy.

Znaleźć przesunięcie s Ziemi w

kierunku ciała.

Z zasady zachowania pędu, w chwili zderzenia:

gdzie v

– prędkość ciała; v

– prędkość Ziemi.

W dowolnej chwili t, w ruchu jednostajnie przyspieszonym:

Z zasady zachowania pędu, w chwili zderzenia t

:

Zatem:

Całkując równanie w przedziale czasu od

lub

Zasada równoważności pędu i impulsu układu punktów materialnych

F

p

p

ρ

ρ

ρ

=

=

∑

dt

d

dt

d

t

(18)

(17)

Jak już wiemy z dynamiki punktu, wektor _i

dt

=

d

Π

ρ

ρ

F

przedstawia elementarny impuls siły

i

F

ρ

_dt

(20)

Przyrost wektora pędu układu punktów materialnych

w określonym przedziale czasu jest równy sumie

impulsów sił zewnętrznych, działających na ten układ.

Zasada równoważności pędu i impulsu układu punktów materialnych

możemy przedstawić również w postaci:

Zasada p

ę

du i impulsu układu

punktów materialnych

Przykład 6

Wózek o masie m

jechał po prowadnicy z prędkością v

.

W pewnej chwili pasażer o masie m

wskoczył do wózka

pod kątem α z szybkością u względem wózka. Wyznaczyć:

prędkość końcową v

wózka wraz z pasażerem

popęd siły normalnej do szyn.

Pęd początkowy układu (w chwili wskoku pasażera na wózek):

Pęd końcowy układu:

Zgodnie z zasadą zachowania pędu:

p

=

p

Prędkość końcowa układu (w kierunku szyn):

=

∫

Rd

t

=

v

Przykład 7

Nieważka sztywna tarcza kołowa o promieniu r₁ z doczepionymi na obwodzie czterema masami m wiruje z prędkością kątową ω₀. Tarcza ta jest połączona przez nie napiętą linkę z drugą analogiczną tarczą o promieniu r₂. Zakładając, że linka jest doskonale plastyczna, obliczyć prędkości kątowe ω₁ i ω₂ obu tarcz po momencie szarpnięcia poprzez linkę tarczy o promieniu r₂ oraz wyznaczyć zmianę krętu układu.

Rozwi

ą

zanie

Uwaga!

Napiszemy zasadę krętu dla każdej tarczy. Wobec powyższej uwagi po prawej stronie równań otrzymamy tylko moment siły S napięcia linki.

Zasada krętu dla I-szej tarczy:

Zależność kinematyczna pomiędzy tarczami:

Kręt układu w chwili t₁:

Kręt układu w chwili t₂:

a)

_dm

_m

v

ρ

v

ρ

b)

m + dm

d

v

v

ρ +

ρ

b)

_dm

_{m – dm}

d

v

v

ρ −

ρ

v

ρ

a)

_m

v

ρ

Zakładając, że od układu odrywa się z prędkością bezwzględną masa , określimy elementarną zmianę wektora pędu układu

b

v

ρ

dm

przy czym

S

mvρ _{– wektor pędu układu przed oderwaniem się masy dm}

– pęd układu po oderwaniu się masydm

Ruch układu o zmiennej masie

Zatem:

czyli:

gdzie

Ruch układu o zmiennej masie

W przypadku gdy równocześnie oddziela się lub przyczepia więcej mas równaniedmj

napiszemy w ogólniejszej postaci

gdzie

zaś

j S

bj

–

v

u

v

ρ

ρ

=

ρ

lub dołączającej się masy dmj

(30)

Wzór (30) przedstawia tzw. równanie Mieszczerskiego, charakteryzujące ruch układu o zmiennej masie.

Przykład 8

Początkowa masa rakiety wraz z materiałem pędnym jest

równa m

, a masa korpusu wynosi m. Znaleźć prędkość

końco-wą rakiety przy założeniu, że na rakietę nie działa żadna siła

zewnętrzna i jej prędkość początkowa jest równa v

. Prędkość

bezwzględna wyrzucanych gazów wynosi v

.

Dane:

m

, m, v

, v

.

Szukane:

v = ?

Rozwi

ą

zanie

Wypadkowa sił zewnętrznych jest równa zeru, działa tylko siła

reakcji cząstki oddzielającej się – siła odrzutu.

Zatem, zgodnie z równaniem Mieszczerskiego:

gdzie: u – prędkość względna oddzielającej się masy;

R – siła odrzutu.

Rozwi

ą

zanie

Całkujemy powyższe równanie:

i otrzymujemy:

Stąd prędkość końcowa rakiety wynosi: