1
Relacje - podstawowe de nicje A. Mróz
1. Wªasno±ci relacji R ⊆ X × X: • zwrotna: ∀x∈X x R x;
• przeciwzwrotna: ∀x∈X ∼ x R x;
• symetryczna: ∀x,y∈X x R y ⇒ y R x;
• antysymetryczna (silnie antysymetryczna, asymetryczna, przeciwsymetryczna): ∀x,y∈X x R y ⇒ ∼ y R x;
• sªabo antysymetryczna: ∀x,y∈X (x R y ∧ y R x) ⇒ x = y;
• przechodnia: ∀x,y,z∈X (x R y ∧ y R z) ⇒ x R z;
• spójna: ∀x,y∈X x R y ∨ y R x ∨ x = y.
Relacje porz¡dku
2. Relacj¦ R ⊆ X ×X nazywamy relacj¡ porz¡dku (cz¦±ciowego porz¡dku), o ile R jest zwrotna, sªabo antysymetryczna i przechodnia. Wówczas najcz¦±ciej R oznacza si¦ symbolem i par¦ (X, ) nazywamy zbiorem (cz¦±ciowo) uporz¡dkowanym. (Gdy x y oraz x 6= y, to piszemy x ≺ y). 3. Relacj¦ ⊆ X ×X nazywamy relacj¡ liniowego porz¡dku, o ile jest relacj¡ porz¡dku i jest spójna.
Wówczas par¦ (X, ) nazywamy zbiorem liniowo uporz¡dkowanym.
4. Podzbiór T ⊆ X zbioru uporz¡dkowanego (X, ) nazywamy ªa«cuchem, je»eli (T, T)jest zbiorem
liniowo uporz¡dkowanym.
5. Niech (X, ) b¦dzie zbiorem cz¦±ciowo uporz¡dkowanym. Wówczas a ∈ X nazywamy elementem: • najmniejszym, gdy ∀x∈X a x;
• najwi¦kszym, gdy ∀x∈X x a;
• minimalnym, gdy ∼ ∃x∈X x ≺ a;
• maksymalnym, gdy ∼ ∃x∈X a ≺ x.
6. Niech (X, ) b¦dzie zbiorem cz¦±ciowo uporz¡dkowanym, A ⊆ X. Wówczas a ∈ X nazywamy: • ograniczeniem górnym zbioru A, gdy ∀x∈A x a;
• ograniczeniem dolnym zbioru A, gdy ∀x∈A a x;
• kresem górnym (supremum) zbioru A (ozn. a = sup A), gdy a jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru A ;
• kresem dolnym (in mum) zbioru A (ozn. a = inf A), gdy a jest najwi¦kszym ograniczeniem dolnym zbioru A .
7. Niech (X, ) b¦dzie zbiorem liniowo uporz¡dkowanym. Porz¡dek nazywamy dobrym, o ile ka»dy niepusty podzbiór A ⊆ X zawiera element najmniejszy. Wówczas par¦ (X, ) nazywamy zbiorem dobrze uporz¡dkowanym.
8. Niech (X, ) b¦dzie zbiorem liniowo uporz¡dkowanym. Porz¡dek nazywamy g¦stym, o ile ∀x, y ∈ X;
x ≺ y
∃z∈X x ≺ z ≺ y.
9. Niech (X, ) b¦dzie zbiorem liniowo uporz¡dkowanym. Porz¡dek nazywamy ci¡gªym, o ile ka»dy jego niepusty podzbiór ograniczony z góry ma kres górny i ka»dy niepusty podzbiór ograniczony z doªu ma kres dolny. (Uwaga. Czasami zakªada si¦ równie», »e jest porz¡dkiem g¦stym!)
2 10. Niech (X, ) b¦dzie zbiorem dobrze uporz¡dkowanym. Wówczas nast¦pnikiem elementu a ∈ X
nazywamy najmniejszy element zbioru {x ∈ X : a ≺ x}. Relacje równowa»no±ci
11. Relacj¦ R ⊆ X×X nazywamy relacj¡ równowa»no±ci na zbiorze X o ile R jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. Wówczas najcz¦±ciej R oznacza si¦ symbolami ∼ lub ≈.
12. Niech ∼ b¦dzie relacj¡ równowa»no±ci na niepustym zbiorze X. Wówczas klas¡ abstrakcji elementu xwzgl¦dem relacji ∼ nazywamy zbiór
[x]∼= {y ∈ X : y ∼ x}.
Zbiór wszystkich klas abstrakcji (wzgl¦dem) relacji ∼, czyli zbiór X/ ∼ = {[x]∼ : x ∈ X}
nazywamy zbiorem ilorazowym relacji ∼.
13. Fakt. Relacja równowa»no±ci ∼ na zbiorze X 6= ∅ ma nast¦puj¡ce (oczywiste!) wªasno±ci: • ∀x∈X [x]∼6= ∅;
• ∀x,y∈X x ∼ y ⇔ [x]∼= [y]∼;
• ∀x,y∈X [x]∼= [y]∼ ∨ [x]∼∩ [y]∼= ∅.
Moraª: Relacja równowa»no±ci zadaje rozbicie zbioru X na rozª¡czne, niepuste podzbiory o tej wªasno±ci, »e x ∼ y ⇔ elementy x i y de niuj¡ t¦ sam¡ klas¦ abstrakcji (tzw. zasada abstrakcji).
